Bài 4. Mối Liên Hệ Giữa ứng Suất Và Tốc độ Biến Dạng | VnCFD

Trang chủ » Khác Nhau Giữa ứng Suất Và áp Suất » Bài 4. Mối Liên Hệ Giữa ứng Suất Và Tốc độ Biến Dạng | VnCFD

Có thể bạn quan tâm

Mối liên hệ giữa ứng suất và vận tốc biến dạng đã nói ở bài trước, chúng được thiết lập thông qua định luật Newton trong trường hợp có lực ma sát. Thành phần ứng suất tiếp tuyến gây ra biến dạng góc và được xác định trong bài 1 (xem tại đây) phần này. Theo giả thuyết Newton thì đối với chất lỏng, ứng suất tỉ lệ với vận tốc biến dạng nên tương ứng với công thức (1) sẽ có:

\tau_{xy} = \mu (\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}) =\mu \gamma_z (17a)

Ở đây như đã nói ở bài trước, hệ số tỉ lệ \mu gọi là hệ số nhớt. hệ số này phụ thuộc vào từng loại chất lỏng và trạng thái của chất lỏng (tức nhiệt độ, áp suất) Thành phần ứng suất tiếp tuyến trong 2 mặt phẳng tọa độ còn lại tương ứng là: \tau_{yz} = \mu (\frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y}) =\mu \gamma_x (17b) \tau_{zx} = \mu (\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z}) =\mu \gamma_y (17c)

đối với thành phần ứng suất vuông góc, sẽ có chút phức tạp hơn.

Mở rộng giả thuyết của Newton về tỉ lệ của ứng suất theo vận tốc biến dạng cho thành phần ứng suất vuông góc và biến dạng giãn (nén). Sự kéo giãn phần tử chất lỏng kéo theo sự co (nén) của các mặt bên làm xuất hiện biến dạng khối, hay nói cách khác độ biến dạng theo một trục bất kì sẽ sinh ra ứng suất song song và ứng suất vuông góc với trục.

Để phân tích cụ thể hơn về trường ứng suất và độ biến dạng, người ta thường sử dụng hai phương pháp khác nhau trong thủy động lực học và thuyết động học chất khí , các phương pháp này cho phép thiết lập mối liên hệ giữa thành phần ứng suất vuông góc và tiếp tuyến, từ đó thu được ứng suất bổ sung sẽ bằng: \sigma_x ' = \sigma_x - \sigma = 2 \mu (\varepsilon_x - \frac{1}{3}e) (18) trong đó \varepsilon_x và e tương ứng là độ biến dạng tương đối và độ biến dạng thể tích, được xác định từ các công thức (4) và (6).

Ngoài ra, đối với chất lỏng có nhớt và không nén được, thì giả thuyết thứ hai của Newton có thể được ứng dụng trong thủy động lực học.Theo giả thuyết này thì giá trị ứng suất trung bình sẽ bằng tổng của hai thành phần: thành phần thứ nhất gọi là áp suất, nhưng lấy giá trị âm, và không phụ thuộc vào vận tốc biến dạng thể tích, còn thành phần thứ hai sẽ tỉ lệ với giá trị e . có nghĩa giá trị ứng suất trung bình sẽ bằng:

\sigma = -p + \eta e (19)

hệ số \eta cũng được gọi là hệ số nhớt (nhưng để phân biệt với hệ số nhớt thứ nhất thì \eta được gọi là hệ số nhớt thứ hai). Áp suất mang dấu trừ có nghĩa nó luôn hướng vào phía trong phần tử chất lỏng. Còn giá trị \sigma sẽ được lấy giá trị dương nếu nó hướng ra phía ngoài. Như vậy theo công thức (18) và (19), thành phần ứng suất vuông góc được biểu diễn theo các công thức sau:

\sigma_x = -p + 2\mu \varepsilon_x + (\eta - \frac{2}{3}\mu)e

\sigma_y = -p + 2\mu \varepsilon_y + (\eta - \frac{2}{3}\mu)e (20)

