Bài Giảng Toán 11 - 5.4 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾml

I – Kiến thức cần nhớ

¾ Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có dạng:

Với là hệ số góc tiếp tuyến. Để viết phương trình tiếp tuyến ta cần tìm ba thành phần

¾ Điều kiện cần và đủ để hai đường và tiếp xúc nhau hệ có nghiệm(nhớ: "hàm hàm, đạo đạo")

II – Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến thường gặp

�Viết PTTT của biết có hệ số góc k cho trước

¾ Gọi là tiếp điểm. Tính .

¾ Do phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k

¾ Giải tìm được .

@Lưu ý. hệ số góc của tiếp tuyến thường cho gián tiếp như sau:

¾ Phương trình tiếp tuyến .

¾ Phương trình tiếp tuyến .

¾ Phương trình tiếp tuyến tạo với trục hoành góc .

¾ Phương trình tiếp tuyến tạo với góc

‚Viết PTTT của biết đi qua (kẻ từ) điểm

¾ Gọi là tiếp điểm. tính và theo .

¾ Phương trình tiếp tuyến tại là .

¾ Do

¾ Giải phương trình và phương trình .

ƒViết PTTT của biết cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước

¾ Gọi là tiếp điểm và tính hệ số góc theo .

¾

vuông cân tạo với Ox một góc và

Đề cho

¾ Giải hoặc phương trình tiếp tuyến .

„Tìm những điểm trên đường thẳng mà từ đó vẽ được tiếp tuyến với đồ thị hàm số

¾ Gọi (sao cho có một biến trong M)

¾ PTTT qua M và có hệ số góc k có dạng .

¾ Áp dụng điều kiện tiếp xúc:

¾ Thế k từ vào được:

¾ Số tiếp tuyến của vẽ từ số nghiệm x của .

…Tìm những điểm mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau

¾ PTTT qua M và có hệ số góc k có dạng .

¾ Áp dụng điều kiện tiếp xúc:

¾ Thế k từ vào được:

¾ Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với có hai nghiệm phân biệt .

¾ Hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau .

@Lưu ý.

¾

có hai nghiệm phân biệt .

Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì

¾ Đối với bài toán tìm điểm sao cho tại đó tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng d cho trước, ta chỉ cần gọi và là tiếp tuyến với . Rồi áp dụng nếu cho song song và nếu cho vuông góc .

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Cho đường cong . Viết phương trình tiếp tuyến của trong các trường hợp sau:

a) Tại điểm .

b) Tại điểm thuộc và có hoành độ .

c) Tại giao điểm của với trục hoành .

d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm .

LỜI GIẢI

Ta có

a). Ta có

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm :

b). Ta có

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm là

.

c). Phương trình hoành độ giao điểm của với trục hoành:

Với

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm là

Với

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm là

.

d). Gọi là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến d đi qua điểm A

Vì điểm , và

Phương trình d:

Vì nên:

Với , phương trình tiếp tuyến

Với , phương trình tiếp tuyến

Cho đường cong . a). Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến song song với đường thẳng . b). Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . c). Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng : một góc .

Tập xác định . Ta có

a). Có

Vì tiếp tuyến song song với d nên .

Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có

Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: (loại, vì trùng với d).

Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: .

b).

Vì tiếp tuyến vuông góc với nên,

Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có .

Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là:

Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: .

c).

Ta có tiếp tuyến hợp với d một góc 300, nên có

Cho hàm số

a). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).

b). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc .

LỜI GIẢI

Ta có:

a). Ta có

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4) là

b). Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị, ta có

(vô lý).

Kết luận không có tiếp tuyến nào có hệ số góc bằng 1.

Cho hàm số (C): . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C):

a) Tại điểm có hoành độ .

b) Song song với đường thẳng (d): x + 2y = 0.

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có

a). Với

Vậy phương trình tiếp tuyến tạiđiểm là

.

b). Ta có

Vì tiếp tuyến song song với d nên, . Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị, ta có

So với điều kiện (nhận), (loại)

Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm là: .

