Bài Giảng Toán 12 - DS_C1_DIEM DAC ml

CHỦ ĐỀ 8. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

I. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong có phương trình , trong đó là hàm đa thức theo biến với là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Hãy tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi thay đổi?

v Phương pháp giải:

o Bước 1:Đưa phương trình về dạng phương trình theo ẩn có dạng sau:

hoặc .

o Bước 2: Cho các hệ số bằng , ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:

hoặc .

o Bước 3: Kết luận

ü Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong không có điểm cố định.

ü Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của .

II. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:

Cho đường cong có phương trình (hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có tọa độ nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên.

v Phương pháp giải:

o Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.

o Bước 2: Lí luận để giải bài toán.

III. Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong có phương trình . Tìm những điểm đối xứng nhau qua một điểm, qua đường thẳng.

Bài toán 1: Cho đồ thị trên đồ thị tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua điểm .

v Phương pháp giải:

ü Gọi là hai điểm trên đối xứng nhau qua điểm .

ü Ta có .

Giải hệ phương trình tìm được từ đó tìm được toạ độ M, N.

Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị . Trên đồ thị tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

v Phương pháp giải:

ü Gọi là hai điểm trên đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

ü Ta có .

ü Giải hệ phương trình tìm được từ đó tìm được toạ độ .

Bài toán 3: Cho đồ thị trên đồ thị tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng .

v Phương pháp giải:

ü Gọi là hai điểm trên đối xứng nhau qua đường thẳng .

ü Ta có: (với là trung điểm của và là vectơ chỉ phương của đường thẳng ).

ü Giải hệ phương trình tìm được M, N.

IV. Bài toán tìm điểm đặc biệt khác:

1. Lí thuyết:

Loại 1. Cho hai điểm .

Cho điểm và đường thẳng , thì khoảng cách từ đến là .

Loại 2. Khoảng cách từ đến tiệm cận đứng là .

Loại 3. Khoảng cách từ đến tiệm cận ngang là .

Chú ý: Những điểm cần tìm thường là hai điểm cực đại, cực tiểu hoặc là giao của một đường thẳng với một đường cong nào đó. Vì vậy trước khi áp dụng công thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tại rồi tìm tọa độ của chúng.

2. Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho hàm số có đồ thị . Hãy tìm trên hai điểm và thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách ngắn nhất.

v Phương pháp giải:

ü có tiệm cận đứng do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số là hai số dương.

ü Nếu thuộc nhánh trái thì ; .

ü Nếu thuộc nhánh phải thì ; .

ü Sau đó tính .

ü Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta sẽ tìm ra kết quả.

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số có phương trình . Tìm tọa độ điểm thuộc để tổng khoảng cách từ đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.

v Phương pháp giải:

ü Gọi và tổng khoảng cách từ đến hai trục tọa độ là thì .

ü Xét các khoảng cách từ đến hai trục tọa độ khi nằm ở các vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung.

ü Sau đó xét tổng quát, những điểm có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến.

ü Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạo hàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của .

Bài toán 3: Cho đồ thị có phương trình . Tìm điểm trên sao cho khoảng cách từ đến Ox bằng lần khoảng cách từ đến trục .

v Phương pháp giải:

ü Theo đầu bài ta có .

Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số có phương trình . Tìm tọa độ điểm trên sao cho độ dài ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận).

v Phương pháp giải:

ü Tiệm cận đứng ; tiệm cận ngang .

ü Ta tìm được tọa độ giao điểm của hai tiệm cận.

ü Gọi là điểm cần tìm. Khi đó:

ü Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số để thu được kết quả.

Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số có phương trình và đường thẳng . Tìm điểm trên sao cho khoảng cách từ đến là ngắn nhất.

v Phương pháp giải

ü Gọi thuộc .

ü Khoảng cách từ đến là

ü Khảo sát hàm số để tìm ra điểm thỏa mãn yêu cầu.

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Đồ thị của hàm số ( là tham số) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là

A. .B. .C. .D. .

Câu 2. Đồ thị của hàm số ( là tham số) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là

A. .B. .C. .D. .

Câu 3. Đồ thị của hàm số ( là tham số) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là

A. .B. .C. .D. .

Câu 4. Biết đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định khi thay đổi, khi đó tọa độ của điểm là

A. .B. .C. .D. .

Câu 5. Biết đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định khi thay đổi. Tọa độ điểm khi đó là

A. .B. .C. .D. .

Câu 6. Hỏi khi thay đổi đồ thị của hàm số đi qua bao nhiêu điểm cố định ?

