BÀI TẬP GIẢI TÍCH 1 CÓ ĐÁP ÁN - 123doc

15 1.4.7 Dùng mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số để chứng minh dãy số phân kỳ... 2.3 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại điểm vô cùng... 1.2.5 Mối quan hệ giữa giới hạn r

BÀI TẬP GIẢI TÍCH A1

Ts Lê Xuân Đại

Ngày 7 tháng 7 năm 2011

Mục lục

1.1 Khái niệm dãy số 3

1.1.1 Định nghĩa dãy số 3

1.1.2 Tính chất của dãy số 3

1.2 Giới hạn của dãy số 4

1.2.1 Những khái niệm cơ bản 4

1.2.2 Tính chất của giới hạn hữu hạn của dãy số 5

1.2.3 Giới hạn vô cùng của dãy số 5

1.2.4 Dãy con 6

1.2.5 Mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số hội tụ 6

1.3 Giới hạn của dãy đơn điệu Định lý Weierstrass 6

1.4 Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số 7

1.4.1 Dùng biến đổi đại số để tìm giới hạn của dãy số 7

1.4.2 Dùng định lý kẹp giữa tìm giới hạn của dãy số 8

1.4.3 Sử dụng giới hạn cơ bản lim n→+∞qn= 0, |q| < 1 để tìm giới hạn của dãy 10 1.4.4 Sử dụng giới hạn cơ bản lim n→+∞ (−1) n n α = 0, α > 0 để tìm giới hạn của dãy 11 1.4.5 Dùng định lý Weierstrass về sự tồn tại giới hạn của dãy đơn điệu 11

1.4.6 Tìm giới hạn của dãy số dùng giới hạn cơ bản lim n→∞(1 + un)un1 = e, biết rằng khi n → ∞ thì un → 0 15

1.4.7 Dùng mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số để chứng minh dãy số phân kỳ 16

2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 17 2.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm 17

2.2 Giới hạn của hàm số từ một phía 17

2.3 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại điểm vô cùng 18

2.4 Giới hạn vô cùng của hàm số tại một điểm 19

2.5 Giới hạn vô cùng của hàm số tại điểm vô cùng 19

2.6 Giới hạn vô cùng bé của hàm số 19

2.7 Giới hạn vô cùng lớn của hàm số 19

2.8 Tính chất của hàm vô cùng bé 20

2.9 Giới hạn của hàm hợp 20

2.10 Những giới hạn cơ bản 20

2.11 So sánh hàm vô cùng bé 21

2.12 Những hàm vô cùng bé tương đương 21

2.13 So sánh hàm vô cùng lớn 22

2.14 Bài tập 22

2.14.1 Tìm giới hạn của hàm một biến bằng cách thay vô cùng bé tương đương 22 2.14.2 So sánh những hàm vô cùng bé 24

2.14.3 Tìm giới hạn của hàm một biến bằng cách thay vô cùng lớn tương đương 24 2.14.4 So sánh những vô cùng lớn 24

2.14.5 Tìm giới hạn của hàm một biến dùng giới hạn cơ bản lim x→0(1+u(x))u(x)1 = e, biết rằng khi x → a thì u(x) → 0 25

2.14.6 Tìm giới hạn của biểu thức có dạng f (x)g(x) khi x → a 25

Chương 1

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1.1 Khái niệm dãy số

Ví dụ 1.1.1 Dãy xn = (1 +n1)n, (n ∈ N) là dãy tăng

Chứng minh Vì xn= (1 + n1)n > 0 nên ta chỉ cần chứng minh xn+1

(n+1n )n =

n+2 n+1 n+1 n

Chú ý rằng dấu đẳng thức có được là do dùng bất đẳng thức Bernuli

Như vậy xn< xn+1

Ví dụ 1.1.2 Dãy số xn= (1 + 1n)n+1, (n ∈ N) là dãy giảm.

Chứng minh Vì xn= (1 + n1)n+1 > 0 nên ta chỉ cần chứng minh xn

n+1 n n+2 n+1

 n

Định nghĩa 1.1.3 Dãy số (xn) ⊂ R được gọi là bị chặn trên (dưới), nếu như tồn tại số

∃M ∈ R (m ∈ R), sao cho với mọi ∀n ∈ N luôn có xn6 M (xn> m)

Số M (m) được gọi là cận trên (cận dưới) của dãy (xn)

