Bài Tập Chuỗi Lũy Thừa Có Lời Giải - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (62 trang)

Trang chủ

Đại cương

Toán cao cấp

Bài tập chuỗi lũy thừa có lời giải

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.06 MB, 62 trang )

Chuyên đề Chuỗi số và chuỗi hàmBài 03.04.1.001Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừan22n n 2   1n n3nxn2Lời giải:1Có limn  nan limnnn 2/3  n1/2 12 1    2n limnVậy bán kính hội tụ là R nnn 2/3  n1/2  1 2 1       2  n1212Bài 03.04.1.002Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa n  1  2n !!  x  2 n 1n0Lời giải:ann  1  2n  2 !!n 1. lim.  2n  2   Có lim n1  limn an  2n !!nnnVậy bán kính hội tụ là R  Bài 03.04.1.003Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa  1n 1Lời giải:Có limnann  2 n 1 lim.1an1 n n n  1Vậy bán kính hội tụ là R  1n 1 2 n1   x nBài 03.04.1.004x2nTìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa  nn 1 3 .nLời giải:x2n1Có  n   a n x 2 n ,ta xét: lim lim3 n n  3  R  3nnn an 1 3 .nn 1nVậy bán kính hội tụ là R  3Bài 03.04.1.005n2xnTìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa  n1 31ln nn2 8Lời giải:1/ nln n 8 8  3 n n n 118  3ln n8  lim lim Có limn 2n 2n nnan nnn8.8081Vậy bán kính hội tụ là R  8.Bài 03.04.1.006 n 1 Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa  n2  n  2 2 n2  3 n 1Lời giải:limn  nn2 lim an n   n  1 12 n 2  3 n 1n3  lim 1 n   n 1n 133  lim 1 n  n 13 2 n 2  3 n 1.n 1n e62 n 2  3 n 1nxnVậy bán kính hội tụ là R  e6Bài 03.04.1.007Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừaxn2n 1 nLời giải:anan11 n 1 2:1  nlim2 aan 1 n  n  1 n n 12R  1, chuỗi hội tụ với x  1 , phân kì với x  1x21Tại x  1 có 2  2 mặt khácnn1nn 12hội tụDo đó chuỗi lũy thừa hội tụ tại x  1Vậy miền hội tụ là  1;1Bài 03.04.1.008Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừan2 nxn3n0Lời giải:anan2 n3n2 n : n 1  3 lim n  3n  aan 133n3n 1R  3, chuỗi hội tụ khi x  3, phân kì khi x  3.Tại x  3 có a x    n  2 phân kỳ.nn0Tại x  3 cónn0 a x    1  n  2 phân kỳ.nn0nn0nMiền hội tụ  3;3Bài 03.04.1.009xnTìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n0 n  1Lời giải:ana11n2: lim n  1n  aan 1 n  1 n  2 n  1n 1R  1, chuỗi hội tụ với x  1, phân kỳ với x  1.Khi x  1 có1 n  1 phân kỳ.n 1Khi x  1 có 1n n 1là chuỗi đan dấu hội tụ.n 1Miền hội tụ là [  1; 1).Bài 03.04.1.010x2nTìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa   1 2n !n0nLời giải:Không thể dùng ngay công thức vì một nửa các hệ số của chuỗi bằng 0: a2 n 1  0.Đặt y  x 1 y ncó chuỗi lũy thừa: n  0  2n !2n 2  n  1 !  2n  1 2n  2a 1 :  1Có n an 1 2n !  2  n  1 ! 