Bài 28 Trang 24 SGK Hình Học 10 Nâng Cao, Cho Tứ Giác ABCD ...
Có thể bạn quan tâm
Bài 28. Cho tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng
a) Có một điểm \(G\) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \). Điểm \(G\) như thế gọi là trọng tâm của bốn điểm \(A, B, C, D\). Tuy nhiên, người ta vẫn quen gọi \(G\) là trọng tâm của từ giác \(ABCD\).
b) Trọng tâm \(G\) là trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối các trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của tam giác.
c) Trọng tâm \(G\) nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.
a) Gọi \(O\) là điểm cố định bất kì, ta có
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \cr & \Leftrightarrow \,\,\,\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0 \cr & \Leftrightarrow \,\,\,4\overrightarrow {OG} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} \cr & \Leftrightarrow \,\,\,\overrightarrow {OG} = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right). \cr} \)
Vậy \(G\) là điểm xác định duy nhất sao cho \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 .\)
b)
Gọi \(I, J\) lần lượt la trung điểm của \(AB, CD\) ta có
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{ & \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \, \cr & \, \Rightarrow \,\,2\overrightarrow {GI} + 2\overrightarrow {GJ} = \overrightarrow 0 \,\, \Rightarrow \,\overrightarrow {GI} + \overrightarrow {GJ} = \overrightarrow 0 \, \cr} \)
\( \Rightarrow \,\,G\) là trung điểm \(IJ\)
Tương tự, ta gọi \(H, K\) lần lượt là trung điểm của \(AC, BD\) ta có
\(\eqalign{ & \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \, \cr & \, \Rightarrow \,\,2\overrightarrow {GH} + 2\overrightarrow {GK} = \overrightarrow 0 \,\, \Rightarrow \,\overrightarrow {GH} + \overrightarrow {GK} = \overrightarrow 0 \, \cr} \)
\( \Rightarrow \,\,G\) là trung điểm \(HK\)
Tương tự, ta cũng chứng minh được \(G\) là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của tam giác.
c)
Gọi \(M\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\), ta có
\(\eqalign{ & 3\overrightarrow {GM} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \,\,\, \Rightarrow \,3\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GA} = \overrightarrow 0 \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\overrightarrow {GA} = - 3\overrightarrow {GM} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \cr} \)
Do đó, \(G, A, M\) thẳng hàng.
Các trường hợp còn lại làm tương tự.Vậy trọng tâm \(G\) nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.
Từ khóa » định Nghĩa Trọng Tâm Của Tứ Giác
-
Trọng Tâm Là Gì? Các Tính Chất Của Trọng Tâm Tam Giác, Hình Thang, Tứ ...
-
Cách Xác định Trọng Tâm Tứ Giác - Blog Của Thư
-
Trọng Tâm Của Tứ Diện Là Gì? Cách Xác định Trọng ... - DINHNGHIA.VN
-
Trọng Tâm Là Gì? Cách Xác định Trọng Tâm Và Bài Tập Có Giải
-
Trọng Tâm Của Tứ Diện Là Gì? - Toán Học Việt Nam - MathVn.Com
-
Trọng Tâm Của Tứ Diện Là Gì?
-
Trọng Tâm Tứ Giác | Cộng đồng Học Sinh Việt Nam - HOCMAI Forum
-
Thuật Toán Tìm Trọng Tâm Của Tứ Giác - Programming - Dạy Nhau Học
-
Trọng Tâm Là Gì? Tính Chất Trọng Tâm Tam Giác
-
Tính Chất Của Trọng Tâm Và Cách Xác định Trọng Tâm Trong Hình Học
-
Cách Xác định Trọng Tâm Của Tứ Giác - Việt Đa Năng
-
Trọng Tâm Là Gì? Công Thức Tính Trọng Tâm Của Tam Giác
-
Tứ Giác Là Gì? Những Hình Tứ Giác Phổ Biến Hiện Nay
-
Tứ Giác Nội Tiếp – Wikipedia Tiếng Việt