Bài Giảng Toán 11 - 4.8 TÍNH LIÊN TỤml

HÀM SỐ LIÊN TỤC

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ THEO CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm:

Định nghĩa: Giả sử hàm số xác định trên khoảng và Hàm số gọi là liên tục tại điểm nếu:

Hàm số không liên tục tại điểm gọi là gián đoạn tại .

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Định nghĩa: Giả sử hàm số xác định trên khoảng .Ta nói rằng hàm số liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

Hàm số gọi là liên tục trên đoạn nếu nó liên tục trên khoảng và

Nhận xét:

a). Nếu hai hàm số f và g liên tục tại điểm thì các hàm số (c là một hằng số) đều liên tục tại điểm .

b).Hàm đa thức và hàm số phân thức hữu tỉ liên tục trên tập xác định của chúng.

3. Tính chất của hàm số liên tục:

Định lí 2 (định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục)

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn .Nếu thì với mỗi số thực M nằm giữa , tồn tại ít nhất một điểm sao cho

Ý nghĩa hình học của định lí

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn và M là một số thực nằm giữa thì đường thẳng cắt đồ thị của hàm số tại ít nhất một điểm có hoành độ .

Hệ quả

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn và thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho

Ý nghĩa hình học củahệ quả

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn và thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ .

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

PHƯƠNG PHÁP 1:

Bước 1: Tính .

Bước 2: Tính . Nếu thì hàm số f(x) liên tục tại .

PHƯƠNG PHÁP 2:

Bước 1: Tìm

Bước 2: Tìm .

Nếu thì hàm số f(x) liên tục tại .

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm

a) b)

LỜI GIẢI

a). Vì không xác định, suy ra hàm số không liên tục tại

b) Ta có:

Do đó hàm số liên tục tại

Ví dụ 2. Cho hàm số:

a). Tính

b). Xét tính liên tục của hàm số tại

LỜI GIẢI

a).Ta có

b). Từ câu a) suy ra Vậy hàm số đã cho liên tục tại

hàm số đã cho không xác định tại , do đó hàm số không liên tục tại .

Ví dụ 3 : Xét tính liên tục tại giá trị của các hàm số sau:

1). tại và tại

2). tại

3) tại và tại

4). tại và tại

5). tại , tại và tại

6). tại

7). tại

LỜI GIẢI

1).

Xét tính liên tục tại :

Có

Có

Ta có hàm số liên tục tại

Xét tính liên tục tại :

Có hàm số f(x) liên tục tại .

2). Có (1)

Có (2)

Từ (1) và (2) suy ra . Vậy hàm số liên tục tại .

3).

Xét tính liên tục tại

Có

Có

Vì hàm số liên tục tại

Xét tính liên tục tại

Có suy ra hàm số f(x) liên tục tại .

4). Xét tính liên tục tại

Ta có

Ta có

Vì hàm số liên tục tại .

Xét tính liên tục tại

Ta có hàm số f(x) liên tục tại .

5). tại , tại và tại

Xét tính liên tục tại

Áp dụng nếu hàm số liên tục tại

Có

Có

Vì hàm số liên tục tại

Xét tính liên tục tại

Có . Vậy hàm số f(x) liên tục tại .

Xét tính liên tục tại

Có hàm số f(x) liên tục tại .

6).Có

Có

Có

Vì hàm số liên tục tại

7). Ta có

Có

Có .

Vì hàm số không liên tục tại

Ví dụ 4. Cho hàm số

Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho liên tục tại điểm ?

LỜI GIẢI

Ta có

Hàm liên tục tại khi và chỉ khi

Vậy hàm số đã cho liên tục tại khi

Ví dụ 5: Cho hàm số . Xác định a để hàm số f(x) liên tục tại .

LỜI GIẢI

Ta có :

.

Hàm số liên tục tại .

Ví dụ 6: Cho các hàm số sau đây . Có thể định nghĩa để hàm số trở thành liêntục tại được không?

a) với b) với

c) với d) với

LỜI GIẢI

a). Ta có

Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi .

Vậy nếu bổ sung thì hàm số trở thành liên tục tại

b). Ta có

Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi

Vậy nếu bổ sung thì hàm số trở nên liên tục tại

c). Ta có

hàm số không có giới hạn tại , do đó hàm không thể liên tục tại .

d). Ta có

Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi

Vậy nếu bổ sung thì hàm số trở nên liên tục tại

DẠNG 2: HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT TẬP HỢP

Ví dụ 1: Chứng minh các hàm số sau liên tục trên R.

a). b).

c). d).

LỜI GIẢI

a). . TXĐ:

ta có . Suy ra hàm số liên tục trên R.

b) . TXĐ:

ta có

. Suy ra hàm số liên tục trên R.

c) . Tập xác định của f(x) là

Nếu thì là hàm số phân thức hữu tỉ, nên liên tục trên các khoảng và (1).

Bây giờ ta xét tính liên tục của f(x) tại

Ta có:

Ta có:

Vì Hàm số liên tục tại (2).

Từ (1) và (2) suy ra hàm số f(x) liên tục trên R.

d) . Tập xác định của f(x) là

Với mọi , ta có . Suy ra hàm số f(x) liên tục trên khoảng (1).

Với mọi , ta có . Suy ra hàm số f(x) liên tục trên khoảng (2).

Ta xét tính liên tục củaf(x) tại

Ta có:

Ta có:

Và có

Vì Hàm số liên tục tại 1 (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra f(x)liên tục trên R.

Ví dụ 2: Cho hàm số

Xác định a, b để hàm số liên tục trên R.

LỜI GIẢI

Ta có tập xác định của hàm số f(x) là .

Ta có: hàm số liên tục trên khoảng (vì là hàm đa thức).

Do đó hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại các điểm và .

Tại :

Ta có và và

Do đó hàm liên tục tại khi và chỉ khi

Tại

Ta có và

Do đó hàm số liên tục tại khi và chỉ khi

Từ và suy ra hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi:

Vậy với thì hàm số liên tục trên R.

Ví dụ 3 : Xét xem các hàm số sau có liên tục với không? Nếu không? Chỉ ra các điểm gián đoạn.

a) b)

c) d)

LỜI GIẢI

a). Hàm số liên tục với vì là hàm đa thức.

b).Hàm số liên tục với , gián đoạn tại các điểm vì không xác định tại và

c). Hàm số

-Với là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục.

-Với . Do đó hàm số liên tục tại

-Hàm số gián đoạn tại vì nó không xác định tại .

d). Với là phân thức hữu tỉ nên liên tục.

Tại

Do đó hàm số liên tục tại

Vậy hàm số liên tục với

Ví dụ 4: Cho hàm số . Tìm các khoảng, nửa khoảng mà trên đó hàm số f(x) liên tục.

LỜI GIẢI

Vì với mọi nên hàm số xác định trên khoảng . Ta có thì nên hàm số f(x) liên tục trên khoảng .

Với mọi thì , do đó hàm số xác định trên nửa khoảng . ta có nên hàm số f(x) liên tục trên nửa khoảng .

Tại , ta có . Và nên hàm số f(x) không liên tục tại .

Kết luận hàm số f(x) liên tục trên và trên .

DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP:

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng .

Bước 2: Tìm hai số a và b sao cho .

Bước 3: Chứng minh hàm số f(x) liên tục trên đoạn .

Từ đó suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc .

Chú ý:

Nếu thì phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc

Nếu hàm số f(x) liên tục trên và có thì phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc .

Nếu hàm số f(x) liên tục trên và có thì phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc .

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình có nghiệm trong khoảng

LỜI GIẢI

Hàm số liên tục trên R.

Ta có nên

Do đó theo tính chất hàm số liên tục, phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

Ví dụ 2 : Chứng minh phương trình có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng .

LỜI GIẢI

Đặt thì f liên tục trên R.

Vì nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng

suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng .

Mà hai khoảng , không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng

Ví dụ 3 : Chứng minh phương trình có đúng năm nghiệm.

LỜI GIẢI

Đặt thì liên tục trên R

Ta có

Vì nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng

Vì nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng

Vì nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng

Vì nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng

Vì nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng

Do các khoảng không giao nhau nên phương trình có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng trên.

Mà phương trình bậc 5 có không quá 5 nghiệm suy ra phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm.

Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu thì phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

LỜI GIẢI

Đặt , vì nên phương trình đã cho trở thành:

với

Đặt thì liên tục trên R.

Ta sẽ chứng minh phương trình luôn có nghiệm .

Cách 1: Ta có

-Nếu thì do đó phương trình có nghiệm

-Nếu thì do đó phương trình có nghiệm do đó phương trình có nghiệm

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

Cách 2:

Ta có

-Nếu từ giả thiết suy ra do đó phương trình có nghiệm

-Nếu thì không thể đồng thời bằng 0 (vìphương trình bậc hai không có quá hai nghiệm).

Khi đó, từ suy ra trong ba số phải có hai giá trị trái dấu nhau ( Ví nếu cả ba giá trị đó cùng âm hoặc cùng dương thì tổng của chúng không thể bằng 0).

Mà hai giá trị nào trong chúng trái dấu thì theo tính chất hàm liên tục ta đều suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

Ví dụ 5: Cho hàm số (với m là tham số). Chứng minh rằng với thì phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt và thỏa điều kiện .

LỜI GIẢI

Ta có , khi thì và .

Mà sao cho .

sao cho .

Do đó ta có . Vì hàm số f(x) xác định và liên tục trên R nên liên tục trên các đoạn nên phương trình có ít nhất ba nghiệm lần lượt thuộc các khoảng . Vì f(x) là hàm bậc ba nên nhiều nhất chỉ có ba nghiệm.

Kết luận với thì phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt thỏa .

Ví dụ 6: Chứng minh rằng phương trình với luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

LỜI GIẢI

Đặt .

Ta có , . Từ đó có (1). Do hàm số xác định và liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn (2).

Từ (1) và (2) có ít nhất một nghiệm thuộc , .

Kết luận phương trình luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị tham số m.

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1: Cho hàm số

Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục trên R?

LỜI GIẢI

Hàm số đã cho liên tục tại mọi x khác 2 và khác 6. Hàm số đã cho liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại và

+ Tại

Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi

+ Tại

Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi

Do đó hàm số đã cho liên tục trên R khi và chỉ khi

Câu 2: Tìm a, b, c để hàm số sau liên tục trên R:

LỜI GIẢI

Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng Do đó hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại các điểm

+ Tại ta có

Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi

+ Tại ta có

Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi

Do đó hàm đã cho liên tục trên R

Câu 3 : Tìm a để các hàm số sau liên tục tại :

1). tại

2).

3). tại

4). tại

LỜI GIẢI

1). tại

Ta có:

Ta có:

Để hàm số liên tục tại thì

2).

Ta có:

Ta có:

Để hàm số liên tục tại thì

3). tại .

Có

Có .

Để hàm số liên tục tại thì .

4). tại .

Ta có:

Ta có: .

Để hàm số liên tục tại thì

Câu 4: Định a và b để các hàm số sau liên tục tại :

1). tại

2). tại

LỜI GIẢI

1). tại

Ta có: (a là hằng số)

Ta có:

Để hàm số liên tục tại thì

2).

Ta có:

Ta có:

Ta có:

Để hàm số liên tục tại thì .

Câu 5 : Khảo sát tính liên tục của các hàm số sau :

a).

b). c).

LỜI GIẢI

a). Tập xác định của f(x) là

Với mọi , ta có . Suy ra hàm số f(x) liên tục trên khoảng (1).

Với mọi , ta có . Suy ra hàm số f(x) liên tục trên khoảng (2).

Xét tính liên tục của hàm số tại .

Ta có . Vậy hàm số f(x) không liên tục tại .

Hàm số không liên tục trên R.

b).

Xét tính liên tục của hàm số tại

Có

Vậy có hàm số liên tục tại (1).

Với mọi ta có hàm số liên tục (2).

Từ (1) và (2) suy ra hàm số liên tục trên .

c).

Tập xác định của f(x) là

Với mọi , ta có . Suy ra hàm số f(x) liên tục trên khoảng (1).

Với mọi , ta có . Suy ra hàm số f(x) liên tục trên khoảng (2).

Xét tính liên tục của hàm số tại .

Ta có . Vậy hàm số f(x) không liên tục tại .

Hàm số không liên tục trên R.