A. .B. .C. .D. .

Câu 7. Tọa độ điểm thuộc đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đến tiệm cận đứng bằng 1 là

A. .B. .

C. .D. .

Câu 8. Hỏi khi thay đổi đồ thị của hàm số đi qua bao nhiêu điểm cố định ?

A. .B. .C. .D. .

Câu 9. Tọa độ các điểm thuộc đồ thị của hàm số mà có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận của bằng 4 là

A. .B. .

C. .D. .

Câu 10. Biết đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua một điểm cố định khi thay đổi, khi đó bằng

A. .B. .C. .D. .

Câu 11. Cho hàm số có đồ thị và là điểm cố định có hoành độ âm của . Giá trị của để tiếp tuyến tại của vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất là

A. .B. .C. .D. .

Câu 12. Trên đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

A. .B. .C. .D. .

Câu 13. Trên đồ thị của hàm số có bao nhiêu cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ ?

A. 2.B. 1.C. 0.D. 3.

Câu 14. Trên đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm có tọa độ là các số nguyên dương ?

A. .B. .C. .D. .

Câu 15. Trên đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

A. .B. .C. .D. .

Câu 16. Gọi là hoành độ các điểm uốn của đồ thị hàm số , thì có giá trị bằng

A. .B.0.C. .D. .

Câu 17. Trên đồ thị của hàm số số điểm có tọa độ nguyên là

A. .B. .C. .D. .

Câu 18. Trên đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

A. .B. .C. .D. .

Câu 19. Trên đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

A. .B. .C. .D. .

Câu 20. Trên đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

A. .B. .C. .D. .

Câu 21. Trên đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

A. .B. .C. .D. 0.

Câu 22. Tọa độ điểm có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số sao cho tổng khoảng cách từ đến 2 tiệm cận của đồ thị hàm sốđạt giá trị nhỏ nhất là

A. .B. .C. .D. .

Câu 23. Số cặp điểm thuộc đồ thị của hàm số đối xứng với nhau qua điểm là

A. 2.B. 1.C. 3.D. 4.

Câu 24. Trong tất cả các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị của hàm số ,số điểm có hoành độ lớn hơn tung độ là

A. .B. .C. .D. .

Câu 25. Cho hàm số có đồ thị . Gọi là giao điểm hai đường tiệm cận của . Biết tọa độ điểm có hoành độ dương thuộc đồ thị sao cho ngắn nhất. Khi đó giá trị bằng

A. .B. .

C. .D. .

Câu 26. Cặp điểm thuộc đồ thị của hàm số đối xứng nhau qua điểm là

A. và .B. và .

C. và .D. và .

Câu 27. Cặp điểm thuộc đồ thị của hàm số đối xứng nhau qua gốc tọa độ là

A. và .B. và .

C. và .D. và .

Câu 28. Cặp điểm thuộc đồ thị của hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng là

A. và .B. và .

C. và .D. và .

Câu 29. Tọa độ điểm thuộc đồ thị của hàm số mà có khoảng cách đến tiệm cận ngang của bằng 1 là

A. .B. .

C. .D. .

Câu 30. Các giá trị thực của tham số để đồ thị của hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ là

A. .B. .C. .D. .

Câu 31. Cho hàm số có đồ thị . Gọi là khoảng cách từ một điểm trên đến giao điểm của hai tiệm cận. Giá trị nhỏ nhất có thể có của là

A. .B. .C. .D. .

Câu 32. Cho hàm số có đồ thị và là giao điểm của hai đường tiệm cận của . Tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ của cắt hai tiệm cận của tại và . Diện tích của tam giác bằng

A. 4.B. 5.C. 6.D. 7.

Câu 33. Cho điểm thuộc đồ thị của hàm số , biết có hoàng độ và khoảng cách từ đến trục bằng ba lần khoảng cách từ đến trục . Giá trị có thể có của là

A. hoặc .B. hoặc .

C. hoặc .D. hoặc .

Câu 34. Cho hàm số có đồ thị . Gọi là một điểm thuộc đồ thị và là tổng khoảng cách từ đến hai tiệm cận của . Giá trị nhỏ nhất của có thể đạt được là

A. 6.B. 10.C. 2.D. 5

Câu 35. Cặp điểm thuộc đồ thị của hàm số mà chúng đối xứng nhau qua trục tung là

A. và .B. và .

C. và .D. và .

Câu 36. Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị của hàm số cách đềuhai trục tọa độ ?