Định nghĩa 1.1.4 Dãy số (xn) ⊂ R được gọi là bị chặn, nếu nó bị chặn trên và chặn dưới

có nghĩa là nếu như tồn tại số ∃M, m ∈ R sao cho với mọi ∀n ∈ N luôn có m 6 xn6 M.Định nghĩa 1.1.5 Dãy số (xn) ⊂ R được gọi là không bị chặn trên (dưới), nếu như với mọi

số ∀M ∈ R (m ∈ R), tồn tại số hạng của dãy số xn 0 sao cho xn0 > M (xn0 < m)

Ví dụ 1.1.3 Dãy số xn = (1 + n1)n+1 (n ∈ N) bị chặn dưới bởi số m = 0, và bị chặn trênbởi số M = (1 + 1)2 = 4

Chứng minh Vì dãy này là dãy giảm nên với mọi ∀n ∈ N luôn có xn6 x1 = 4

Với mọi ∀n ∈ N ta có xn> 0

Ví dụ 1.1.4 Dãy số xn = (1 + n1)n, (n ∈ N) bị chặn dưới bởi số m = 0 và bị chặn trên bởi

số M = 4

Chứng minh Với mọi ∀n ∈ N luôn có xn> 0, và xn = (1 +n1)n< (1 + 1n)n+1 6 4

1.2 Giới hạn của dãy số

1.2.1 Những khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.2.1 Số a ∈ R được gọi là giới hạn của dãy (xn) ⊂ R, nếu như với mọi

∀ε > 0 tồn tại số N = N (ε) sao cho với mọi ∀n > N luôn có bất đẳng thức |xn− a| < ε

Chú ý Nếu số a ∈ R là giới hạn của dãy (xn) ⊂ R thì ta viết là lim

1.2.2 Tính chất của giới hạn hữu hạn của dãy số

Định lý 1.2.1 Mọi dãy hội tụ (xn) ⊂ R đều bị chặn

Chú ý Điều ngược lại không đúng Ví dụ dãy an= (−1)n bị chặn nhưng phân kỳ

Định lý 1.2.2 Nếu dãy số (xn) ⊂ R có giới hạn hữu hạn a thì giới hạn đó là duy nhất.Định lý 1.2.3 Nếu dãy số (xn) ⊂ R và (yn) ⊂ R có giới hạn hữu hạn tương ứng là a và bthì luôn có đẳng thức sau:

lim

n→∞|xn| = |a|

lim

n→∞(xn± yn) = a ± blim

n→∞(xn.yn) = a.bNếu bổ sung thêm điều kiện b 6= 0 thì ta có

1.2.3 Giới hạn vô cùng của dãy số

Định nghĩa 1.2.4 Số +∞(−∞; ∞) được gọi giới hạn của dãy số (xn) ⊂ R, nếu như vớimọi ∀M > 0 tồn tại số N = N (M ) >) sao cho với mọi ∀n > N luôn có bất đẳng thức

xn > M (xn< −M ; |xn| > M )

1.2.4 Dãy con

Định nghĩa 1.2.5 Cho dãy số (xn) ⊂ R và n1 < n2 < < nk < một dãy số tự nhiêntăng bất kỳ, khi đó dãy số xn1, xn2, , xnk, được gọi là dãy con của dãy (xn) Dãy conđược kí hiệu là (xnk)

Định nghĩa 1.2.6 Số c ∈ R được gọi là giới hạn riêng của dãy (xn), nếu như tồn tạidãy con (xnk) của dãy (xn), hội tụ đến số c

1.2.5 Mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy số hội

Chú ý Để chứng minh dãy (xn) phân kỳ ta làm như sau:

Cách 1 Chỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn riêng khác nhau

Cách 2 Chỉ ra 1 dãy con phân kỳ

Ví dụ 1.2.1 Nói chung đối với một số dãy số thì có thể tồn tại những giới hạn riêng khácnhau

Đối với dãy (xn) = (−1)n (n ∈ N), dãy con của nó (x2k) = (−1)2k = 1 và (x2k−1) =(−1)2k−1= −1 có giới hạn riêng lần lượt là 1 và -1 Chúng không bằng nhau

Ví dụ 1.2.2 Không phải với dãy số nào cũng có giới hạn riêng

Dãy số 1, 2, , n, không có giới hạn riêng

1.3 Giới hạn của dãy đơn điệu Định lý Weierstrass

Định lý 1.3.1 Nếu dãy số đơn điệu tăng (giảm) (xn) ⊂ R bị chặn trên (dưới): x1 6 x2 6 6 xn 6 6 y (x1 > x2 > > xn > > z), thì nó có giới hạn hữu hạn Còn nếu

như dãy số đơn điệu tăng (giảm) (xn) ⊂ R không bị chặn trên (dưới) thì giới hạn của nó là+∞(−∞).

