Bài Giảng Toán 11 - 3.2 DÃY SỐ.html

DÃY SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1). Dãy số: Một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn ( hay gọi tắt là là dãy số). Mỗi giá trị của hàm sốu được gọi là một số hạng của dãy số, được gọi là số hạng thứ nhất ( hay số hạng đầu), được gọi là số hạng thứ hai… Người ta thường kí hiệu các giá trị …tương ứng bởi ,…

2).Người ta thường kí hiệu dãy số bởi và gọi là số hạng tổng quát của dãy số đó. Người ta cũng thường viết dãy số dưới dạng khai triển: Chú ý: Người ta cũng gọi một hàm số u xác định trên tập hợp gồm m số nguyên dương đầu tiên( m tùy ý thuộc N*) là một dãy số. Rõ ràng, dãy số trong trường hợp này chỉ có hữu hạn số hạng ( m số hạng: ). Vì thế, người ta còn gọi nó là dãy số hữu hạn, gọi là số hạng đầu và gọi là số hạng cuối.

3). Các cách cho một dãy số:

Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.

Ví dụ: Cho dãy với

Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi ( hay quy nạp):

Cho số hạng thứ nhất ( hoặc một vài số hạng đầu).

Với , cho một công thức tính nếu biết ( hoặc vài số hạng đứng ngay trước nó).

Ví dụ: Cho dãy số xác định bởi

Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.

Ví dụ: Cho đường tròn bán kính R. Cho dãy với là độ dài cung tròn có số đo là của đường tròn

4). Dãy số tăng: là dãy số tăng

5). Dãy số giảm: là dãy số giảm

6). Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy số đơn điệu . Tính chất tăng, giảm của một dãy số được gọi chung là tính chất đơn điệu của dãy số đó.

7). Dãy số bị chặn trên: được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho .

8). Dãy số bị chặn dưới: được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho .

9). Dãy số bị chặn: được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Nghĩa là tồn tại một số M và một số m sao cho

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1: Thiết lập công thức tính số hạng tổng quát theo n

PHƯƠNG PHÁP:

Nếu có dạng (kí hiệu ) thì biến đổi thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn .

Nếu dãy số được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số ( chẳng hạn tính ), từ đó dự đoán công thức tính theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu dựa vào đó để tìm công thức tính theo n.

VÍ DỤ

Ví dụ 1: Cho dãy số . Đặt . Tính và xác định công thức tính theo n trong các trường hợp sau:

a). b). c). d).

LỜI GIẢI

a). ;

Ta có , do đó: .

b).

;

Ta có . Do đó

]

c).

Ví dụ 2:Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát theo n của các dãy số sau : a). b).

LỜI GIẢI

a).

Ta có:

Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát có dạng:

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức đúng.

Với (đúng). Vậy đúng với

Giả sử đúng với Có nghĩa ta có:

Ta cần chứng minh đúng với Có nghĩa là ta phải chứng minh:

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo ta có:

Vậy đúng khi Kết luận đúng với mọi số nguyên dương n.

b).

Ta có:

Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tổng quát có dạng:

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh cộng thức đúng.

Với có: (đúng). Vậy đúng với

Giả sử đúng với , có nghĩa ta có:

Ta cần chứng minh đúng với Có nghĩa là ta phải chứng minh:

.

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo ta có:

Vậy đúng với Kết luận đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 3:Dãy số được xác định bằng cộng thức:

a). Tìm công thức của số hạng tổng quát.

b). Tính số hạng thứ 100 của dãy số.

LỜI GIẢI

a). Ta có:

Từ đó suy ra:

Cộng từng vế n đẳng thức trên:

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được:

Vậy

b).

VẤN ĐỀ 2:

Tính tăng, giảm của dãy số.

PHƯƠNG PHÁP

Cách 1: Xét dấu của biểu thức

Nếu thì là dãy số tăng;

Nếu thì là dãy số giảm.

Cách 2: Khi thì có thể so sánh với 1

Nếu thì là dãy số tăng;

Nếu thì là dãy số giảm.

Cách 3: Nếu dãy số được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh (hoặc )

Chú ý:

Nếu thì dãy số không giảm.

Nếu thì dãy số không tăng.

