Bài Giảng Toán 11 - 3.4 CẤP SỐ NHÂml

Có thể bạn quan tâm

CẤP SỐ NHÂN

TÓM TẮT GIÁO KHOA

1). Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:

là cấp số nhân

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2). Định lý 1: Nếu là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng ( trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là: .

Hệ quả: Nếu a, b, c là ba số khác 0, thì “ba số a, b, c ( theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi ”.

3). Định lý 2: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội thì số hạng tổng quát của nó được tính bởi công thức: .

4). Định lý 3: Giả sử ( ) là một cấp số nhân có công bội q. Gọi là tổngcuản số hạng đầu tiên của cấp số nhân). Ta có:

Nếu q=1 thì .

Nếu thì

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

Vấn đề 1:Chứng minh một dãy là cấp số nhân.

PHƯƠNG PHÁP

Chứng minh trong đó q là một số không đổi.

Nếu với mọi thì ta lập tỉ số

T là hằng số thì là cấp số nhân có công bội .

T phụ thuộc vào n thì không là cấp số nhân.

Ví dụ 1: Xét trong các dãy số số sau, dãy số nào là cấp số nhân, (nếu có) tìm công bối của cấp số nhân đó:

a). b). c). d).

LỜI GIẢI

a). Ta có (không đổi). Kết luận là cấp số nhân với công bội .

b). Ta có (không đổi). Kết luận là cấp số nhân với công bội .

c). Ta có , , , suy ra và . Do đó không là cấp số nhân.

d). . Do đó có:

(1)

Và (2)

Theo đề bài có (3)

Từ (1), (2) ,(3) suy ra Kết luận là cấp số nhân với công bội .

Ví dụ 2: Cho dãy số được xác định bởi . Chứng minh rằng dãy số xác định bởi là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

LỜI GIẢI

Vì có .

Theo đề (3).

Thay (1) và (2) vào (3) được: (không đổi). Kết luận là cấp số nhân với công bội và số hạng đầu .

DẠNG 2: Xác định số hạng đầu công bội, xác định số hạng thứ k, tính tổng của n số hạng đầu tiên:

PHƯƠNG PHÁP

Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu , giải hệ phương trình này tìm được q và .

Để xác định số hạng thứ k, ta sử dụng công thức: .

Để tính tổng của n số hạng , ta sử dụng công thức: . Nếu thì , do đó .

Ví dụ 1:Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:

a) b) c)

LỜI GIẢI

a).

Lấy

Kết luận có công bội và số hạng đầu tiên .

Kết luận: và

Lấy

Kết luận có công bội và số hạng đầu tiên .

. Lấy

Với . Với

Kết luận hoặc

Ví dụ 2: Cho CSN có các số hạng thỏa:

a). Tìm số hạng đầu và công bội của CSN.

b). Hỏi tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng 3069?

c). Số 12288 là số hạng thứ mấy?

LỜI GIẢI

a). Ta có

Lấy .

b). Có . Kết luận tổng của 10 số hạng đầu tiên bằng 3069.

c).Có

. Kết luận số 12288 là số hạng thứ 13.

Ví dụ 3: Tính các tổng sau:

a).

b).

c).

d).

LỜI GIẢI

a). Ta có dãy số là một cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu và công bội . Do đó .

b). Ta có dãy số là một cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu và công bội . Do đó .

c).

Có dãy số là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu và công bội . Do đó .

Vậy .

d).

DẠNG 3: Dựa vào tính chất của cấp số nhân, chứng minh đẳng thức:

Ví dụ : Cho a, b, c, d là bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh:

d).

e).

LỜI GIẢI

Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên có .

a).Ta có (đpcm).

b).Ta có:

(đpcm).

c). Ta có

(đpcm).

d). Vì a, b, c, d lập thành CSN nên có:

Khai triển:

e). Có: (1).Ta có

(điều phải chứng minh).

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1: Cho cấp số nhân . Tìm và q, biết rằng:

1) 2) 3)

4) 5).

6) 7) 8)

9). 10).

LỜI GIẢI

1).

thay vào (1) được:

Với . Với

2).

Lấy:

Với . Với

3).

Lấy:

Đặt: Điều kiện

(loại).