2n !n limn anan 1n 1Miền hội tụ  ;  Bài 03.04.1.011 x  25Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừan 1n3n*3n  1Lời giải:Ta đặt X  x  2, an 1Ta có:15n33n  1chuỗi (*) trở thànha Xnnn 1n 5 n 31/3 n n1/3 5 n 5n 3 3n  1annNên bán kính hội tụ là R = 5X   5;5  x  2   5;5  x   3;7 Xét x  3 chuỗi (*) trở thành5n3n 1Xét x  7 chuỗi (*) trở thành5n 1an 133n  1133n1/ 3(  53n  1 5n3nn3n03n  13n0 1n3n  113n  11 1)3Vậy miền hội tụ là [  3, 7)Bài 03.04.1.012Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừan 1 x  5n *3n n!Lời giải:1Ta đặt X  x  5, an  n chuỗi (*) trở thành3 n!a Xn 1nnhội tụ theo Leibnizphân kỳ do3  n  1!an Ta có: n  3  n  1 nan 13 n!n 1Khi đó X  x  5   ,    x   ,  Vậy miền hội tụ của chuỗi là.Bài 03.04.1.013Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa và tính tổngn02n x  2nLời giải:1 Đặt X , an  2n thì (1) trở thànhx2 a .Xn0nn(2)an2n11Ta có lim lim n 1   R n  an  222n 1n11Tại X    2n X n   2n    1n phân kỳ.2 2  n0n0n0n1nnnn 1Tại X     2 X   2       1 phân kỳ.2 2  n0n0n0 1 1Do vậy miền hội tụ của (2) là   ,  2 2x  0111Ta có:   2 x2 2 x  4Vậy miền hội tụ của (*) là  , 4   0,   Tính tổng:1n0n0Xét (2) có S  x    2n X n    2X 1   2X  S  x   1   2X   ....   2X  1n S  x   lim Sn  x   limn  S  x 1   2X n 1a 2  b21  2XXét (1): Thay X nn 11  2Xn 11  2X1 1 1(Vì X    ,  )1  2X 2 2 *1vào (*):x2 S  x 11x21  2X 1  2 1xx2Bài 03.04.1.014n2 n  nTìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa   xn 1  n  3 *Lời giải:Xét an nn3Ta có:3limn n11 n an  lim  lim 3  R  e3nn  n  3e n   n  3  n n2 n  n   n Tại x  e    x  n 1  n  3 n 1  n  3 3 lim n an  1  0n n2 e 3 n n    1  n  3n 1nn2e 3 nVậy miền hội tụ của chuỗi là D   e3 , e3 Bài 03.04.1.015 n 1 Tìm miền hội tụ của chuỗi  n  0  2n  3 n2 x  2*2nLời giải:Đặt X   x  2  , X  0.2 n 1  nTa tìm miền hội tụ của chuỗi   Xn  0  2n  3 nXét an n 1 1n 1có lim n an  lim R2n n  2n  32n  32n  2n  2  n 1  n Tại X  2 chuỗi (*) thành   1  2    1  2n  3  2n  3 n0n0nn2n  2 1  0 nên chuỗi phân kỳ.n  2n  3 lim n un  limn Vậy miền hội tụ theo X là  2, 2  miền hội tụ x  2  2  2  2  x  2  2Bài 03.04.1.016Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n  x  2 *nnn 1Lời giải:Ta đặt X  x  2, a n  nn chuỗi (*) thànha Xn 1nnn1nan1nnn1 n 0  RnKhi đó X  x  2  0  x  2Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là {2}Bài 03.04.1.017Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa x  12n 1nn * 3nLời giải:1Ta đặt X  x  1, an  nchuỗi (*) thành2  3n1Ta có:n n 2n  3nna Xnnn 1n 3n 3anSuy ra bán kính hội tụ là R  3  X   3, 3Tại X  3 chuỗi (*) trở thành: n 1 3n2n  3n  un là chuỗi phân kỳn 13nn Vì un  n1  0  lim un  0nx 2 3Vậy miền hội tụ là  2, 4 Bài 03.04.1.018n2Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  n 1  n  1 n  n 1xnLời giải:n2Đặt an   n 1  n  1 n  n 1khi đó (*) trở thànha xn 1nn*Ta có limn n1 an  lim 1 n  n 11n2Tại x     en 1  n  1  limn nn  n 1n 1e R1ennn 1n 1  n1 1      1    1  n1 e en 1 1 an  lim 1 n  n 1n 111.  e.  1  0ee 1 1Vậy miền hội tụ là D    ,  e eBài 03.04.1.019n n 1 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    x  2n 1  3n  2 n *Lời giải: n 1 Đặt X  x  2, an   chuỗi (*) trở thành3n2Xét lim n an  limn n a Xn 1nn(**)n 11 R33n  2 3nn n 1  3n  3 Tại X  3 ta được    3     1n 1  3n  2 n 1  3n  2 Có lim n un  limn n n3n  3 1  0 nên tại X  3 chuỗi không hội tụ.3n  2Vậy miền hội tụ của chuỗi (**) là  3, 3do đó miền hội tụ của chuỗi (*) là  1, 5Bài 03.04.1.020nTìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừann21 