Ví dụ 1 : Xét tính tăng giảm của dãy số biết:

a). b). c).

d). e).

LỜI GIẢI

a).

Kết luận dãy số là dãy số giảm.

b).

Ta có

Kết luận dãy số là dãy số tăng.

c).

Ta có , từ đó suy ra dãy số là dãy không tăng không giảm.

d). . Dễ thấy

Xét tỉ số: . Vậy là một dãy số tăng.

e).

Ta có:

Ta có:

Vì:

. Vậy: dãy số giảm.

Ví dụ 2:Xét tính tăng giảm của các dãy số được cho bởi hệ thức truy hồi sau:

a). b).

LỜI GIẢI

a).

Vì ta dự đoán với mọi

Ta có đúng với

Giả sử ta có: Khi đó ta có:

( do )

Suy ra đúng với mọi , suy ra là dãy số tăng.

b).

Từ hệ thức truy hồi đã cho, dễ thấy với mọi

Ta có:

Ta dự đoán với mọi .

Ta có đúng khi Giả sử có

Khi đó

Vì nên

Suy ra đúng với mọi . Vậy là dãy số giảm.

VẤN ĐỀ 3: Dãy số bị chặn.

PHƯƠNG PHÁP

1). Nếu thì:

Thu gọn , dựa vào biểu thức thu gọn để chặn .

Ta cũng có thể chặn tổng bằng một tổng mà ta có thể biết được chặn trên, chặn dưới của nó.

2). Nếu dãy số ( ) ho bởi một hệ thức truy hồi thì:

Dự đoán chặn trên, chặn dưới rồi chứng minh bằng phương pháp chứng minh quy nạp.

Ta cũng có thể xét tính đơn điệu ( nếu có) sau đó giải bất phương trình dựa vào đó chặn ( ).

Ví dụ 1: Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số :

LỜI GIẢI

Ta có:

Vậy: là dãy số tăng.

Ta có , suy ra:

nên bị chặn trên. Vì là dãy số tăng Nên bị chặn dưới. Vậy bị chặn.

Ví dụ 2:Cho dãy số với

a). Viết 5 số hạng đầu của dãy số.

b). Tìm công thức truy hồi.

c). Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới.

LỜI GIẢI

a).Ta có:

b). Xét hiệu:

Vậy công thức truy hồi:

c). Ta có: Từ đó suy ra dãy số là dãy số tăng.

Ta có: Kết luận là dãy số bị chặn dưới.

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1:Cho dãy số xác định bởi: và với mọi

a). Hãy tính và

b). Chứng minh rằng với mọi

LỜI GIẢI

a). Ta có:

b).Ta sẽ chứng minh: với mọi , bằng phương pháp quy nạp

Với ta có: (đúng). Vậy đúng với

Giả sử đúng với . Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh đúng với

Có nghĩa ta phải chứng minh:

Từ hệ thức xác định dãy số : và giả thiết quy nạp ta có:

(đpcm).

Câu 1:Cho dãy số xác định bởi: và với mọi

a) Hãy tính và

b) Chứng minh rằng: với mọi

LỜI GIẢI

a). Ta có:

b). Với , ta có: (đúng).Vậy đúng với

Giả sử đúng với . Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh:

Từ hệ thức xác định dãy số và giả thiết quy nạp ta có:

(đúng).

Câu 3:Cho dãy số với và với mọi

Chứng minh rằng:

LỜI GIẢI

Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Với , ta có: (đúng). Vậy đúng với

Giả sử đúng với . Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh đúng với Có nghĩa ta phải chứng minh:

Từ hệ thức xác định dãy số và từ (2) ta có:

(đpcm).

Câu 4 : Cho dãy số , biết với

a). Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số.

b). Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

LỜI GIẢI

a). Ta có:

b). Ta có: .

Tadự đoán

Với có: (đúng). Vậy (1) đúng với

Giả sử (1)đúng với , có nghĩa ta có:

Ta cần chứng minh (1) đúng với Có nghĩa là ta phải chứng minh:

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo ta có:

Vậy (1) đúng với Kết luận đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 5 : Cho tổng

a). Tính .

b). Dự đoán công thức tính tổng và chứng minh bằng quy nạp.

