Bài 2. Phương Trình đường Tròn - Củng Cố Kiến Thức

1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâmI (a ; b), bán kính R. Ta có:

$\begin{gathered} M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right) \Leftrightarrow IM = R \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2}} = R \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2} \hfill \\ \end{gathered} $

Phương trình ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R.

Chú ý

Phương trình đường tròn có tâm là gốc toạ độ O và có bán kính R là :

${x^2} + {y^2} = {R^2}$

2. Nhận xét

Phương trình đường tròn ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ có thể được viết dưới dạng ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$, trong đó $c = {a^2} + {b^2} - {R^2}$.

Ngược lại, phương trình ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi ${a^2} + {b^2} - c > 0$. Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a ; b) và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} $.

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$nằm trên đường tròn (C) tâm I(a ; b). Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến với (C) tại ${M_0}$.

Ta có ${M_0}$ thuộc $\Delta $ và vectơ $\overrightarrow {I{M_0}} = \left( {{x_0} - a;{y_0} - b} \right)$ là vectơ pháp tuyến của $\Delta $. Do đó $\Delta $ có phương trình là:

$\left( {{x_0} - a} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {{y_0} - b} \right)\left( {y - {y_0}} \right) = 0$ (2)

Phương trình (2) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ tại điểm ${M_0}$ nằm trên đường tròn.