Bài Giảng Vật Lý A1 Chương 4 - 123doc

Từ đó ta kết luận: Chuyển động của khối tâm của một hệ chất điểm giống như chuyển động của một chất điểm mang khối lượng bằng tổng khối lượng của cả hệ và chịu tác dụng của một lực bằn

CHƯƠNG IV CHUYỂN ĐỘNG CỦA

HỆ CHẤT ĐIỂM VÀ VẬT RẮN

§1 CHUYỂN ĐỘNG CỦA HỆ CHẤT ĐIỂM

1.Khối tâm của hệ chất điểm

Giả sử có hệ gồm 2 chất điểm có khối lượng m1 , m 2 đặt tại

các điểm tương ứng M 1 , M 2 trong trọng trường Trọng lực

tác dụng lên các chất điểm m 1 và m 2 là 2 véctơ:

song song cùng chiều với nhau Tổng hợp 2 lực này có điểm

đặt tại G nằm trên phương M 1 M 2 thoả mãn điều kiện:

Điểm G thoả mãn (4-1) được gọi là khối tâm của hệ 2 chất

Xét một hệ n chất điểm như sau:

Khối tâm của một hệ n chất điểm có khối lượng m 1 , m 2

…m n là một điểm G được xác định bởi đẳng thức vectơ:

hay m M G



Toạ độ của khối tâm G đối với một gốc toạ độ O nào đó.

Toạ độ này có thể xác định theo cách sau đây đối với chấtđiểm thứ i (hình 4-2):

Nhân 2 vế của (4-3) với m i rồi

i i

i n

1 i

i n

1 i

i n

1 i

Từ đó, ta suy ra:

có 3 toạ độ X,Y,Z; có 3 toạ độ x i , y i , z i,

Chiếu lên 3 trục toạ độ, sẽ được:

i

n

1 i

i i

m

OM

m OG

n

i i

m r R

2 Vận tốc của khối tâm

Khi hệ chất điểm chuyển động, khối tâm có vận tốc:

Trong đó là động lượng tổng hợp của hệ.Nên vận tốc của khối tâm có biểu thức:

m





3 Phương trình chuyển động của khối tâm

Giả sử hệ có n chất điểm, các chất điểm lần lượt chịu tác

m m







Do đó có thể viết lại biểu thức trên như sau:

Phương trình (4-7) giống như phương trình chuyển động của một chất điểm Từ đó ta kết luận:

Chuyển động của khối tâm của một hệ chất điểm giống như chuyển động của một chất điểm mang khối lượng bằng

tổng khối lượng của cả hệ và chịu tác dụng của một lực

bằng tổng hợp các ngoại lực tác dụng lên hệ.

4 7

F a

m





§ 2 CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA

VẬT RẮN

1 Định nghĩa

Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động sao cho bất kỳ đoạn thẳng nào vẽ trong vật rắn cũng luôn luôn song song với chính nó. Ví dụ: Chuyển động củangăn kéo của bàn giấy, chuyển động của bàn đạp xe

đạp…

2 Tính chất

Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, mọi chất điểm của nó

có quĩ đạo giống nhau Do đó, chúng có cùng quãng

đường di chuyển s, cùng vận tốc và cùng gia tốc

3 Phương trình động lực học của vật rắn tịnh tiến

Giả sử các chất điểm có khối lượng m 1 , m 2 , , m n chịu

tác dụng bởi các ngoại lực

Khi đó các chất điểm của vật rắn sẽ có gia tốc

tuân theo định luật Newton II:

Trong chuyển động tịnh tiến, mọi chất điểm có cùng gia tốcCộng vế với vế các phương trình trên ta được:

§3 CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN

QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH

Khi một vật rắn quay xung quanh một trục  thì:

-Mọi điểm của vật rắn sẽ có qũy đạo tròn, các đường tròn

qũy đạo của chúng có cùng trục, trục này trùng với trục quay

 và có tâm nằm trên trục quay , có bán kính r khác nhau-Trong cùng một khoảng thời gian t, bán kính của mọi điểm

của vật rắn đều quay được một góc  như nhau

-Mọi điểm của vật rắn có cùng vận tốc góc và gia tốc góc

-Tại mỗi thời điểm, vectơ vận tốc dài và gia tốc tiếp tuyến

của một chất điểm bất kỳ của vật rắn cách trục quay một

đoạn r liên hệ với vận tốc góc và gia tốc góc bởi các hệ thức

; t

v    r a     r

1.Mômen lực tác dụng lên vật rắn quay

Giả sử có một vật rắn quay xung quanh một trục cố định 

dưới tác dụng của lực F

Khi đó điểm đặt M của lực F

vạch một quỹ đạo tròn bán kính

r nằm trong mặt phẳng vuông

góc với trục , có tâm nằm trên

trục này, và có thể phân tích lực

thành 3 thành phần (hình 4-5)

sao cho:

- Thành phần Ft tiếp tuyến vuông góc với bán kính

- Thành phần Fnxuyên trục cùng phương với bán kính

- Thành phần F1 song song với trục quay 

1 , n, t

F F F  

F  F  F  F

Như vậy: Tác dụng của lực làm cho vật rắn quay quanh

trục cố định  chỉ tương đương với tác dụng của thành

phần tiếp tuyến của lực này.