LỜI GIẢI

Ta có

b). Dự đoán

với ta có . Vậy (1) đúng với .

Giả sử (1) đúng với , có nghĩa ta có .

Ta phải chứng minh (1) đúng với , có nghĩa ta phải chứng minh

Thật vậy ta có:

(đúng).

Dãy số với là dãy số bị chặn.

Thật vậy ta có

Và hiển nhiên

Từ (*) và (**) suy ra Dãy số bị chặn.

Câu 6:Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tính số hạng tổng quát theo n củacác dãy số sau :

a). b). với

LỜI GIẢI

a). Ta có:

Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát có dạng:

Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh công thức

Đã có: đúng với

Giả sử đúng khi Nghĩa là ta có:

Ta chứng minh đúng khi Nghĩa là ta phải chứng minh:

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và giả thiết quy nạp ta có:

Kết luận: đúng khi ,suy ra đúng với mọi số nguyên dương n.

b). Ta có :

Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát có dạng:

Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh công thức

Đã có: đúng với

Giả sử đúng khi Nghĩa là ta có:

Ta chứng minh đúng khi Nghĩa là ta phải chứng minh:

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và giả thiết quy nạp ta có:

Kết luận: đúng khi ,suy ra đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu 7:Cho dãy số xác định bởi: và

a). Hãy tính và

b). Chứng minh rằng: với mọi

LỜI GIẢI

a).Ta có:

b). Ta sẽ chứng minh

Với , ta có: (đúng)

Giả sử đẳng thức đúng với , có nghĩa là ta có:

Ta cần phải chứng minh đẳng thức đúng với có nghĩa là chứng minh:

Ta có: (đúng)

Câu 8:Cho dãy số với

a) Chứng minh rằng: với mọi

b) Dựa vào kết quả câu a) , hãy cho dãy số bởi hệ thức truy hồi.

LỜI GIẢI

a) Ta có:

b) Theo công thức xác định , ta có:

Vì thế kết hợp kết quả câu a) suy ra ta có thể cho dãy số bởi: và với mọi

Câu 9: Cho dãy số xác định bởi . Tìm số hạng tổng quát theo n.

LỜI GIẢI

Ta có

.

Từ đó dự đoán . Chứng minh:

Với ta có (đúng).

Giả công thức (1) đúng với , ta có .

Ta phải chứng minh (1) đúng với . Có nghĩa ta phải chứng minh . Thật vậy .

Kết luận .

Câu 10: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:

1). Dãy số với 2). Dãy số với

3). Dãy số với .4). Dãy số với

5). Dãy số với 6). Dãy số với

7). Dãy số : Với 8). Dãy số với

9). Dãy số với 10). Dãy số với

LỜI GIẢI

1). Dãy số với

Với mỗi , ta có:

( đúng ) do

Vì thế dãy số là một dãy số tăng.

2). Dãy số với

Với mỗi , ta có:

(đúng) (vì )

Kết luận dãy số là một dãy số tăng.

3). Dãy số với .

Với mỗi , ta có:

Vì , và

Kết luận: dãy số là một dãy số giảm.

5). Dãy số với

Dễ thấy . Xét tỉ số:

Ta có:

Thật vậy: ( đúng )

Kết luận: là một dãy số giảm.

6). Dãy số với

Dễ thấy . Xét tỉ số:

Nếu

Nếu

7). Dãy số : Với

Ta có:

Với mọi ta có:

Kết luận là dãy số tăng.

8). Dãy số với

Với mọi , xét hiệu số:

Vậy dãy số là dãy số giảm.

9). Dãy số với

Ta có:

Dễ dàng ta có:

Từ đó suy ra dãy số là dãy số giảm.

10). Dãy số với

Ta có:

Dễ dàng ta có: Vậy dãy số là dãy số giảm.

Câu 11:Chứng minh rằng dãy số , với là một dãy số bị chặn.

LỜI GIẢI

Công thức được viết lại:

Dễ thấy ta có: Do đó từ suy ra

Từ đó suy ra là một dãy số bị chặn.

Câu 12:Chứng minh dãy số , với là một dãy số tăng và bị chặn.