Cho hàm số . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

LỜI GIẢI

Ta có

Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy

Ta có

Vậy tại

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm:

Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.(Khối A – 2009) .

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có

Vì tiếp tuyến (d) cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B tạo thành tam giác OAB vuông cân, nên đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 450.

Vậy có

Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có

Với (phương trình vô nghiệm).

Với

Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này . Tiếp tuyến này loại vì đường thẳng này đi qua gốc tọa độ nên không tạo thành được tam giác.

Với , phương trình tiếp tuyến tại điểm này

Cho hàm số , m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ đi qua điểm . (Dự bị A1 - 2008)

LỜI GIẢI

Tập xác định

Với ,

Phương trình tiếp tuyến tại điểm : (d).

Ta có .

Cho hàm số . Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm .(Dự bị D1 - 2008)

LỜI GIẢI

Tập xác định . Có .

Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm :

Gọi A là giao điểm của d và trục hoành , vậy

Gọi B là giao điểm của d và trục tung , vậy .

Ta có tam giác OAB vuông tại O nên

Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng góc .

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có

Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc nên thỏa

Gọi là hoành độ tiếp điểm

Với . Phương trình tiếp tuyến tại điểm (0 ; 4): .

Với

Với , phương trình tiếp tuyến .

Với , phương trình tiếp tuyến .

Cho hàm số . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị ,hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có

Gọi là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có

Từ đó suy ra tại .

Với , phương trình tiếp tuyến cần tìm:

Cho hàm số . Gọi . Tìm điểm sao cho tiếp tuyến của tại vuông góc với đường thẳng .(Dự bị B2 - 2003)

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có

Gọi

Ta có

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng IM nên có

Vậy có 2 điểm thỏa yêu cầu bài toán.

Cho hàm số . Tìm điểm , biết tiếp tuyến của tại cắt hai trục tọa độ tại và tam giác có diện tích bằng .(Khối D - 2007)

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có

Gọi

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:

Gọi là giao điểm của d và trục Ox, có . Vậy

Gọi B là giao điểm của d và trục Oy, có . Vậy

Ta có tam giác OAB cân tại O, theo giả thiết ta có:

Với phương trình vô nghiệm.

Với

Với ta có . Với ta có

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là ,

(*) Cho hàm số . Qua điểm có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị . Viết phương trình các tiếp tuyến ấy .

LỜI GIẢI

Cho hai hàm số và . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tìm góc giữa hai tiếp tuyến trên.

LỜI GIẢI

Cho hàm số: .

a) Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm ;

b) Vết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của với trục hoành;

c) Viết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của với trục tung ;

d) Viết phương trình tiếp tuyến của bết tiếp tuyến song song với đường thẳng ;

e) Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng .

LỜI GIẢI

Tìm các điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng .

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có

Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C), sao cho d vuông góc với đường thẳng .

Phương trình tiếp tuyến d là: .

(d) vuông góc với ( ) khi và chỉ khi

Kết luận có hai tọa độ điểm M cần tìm là và .

Cho đồ thị .Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của với Ox song song với đường thẳng d: .

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có .

Tọa độ giao điểm của và trục Ox là . Phương trình tiếp tuyến của tại điểm A là: .

Để song song với d: khi và chỉ khi: .

Kết luận thỏa yêu cầu.

Cho hàm số (C): y = . Viết phương trình tiếp tuyến đi qua của đồ thị (C).

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có

Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) cần tìm với đồ thị hàm số (C) nên và . Phương trình tiếp tuyến (d):

Ta có .

Kết luận có hai tiếp tuyến cần tìm là và .

Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số (m là tham số).

Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng . Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có

Điểm thuộc có hoành độ là

Phương trình tiếp tuyến của tại M là:

Để song song với d: khi và chỉ khi: .

Kết luận .

Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của (1), biết tiếp tuyến đi qua điểm .

LỜI GIẢI

Tập xác định . Có .