Vectơ mômen lực tiếp tuyến đối với trục quay được định nghĩa:

Mômen lực có:

-Trị số:

- Phương vuông góc với mặt phẳng chứa

- Chiều sao cho ba vectơ theo thứ tự đó hợp thànhtam diện thuận

Chú ý: M =0 khi F =0 hoặc khi F đồng phẳng với trục quay

, nghĩa là khi F song song với  , hoặc cắt trục  (r=0)

r F M  

2 Phương trình cơ bản của động lực học vật rắn quay quanh một trục cố định

Ta tìm mối liên hệ giữa M và β

Ta tưởng tượng chia vật rắn

thành nhiều phần tử, mỗi phần

tử có khối lượng m i , cách trục

quay một khoảng r i , chịu

tác dụng của ngoại lực tiếp tuyến F ti

Theo định luật Newton II, ta viết được:

Nhân hữu hướng bên trái của phương trình với

và thay

Chú ý:

Cộng các phương trình (4-8) vế với vế theo i ta được:

là mômen tổng hợp các ngoại lực tác dụng lên vậtrắn Và đại lượng mômen quán tính của

vật rắn đối với trục quay .

I  m r

Phương trình (4-9) có dạng tương tự phương trình cơ bảncủa động lực học vật rắn chuyển động tịnh tiến

-Mômen quán tính I đặc trưng cho quán tính của vật rắn

chuyển động quay, đóng vai trò như khối lượng m Thật

vậy, cùng mômen lực tác dụng, nếu mômen quán tính I

càng lớn thì gia tốc góc càng nhỏ, vận tốc góc càng ít

biến đổi, nghĩa là trạng thái chuyển động quay của vật rắncàng ít thay đổi

ma  F

3 Tính mômen quán tính của vật rắn quay.

a.Trường hợp chung

Mômen quá tính I của vật rắn quay quanh trục cố định 

được tính theo công thức

Trong đó là mômen quán tính của chất điểm thứ i đối với

trục , phép cộng lấy cho các chất điểm của vật rắn

Nếu khối lượng của vật phân bố liên tục trong toàn thể tíchcủa nó, ta chia vật thành những phần tử có khối lượng vô

cùng nhỏ dm, khi đó phép cộng trong tổng trở thành phép

lấy tích phân cho toàn vật rắn

2

i i i

I  m r

2

toan vat

I   r dm

b Mômen quán tính của vật rắn đối với trục đối xứng

Ví dụ 1 Một thanh đồng chất dài l, khối lượng m, quay

quanh trục o qua trung điểm G của thanh và vuông gócvới nó (Hình 4-7)

Ta xét một phần tử của thanh khối

lượng dm, dài dx, cách G một đoạn

x Khi đó mômen quán tính của dm

đối với trục o là dI = x2.dm

Vì thanh đồng chất nên khối lượng

của một đơn vị dài là m/ℓ Khối lượng của dm̀: dx

m

0

m dI

Ví dụ 2 Tính mômen quán tính của khối trụ đặc đồng chất

khối lượng m, bán kính R, quay quanh trục đối xứng o của khối trụ đó

Ta chia khối trụ đặc thành nhiều phần tử có đáy dS là hình vành khăn bán kính x rộng dx, cao h Mỗi phần tử có thể tích

0

2

R h

dx x

2 h

Bằng cách tương tự, ta tính được I o cho các trường hợp

Trong trường hợp trục quay  song song với trục đối xứng

ta có thể áp dụng định lý Steiner- Huyghens như sau:

Mômen quán tính I của vật rắn đối với một trục  song song với trục đối xứng o bằng mômen quán tính của vật đối với trục đối xứng o cộng với tích khối lượng m của vật với bình phương khoảng cách d giữa hai trục đó: I = I o + md 2

Từ (4-10) ta suy ra:

Trong đó là độ biến thiên mômen động lượng của vật

rắn trong khoảng thời gian dt

được gọi là xung lượng của mômen tổng hợp của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn trong khoảng thời gian dt.Lấy tích phan hai vế của (4-11)

“Độ biến thiên mômen động lượng của vât rắn quay quanh một trục cố định trong khoảng thời gian t=t 2 -t 1 bằng

xung lượng của vectơ mômen động lượng tổng hợp của các ngoại lực tác dụng lên vật rắn trong cùng khoảng thời gian đó”.

d L

2 Định luật bảo toàn mômen động lượng

Giả sử có vật rắn cô lập (không chịu tác dụng của ngoại

lực), khi đó theo định lý về mômen động lượng

“Mômen động lượng của vật rắn cô lập được bảo toàn”

Trong thực tế, vật rắn luôn chịu tác dụng của các ngoại lực nhưng nếu mômen lực đối với trục quay bằng không

hoặc do F đồng phẳng với trục quay , thì khi đó mômen động lượng của vật rắn cũng được bảo toàn Trường hợp M 0 nhưng hình chiếu của nó lên phuơng nào

đó bằng không, thì mômen động lượng của vật rắn được

bảo toàn (theo một phương).

§5 CÔNG CỦA LỰC VÀ ĐỘNG NĂNG

Công suất của mômen lực là:

Vì hai vectơ cùng chiều nên có thể viết:

2 Động năng của vật rắn quay

Giả sử dưới tác dụng của lực tiếp tuyến điểm đặt lực lên vật

rắn quay được một cung ds Công nguyên tố trên ds là:

Công toàn phần của mômen ngoại lực tác dụng làm cho vậtrắn quay từ lúc có vận tốc góc 1 đến lúc có vận tốc góc