LỜI GIẢI

Công thức được viết lại:

Xét hiệu số:

. Vậy dãy số là dãy số tăng.

Ta có:

Suy ra là một dãy số bị chặn.

Kết luận là một dãy số tăng và bị chặn.

Câu 13:Cho dãy số với

a). Viết công thức truy hồi của dãy số.

b). Chứng minh dãy số bị chặn dưới.

c). Tính tổng n số hạng đầu của dãy số đã cho.

LỜI GIẢI

a).Ta có:

Xét hiệu:

Vậy công thức truy hồi:

b). Ta có:

Vậy dãy số bị chặn dưới, nhưng không bị chặn trên.

c). Ta có:

Câu 14:Cho dãy số xác định bởi:

a). Tìm công thức của số hạng tổng quát.

b). Chứng minh dãy số tăng.

LỜI GIẢI

a)Ta có: Từ đó suy ra:

Cộng từng vế của n đẳng thức trên và rút gọn, ta được:

Vậy :

b) Ta có:

Kết luận dãy số là một dãy số tăng.

Câu 15: Cho dãy số xác định bởi . Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số.

LỜI GIẢI

Đặt

Ta có và hay

Thay vào giả thiết, ta được:

Suy ra: ( Do )

Hay

Đặt . Ta có:

Từ đó

Hay

Theo cách đặt ta có: .

Suy ra:

Do đó

Câu 16: Cho dãy (U­n), (n = 0,1,2,3...) xác định bởi: ;

a). Hãy xác định số hạng tổng quát của .

b). Chứng minh rằng số có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp.

LỜI GIẢI

a). Theo bài ra ta có:

Thay n bởi (n – 1) ta được:

Trừ theo từng vế (1) cho (2) được:

(3)

(do

Phương trình đặc trưng của (3) là

Số hạng tổng quát:

b).Với mỗi số , thì tồn tại số để:

Suy ra

Do vậy:

Câu 17: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a). b).

c). d).

LỜI GIẢI

a). Rõ ràng nên bị chặn dưới.

Lại có: . Suy ra nên bị chặn trên.

Kết luận bị chặn.

b). Rõ ràng nên bị chặn dưới.

Có . Do đó:

với mọi số nguyên dương n, nên bị chặn trên.

Kết luận bị chặn.

c). Rõ ràng nên bị chặn dưới.

Lại có: . Suy ra với mọi số nguyên dương n, nên bị chặn trên.

Kết luận bị chặn.

c). Rõ ràng nên bị chặn dưới.

Lại có: . Suy ra

]

với mọi số nguyên dương n, nên bị chặn trên.

Kết luận bị chặn.

Câu 18: Cho dãy số định bởi

a). Chứng minh .

b). Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới

LỜI GIẢI

a). Ta có , giả sử , khi đó

Vậy

b). Ta có

dãy số tăng bị chặn dưới.

Câu 19: Xét tính đơn điệu của dãy số với

LỜI GIẢI

(do giảm

Câu 20: Cho Chứng minh bị chặn trên.

LỜI GIẢI

Với ta có (do

Do đó:

……………….

bị chặn trên

Câu 21: Cho . Xét dãy xác định bởi . Xét tính đơn điệu của dãy

LỜI GIẢI

Ta có (do )

Giả sử khi đó . Vậy

đơn điệu tăng.

Câu 22: Cho dãy số định bởi: . Định a để dãy số tăng.

LỜI GIẢI

Ta có:

Mà:

Nên: tăng

Câu 23: Cho dãy số định bởi:

a). Chứng minh:

b). Xét tính đơn điệu của dãy số .

LỜI GIẢI

a). Ta có: đúng khi n=1

Giả sử đúng khi n=k , nghĩa là:

Ta cần chứng minh đúng khi , nghĩa là chứng minh:

Ta có:

Theo giả thiết:

đúng khi

Vậy:

b). Ta có:

Từ giả thiết suy ra :

Vậy: tăng.

Câu 24: Xét tính bị chặn của dãy số:

LỜI GIẢI

Ta có: nên bị chặn dưới (1).

Lại có:

Mà:

Suy ra: nên dãy số bị chặn trên (2).

Từ (1) và (2) dãy số bị chặn.