Bài 2: Hàm Nhiều Biến - Cực Trị Hàm Nhiều Biến

Cách 1: Giả sử m < n và ta có

\(\left\{ \begin{array}{l} {g_1}({x_1},{x_2},...,{x_n}) = 0\,\,\\ {g_2}({x_1},{x_2},...,{x_n}) = 0\,\\ ...............\\ {g_m}({x_1},{x_2},...,{x_n}) = 0\,\, \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = {h_1}({x_{m + 1}},{x_{m + 2}},...,{x_n})\\ {x_2} = {h_2}({x_{m + 1}},{x_{m + 2}},...,{x_n})\\ ............\\ {x_m} = {h_m}({x_{m + 1}},{x_{m + 2}},...,{x_n}) \end{array} \right. \)

\(z = f({x_{m + 1}},{x_{m + 2}},...,{x_n})\) là hàm có n - m biến. Khi đó ta tìm cực trị không điều kiện của hàm n - m biến.

Ví dụ: Tìm cực trị của \(f\left( {{x_1},x{}_2,{x_3},{x_4}} \right) = {\rm{ }}2{x_1} + {\rm{ x}}_2^3 + 5x_3^2 - 3{x_4}\)

thỏa điều kiện: \((*):\left\{ \begin{array}{l} {x_1} - x{}_2 + {x_3} - {x_4} = 3\\ {x_1} + x{}_2 - 5{x_3} + 3{x_4} = 1 \end{array} \right. \)

(ta có m = 2, n = 4 )

\((*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = 2 + 2{x_3} - {x_4}\\ x{}_2 = - 1 + 3{x_3} + 2{x_4} \end{array} \right. \)

Thế vào biểu thức của hàm f ta có: \(f\left( {{x_1},x{}_2,{x_3},{x_4}} \right) = {\rm{ }}2{x_1} + {\rm{ x}}_2^3 + 5x_3^2 - 3{x_4}\)

\(= 2(2 + 2x_3 - x_4) + (- 1 + 3x_3 - 2x_4)^3 + 5x^2_3 - 3x_4 = F(x_3,x_4) \)

Định lý (điều kiện cần): Giả sử \(f,g_1,g_2,...,g_m\) có các đạo hàm riêng cấp 1 tại \({x_0} = \left( {x_1^0,x_2^0,x_3^0,...,x_n^0} \right)\) và f đạt cực trị tại x0. Khi đó tồn tại \(\lambda _1^0,\lambda _2^0,...,\lambda _m^0\) sao cho \(\frac{{\partial \phi ({x_0})}}{{\partial {\lambda _j}}} = {g_j}({x_0}) = 0,\,\forall j = \overline {1,m}\)và \(\frac{{\partial \phi }}{{\partial {x_k}}}(x_1^0,x_2^0,...,x_n^0,\lambda _1^0,\lambda _2^0,...,\lambda _m^0) = 0,\forall k = \overline {1,n}\)

Do đó để tìm cực trị có điều kiện, ta giải hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\partial \phi }}{{\partial {\lambda _i}}} = 0,j = \overline {1,m} \\ \frac{{\partial \phi }}{{\partial {x_k}}} = 0,k = \overline {1,n} \end{array} \right. \)

Định lý (điều kiện đủ)

Giả sử điều kiện cần của định lý trên được thỏa và \(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x_i}\partial {x_j}}}\) tồn tai, liên tục tai điểm dừng x0 ứng với \(\lambda _0=(\lambda _1^0,\lambda _2^0,...,\lambda _m^0)\). Đặt \({a_{ij}} = \frac{{{\partial ^2}\phi ({x_0}{\lambda _0})}}{{\partial {x_i}\partial {x_j}}},{b_{ij}} = \frac{{\partial {g_j}}}{{\partial {x_i}}} = \frac{{{\partial ^2}\phi }}{{\partial {x_i}\partial {\lambda _j}}}({x_0})\)

\({H_k} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}} \cdots {a_{1k}}}&{{b_{11}}}&{{b_{12}} \cdots {b_{1m}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}} \cdots {a_{2k}}}&{{b_{21}}}&{{b_{22}} \cdots {b_{2m}}}\\ {.....}&{}&{}&{}\\ {{a_{k1}}}&{{a_{k2}} \cdots {a_{kk}}}&{{b_{k1}}}&{{b_{k2}} \cdots {b_{km}}}\\ {{b_{11}}}&{{b_{21}} \cdots {b_{k1}}}&0&{0 \cdots 0}\\ {{b_{12}}}&{{b_{22}} \cdots {b_{k2}}}&0&{0 \cdots 0}\\ {....}&{}&{}&{}\\ {{b_{1m}}}&{{b_{2m}} \cdots {b_{km}}}&0&{0 \cdots 0} \end{array}} \right|;k = 1,2,...,n \)

Đặt Hb là ma trận của Hn (nghĩa là Hn = |Hb|). Ta có :

i) Nếu \({( - 1)^m}{H_k} > 0,\forall k = \overline {m + 1,n} \Rightarrow f\) đạt cực tiểu thỏa điều kiện (I) tại x0

ii) Nếu \({( - 1)^k}{H_k} > 0,\forall k = \overline {m + 1,n} \Rightarrow f\) đạt cực đại thỏa điều kiện (I) tại x0.

Ví dụ 1: n = 4, m = 1

\({H_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_1}}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_2}}}}\\ {\frac{{\partial g}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_2}}}}&0 \end{array}} \right|;\,\,{H_3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_1}}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_2}}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_3}}}}\\ {\frac{{\partial g}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_2}}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_3}}}}&0 \end{array}} \right| \); \({H_4} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{a_{14}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_1}}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{a_{24}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_2}}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{{a_{34}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_3}}}}\\ {{a_{41}}}&{{a_{42}}}&{{a_{43}}}&{{a_{44}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_4}}}}\\ {\frac{{\partial g}}{{\partial {x_1}}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_2}}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_3}}}}&{\frac{{\partial g}}{{\partial {x_4}}}}&0 \end{array}} \right| \)

Ta có: