Bài 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 (Trang 10, 11 SGK Toán 9

Hướng dẫn học sinh giải bài tập sách giáo khoa toán lớp 9 tập 1 trang 10, 11. Bài học Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức.

Bài 6. (Trang 10 SGK Toán 9 – Tập 1)

Với giá trị nào của $a$ thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $\displaystyle\sqrt{\frac{a}{3}}$;

b) $\displaystyle\sqrt{-5 a}$;

c) $\displaystyle\sqrt{4-a}$;

d) $\displaystyle\sqrt{3 a+7}$.

Bài giải

a) $\displaystyle\sqrt{\frac{a}{3}}$ có nghĩa $\displaystyle\Leftrightarrow \frac{a}{3} \geq 0 \Leftrightarrow a \geq 0$.

b) $\displaystyle\sqrt{-5 a}$ có nghĩa $\displaystyle\Leftrightarrow-5 a \geq 0 \Leftrightarrow a \leq 0$.

c) $\displaystyle\sqrt{4-a}$ có nghĩa là $\displaystyle\Leftrightarrow 4-a \geq 0 \Leftrightarrow a \leq 4 \cdot $

d) $\displaystyle\sqrt{3 a+7}$ có nghĩa là $\displaystyle\Leftrightarrow 3 a+7 \geq 0 \Leftrightarrow a \geq-\frac{7}{3}$.

Bài 7. (Trang 10 SGK Toán 9 – Tập 1)

Tính

a) $\displaystyle\sqrt{(0,1)^{2}}$;

b) $\displaystyle\sqrt{(-0,3)^{2}}$;

c) $-\sqrt{(-1,3)^{2}}$;

d) $-0,4 \sqrt{(-0,4)^{2}}$;

Bài giải

a) $\displaystyle\sqrt{(0,1)^{2}}=|0,1|=0,1$

b) $\displaystyle\sqrt{(-0,3)^{2}}=|-0,3|=0,3$

c) $-\sqrt{(-1,3)^{2}}=|-1,3|=(-1,3)=-1,3$

d) $-0,4 \sqrt{(-0,4)^{2}}=-0,4|-0,4|=-0,4 .(0,4)=-0,16$

Bài 8. (Trang 10 SGK Toán 9 – Tập 1)

Rút gọn các biểu thức sau đây:

a) $\displaystyle\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}$ b) $\displaystyle\sqrt{(3-\sqrt{11})^{2}}$

c) $2 \sqrt{a^{2}}$ với $a \geqslant 0$;

d) $3 \sqrt{(a-2)^{2}}$ với $a<2$

Bài giải

a) $\displaystyle\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}=|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$

b) $\displaystyle\sqrt{(3-\sqrt{11})^{2}}=|3-\sqrt{11}|=-(3-\sqrt{11})=\sqrt{11}-3$

c) Với $a \geqslant 0$, ta có: $2 \sqrt{a^{2}}=2|a|=2 a$.

d) Với $a<2 \Rightarrow a-2<0$, ta có:

$3 \sqrt{(a-2)^{2}}=3 .|a-2|=3.1-(a-2) \mid=-3(a-2)=6-3 a$

Bài 9. (Trang 11 SGK Toán 9 – Tập 1)

Tìm $\displaystyle x$, biết:

a) $\displaystyle\sqrt{x^{2}}=7$ :

b) $\displaystyle\sqrt{x^{2}}=|-8|$;

c) $\displaystyle\sqrt{4 x^{2}}=6$;

d) $\displaystyle\sqrt{9 x^{2}}=|-12|$.