x  1 1n ln n 2Lời giải:Đặt X  x  1, an 1n  ln n chuỗi (1) thành2n2Ta có:n n(2)n1nn  ln n an 1 lim lim2n n 1an n  1  ln  n  1 2ln  n  1 .n 12lima Xln nn  ln  n  1Với lim2ln n.Lopi tan1 lim n  1  R  1n 1n 1Lopi tanTại X  1 ta được chuỗinn21 ln n 2 1n(*)n  ln n alim n 1  lim1 2n Từ đó ta có: n  anchuỗi (*) phân kỳ. n  1  ln  n  1 2Vậy miền hội tụ của (2) là  1, 1 nên miền hội tụ của (1) là  2, 0 Bài 03.04.1.021 n 1Tìm miền hội tụ của chuỗi  n2  n  1 n  n 1 x  1 *nLời giải: n 1Ta đặt X  x  1, an   n 1n  n 1chuỗi (*) thànha Xn2nn n 1  n 1an1Ta có:nn  n 1 n 1 n 1nn 12  1  n 1n 1n  e2Suy ra bán kính hội tụ là R  e2 . n 1Ta xét tại X  e . chuỗi (*) thành  n2  n  1 n  n 12 e    u2 nn2nTa có: n 1un   n 1n  n 1e 2n n 1Suy ra chuỗi  n2  n  1 n n 1un   n 1n  n 1n 1e e22 n 1 n 1n 1 e  phân kì.2 nVậy miền hội tụ là  1  e2 ,  1  e2 Bài 03.04.1.022Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừan02 1nxnn  5 .3n *Lời giải:Có R  3  x   3,3Xét x  3 (*) trở thành n0 1  3n2nn  5 .3nChuỗi phân kỳ vì cùng bản chất vớin 11nn 11/ 221n 5e22 1  n 1n 1 1, n  2Xét x  3 (*) trở thành n0Chuỗi đan dấu với an  1  3n2nn  5 .3n12 n 5n 112n 5 0 và giảm nên hội tụ theo Leibnitz.Vậy miền hội tụ là D  (3, 3]Bài 03.04.1.023n n3 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    x  1n 1  2 n  1 n *Lời giải:Có R  2  x  1  2, 2   x   1, 3nn n3  2n  6 Xét x  1 (*) trở thành    2      1   ann 1  2n  1 n 1  2n  1 n 1n5  5  2n  6  11Mà   2 n  1   2 n  1   2 n  1 nnn2 n 155.n2 n 1n  e5/ 2 an  0 nên chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần.n n3  2n  6 2Xét x  3 (*) trở thành    ann 1  2n  1 n 1  2 n  1 n 1n an  0 nên chuỗi phân kỳ theo điều kiện cần.Vậy miền hội tụ là D   1, 3Bài 03.04.1.024nTìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 2  x  5 *nn2n0Lời giải:1Có limn  nan limn  n12n10n  2n lim2Khi đó bán kính hội tụ R  0Vậy chuỗi chỉ hội tụ tại 5Bài 03.04.1.025 2n 3n  nTìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa   n  2  xn n 1  3*Lời giải:Có R 1 1 1 x , 3 3 3nnn  2n.n 2  9n   1 1 2   1 Xét x   (*) trở thành            2 3n.n 2   3  n 1  9 n 3n 1 n 2Do chuỗi     vàn 1  9 n 1 1nn2 2n.n2  9n   1 hội tụ nên      hội tụ.3n.n2   3 n 1 nnn  2n.n 2  9n   1 112Xét x  (*) trở thành       3n.n 2   3  n 1  9  n 2 3n 1 n2Do chuỗi    vàn 1  9 1hội tụ nên2n 1 n 1 1Vậy miền hội tụ là D    ,  3 3 2n.n2  9n   1    hội tụ.3n.n2   3 n 1 nBài 03.04.1.026 x  8 *Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  2nn 1  n !nLời giải:Dễ dàng nhận thấy bán kính hội tụ R  Vậy miền hội tụ là D   , + Bài 03.04.1.027n2 n 1 n Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    x  1n 1  2n  1  *Lời giải:Hiển nhiên với x  0, 1 chuỗi hội tụ.n2n n Xét chuỗi (*) có an    x  1 , n  2n  1 Khi đón x  1n2an  x  1 2n  122 TH1:  x  1  2 chuỗi hội tụ.2 TH2:  x  1  2 chuỗi phân kỳ.2 TH3:  x  1  2212n n  2n  x112 n 1 2n  1  2n  1    2n  1nVậy miền hội tụ là D  1  2, 1+ 2Bài 03.04.1.0282 n 1n2 n 1 e1/ 2  0Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừan2nx32n 