Với

Nếu

4).

Lấy

Đặt: Điều kiện:

(loại).

Với

với với

5).

Lấy

(vì dễ dàng thấy )

Đặt . Điều kiện:

(loại)

Với

với với

6).

Lấy

7).

8).

9).

Lấy . Đặt:

Với

10).

. Lấy được:

Đặt: . Điều kiện:

(loại)

Với

Câu 2: Tìm a, b biết rằng: 1, a, b là 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng và là 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

LỜI GIẢI

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

Với thay vào (1) được

Kết luận thỏa yêu cầu đề bài.

Tìm số hạng đầu của CSN biết công bội bằng 3, tổng số các số hạng là 728 và số hạng cuối bằng 486.

LỜI GIẢI

Theo đề bài ta có:

1.123: Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21.Nếu thêm 2, 3, 9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân. Tìm 3 số đó.

LỜI GIẢI

Gọi thành lập cấp số cộng.

Theo đề bài: là ba số liên tiếp tạo thành cấp số nhân.

Theo đề bài:

Giải :

Với . Với

2.123: Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó.

LỜI GIẢI

Gọi theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Theo đề: theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.

Ta có:

Lấy

Vì theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng dần nên chọn

Vậy

7.124: Cho x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân và Tìm x, y.

LỜI GIẢI

Ta có:

Thay vào

Kết luận

Cho tổng . Chứng minh rằng

LỜI GIẢI

Ta có

Vậy

Tính tổng

Cho cấp số nhân có số hạng đầu và . Gọi là tổng của n số hạng đầu tiên. Chứng minh:

LỜI GIẢI

(1)

(2)

Kết luận từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Cho ba số dương a, b, c lập thành CSN. Chứng minh:

cũng lập thành CSN.

LỜI GIẢI

Ta có (tính chất CSN)

Ta phải chứng minh:

(đpcm).

Cho CSN và các số nguyên dương .

Chứng minh rằng:

LỜI GIẢI

Có (đpcm).

Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Chứng minh rằng:

LỜI GIẢI

Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân.

· Gọi q là công bội của cấp số nhân ta có

· (1)

· (2)

· Từ (1) và (2) ta suy ra .

Cho a, b, c là CSC thỏa . Chứng minh theo thứ tự đó lập thành CSN.

LỜI GIẢI

Ta có tính chất của CSC. Có . Suy ra

Ta có

Vậy theo thứ tự đó lập thành CSN.

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:

a) b) c)

d) e) f)

LỜI GIẢI

Lấy (2):(1) được: , thay vào (1) được

Lấy

Với thay vào (1) được .

, thay vào (1) được

Với .Với .

, thay vào (2):

Với thay vào (1):

Nếu . Nếu

Với thay vào (1):

Nếu . Nếu

Lấy , quy đồng rút gọn được:

. Đặt , điều kiện

(loại).

Với

Với . Với

a). Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tìm 4 số đó.

b). Giữa các số 243 và 1 hãy đặt thêm 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân.

LỜI GIẢI

a). Có nghĩa ta được cấp số nhân có sáu số hạng với số hạng đầu là 160 và số hạng cuối là 5

Ta có

Vậy 4 số hạng cần thêm vào

b). Có nghĩa ta được cấp số nhân có sáu số hạng với số hạng đầu là 243 và số hạng cuối là 1

Ta có

Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216.

LỜI GIẢI

Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân là với công bội là q. Theo đề bài ta có hệ phương trình:

Thay vào được: hoặc .

Với .

b) Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng số các số hạng là 889.

LỜI GIẢI

Theo đề bài ta có

Thay (2) vào (1) được:

Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đó số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng thứ nhất 35, còn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560.

LỜI GIẢI

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

Thay (1) vào (2) ta được

Với thay vào (1) được , , ,

Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng khi tăng số thứ hai thêm 2 thì các số đó tạo thành một cấp số cộng, còn nếu sau đó tăng số cuối thêm 9 thì chúng lại lập thành một cấp số nhân.

Tìm các số dương a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b lập thành một cấp số cộng và (b + 1)2, ab + 5, (a + 1)2 lập thành một cấp số nhân.

LỜI GIẢI

Theo tính chất của CSC ta có: (1)