Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

Xem toàn bộ tài liệu Lớp 11: tại đây

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

• Sách giáo khoa đại số và giải tích 11
• Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
• Sách giáo khoa hình học 11
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11
• Giải Toán Lớp 11
• Sách Giáo Viên Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
• Sách giáo khoa đại số và giải tích 11 nâng cao
• Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao
• Giải Toán Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Giáo Viên Hình Học Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11
• Sách Bài Tập Đại Số Và Giải Tích Lớp 11 Nâng Cao
• Sách Bài Tập Hình Học Lớp 11 Nâng Cao

Sách Giải Sách Bài Tập Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 11 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Bài 1.25 trang 37 Sách bài tập Đại số 11: Giải các phương trình sau

a) cos2x – sinx – 1 = 0

b) cosx.cos2x = 1 + sinx.sin2x

c) 4sinx.cosx.cos2x = -1

d) tanx = 3cotx

Lời giải:

a) cos2x – sinx – 1 = 0

⇔ 1 – 2sin2x – sinx – 1 = 0

⇔ sinx(2sinx + 1) = 0

b) cosx.cos2x = 1 + sinx.sin2x

⇔ cosx.cos2x – sinx.sin2x = 1

⇔ cos3x = 1 ⇔ 3x = k2π

c) 4sinx.cosx.cos2x = -1

⇔ 2sin2x.cos2x = -1

⇔ sin4x = -1

d) tanx = 3cotx (Điều kiện cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0)

Ta có:

Các phương trình này thỏa mãn điều kiện của phương trình nên là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài 1.26 trang 37 Sách bài tập Đại số 11: Giải các phương trình sau

a) 3cos2x – 2sinx + 2 = 0

b) 5sin2x + 3cosx + 3 = 0

c) sin6x + cos6x = 4cos22x

d) -0,25 + sin2x = cos4x

Lời giải:

a) 3cos2x – 2sinx + 2 = 0

⇔ 3(1 – sin2x) – 2sinx + 2 = 0

⇔ 3sin2x + 2sinx – 5 = 0

⇔ (sinx – 1)(3sinx + 5) = 0

⇔ sinx = 1

⇔ x = π/2 + k2π, k ∈ Z

b) 5sin2x + 3cosx + 3 = 0

⇔ 5(1 – cos2x) + 3cosx + 3 = 0

⇔ 5cos2x – 3cosx – 8 = 0

⇔ (cosx + 1)(5cosx – 8) = 0

⇔ cosx = -1

⇔ x = (2k + 1)π, k ∈ Z

c) sin6x + cos6x = 4cos22x

⇔ (sin2x + cos2x)3 – 3sin2x.cos2x(sin2x + cos2x) = 4cos22x

Bài 1.27 trang 37 Sách bài tập Đại số 11: Giải các phương trình sau

a) 2tanx – 3cotx – 2 = 0;

b) cos2x = 3sin2x + 3;

c) cotx – cot2x = tanx + 1.

Lời giải:

a) 2tanx – 3cotx – 2 = 0 (Điều kiện cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0)

Ta có

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình

b) cos2x = 3sin2x + 3

Ta thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được:

c) cotx – cot2x = tanx + 1 (1)

Điều kiện: sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0. Khi đó:

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình

Bài 1.28 trang 38 Sách bài tập Đại số 11: Giải các phương trình sau

a) cos2x + 2sinx.cosx + 5sin2x = 2;

b) 3cos2x – 2sin2x + sin2x = 1;

c) 4cos2x – 3sinx.cosx + 3sin2x = 1.