1.4 Các phương pháp tìm giới hạn của dãy số

1.4.1 Dùng biến đổi đại số để tìm giới hạn của dãy số

Bài 1.4.1 Tìm giới hạn I = lim

Bài 1.4.2 Tìm giới hạn I = lim

n→∞

(n + 1)4− (n − 1)4

(n2+ 1)2− (n2− 1)2.Giải

n2− 1 − n).Giải

I = lim

n→∞

√

n2− 1 + nn(n2− 1 − n2) = limn→∞

n2+ 1 + n) = limn→∞

q

n + n13 +√

nq

Bài 1.4.9 I = lim

n→∞

n

√n

n + 1.Mặt khác lim

n→∞

r2

n→∞

2

(n + 1)(a − 1)2 = 0 nên I = 0

Bài 1.4.14 Tìm giới hạn của dãy an = 1 + 7

Bài 1.4.17 Tìm giới hạn lim

Bài 1.4.18 Tìm giới hạn lim

Bài 1.4.19 Tìm giới hạn lim

Bài 1.4.20 Chứng minh rằng dãy an= 1

Dãy an bị chặn trên Thật vậy

Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ

Bài 1.4.21 Chứng minh rằng dãy an= 1

Dãy an bị chặn trên Thật vậy

Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ

Bài 1.4.22 Chứng minh rằng dãy an= 2

Bài 1.4.23 Cho dãy a1 =√

2, an+1 =√

2an Chứng minh rằng dãy (an) hội tụ và tìm giớihạn của nó

Giải

Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì a1 < a2 < a3 <

Ta sẽ chứng minh dãy an bị chặn trên bởi 2

2an 6√2.2 = 2 Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có an6 2, ∀n ∈ N

Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ

Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì x1 < x2 < x3 <

Ta sẽ chứng minh dãy xn bị chặn trên bởi√

a + 1

Thật vậy, x1 =√

a <√a+1, x2 =pa +√

a <pa +√

a + 1 <pa + 2√

a + 1 =√

a+1.Giả sử đã chứng minh được rằng xn 6√a + 1 Ta sẽ chứng minh an+1 6√a + 1 Thậtvậy, an+1 = √

n→∞xn = 1 +

√

1 + 4a

2 .

Bài 1.4.25 Tìm giới hạn của dãy an được xác định như sau:

0 < a1 < 1, an+1 = an(2 − an), ∀n > 1

Giải

Đầu tiên ta sẽ chứng minh an bị chặn, cụ thể là 0 < an< 1

Thật vậy, ta có 0 < a1 < 1

Giả sử đã chứng minh được rằng 0 < an< 1 Ta sẽ chứng minh 0 < an+1 < 1 Thật vậy,

an+1 = an(2 − an) = 1 − (1 − an)2 Do 0 < (1 − xn)2 < 1 nên 0 < an+1< 1 Vậy theo nguyên

Dãy an là dãy đơn điệu tăng vì a1 < a2 < a3 <

Ta sẽ chứng minh dãy an bị chặn trên bởi k−1√

Vậy theo nguyên lý qui nạp ta có an 6 k−1√5, ∀n ∈ N

Như vậy, dãy an đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên nên nó hội tụ

Bài 1.4.27 Chứng minh rằng dãy an= n!

nn hội tụ và tìm giới hạn của nó

1.4.7 Dùng mối quan hệ giữa giới hạn riêng và giới hạn của dãy

số để chứng minh dãy số phân kỳ

Định lý 1.4.3 Nếu dãy (xn) hội tụ thì tất cả giới hạn riêng của dãy (xn) đều bằng nhau vàbằng giới hạn của dãy số (xn)

Chú ý Để chứng minh dãy (xn) phân kỳ ta làm như sau:

Cách 1 Chỉ ra 2 dãy con hội tụ về 2 giới hạn riêng khác nhau

Cách 2 Chỉ ra 1 dãy con phân kỳ

Bài 1.4.32 Chứng minh rằng dãy an= (−1)n2n + 3

3 khi n → ∞.