A. 2.B.Có vô số điểm thỏa yêu cầu.

C. 1.D. Không có điểm Mthỏa yêu cầu.

Câu 37. Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị của hàm số có tọa độ nguyên ?

A. .B. .C. .D. .

Câu 38. Biết đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm cố định và khi thay đổi, khi đó giá trị của bằng

A. .B. .C. .D. .

Câu 39. Tọa độ điểm thuộc đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đến tiếp tuyến của tại là lớn nhất.là

A. .

B. .

C. .

D.

Câu 40. Tập hợp tất cả các giá trị thực của để trên đồ thị của hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ là

A. .B. .

C. .D. .

Câu 41. Cho hàm số có đồ thị . Biết rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ của luôn cắt hai tiệm cận của tại và . Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng là

A. .B. .C. .D. .

Câu 42. Tọa độ điểm thuộc đồ thị của hàm số sao cho cách đều hai điểm và là

A. .B. .

C. .D. Không tồn tại điểm .

Câu 43. Khoảng cách ngắn nhất từ điểm thuộc đồ thị của hàm số đến là

A. .B. .C. .D. .

Câu 44. Cho hàm số có đồ thị . Tổng khoảng cách từ một điểm thuộc đến hai tiệm cận của đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

A. .B. .C. .D. .

Câu 45. Gọi là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thị của hàm số , độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng là

A. .B. .C. .D. .

Câu 46. Biết đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm và cố định khi thay đổi. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là

A. .B. .C. .D. .

Câu 47. Cho hàm số có đồ thị . Tổng khoảng cách từ một điểm thuộc đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

A. .B. .C. .D. .

Câu 48. Cho hàm số có đồ thị . Tổng khoảng cách từ một điểm thuộc đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

A. .B. .C. .D. .

Câu 49. Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị của hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng là

A. và .B. và .

C. và .D. và .

Câu 50. Cho hàm số có đồ thị . Tọa độ các điểm cố định của là

A. .B. .C. .D. .

Câu 51. Cho hàm số có đồ thị . Hỏi trên có bao nhiêu điểm có hoành độ và tung độ là các số tự nhiên.

A. .B. .C. .D. .

Câu 52. Cho hàm số có đồ thị . Gọi là điểm cố định có hoành độ dương của . Khi tiếp tuyến tại của song song với đường thẳng thì giá trị của là

A. .B. .C. .D. .

Câu 53. Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc đồ thị của hàm số đến đường thẳng bằng

A. 2.B. .C. .D. .

Câu 54. Cho hàm số có đồ thị . Tổng khoảng cách từ một điểm thuộc đến hai tiệm cận của đạt giá trị nhỏ nhất bằng

A. 3.B. 4.C. .D. .

Câu 55. Tọa độ điểm thuộc đồ thị của hàm số cách đều hai đường tiệm cận của là

A. .B. .

C. .D. .

Câu 56. Tọa độ điểm thuộc đồ thị của hàm số cách đều hai trục tọa độ là

A. .B. .

C. .D. .

Câu 57. Tọa độ điểm có hoành độ nguyên thuộc đồ thị của hàm số có khoảng cách đến đường thẳng bằng là

A. .B. .

C. .D. .

Câu 58. Cho hàm số có đồ thị . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. không đi qua điểm cố định nào.

B. có đúng hai điểm cố định.

C. có đúng ba điểm cố định.

D. có đúng một điểm cố định.

Câu 59. Điều kiện của tham số để trên đồ thị của hàm số có ít nhất hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua trục là

A. .B. .C. .D. .

Câu 60. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách đều trục tung khi và chỉ khi:

A. .B. .C. .D. .

Câu 61. Hỏi trên đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm cách đều hai trục tọa độ?

A. 3.B. 2.C. 4.D. 0.

Câu 62. Tọa độ các điểm thuộc đồ thị của hàm số cách đều hai tiệm cận của .

A. .B. .

C. .D. .

Câu 63. Tọa độ hai điểm trên đồ thị của hàm số sao cho hai điểm đó đối xứng nhau qua điểm là

A. .B. .C. ; .D. .

Câu 64. Trên đồ thị của hàm số có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

A. 2.B. 1.C. 3.D. 4.

Câu 65. Tọa độ tất cả các điểm thuộc đồ thị của hàm số sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất là

A. .B. .

C. .D. và .

Câu 66. Đồ thị của hàm số nhận điểm nào trong các điểm sau làm tâm đối xứng ?