Bài giải

a) $\displaystyle\sqrt{x^{2}}=7 \Leftrightarrow|x|=7 \Leftrightarrow x=\pm 7$

b) $\displaystyle\sqrt{x^{2}}=|-8| \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}}=8 \Leftrightarrow|x|=8 \Leftrightarrow x=\pm 8$

$\displaystyle\sqrt{4 x^{2}}=6 \Leftrightarrow \sqrt{\left(2 x^{2}\right)}=6 \Leftrightarrow|2 x|=6 \Leftrightarrow 2 .|x|=6$

c)

$\displaystyle\Leftrightarrow|x|=3 \Leftrightarrow x=\pm 3$

$\displaystyle\sqrt{9 x^{2}}=|-12| \Leftrightarrow \sqrt{\left(3 x^{2}\right)}=12 \Leftrightarrow|3 x|=12$

d) $|\Leftrightarrow| x \mid=4 \Leftrightarrow x=\pm 4$

Bài 10. (Trang 11 SGK Toán 9 – Tập 1)

Chứng minh:

a) $(\sqrt{3}-1)^{2}=4-2 \sqrt{3}$

b) $\displaystyle\sqrt{4-2 \sqrt{3}}-\sqrt{3}=-1$

Bài giải

a) $\displaystyle\mathrm{VT}=(\sqrt{3}-1)^{2}=(\sqrt{3})^{2}-2 \sqrt{3} \cdot 1+1=4-2 \sqrt{3}=\mathrm{VP}$

b)

$\displaystyle\sqrt{4-2 \sqrt{3}}-\sqrt{3}=\sqrt{1-2 \sqrt{3}+3}-\sqrt{3}$

$=\sqrt{1^{2}-2 \sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}-\sqrt{3}$

$=\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}}-\sqrt{3}=|1-\sqrt{3}|-\sqrt{3}$

$=-(1-\sqrt{3})-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}=-1$

Bài 11. (Trang 11 SGK Toán 9 – Tập 1)

Tính:

a) $\displaystyle\sqrt{16} \cdot \sqrt{25}+\sqrt{196}: \sqrt{49}$;

b) $36: \sqrt{2.3^{2} \cdot 18}-\sqrt{169}$

c) $\displaystyle\sqrt{\sqrt{81}}$

d) $\displaystyle\sqrt{3^{2}+4^{2}}$.

Bài giải

a) $\displaystyle\sqrt{16} \cdot \sqrt{25}+\sqrt{196}: \sqrt{49}=4.5+14: 7=20+2=22$

b) $36: \sqrt{2.3^{2} \cdot 18}-\sqrt{169}=36: \sqrt{2.3^{2} \cdot 9.2}-\sqrt{169}$

$=36: \sqrt{2^{2} \cdot 3^{4}}-\sqrt{13^{2}}$

$=36:\left(2.3^{2}\right)-13=36: 18-13=2-13=-11$

c) $\displaystyle\sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt{\sqrt{9^{2}}}=\sqrt{9}=\sqrt{3^{2}}=3$

d) $\displaystyle\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=\sqrt{5^{2}}=5$

Bài 12. (Trang 11 SGK Toán 9 – Tập 1)

Tìm $\displaystyle x$ để mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) $\displaystyle\sqrt{2 x+7}$;

b) $\displaystyle\sqrt{-3 x+4}$;

c) $\displaystyle\sqrt{\frac{1}{-1+x}}$

d) $\displaystyle\sqrt{1+x^{2}}$

Bài giải

a) $\displaystyle\sqrt{2 x+7}$ có nghĩa $\displaystyle\Leftrightarrow 2 x+7 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq-\frac{7}{2}$.

b) $\displaystyle\sqrt{-3 x+4}$ có nghĩa $\displaystyle\Leftrightarrow-3 x+4 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \frac{4}{3}$.

c) $\displaystyle\sqrt{\frac{1}{-1+x}}$ có nghĩa $\displaystyle\Leftrightarrow \frac{1}{-1+x} \geq 0 \Leftrightarrow-1+x>0 \Leftrightarrow x>1$.

d) Ta có: $\displaystyle x^{2} \geq 0 \Rightarrow 1+x^{2}>0$.