\sigma_z = -p + 2\mu \varepsilon_z + (\eta - \frac{2}{3}\mu)e

Đối với chất lỏng không nén được thì e = 0 từ công thức (19) suy ra \sigma = -p nên công thức (20) trở thành dạng đơn giản hơn như sau:

\sigma_x = -p + 2\mu \varepsilon_x

\sigma_y = -p + 2\mu \varepsilon_y (21)

\sigma_z = -p + 2\mu \varepsilon_z

Trong thuyết động học chất khí, người ta chứng minh được rằng, đối với khí hoàn thiện đơn nguyên tử thì \frac{\eta}{\mu} cùng bậc với bình phương tỉ lệ thể tích các phân khí đã chiếm chỗ trên thể thích cả hệ, có nghĩa rằng tỉ số \frac{\eta}{\mu} này là rất nhỏ, vì thế có thể bỏ qua hệ số nhớt thứ 2 (tức \eta )

Chúng ta chấp nhận khẳng định trên là đúng cho mọi chất khí bất kì. Tuy vậy cũng phải lập luận một cách chặt chẽ rằng đối với chất khí tạo thành từ nhiều nguyên tử thì khẳng định trên không còn chính xác. Đối với khí đặc (khi áp suất rất lớn), dòng chảy lưỡng pha và trong các trường hợp khác thì nếu chấp nhận \eta \approx 0 sẽ không còn đúng. Vì thế đôi khi có thể gọi giá trị \lambda = \eta - \frac{2}{3}\mu là hệ số nhớt thứ hai, hệ số này sẽ luôn luôn khác 0, Tuy nhiên từ điều kiện divW = 0 thì hệ số này sẽ không có mặt trong phương trình chuyển động.

Tiếp theo chúng ta gắn giá trị \eta = 0 , có nghĩa chúng ta sẽ nghiên cứu chất khí (chất lỏng) không có hệ số nhớt thứ hai, khi đó thành phần ứng suất vuông góc được xác định như sau:

\sigma_x = -p + 2\mu \varepsilon_x - \frac{2}{3}\mu e

\sigma_y = -p + 2\mu \varepsilon_y - \frac{2}{3}\mu e (22)

\sigma_z = -p + 2\mu \varepsilon_z -\frac{2}{3}\mu e

Từ công thức (18) thì thành phần ứng suất bổ sung chỉ xuất hiện đối với chất lỏng có nhớt, tức khi đó \mu \neq 0 . Thay các giá trị \varepsilon_x và e vào công thức (18), đồng thời từ công thức (4) và (6) thu được: \sigma_x ' = \frac{2}{3} \mu \frac{\partial u}{\partial x} -\frac{2}{3} \mu (\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z})

\sigma_x ' = \frac{2}{3} \mu \frac{\partial u}{\partial x} -\frac{2}{3} \mu (\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}) (23a)

tương ứng với các trục y và z

\sigma_y ' = \frac{2}{3} \mu \frac{\partial v}{\partial y} -\frac{2}{3} \mu (\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}) (23b)

\sigma_z ' = \frac{2}{3} \mu \frac{\partial w}{\partial z} -\frac{2}{3} \mu (\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z})

đối với chất lỏng không nén được:

\sigma_x ' = \frac{2}{3} \mu \frac{\partial u}{\partial x}

\sigma_y ' = \frac{2}{3} \mu \frac{\partial v}{\partial y} (24)

\sigma_z ' = \frac{2}{3} \mu \frac{\partial w}{\partial z}

Trong chất lỏng không nén được thành phần ứng suất bổ sung được liên hệ với vận tốc biến dạng tuyến tính tương tự như liên hệ giữa ứng suất tiếp tuyến với biến dạng góc. Điều này dễ dàng khẳng định khi so sánh công thức (24) và (17)

Chia sẻ:

  • X
  • Facebook
Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » Khác Nhau Giữa ứng Suất Và áp Suất