Bài Giảng 5 - AGU Staff Zone

Kỳ vọng – Phương sai - Độ lệch chuẩn

I. Kỳ vọng:

1. Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc có miền giá trị hữu hạn:

Giả sử X là biến ngẫu nhiên có miền giá trị:

Kỳ vọng của X, ký hiệu là EX, được xác định như sau:

2. Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc có miền giá trị vô hạn đếm được:

Giả sử X là biến ngẫu nhiên có miền giá trị:

 Khi đó nếu chuỗi

 thì ta nói X có kỳ vọng và kỳ vọng của X là:

3. Đối với biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x):

Nếu 

thì X có kỳ vọng và kỳ vọng của X là:

4. Tính chất của kỳ vọng:

 

 5. Ví dụ:

a) Ví dụ 1:

Cho X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

Khi đó kỳ vọng của X là:

Đặt , ta có:

b) Ví dụ 2:

Một túi đựng 20 quân cờ trong đó có đúng một quân cờ được đánh dấu. Người chơi chọn ngẫu nhiên một quân từ trong túi nếu được quân cờ có đánh dấu thì được 30 ngàn đồng. Ngược lại nếu chọn không được quân có đánh dấu thì phải đóng 5 ngàn đồng. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số tiền có được sau mỗi lần chơi. Tính số tiền trung bình người chơi nhận được.

Giải: Ta có:  và bảng phân phối xác suất của X là:

Số tiền trung bình có được:

Nghĩa là người chơi trung bình bị lỗ 3,25 ngàn đồng trong mỗi lần chơi.

Ví dụ 3:

Một hộp hàng có tỉ lệ phế phẩm là p. Từ hộp đó lấy ngẫu nhiên có hoàn lại từng sản phẩm cho đến khi gặp phế phẩm thì dừng. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần lấy.

a) Tìm luật phân phối xác suất của X.

b) Tìm kỳ vọng của X.

Giải:

Ta có:

Biến cố (X=k) có nghĩa là k-1 lần đầu gặp chính phẩm và lần thứ k gặp phế phẩm. Do đó:

Đặt q=1-p, ta có:

b) Kỳ vọng của X là:

Với một số thực x thỏa |x|<1 ta có:

Do đó

Hay

Thay x=q

ta được:

 

 II. Phương sai và độ lệch chuẩn:

1. Định nghĩa:

Cho biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng μ khi đó phương sai của X là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên: (X-μ)², kí hiệu là DX. Như vậy:

DX=E(X-μ)²

Từ định nghĩa và tính chất của kỳ vọng ta có:

DX=EX²-μ²

 2. Tính chất:

       i) DX=0  nếu P(X=c)=1

       ii) D(aX+b)=a²DX

       iii) D(X+Y)=DX+DY  nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập. 

3. Độ lệch chuẩn:

Độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên là căn bậc hai của biến ngẫu nhiên đó, kí hiệu là . Như vậy:

4. Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa:

Cho X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng μ và phương sai σ². Khi đó biến ngẫu nhiên

được gọi là biến ngẫu nhiên chuẩn hóa của X.

Tính chất:

 Ví dụ 4: Xét biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau:

a) Tìm kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.

b) Đặt Y=5X-3. Hãy tìm kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của Y.

Giải:

a) Kỳ vọng của X:

EX=7.0,5+8.0,3+9.0,1+10.0,1=7,8

Phương sai của X:

DX=EX²-(EX)²=7².0,5+8².0,3+9².0,1+10².0,1-7,8²=0,96

Độ lệch chuẩn của X:

b) Kỳ vọng của Y:

EY=5 EX-3=5.7,8-3=36

Phương sai của Y:

DY=5²DX=25.0,96=24

Độ lệch chuẩn của Y: