BÀI 7 : Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Của Một Số Hàm Số Phân ...

Có thể bạn quan tâm

BÀI 7

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số phân thức

–o0o–

Hàm nhất biến : $y=\frac{ax+b}{cx+d}$

bài 49 trang 49 nc :

Cho hàm số $y=\frac{x-2}{2x+1}$

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) chứng minh rằng giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị

Giải.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) :

MXĐ : D = R \ { $-\frac{1}{2}$ }

Đạo hàm : y’ = $\frac{5}{(2x+1)^2}$ > 0

Giới hạn :

$\lim_{x \to (-\frac{1}{2})^+} y=-\infty$ ; $\lim_{x \to (-\frac{1}{2})^-} y=+\infty$

Tiện cận đứng : x = $-\frac{1}{2}$

$\lim_{x \to +\infty} y=1/2$ ; $\lim_{x \to -\infty} y=1/2$

Tiện cận ngang : y = 1/2

Bảng biến thiên :

x	-∞	-1/2	+∞
y’	+	0 +
y	1/2 $\nearrow$ -∞	\|\| +∞ $\nearrow$	1/2

kết luận :

hàm số tăng trên D.

hàm số nhận I(-1/2, 1/2) là tâm đối xứng của đồ thị.

Các điểm đặc biệt :

Giao trục hoành : y = 0 => x = 2 => A(2, 0)

Giao trục tung : x = 0 => y = -2 => B(0, -2)

Đồ thị :

b) I(-1/2, 1/2) tâm đối xứng của đồ thị :

chuyển hệ trục Oxy về hệ trục IXY, ta có :

$\begin{cases} x = X - \frac{1}{2} \\ y=Y+\frac{1}{2}\end{cases}$ (*)

Thế (*) vào (C), ta được :

$Y+\frac{1}{2}=\frac{ X - \frac{1}{2}-2}{2(X - \frac{1}{2})+1}$

$Y=\frac{ -5}{4X}$

Xét : f(-X) = $\frac{ -5}{-4X}= -\frac{ -5}{4X}$ = -f(X)

=> hàm số f(X) hàm số lẽ, nên nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

=> hàm số f(x) nhân I làm tâm đối xứng.

HÀM SỐ HỮU TỈ : $y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}$

Cho hàm số $y=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}$

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

3) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận phương trình sau :

$\frac{2x^2+5x+4}{x+2}+m=0$

Giải.

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) :

$y=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}=2x+1+\frac{2}{x+2}$

MXĐ : D = R \ {-2 }

Đạo hàm : y’ = $\frac{2x^2+6x+8}{(x+2)^2}$

Cho y’ = 0 <=> 2x2 + 8x + 6 = 0 <=> x1 = -1 v x2 = -3

Khi x1 = -1 => y1 = 1

Khi x2 = -3 => y2 = -7

Giới hạn :

$\lim_{x \to -\infty}y =-\infty$ ; $\lim_{x \to +\infty}y =+\infty$

$\lim_{x \to (-2)^+} y=+\infty$ ; $\lim_{x \to (-2)^+} y=-\infty$

Tiện cận đứng : x = -2

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x+2}=0$

Tiện cận xiên : y = 2x + 1

Bảng biến thiên :

-∞

-3

-2

-1

+∞

y’

–

-∞

$\nearrow$

-7

$\searrow$

-∞

+∞ $\searrow$

$\nearrow$

+∞

kết luận :

hàm số đồng biến trong khoảng(-∞; -3) và (-1; +∞)
hàm số nghịch biến trong khoảng (-3; -1)\{-2}
hàm số đạt cực đại tại A ( -3; -7)
hàm số đạt cực tiểu tại B(-1; 1)

Các điểm đặc biệt :

Giao trục tung : x = 0 => y = 2 => B(0, 2)

Đồ thị :

2) tâm đối xứng của đồ thị :

giao điểm tiện cận đứng và tiện cận xiên : x = -2 => y = 2.(-2) + 1 = -3 => I(-2; -3).

chuyển hệ trục Oxy về hệ trục IXY, ta có :

$\begin{cases} x = X - 2 \\ y=Y-3\end{cases}$ (*)

Thế (*) vào (C), ta được :

$Y-3=\frac{2(X-2)^2+5(X-2)+4}{(X-2)+2}=$

$Y=\frac{ 2X^2+2}{X}$

Xét : f(-X) = $\frac{ 2(-X)^2+2}{-X} = -\frac{ 2X^2+2}{X}$ = -f(X)

=> hàm số f(X) hàm số lẽ, nên nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

=> hàm số f(x) nhân I làm tâm đối xứng.

3. biện luận nghiệm phương trình : $\frac{2x^2+5x+4}{x+2}+m=0$ (*)

<=> $\frac{2x^2+5x+4}{x+2}=-m$

Đặt :

y = $\frac{2x^2+5x+4}{x+2}$ (C)

y = – m (d)

vị trí tương đối của (C) và (d) :

vị trí tương đối của (C) và (d) :	Giá trị m	Số nghiệm phương trình (*)
Cắt tại hai điểm phân biệt.	-m > 1 <=> m < -1	Hai nghiệm phân biệt.
Tiếp xúc nhau tại một điểm	– m = 1 <=> m = -1	Nghiệm kép.
Không cắt nhau.	-7 < – m < 1 <=> -1 < m < 7	Vô nghiệm.
Tiếp xúc nhau tại một điểm	– m = -7 <=> m = 7	Nghiệm kép.
Cắt tại hai điểm phân biệt.	-7 < -m > 1 <=> m > 7	Hai nghiệm phân biệt.