Lời giải:

a) cos2x + 2sinx.cosx + 5sin2x = 2

Rõ ràng cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos2x ta được:

1 + 2tanx + 5tan2x = 2(1 + tan2x)

⇔ 3tan2x + 2tanx – 1 = 0

b) 3cos2x – 2sin2x + sin2x = 1

Với cosx = 0 ta thấy hai vế đều bằng 1. Vậy phương trình có nghiệm x = 0,5π + kπ, k ∈ Z

Trường hợp cosx ≠ 0, chia hai vế cho cos2x ta được:

3 – 4tanx + tan2x = 1 + tan2x

⇔ 4tanx = 2

⇔ tanx = 0,5

⇔ x = arctan 0,5 + kπ, k ∈ Z

Vậy nghiệm của phương trình là x = 0,5π + kπ, k ∈ Z và x = arctan 0,5 + kπ, k ∈ Z

c) 4cos2x – 3sinx.cosx + 3sin2x = 1

Rõ ràng cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos2x ta được:

4 – 3tanx + 3tan2x = 1 + tan2x

⇔ 2tan2x – 3tanx + 3 = 0

Phương trình cuối vô nghiệm đối với tanx, do đó phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 1.29 trang 38 Sách bài tập Đại số 11: Giải các phương trình sau

a) 2cosx – sinx = 2;

b) sin5x + cos5x = -1;

c) 8cos4x – 4cos2x + sin4x – 4 = 0;

d) sin6x + cos6x + sin4x/2 = 0.

Lời giải:

Bài 1.30 trang 38 Sách bài tập Đại số 11: Giải các phương trình sau:

Lời giải:

a) 1 + sinx – cosx – sin2x + 2cos2x = 0 (1)

Ta có:

1 – sin2x = (sinx – cosx)2

⇔ 2cos2x = 2(cos2x – sin2x) = -2(sinx – cosx)(sinx + cosx)

Vậy (1) ⇔ (sinx – cosx)(1 + sinx – cosx – 2sinx – 2cosx) = 0

⇔ (sinx – cosx)(1 – sinx – 3cosx) = 0

Điều kiện sinx ≠ 0

(thỏa mãn điều kiện)

c) cosx.tan3x = sin5x

Điều kiện: cos3x ≠ 0. Khi đó,

(3)⇔ cosx.sin3x = cos3x.sin5x

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:

d) 2tan2x + 3tanx + 2cot2x + 3cotx + 2 = 0 (4)

Điều kiện: cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0. Khi đó,

(4) ⇔ 2(tan2x + cot2x) + 3(tanx + cotx) + 2 = 0 ⇔ 2[(tanx + cotx)2 − 2] + 3(tanx + cotx) + 2 = 0

Đặt t = tanx + cotx ta được phương trình

2t2 + 3t − 2 = 0 ⇒ t = −2, t = 0,5

Với t = -2 ta có tanx + cotx = -2

⇔ tan2x + 2tanx + 1 = 0 ⇒ tanx = −1 ⇒ x = −π/4 + kπ, k ∈ Z

(thỏa mãn điều kiện)

Với t = 0,5 ta có tanx + cotx = 0,5 ⇔ 2tan2x − tanx + 2 = 0

Phương trình này vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình (4) là x = −π/4 + kπ,k ∈ Z

Bài 1.31 trang 38 Sách bài tập Đại số 11: Giải phương trình cotx – tanx + 4sin2x = 2/sin2x

Lời giải:

Đối với những phương trình lượng giác chứa tanx, cotx, sin2x hoặc cos2x, ta có thể đưa về phương trình chứa cosx, sinx, sin2x, hoặc cos2x ngoài ra cũng có thể đặt ẩn phụ t = tanx để đưa về một phương trình theo t.

Cách 1: Điều kiện của phương trình:

sin2x ≠ 0 ⇔ cos2x ≠ 1 hoặc cos2x ≠ -1 (1)

Ta có:

Cách 2. Đặt t = tanx

Điều kiện t ≠ 0

Phương trình đã cho có dạng

Bài tập trắc nghiệm trang 38, 39 Sách bài tập Đại số 11:

Bài 1.32: Nghiệm của phương trình 3cotx – √3 = 0 là:

Lời giải:

Ta có cotx = 1/√3 ⇒ x = π/3+ kπ, k ∈ Z.