Gọi là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) cần tìm với đồ thị hàm số (1) nên và . Phương trình tiếp tuyến (d):

Ta có

Kết luận có hai tiếp tuyến cần tìm là và .

Cho đồ thị (C): . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với Ox.

LỜI GIẢI

Tập xác định . Ta có

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: (loại). Với

Phương trình tiếp tuyến tại của (C): .

Phương trình tiếp tuyến tại của (C): .

Tìm sao cho tiếp tuyến của tại song song với nhau và vuông tại O ?

LỜI GIẢI

●Gọi . Ta có: .

●Tiếp tuyến tại A và B lần lượt có hệ số góc: .

●Do tiếp tuyến tại A và B song song nhau nên

●Do ba điểm tạo thành tam giác vuông tại O nên

.

●Vậy hoặc là các điểm cần tìm.

Tìm những điểm sao cho tiếp tuyến với tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng ?

LỜI GIẢI

●Gọi và tiếp tuyến tại điểm M có phương trình

●Gọi .

●Khi đó tọa độ trọng tâm của là .

●Do

nên hoặc .

Tìm biết rằng tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cắt đồ thị tại B (khác điểm A) thỏa: ?

LỜI GIẢI

●Gọi và phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng .

●Ta có có hoành độ nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:

●Theo giả thiết, ta có:

.

Cho hàm số .Tìm điểm M thuộc (C), sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm thứ hai là N và .

LỜI GIẢI

Gọi . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là . Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C): , để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt , khi đó .

Có . Đặt

Vậy có hai điểm N cần tìm

Chứng minh rằng với mọi m thì đường thẳng luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi là hệ số góc của các tiếp tuyến với tại A và B. Tìm m để tổng đạt giá trị lớn nhất ?

LỜI GIẢI

●Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và

●Ta có: : luôn đúng .

●Gọi với là hai nghiệm của .

●Ta có:

●Dấu xảy ra thì .

Cho hàm số

Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) tại các điểm A, B, C bằng 28.

LỜI GIẢI

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số (1):

. Đặt

Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và khác2 (3).

Gọi với là hai nghiệm của (2). Hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm A, B, C với đồ thị hàm số (1) lần lượt là:

. Theo đề bài

Kết hợp với điều kiện (3) được m = 2.

Cho hàm số . Định m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị (1) tại ba điểm A, B, C lớn nhất.

LỜI GIẢI

Ta có:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với trục hoành:

Đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt và khác 1 . Gọi với là hai nghiệm của phương trình theo định lý Vi ét có và .

Ta có

Vậy khi .

Kết luận với thỏa yêu cầu bài toán.

Cho hàm số

Tìm tham số m để đường thẳng cắt đồ thị (C) của hàm số(1) tại ba điểm phân biệt sao cho tích các hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị tại B và C đạt giá trị nhỏ nhất ?

LỜI GIẢI

●Phương trình hoành độ giao điểm:

●Để d cắt tại ba điểm phân biệt có ba nghiệm phân biệt

●Ta có: và gọi với là hai nghiệm của . Theo Viét: .

●Ta có:

khi (thỏa ).

Cho hàm số

b). Tìm các điểm M thuộc đường thẳng , biết rằng tiếp tuyến của đồ thị (C) đai qua điểm M vuông góc với đường thẳng .

LỜI GIẢI

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng nên , gọi tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến là , từ đó ta có

Với khi đó phương trình tiếp tuyến . Suy ra M là giao điểm của d và tọa độ điểm M là nghiệm của hệ .

Với khi đó phương trình tiếp tuyến . Suy ra M là giao điểm của d và tọa độ điểm M là nghiệm của hệ .

Kết luận tọa độ điểm M cần tìm là hoặc .

Cho hàm số (m là tham số).

Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị của hàm số đã cho vuông góc với đường thẳng .

