Bài 4: Phép đối Xứng Tâm - Tìm đáp án, Giải Bài Tập, để Học Tốt

1. Phép đối xứng tâm

a) Định nghĩa

Ký hiệu: ĐI

- I gọi là tâm đối xứng.

- Nếu ĐI(H) = H’ thì ta gọi H đối xứng với H’ qua tâm I hay H và H’ đối xứng nhau qua tâm I.

- Ta có: ĐI(M) = M’\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'} = - \overrightarrow {IM} \)

b) Biểu diễn ảnh qua phép đối xứng tâm

Ví dụ: Cho tam giác ABC và điểm I. Hãy biểu diễn ảnh A’B’C’ của ABC qua phép đối xứng tâm I.

ĐI(ABC) = A’B’C’.

c) Chú ý

Ta có: ĐI(M) = M’ ⇔ ĐI(M’) = M.

Chứng minh: ĐI(M) = M’

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'} = - \overrightarrow {IM} \Leftrightarrow \overrightarrow {IM} = - \overrightarrow {IM'} \)

\(\Leftrightarrow \) ĐI(M’) = M.

2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

a) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x;y), gọi độ M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O ta có:

ĐO(M) = M’ thì: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = - y\end{array} \right.\)

b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm bất kì

Trong hệ tọa độ Oxy, cho:

\(E(a;b),\,M\left( {{x_0};{y_0}} \right).\)

ĐE(M) = M’(x0’;y0’) có biểu thức tọa độ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x{'_0} = 2a - {x_0}\\y{'_0} = 2a - {y_0}\end{array} \right..\)

3. Tính chất

Tính chất 1:

Nếu ĐI(M) = M’ và ĐI(N) = N’ thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}M'N' = MN\\\overrightarrow {M'N'} = - \overrightarrow {MN} \end{array} \right.\)

Nếu ba điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự thì qua phép đối xứng tâm biến thành M’, N’, P’ tương ứng cũng thẳng hàng theo thứ tự đó.

Tính chất 2:

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

4. Tâm đối xứng của một hình

Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua I biến H thành chính nó.

\( \Rightarrow \) Ta gọi H là hình có tâm đối xứng.

5. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho A(-1;3), \(d:x - 2y + 3 = 0.\) Tìm ảnh của điểm A và d qua phép đối xứng tâm O.

Lời giải:

Ta có: A’ = ĐO(A) suy ra A’(1;-3).

Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm O.

Cách 1:

Lấy \(M\left( {x,y} \right) \in d \Rightarrow \) ĐO(M) = M’ có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - x'\\y = - y'\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow M( - x', - y')\)

\(M \in d \Rightarrow ( - x') - 2( - y') + 3 = 0 \)

\(\Leftrightarrow x' - 2y' - 3 = 0.\)

Vậy phương trình d’ là: \(x - 2y - 3 = 0.\)

Cách 2:

d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm suy ra d’ song song hoặc trùng với d.

Suy ra phương trình d’ có dạng: \(x - 2y + m = 0.\)

Ta có: \(M(3;0) \in d\)

ĐO(M) = M’(x’,y’) với: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - {x_M} = - 3\\y' = - {y_M} = 0\end{array} \right.\)

\(M' \in d' \Rightarrow 3 - 2.0 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 3.\)

Vậy phương trình của d’ là: \(x - 2y - 3 = 0.\)

Ví dụ 2:

Cho đường tròn \((C):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 1.\) Viết phương trình (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O(0;0).

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(-2;1) bán kính R = 1.

Gọi I’, R’ lần lượt là tâm và bán kính (C’) ta có: R’ = R = 1.

I’ = ĐO(I) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I}' = - {x_I} = 2\\{y_I}' = - {y_I} = - 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 1.\)

Ví dụ 3:

Cho \(I\left( {2; - 3} \right)\), \(d:3x + 2y - 1 = 0.\) Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Lời giải:

Lấy \(M\left( {x,y} \right) \in d \Rightarrow \) ĐI(M) = M’ có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 4 - x\\y' = - 6 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 - x'\\y = - 6 - y'\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow M(4 - x', - 6 - y')\)

\(M \in d \Rightarrow 3(4 - x') + 2( - 6 - y') - 1 = 0 \)

\(\Leftrightarrow - 3x' - 2y' - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x' + 2y' + 1 = 0.\)

Vậy phương trình d’ là: \(3x + 2y + 1 = 0.\)