Bài Giảng Toán 11 - 5.3 ĐẠO HÀM CẤP ml

VI PHÂN

TÓM TẮT GIÁO KHOA

Cho hàm số có đạo hàm tại . Gọi là số gia của biến số tại . Ta gọi tích là vi phân của hàm số f(x) tại điểm ứng với số gia . Kí hiệu .

Cho hàm số có đạo hàm tại x. Ta gọi tích là vi phân của hàm số f(x) tại điểm x ứng với số gia (gọi tắt là vi phân của f tại điểm x). Kí hiệu . Nếu chọn hàm số thì ta có . Vì vậy ta thường kí hiệu và .

Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

DẠNG 1: Tìm vi phân của hàm số

PHƯƠNG PHÁP

a). Tính vi phân của hàm số f(x) tại cho trước:

Tính đạo hàm của hàm số tại .

Suy ra vi phân của hàm số tại ứng với số gia là .

b). Tính vi phân của hàm sốf(x).

Tính đạo hàm của hàm số .

Suy ra vo phân của hàm số:

Ví dụ 1: Cho hàm số . Tính vi phân của hàm số tại điểm , ứng với số gia .

LỜI GIẢI

Ta có . Do đó vi phân của hàm số tại điểm , ứng với số gia là: .

Ví dụ 2: Tính vi phân của các hàm số sau:

a). b). c). d).

LỜI GIẢI

a). Ta có

suy ra

DẠNG 2: Tính gần đúng giá trị của hàm số:

Để tính gần đúng giá trị của hàm số f(x) tại điểm cho trước, ta áp dụng công thức .

Ví dụ tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả).

a). b). c). d).

e). .

LỜI GIẢI

a). Ta có . Xét hàm số

chọn và , ta có

b). Ta có .

Xét hàm số .

Chọn và , ta có .

.

c). Ta có .

Xét hàm số

Chọn và , ta có .

d). Ta có .

Xét hàm số .

Chọn và , ta có .

.

e). .

Xét hàm số .

Chọn và , ta có .

.

5.ĐẠO HÀM CẤP CAO

A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.

1. Cho hàm số có đạo hàm . Hàm số còn gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số . Nếu hàm số có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số , kí hiệu là y’’ hay . Đạo hàm của đạo hàm cấp 2 được gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số , kí hiệu là y’’’ hay f’’’ . Tương tự, ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp là đạo hàm cấp n của hàm số , kí hiệu là hay , tức là ta có:

.

2.Đạo hàm cấp 2 của hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s=f(t) tại thời điểm t.

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

DẠNG 1: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số.

1.PHƯƠNG PHÁP

Áp dụng trực tiếp định nghĩa: để tính đạo hàm đến cấp mà đề bài yêu cầu.

Ví dụ: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau:

a). b). c).

d). e). f).

LỜI GIẢI

a). Có

.

b). Ta có

c).

.

d).

e).

f).

DẠNG 2: Tìm đạo hàm cấp n của một hàm số

PHƯƠNG PHÁP

Bước 1: Tính . Dựa vào các đạo hàm vừa tính, dự đoán công thức tính .

Bước 2: Chứng minh công thức vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp.

Chú ý: Cần phân tích kĩ các kết quả của đạo hàm tìm ra quy luật để dự đoán công thức chính xác.

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số

LỜI GIẢI

Bước 1: Ta có:

Dự đoán:

Bước 2: Chứng minh bằng quy nạp:

hiển nhiên đúng.

Giả sử đúng với nghĩa là ta có: ta phải chứng minh cúng đúng với nghĩa là ta phải chứng minh

Thật vậy : vế trái =vế phải đúng, nghĩa là đúng với

Bước 3: theo nguyên lí quy nạp suy ra

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số

LỜI GIẢI

Ta có:

Dự đoán:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp:

hiển nhiên đúng.

Giả sử đúng với , nghĩa là ta có: ta phải chứng minh cúng đúng với , nghĩa là ta phải chứng minh:

Thật vậy: vế trái

Vậy đúng nghĩa là đúng với

Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra

DẠNG 3: Chứng minh đẳng thức:

Bài 11:

a). Cho hàm số . Chứng minh

b). Cho hàm số : chứng minh:

c). Cho hàm số: chứng minh:

d). Cho hàm số: chứng minh:

LỜI GIẢI

a). Cho hàm số . Chứng minh

Ta có

(đpcm).

b). Cho hàm số : chứng minh:

Ta có:

(đpcm).

c). Cho hàm số: chứng minh:

Ta có:

(đpcm).

d). Cho hàm số: chứng minh:

Ta có:

(đpcm).

e) Cho hàm số chứng minh:

Ta có:

(đpcm).

Bài 12:

a).Cho hàm số . Chứng minh

b). Cho hàm số . Chứng minh:

c). Cho hàm số . Chứng minh:

d). Chứng minh nếu

LỜI GIẢI

a).Cho hàm số chứng minh

Ta có:

(đpcm).

b). Cho hàm số . Chứng minh:

Ta có:

(đpcm).

c). Cho hàm số . Chứng minh:

Ta có:

(đpcm).

d). Chứng minh nếu

Ta có:

Quy đồng đặt thừa số chung được:

(đpcm).

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên ta có:

a)Nếu thì

b) Nếu thì

Ví dụ 4: Chứng minh rằng:

a)Nếu thì (a là hằng số).

b) Nếu thì