A. .B. .C. .D. .

Câu 67. Tọa độ các điểm thuộc đồ thị của hàm số cách đều tiệm cận đứng và trục hoành là

A. .B. .

C. .D. .

Câu 68. Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ điểm đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ đến tiệm cận đứng?

A.2.B. 1.C. 3.D. 4.

C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢIBÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I – ĐÁP ÁN

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
B	C	B	D	B	C	A	B	C	C	A	A	A	D	C	D	D	D	A	B
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
D	A	B	A	A	A	C	D	C	D	D	A	D	C	B	C	C	B	C	D
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
D	C	C	B	A	D	B	D	B	A	B	A	D	C	B	A	C	C	B	B
61	62	63	64	65	66	67	68
C	B	C	D	D	D	B	A

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Chọn B.

Gọi là điểm cố định cần tìm.

Ta có

.

Phương pháp trắc nghiệm

Chúng ta có thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số luôn đúng với mọi m thì điểm đó là điểm cố định.

Câu 2. Chọn C.

Gọi là điểm cố định cần tìm.

Ta có

.

Phương pháp trắc nghiệm

Chúng ta có thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số luôn đúng với mọi m thì điểm đó là điểm cố định.

Câu 3. Chọn B.

Gọi là điểm cố định cần tìm.

Ta có

Phương pháp trắc nghiệm

Chúng ta có thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số luôn đúng với mọi m thì điểm đó là điểm cố định.

Câu 4. Chọn D.

Gọi là điểm cố định cần tìm.

Ta có

Phương pháp trắc nghiệm

Chúng ta có thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số luôn đúng với mọi m thì điểm đó là điểm cố định.

Câu 5. Chọn B.

Gọi là điểm cố định cần tìm.

Ta có

.

Phương pháp trắc nghiệm

Chúng ta có thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số luôn đúng với mọi m thì điểm đó là điểm cố định

Câu 6. Chọn C.

Gọi là điểm cố định cần tìm.

Ta có:

hoặc .

Vậy đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm cố định.

Câu 7. Chọn A.

Gọi với .

Tiệm cận đứng của là .

Ta có . Vậy .

Câu 8. Chọn B.

Gọi là điểm cố định cần tìm.

Ta có

hoặc hoặc hoặc .

Vậy đồ thị hàm số đã cho đi qua bốn điểm cố định.

Câu 9. Chọn C.

Gọi với .

Tiệm cận đừng và tiệm cận ngang của lần lượt có phương trình .

Khoảng cách từ đến tiệm cận đứng là

Khoảng cách từ đến tiệm cận ngang là

Tổng khoảng cách từ đến hai đường tiệm cận bằng 4 nên ta có:

.

Vậy các điểm cần tìm là: .

Câu 10. Chọn C.

Gọi là điểm cố định cần tìm.

Ta có

Vậy .

Câu 11. Chọn A.

Gọi , là điểm cố định cần tìm.

Ta có

.

Lại có

Phương trình tiếp tuyến của tại có dạng hay .

Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình .

Vì vuông góc với nên ta có .

Câu 12. Chọn A.

Gọi với

Vậy trên đồ thị có bốn điểm có tọa độ nguyên.

Câu 13. Chọn A.

Gọi là hai điểm trên đối xứng nhau qua gốc tọa độ, ta có .

Câu 14. Chọn D.

Gọi với

và

Vậy trên đồ thị có hai điểm có tọa độ là các số nguyên dương.

Câu 15. Chọn C.

Gọi với .

Do và

Vậy trên đồ thị có ba điểm có tọa độ là các số nguyên.

Câu 16. Chọn D.

Ta có . Vậy .

Câu 17. Chọn D.

Gọi với .

.

Do và

Vậy trên đồ thị có hai điểm có tọa độ là các số nguyên.

Câu 18. Chọn D.

Gọi với .

và

Vậy trên đồ thị có sáu điểm có tọa độ là các số nguyên.

Câu 19. Chọn A.

Gọi với .

? ?

? ?

Vậy trên đồ thị có bốn điểm có tọa độ là các số nguyên.

Câu 20. Chọn B.

Gọi với .

?

?

Vậy trên đồ thị có hai điểm có tọa độ là các số nguyên.

Câu 21. Chọn D.

Gọi với

Do nên trên đồ thị không có điểm nào có tọa độ nguyên.

Câu 22. Chọn A

Gọi và ,ta có

Dấu xảy ra khi và chỉ khi .