1 nLời giải:Có U n n2n2n,taxét:limUlim( x  3) n  0 ( x  3)(x3)n22n n  nnNhận thấyUn  1(n  3)( x  3) n .n 2(n3  3n 2 )( x  3)Un(n  1)2 (n  2)( x  3) n n3  4n 2  5n  2Theo dấu hiệu D’lambe có:Un 1nlà hội tụ  4  x  2 x  2làphânkỳUn x  4n 1Vậy miền hội tụ củaUn 1nlà (-4,-2)Bài 03.04.1.029n n 1 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa    x  1n 1  2n  1 Lời giải:Có U n  (n 1 n) ( x  1) n2n  1n 1n n 1 Un  x 1 x 1 2n  1 2n  1 nXétnnTheo dấu hiệu cosi ta có U n là hội tụn 1nn 1x 1  1n  2n  1 lim n U n  1  limn  x  1  2  1  x  2Vậy miền hội tụ củaUn 1là (-1,2)nBài 03.04.1.030x3nTìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  nn 1 n.4Lời giải:Có U n Mà:nx3nn.4nUn xn3n .41nn .4x3Theo dấu hiệu cosi ta có U n là hội tụn 1 x 4 x  3 43vậy miền hội tụ củaUn 1nlà ( 3 4, 3 4)Bài 03.04.1.031( x  2) 2 n 1Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 2n  1n0Lời giải:Có: U n ( x  2) 2 n 12n  1U n  1 ( x  2)2 n  3 (2n  1) (2n  1) 2XétUn(2n  3)( x  2) 2 n 12n  3Theo dấu hiệu Dalambe ta cóUn 1nlà hội tụUn  1 1  x  2  1  3  x  1x UnlimUVậy miền hội tụ củan0nlà  3,  1 .Bài 03.04.1.032.A745Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:  1nnx nn 1Lời giải:Với an   1 nx n có:n1  n  1 x n 1an 1n 11 lim limlim1xlim1 x xnnn  an n n nn 1nx nn 1Từ đó, chuỗi  1nnx n hội tụ khi x  1 với bán kính hội tụ R  1.n 1Xét tại x  1 được chuỗi  1 n  1    1nn 1nn 1n n phân kỳ do limn 1nn Vậy miền hội tụ là D   1, 1Bài 03.04.1.033.A745Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:n 1Lời giải: 13nnxnVới an 13nxnxét:n31 x n 11 x 3 nan 1n13lim lim 3.limlimx  xn3nn  an n n  1  1 / nn1n1 1 xnn 1Chuỗin 1 13nxnhội tụ khi x  1 , bán kính hội tụ R  1.nTại x  1 chuỗi 1n 1Tại x  1 chuỗinn 13nnhội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.1 phân kì do     13 n13Vậy miền hội tụ là (1, 1]Bài 03.04.1.034.A745xnTìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa: n 1 2n  1Lời giải:xnVới an xét:2n  1an 1x n 1 2n  1 2n  1 lim lim. n  lim x xn  an  2n  1n  2n  1xnChuỗixnhội tụ khi x  1 , bán kính hội tụ R  1.2n1n 1Tại x  1 chuỗi1111  1phânkỳdomàphân kỳ.2n12n2n12nn 1n 1Tại x  1 chuỗi 1n 2n  1 hội tụ theo chuẩn Leibnitz.n 1Vậy miền hội tụ là [  1, 1).Bài 03.04.1.035.A745Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa: 1n 1nxnn2Lời giải:Với an 1nxnxét:n2n 1 n  2  21 x n 1an 1n2lim lim. lim  x  1 x  x2nn  an  n  1  1 x n n   n  1  nTại x  1 chuỗi 1n 1Tại x  1 chuỗin21nn 12nhội tụ theo chuẩn Leibnitz.hội tụ (do   2  1 )Vậy miền hội tụ là  1, 1Bài 03.04.1.036.A745xnTìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa: n  0 n!Lời giải:Với an xnxét:n!an 1x n 1 n!x1lim lim. n  lim x lim x .0  0  1n  an   n  1! xn  n  1n  n  1nNên bán kính hội tụ là R  Vậy miền hội tụ là  ,  Bài 03.04.1.037.A745Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa: nxnn 1Lời giải:Với an  nn x n xét:lim n an  lim n x  , x  0n n Vậy bán kính hội tụ là R  0 và miền hội tụ là D  0Bài 03.04.1.038.A745n2 xnTìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:   