LỜI GIẢI

Có

Gọi , suy ra hệ số góc tiếp tuyếncủa tại M là , dấu xảy ra suy ra hệ số góc của tiếp tuyến nhỏ nhất là tại điểm .

Để tiếp tuyến vuông góc với d .

Kết luận với m = 4 thỏa yêu cầu đề bài.

Gọi là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành. Gọi là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ . Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đạt giá trị nhỏ nhất ?

LỜI GIẢI

●Ta có: . Hoành độ giao điểm với trục hoành: .

●Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là .

●Hệ số góc tiếp tuyếnTại điểm có hoành độ là .

●Ta có:

. Dấu xảy ra

. Vậy khi .

Viết phương trình tiếp tuyến d của biết rằng tiếp tuyến cắt trục lần lượt tại sao cho ?

LỜI GIẢI

@Phân tích và tìm hướng giải

TT cắt trục tại vuông tại

O và tạo với trục Ox một góc với .

Ta có: .

Bài giải

●Gọi là tiếp điểm . Phương trình tiếp tuyến có dạng

●Ta có: .

●Hệ số góc tiếp tuyến được tính .

●Với : phương trình vô nghiệm.

●Với

hoặc là các tiếp tuyến cần tìm.

Lập phương trình tiếp tuyến của biết nó song song với đường thẳng ?

LỜI GIẢI

●Ta có: . Gọi là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến có dạng: . Do tiếp tuyến

.

●Với (loại do ).

●Với hay .

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ?Đại học khối D năm 2010

LỜI GIẢI

●Ta có: . Gọi là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến có dạng: . Do

.

●Phương trình tiếp tuyến là hay .

Gọi có tung độ bằng . Tiếp tuyến của tại M cắt các trục tọa độ lần lượt tại A và B. Tính ?

Cao đẳng khối A, A1, B, D năm 2013

LỜI GIẢI

@Phân tích và tìm hướng giải

Viết PTTT tại M khi biết . Tìm tọa độ và tính ?

Bài giải

●Ta có: và .

●Phương trình tiếp tuyến tại là .

●Ta có: thỏa .

●Ta lại có: thỏa .

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O ?Đại học khối A năm 2009

@Phân tích và tìm hướng giải

Tiếp tuyến mà vuông cân tại O song song với phương trình đường thẳng phân

giác góc phần tư thứ I và thứ II

.

LỜI GIẢI

●Ta có: . Gọi là tiếp điểm và tiếp tuyến là .

●Theo đề

.

(loại do )

●Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: .

Cho hàm số có đồ thị .Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số sao cho cắt trục hoành tại A mà ?

@Phân tích và tìm hướng giải

Gọi là tiếp điểm

tọa độ điểm A theo giải .

LỜI GIẢI

Ta có: . Gọi là tiếp điểm.

●Phương trình tiếp tuyến tại M là

●Ta có:

.

●Theo đề

●Thế vào các tiếp tuyến cần tìm là: .

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng một góc sao cho và tiếp điểm có hoành độ nguyên ?

@Phân tích và tìm hướng giải

Gọi là tiếp điểm thì và có . Khi đó ta có hai hướng xử lý: một là áp dụng công thức hai là sử dụng với và là véctơ pháp tuyến của và tiếp tuyến d.

LỜI GIẢI

●Gọi là tiếp điểm và .

●Phương trình tiếp tuyến có dạng và có véctơ pháp tuyến . Ta có: .

●Theo đề:

.

●Với .

●Với (loại do ).

●Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: hoặc .

Viết phương trình tiếp tuyến với biết tiếp tuyến cách đều hai điểm và ?

@Phân tích và tìm hướng giải

Gọi là tiếp điểm . Do cách đều hai điểm A và B nên có các trường hợp sau đây xảy ra: tiếp tuyến qua trung điểm I của AB hoặc song song với ABhoặc trùng với AB . giải hai trường hợp .

LỜI GIẢI

●Gọi tiếp tuyến

●Do tiếp tuyến cách đều hai điểm và nên có các trường hợp:

Trường hợp 1.Gọi I là trung điểm của AB

.