Chọn đáp án: B

Bài 1.33: Nghiệm của phương trình sin4x – cos4x = 0 là

Lời giải:

Ta có sin4 x – cos4 x = 0 ⇔ (sin2 x + cos2x)( sin2 x- cos2 x) = 0

⇔ sin2 x – cos2x = 0 ⇔ cos2x = 0 ⇔ 2x = π/2 + kπ ⇔ x = π/4 + kπ/2.

Chọn đáp án: C

Bài 1.34: Cho phương trình 4cos22x + 16sinx.cosx – 7 = 0 (1)

Xét các giá trị

Trong các giá trị trên, giá trị nào là nghiệm của phương trình (1) ?

A. Chỉ (I)            B. Chỉ (II)

C. Chỉ (III)            D. Chỉ (II) và (III)

Lời giải:

Ta có (1) ⇔ 4(1 – sin2 2x) + 8sin2x – 7 = 0 ⇔ 4sin2 2x – 8sin2x + 3 = 0

Chọn đáp án: D

Bài 1.35: Nghiệm của phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x là

Lời giải:

Ta có: cosx.cos7x = cos3x.cos5x

⇔ cos8x + cos6x = cos8x + cos2x ⇔ cos6x = cos2x ⇔ 6x = ±2x + k2π.

Vì tập hợp giá trị kπ/4 bao tập các giá trị kπ/2 nên nghiệm của phương trình là kπ/4, k ∈ Z.

Chọn đáp án:

Bài 1.36: Nghiệm của phương trình 3tan2x + 6cotx = -tanx là

Lời giải:

Điều kiện của phương trình:

x ≠ kπ, x ≠ π/2 + kπ, x ≠ π/4 + kπ/2 (k ∈ Z)

Xét các phương án.

– Vì π/4 và π/2 không thỏa mãn điều kiện của phương trình nên hai phương án A và D bị loại.

– Với x = π/6 thì vế phải của phương trình đã cho âm, còn vế trái dương, nên phương án C bị loại.

Chọn đáp án: B

Bài 1.37: Nghiệm của phương trình 2sinx = 3cotx là

Lời giải:

Điều kiện của phương trình: x ≠ kπ (k ∈ Z)

Cách 1. Giải trực tiếp.

Biến đổi phương trình đã cho ta được

Cách 2. Xét các phương án.

– Với x = π/6 thì vế trái của phương trình bằng 1, còn vế phải là 3√3 nên phương án A bị loại.

– Giá trị kπ/2 với k = 2 không thỏa mãn điều kiện của phương trình nên phương án B bị loại.

– Với x = π/4 thì vế trái của phương trình bằng √2, còn vế phải bằng 3, nên phương án C bị loại.

Chọn đáp án: D

Bài 1.38: Cho phương trình √3.cosx + sinx = 2(∗)

Xét các giá trị

Trong các giá trị trên, giá trị nào là nghiệm của phương trình (∗)

A. Chỉ (I)            B. Chỉ (II)

C. Chỉ (III)            D. Chỉ (I) và (III)

Lời giải:

Ta có (*) ⇔ 2(√3/2 cosx+ 1/2 sinx) = 2

⇔ cos(x- π/6) = 1 ⇔ x = π/6 + k2π, k ∈ Z.

Chọn đáp án: C

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm

 

Bài giải này có hữu ích với bạn không?

Bấm vào một ngôi sao để đánh giá!

Action: Post ID: Post Nonce: ☆ ☆ ☆ ☆ ☆ Processing your rating... Đánh giá trung bình {{avgRating}} / 5. Số lượt đánh giá: {{voteCount}} {{successMsg}} {{#errorMsg}} {{.}} {{/errorMsg}} There was an error rating this post!

Đánh giá trung bình 5 / 5. Số lượt đánh giá: 1039

Chưa có ai đánh giá! Hãy là người đầu tiên đánh giá bài này.