12nn 1nLời giải:n2 x nVới an   1xét:2nn222xn  1 x n 1 2nx  n  1an 11  x12lim lim.limlim11xn  an n 2n 1n 2 x n n 2n 2n   22 2 n2 n1n n xChuỗi   1hội tụ khi x  1  x  2 , bán kính hội tụ R  2.n22n 1Tại x  2 chuỗi  1nn 1n2  2 2nn   1 n2 phân kỳ do lim  1 n 2  nnn n 1Vậy miền hội tụ là  2, 2 Bài 03.04.1.039.A745Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:Lời giải:10n x nn3n 1Với an 10n x nxét:n310 x10 xan 110n 1 x n 1 n310 xn3lim lim. n n  lim lim 3  10 x333n  an 1 n  1 10 x n   n  1 n  1  1 / n n10n x n1Chuỗi  3 hội tụ khi 10 x  1  x  , bán kính hội tụ là R  10.n10n 11Tại x  chuỗi10n3n 11Tại x chuỗi10 11nn 13nhội tụ theo chuẩn Leibnitz.hội tụ (do   3  1 ) 1 1Vậy miền hội tụ là   , 10 10 Bài 03.04.1.040.A745Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa: 3nn 1nnxnLời giải:Với an 3nxnn3/ 2xét:3 x n 1 n3/ 2an 1 n lim lim.lim3x3/2nn  an  n 1 n  1  3 x n n nn 13/ 2 1  3 x lim n  1  1 / n 3 x 1  3 xChuỗi 3nn 1nnx n hội tụ khi 3 x  1  x 1Tại x  chuỗi3n 1 1n3/ 211, bán kính hội tụ R 33nhội tụ theo chuẩn Leibnitz.3/ 2Tại x  1chuỗi31nn 13/ 2hội tụ do  312 1 1Vậy miền hội tụ là   ,  3 3Bài 03.04.1.041.A745xnTìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:  nn 1 3 nLời giải:xnVới an  n xét:3 nlimn x n x 1  1an 1x n 13n n lim.limlim xn   n  1 3n 1 x nn  3n  3 1  1 / nann1 3xn1Chuỗi  n hội tụ khi x  1  x  3, bán kính hội tụ là R  3.3n 1 3 nTại x  3 chuỗi1 n là dãy phân kỳ.n 1Tại x  3 chuỗi  1nn 11hội tụ.nVậy miền hội tụ là [  3, 3).Bài 03.04.1.042.A745xnTìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:   1 n4 ln nn2Lời giải:Với an   1nxnxét:4n ln nnxxan 1x n 14n ln nln n L ' hopi tan xlim lim n 1. n  lim.1 n  an  4ln  n  1 x4 n  ln  n  144nxxnChuỗi   1 nhội tụ khi 1  x  4, bán kính hội tụ R  4.4 ln n4n2n  1 4     1xnTại x  4 chuỗi   1 n4 ln n n  2 4n ln nn2n  2 ln n4n11Ta có ln n  n, n  2  màln n n1phân kỳ nênn2 n1 lnphân kỳ.n2xnn 1   1Tại x  4 chuỗi   1 nhội tụ theo Leibnitz.4 ln n n  2ln nn2nVậy miền hội tụ là (4, 4]Bài 03.04.1.043.A745x 2 n 1Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:   1 2n  1!n0nLời giải:x 2 n 1Với an   1xét: 2n  1!n1 x 2 n  3  2n  1!1 x 2an 1lim lim. limn  an  2n  3!  1n x 2n 1 n   2n  3 2n  2 nn 1 x 2 limn 1 2n  3 2n  2  x 2 .0  0  1x 2 n 1Nên chuỗi   1phân kỳ với mọi x. 2n  1!n0nVậy bán kính hội tụ R  , miền hội tụ  ,  Bài 03.04.1.044.A745Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa: x  2n0nn2  1Lời giải:Với an x  2nxét:n2  1a x  2  . n2  1  x  2 lim n2  1  x  2lim n 1  lim2n2n  an n  n  1  1  x  2  n  1  1nn 1Chuỗin0 x  2nhội tụ khi x  2  1  1  x  3 , bán kính hội tụ R  1.n2  1Tại x  1 chuỗi  11hội tụ theo chuẩn Leibnitz.n2  1nn0Tại x  3 chuỗi1hội tụ do2n1n01nn02hội tụ mà11n2  1 n2Vậy miền hội tụ là 1, 3Bài 03.04.1.045.A745Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:  1n0n x  3n2n  1Lời giải:Với an   1n x  3nxét:2n  1a x  3 . 2n  1  x  3 lim 2n  1  x  3lim n 1  limn  an n  2n  32n  3  x  3  nnn 1Chuỗi  1n0n x  3n2n  1hội tụ khi x  3  1  2  x  4, bán kính hội tụ R  1.