Suy ra $\displaystyle\sqrt{1+x^{2}}$ luôn có nghĩa với mọi $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

Bài 13. (Trang 11 SGK Toán 9 – Tập 1 )

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2 \sqrt{a^{2}}-5 a$ với $a<0$;

b) $\displaystyle\sqrt{25 a^{2}}+3 a$ với $a \geq 0$;

c) $\displaystyle\sqrt{9 a^{4}}+3 a^{2}$;

d) $5 \sqrt{4 a^{6}}-3 a^{3}$ với $a<0$

Bài giải

a) Với $a<0$, ta có:

$2 \sqrt{a^{2}}-5 a=2|a|-5 a=-2 a-5 a=-7 a$

b) Với $a \geq 0$, ta có :

$\displaystyle\sqrt{25 a^{2}}+3 a=\sqrt{(5 a)^{2}}+3 a=|5 a|+3 a=5 a+3 a=8 a$

c) Ta có:

$\displaystyle\sqrt{9 a^{4}}+3 a^{2}=\sqrt{\left(3 a^{2}\right)^{2}}+3 a^{2}=\left|3 a^{2}\right|+3 a^{2}=3 a^{2}+3 a^{2}=6 a^{2}$

d) Ta có:

$\displaystyle 5 \sqrt{4 a^{6}}-3 a^{3}=5 \sqrt{\left(2 a^{3}\right)^{2}}-3 a^{3}=5\left|2 a^{3}\right|-3 a^{3}$

Với $a<0$, ta có $\displaystyle\left|2 a^{3}\right|=-2 a^{3}$.

Khi đó:

$5. \left|2 a^{3}\right|-3 a^{3}=5 \cdot\left(-2 a^{3}\right)-3 a^{3}=10 a^{3}-3 a^{3}=-13 a^{3}$

Bài 14. (Trang 11 SGK Toán 9 – Tập 1)

Phân tích thành nhân tử

a) $\displaystyle x^{2}-3$;

b) $\displaystyle x^{2}-6$;

c) $\displaystyle x^{2}+2 \sqrt{3} x+3$;

d) $\displaystyle x^{2}-2 \sqrt{5} x+5$.

Bài giải

a) $\displaystyle x^{2}-3=(x)^{2}-(\sqrt{3})^{2}=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$

b) $\displaystyle x^{2}-6=(x)^{2}-(\sqrt{6})^{2}=(x-\sqrt{6})(x+\sqrt{6})$

c) $\displaystyle x^{2}+2 \sqrt{3} x+3=x^{2}+2 \sqrt{3} x+(\sqrt{3})^{2}=(x+\sqrt{3})^{2}$

d) $\displaystyle x^{2}-2 \sqrt{5} x+5=x^{2}-2 \sqrt{5} \cdot x+(\sqrt{5})^{2}=(x-\sqrt{5})^{2}$

Bài 15. (Trang 11 SGK Toán 9 – Tập 1)

Giải các phương trình sau:

a) $\displaystyle x^{2}-5=0$;

b) $\displaystyle x^{2}-2 \sqrt{11} x+11=0$.

Bài giải

a) $\displaystyle x^{2}-5=0 \Leftrightarrow x^{2}=5 \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{5}$.

b) $\displaystyle x^{2}-2 \sqrt{11} x+11=0$

$\displaystyle\Leftrightarrow x^{2}-2 \sqrt{11} \cdot x+(\sqrt{11})^{2}=0$

$\displaystyle\Leftrightarrow(x-\sqrt{11})^{2}=0$

$\displaystyle\Leftrightarrow x-\sqrt{11}=0$

$\displaystyle\Leftrightarrow x=\sqrt{11}$

Bài 16. (Trang 11 SGK Toán 9 – Tập 1 )

Đố: Hãy tìm chỗ sai trong phép chứng minh ” Con muỗi nặng bằng con voi” dưới đây.

Giả sử con muỗi nặng m (gam), còn con voi nặng V (gam). Ta có:

$m^{2}+V^{2}=V^{2}+m^{2} .$

Cộng cả hai vế với $-2 m V$, ta có

$m^{2}-2 m V+V^{2}=V^{2}-2 m V+m^{2}$

hay $m-V=V-m$.

Từ đó ta có $2 m=2 V$, suy ra $m=V$. Vậy con muỗi nặng bằng con voi(!)

Bài giải

Sai lầm ở chỗ tư $(m-V)^{2}=(V-m)^{2}$, khi lấy căn bậc hai mỗi vế ta được kết quả:

$|m-V|=|V-m|$

chứ không thể có kết quả: $m-V=V-m$

Do đó, con muỗi không thể nặng bằng con voi được.