Kết luận .

Câu 23. Chọn B.

Gọi là điểm trên đồ thị , gọi là điểm đối xứng với qua I, ta có . Vì thuộc , ta có

Vậy có tất cả một cặp điểm thuộc đồ thị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 24. Chọn A.

Gọi với .

và Vậy có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 25. Chọn A.

Gọi với ; tọa độ giao điểm các tiệm cận là , ta có

.

Dấu xảy ra khi và chỉ khi . Vì có hoành độ dương nên chọn , suy ra nên .

Câu 26. Chọn A.

Gọi là hai điểm trên đối xứng nhau qua .

Ta có:

Thay vào ta được .

Vậy cặp điểm cần tìm là , .

Câu 27. Chọn C.

Gọi là hai điểm trên đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

Ta có

Thay vào ta được

.

Vậy cặp điểm cần tìm là , .

Câu 28. Chọn D.

Gọi là hai điểm trên đối xứng nhau qua đường thẳng hay .

Ta có: (với là trung điểm của và là vecto chỉ phương của )

Từ ta có

(3)

(vì )

Với , từ ta có

(Vì )

Thay (3) vào (4) ta được .

Vậy cặp điểm cần tìm là , .

Câu 29. Chọn C.

Đồ thị hàm số có phương trình tiệm cận ngang là

Gọi . Ta có .

Vậy .

Câu 30. Chọn D.

Đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi và chỉ khi tồn tại sao cho tồn tại sao cho tồn tại sao cho .

Câu 31. Chọn D.

Giao điểm của hai tiệm cận là , gọi với ta có

.

Câu 32. Chọn A.

Phương pháp tự luận

Tiệm cận . Gọi , ta tìm được tọa độ , .

Diện tích .

Phương pháp trắc nghiệm

Cho đồ thị hàm số . Gọi M là điểm tùy ý thuộc . Tiếp tuyến tại cắt hai tiệm cận tại . Gọi là giao điểm hai tiệm cận. Khi đó diện tích tam giác luôn là hằng số. Cách tính nhanh:

1. Chọn thuộc . Viết phương trình tiếp tuyến tại là . Khi đó và .

2. Tam giác là tam giác vuông tại . Diện tích .

Câu 33. Chọn D.

Theo giả thiết ta có :

.

Nhắc lại: Điểm sao cho khoảng cách từ tới bằng lần khoảng cách từ tới có hoành độ là nghiệm phương trình .

Cách khác:

Gọi với . Theo đề ta có: .

Câu 34. Chọn C.

Gọi với , ta có

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 2.

Câu 35. Chọn B.

Phương pháp tự luận

Gọi là hai điểm trên đối xứng nhau qua trục tung.

Ta có

Thay vào ta được:

Vậy có hai cặp điểm cần tìm là , .

Phương pháp trắc nghiệm

Kiểm tra điều kiện đối xứng qua trục tung và kiểm tra điểm có thuộc đồ thị không.

Câu 36. Chọn C.

Gọi thỏa yêu cầu bài toán. Ta có:

.

Câu 37. Chọn C.

Gọi với .

? (vô nghiệm)?

? (vô nghiệm)?

Vậy có trên đồ thị có ba điểm có tọa độ là các số nguyên.

Câu 38. Chọn B.

Gọi là điểm cố định cần tìm.

Ta có

hoặc .

Suy ra hoặc nên .

Câu 39. Chọn C.

Gọi với . Tiếp tuyến tại M có phương trình

hay .

Khoảng cách từ tới tiếp tuyến

.

Theo bất đẳng thức Côsi: , vậy .Khoảng cách lớn nhất là khi .

Vậy : , .

Câu 40. Chọn D.

Đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi và chỉ khi tồn tại và sao cho

tồn tại và sao cho

tồn tại và sao cho

.

Câu 41. Chọn D.

Lấy điểm với . Ta có .

Tiếp tuyến tại có phương trình .

Giao điểm của với tiệm cận đứng là .

Giao điểm của với tiệm cận ngang là .

Ta có , suy ra . Dấu “=” xảy ra khi , nghĩa là hoặc .

Câu 42. Chọn C.

Phương trìnhđường trung trực đoạn là .

Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của phương trình :

.

Hai điểm trên đồ thị thỏa yêu cầu bài toán là .

Câu 43. Chọn C.

Gọi thuộc , ta có

.

Mà

.

. Đạt được khi .

Câu 44. Chọn B.