Trường hợp 2. hoặc .

Phương trình đường thẳng

. Thế vào được hoặc .

●Vậy hoặc hoặc .

Xác định m để đồ thị có tiếp tuyến song song và cách đường thẳng một khoảng cách bằng ?

@Phân tích và tìm hướng giải

là tiếp điểm . Do sẽ thu được một phương trình với hai ẩn và sẽ thu thêm được một phương trình nữa. Giải hệ này tìm được .

LỜI GIẢI

●Gọi và tiếp tuyến có (do tiếp tuyến // )

●Vì

.

●Vậy là các giá trị cần tìm.

Tìm tất cả các giá trị của tham số sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng ?

LỜI GIẢI

●Ta có: .

●Mà là hệ số góc tiếp tuyến tại điểm M và có phương trình

● thỏa

thỏa .

với .

●Theo đề:

.

Tìm m để tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ đi qua điểm ?

LỜI GIẢI

Ta có: .

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có dạng:

và nên .

Viết phương trình tiếp tuyến của biết rằng tiếp điểm của tiếp tuyến đó với cách điểm một khoảng ?

LỜI GIẢI

Gọi là tiếp điểm. Theo đề thì hay

. Với tiếp tuyến là và với .

Viết phương trình tiếp tuyến của tại biết rằng tiếp tuyến đó cắt các trục tọa độ tại A và B sao cho M là trung điểm của AB ?

LỜI GIẢI

Gọi là tiếp điểm. phương trình tiếp tuyến tại M có

dạng . Khi đó: và .

Để M là trung điểm của đoạn AB thì

. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: .

Tìm m để đồ thị hàm số có tiếp tuyến tạo với đường thẳng góc biết ?

LỜI GIẢI

Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến tiếp tuyến có vtpt .

Đường thẳng có vtpt .

Theo đề .

YCBT ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:

.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết rằng tiếp tuyến này cắt trục lần lượt tại thỏa: ?

LỜI GIẢI

Giả sử tiếp tuyến d của tại cắt Ox tại A, cắt Oy tại B

sao cho . Do vuông tại O nên hệ số góc của d bằng hoặc . Mà hệ số góc của d là:

hoặc .

Khi đó có hai tiếp tuyến là: hoặc .

Tìm các điểm M trên đường thẳng biết rằng tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng ?

LỜI GIẢI

●Hàm số được viết lại: .

●Vì tiếp tuyến nên .

●Gọi là tiếp điểm .

●Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: .

Hay hoặc là hai tiếp tuyến tại M.

●Khi đó, tọa độ điểm M là giao điểm của đường thẳng d và tiếp tuyến

thỏa .

thỏa .

●Vậy có hai điểm M là hoặc thỏa yêu cầu bài toán.

Tìm các điểm sao cho tiếp tuyến của tại song song với nhau và ?

LỜI GIẢI

Gọi .

Do tiếp tuyến tại A và B song song nhau nên hay

(nhận) hoặc (loại).

Theo đề .

Vậy hoặc thì thỏa yêu cầu bài toán.

Tìm để tiếp tuyến của tại điểm M cắt đồ thị tại điểm thức hai là N thỏa mãn ?

LỜI GIẢI

Gọi . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M:

hay

Phương trình hoành độ giao điểm:

.

Theo đề: .

Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán: .

Tìm các điểm trên sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng ?

LỜI GIẢI

Gọi và phương trình tiếp tuyến tại M:

và

. Do

Giải phương trình này, sẽ tìm được cần tìm.

Tìm tọa độ điểm sao cho khoảng cách từ điểm tới tiếp tuyến của tại M là lớn nhất ?

LỜI GIẢI

Gọi . Khi đó tiếp tuyến tại M dạng

. Khi đó khoảng cách từ đến tiếp tuyến là:

Hay và khi và chỉ khi

.

Vậy: hoặc là hai điểm cần tìm