Phương pháp tự luận

Gọi thuộc (C). Và là khoảng cách từ đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. Khi đó và . Do đó

Suy ra bé nhất khi

Phương pháp trắc nghiệm

Cho đồ thị hàm số .Gọi là điểm thuộc đồ thị hàm số, khi đó tổng khoảng cách từ đến 2 tiệm cận có độ dài nhỏ nhất là .

Câu 45. Chọn A.

Gọi là điểm thuộc thuộc nhánh trái của đồ thị hàm số, nghĩa là với số , đặt , suy ra .

Tương tự gọi là điểm thuộc nhánh phải, nghĩa là với số , đặt , suy ra .

Vậy

Dùng bất đẳng thức Cauchy, ta có

.

Vậy . Dấu đẳng thức xảy ra khi vả chỉ khi

Vậy độ dài AB ngắn nhất là .

Câu 46. Chọn D.

Gọi là điểm cố định cần tìm.

Ta có

hoặc

hoặc .

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là .

Câu 47. Chọn B.

Điểm nằm trên trục :

Điểm nằm trên trục tung :

Xét những điểm có hoành độ .

Xét những điểm có hoành độ thỏa mãn

§ Trường hợp : . Do (*) cho nên :

§ Trường hợp :

. Khi lập bảng biến thiên ,ta thấy hàm số nghịch biến với mọi . Vậy .

Câu 48. Chọn D.

Điểm nằm trên trục . Khoảng cách từ M đến hai trục là .

Xét những điểm có hoành độ lớn hơn .

Xét những điểm có hoành độ nhỏ hơn :

· Với

· Với .

Chứng tỏ hàm số nghịch biến. Suy ra .

Câu 49. Chọn B.

Gọi đường thẳng vuông góc với đường thẳng suy ra .

Giả sử cắt tại hai điểm phân biệt . Khi đó hoành độ của là nghiệm của phương trình

.

Điều kiện cần:

Để cắt tại hai điểm phân biệt thì phương trình có hai nghiệm phân biệt khác , tức là (*).

Điều kiện đủ:

Gọi là trung điểm của , ta có:

.

Để hai điểm đối xứng nhau qua khi (thỏa điều kiện (*)).

Với phương trình

Vậy tọa hai điểm cần tìm là và .

Câu 50. Chọn A.

Gọi là điểm cố định của họ đồ thị , ta có

Vậy họ đồ thị có hai điểm cố định là .

Câu 51. Chọn B.

Gọi với .

Do nên

? ? (loại)

? (loại)? .

Câu 52. Chọn A.

Gọi , là điểm cố định cần tìm.

Ta có:

Lại có .

Phương trình tiếp tuyến của tại điểm có dạng hay .

Vì song song với nên

Câu 53. Chọn D.

Gọi .

Khoảng cách từ đến là cho bởi

.

· Khi :

Ta có dấu bằng xảy ra khi

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là .

· Khi

Ta có

Dấu bằng xảy ra .

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là .

Câu 54. Chọn C.

Gọi với ta có .

Câu 55. Chọn B.

Gọi với ta có . Vậy .

Câu 56. Chọn A.

Gọi với ta có . Vậy .

Câu 57. Chọn C.

Gọi với ta có

.

Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu là .

Câu 58. Chọn C.

Gọi là điểm cố định của họ đồ thị , ta có

Vì hệ có 3 nghiệm phân biệt nên họ đồ thị có 3 điểm cố định.

Câu 59. Chọn B.

Gọi là hai điểm thuộc đồ thị đối xứng nhau qua trục tung. Ta có

Vậy .

Câu 60. Chọn B.

Ta có . Điều kiện . Vậy .

Câu 61. Chọn C.

Gọi với , ta có

Phương trình có 4 nghiệm nên trên đồ thị có 4 điểm cách đều hai trục tọa độ.

Câu 62. Chọn B.

Gọi với ta có . Vậy .

Câu 63. Chọn C.

Gọi là hai điểm trên đối xứng nhau qua , ta có:

Câu 64. Chọn D.

Ta có .

Vậy có 4 điểm thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 65. Chọn D.

Gọi với . Ta có .

Dấu xảy ra khi và chỉ khi . Vậy hai điểm đó là và

Câu 66. Chọn D.

Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường tiệm cận. Vậy điểm cần tìm là .

Câu 67. Chọn B.

Gọi với .

Ta có

Vậy điểm cần tìm là: .

Câu 68. Chọn A.

Gọi với .

Ta có .

Vậy có hai điểm cần tìm.