Vậy tồn tại 2 dãy con có giới hạn khác nhau nên dãy đã cho phân kỳ

Chương 2

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

2.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm

Cho X ⊂ R là 1 tập hợp số nào đó, còn a ∈ R là 1 số cố định nào đó

Định nghĩa 2.1.1 Nếu số a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X ⊂ R, thì tồn tại dãy số(xn) ⊂ X \ a hội tụ về điểm a này xn → a

Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp số X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giới hạn của tậphợp X

Định nghĩa 2.1.2 (theo Côsi) Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → a,nếu như với mọi ∀ε > 0 tồn tại ∃δ = δ(ε) > 0 sao cho với mọi ∀x ∈ X \ a thỏa mãn

|x − a| < δ luôn có |f (x) − A| < ε

Định nghĩa 2.1.3 (theo Gene)

Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → a, nếu như với mọi dãy

∀(xn) ⊂ X \a hội tụ về a : xn → a, dãy giá trị của hàm số tương ứng hội tụ về A : f (xn) → A

2.2 Giới hạn của hàm số từ một phía

Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ R còn a ∈ R là 1 số nào đó Xét tập hợp

Xa+ = {x ∈ X \ x > a} và Xa−= {x ∈ X \ x < a}

Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ R còn a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp

Xa+(Xa−)

Định nghĩa 2.2.1 (giới hạn của hàm số từ 1 phía)

Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → a từ bên phải (từ bên trái) nếunhư

f (0 − 0) = lim

x→0−0f (x) = −1

Cho a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp X+

a = {x ∈ X \ x > a} và tập hợp Xa− = {x ∈

X \ x < a} Khi đó a cũng là điểm giới hạn của tập hợp X Khi đó ta có định lý sau:

Định lý 2.2.1 (về mối quan hệ giữa giới hạn từ 2 phía và từ 1 phía của hàm số tại 1 điểm.)Đẳng thức lim

x→af (x) = A tương đương với 2 đẳng thức sau

x→a−0f (x) = A

2.3 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại điểm vô cùng

Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và +∞(−∞, ∞) là điểm giới hạn của tậphợp X

Định nghĩa 2.3.1 Số A ∈ R được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → +∞(x →

−∞, x → ∞) nếu như với mọi ∀ε > 0 tồn tại số ∃N = N (ε) > 0 sao cho với mọi ∀x ∈ Xthỏa mãn bất đẳng thức x > N (x < −N, |x| > N ) luôn có bất đẳng thức |f (x) − A| < ε

2.4 Giới hạn vô cùng của hàm số tại một điểm

Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợp Xnày

Định nghĩa 2.4.1 Số +∞(−∞, ∞) được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → a nếunhư với mọi ∀M > 0 tồn tại số δ = δ(M ) > 0 sao cho với mọi ∀x ∈ X \ a thỏa mãn bấtđẳng thức |x − a| < δ luôn có bất đẳng thức f (x) > M (f (x) < −M, |f (x)| > M )

2.5 Giới hạn vô cùng của hàm số tại điểm vô cùng

Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và +∞(−∞, ∞) là điểm giới hạn của tậphợp X

Định nghĩa 2.5.1 Số +∞(−∞, ∞) được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → +∞(x →

−∞, x → ∞) nếu như với mọi ∀M > 0 tồn tại số ∃N = N (M ) > 0 sao cho với mọi ∀x ∈ Xthỏa mãn bất đẳng thức x > N (x < −N, |x| > N ) luôn có bất đẳng thức f (x) > M (f (x) <

−M, |f (x)| > M )

2.6 Giới hạn vô cùng bé của hàm số

Cho hàm số α = α(x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giới hạn của tậphợp X

Định nghĩa 2.6.1 Hàm số α = α(x) được gọi là hàm vô cùng bé khi x → a, nếu như giớihạn của nó bằng 0 : lim

x→aα(x) = 0

2.7 Giới hạn vô cùng lớn của hàm số

Cho hàm số f (x) xác định trên tập hợp X ⊂ R và số a ∈ R là điểm giới hạn của tập hợpX

Định nghĩa 2.7.1 Hàm số f (x) được gọi là hàm vô cùng lớn khi x → a nếu lim

x→a|f (x)| =+∞

y→bg(y) = c và tồn tại số δ0 > 0 sao cho với mọi ∀x ∈

X \ a thỏa mãn bất đẳng thức |x − a| < δ0 luôn có f (x) 6= b thì giới hạn của hàm hợp làlim

2.11 So sánh hàm vô cùng bé

Cho hàm số α = α(x) và β = β(x) xác định trên cùng 1 tập xác định X ⊂ R và số a ∈ R làđiểm giới hạn của tập hợp X

Cho hàm số α = α(x) và β = β(x) với cùng 1 tập xác định X ⊂ R là những hàm vôcùng bé khi x → a, khi đó nếu như

β(x) = ∞ thì α(x) được gọi là hàm vô cùng bé có bậc thấp hơn β(x).

4 không tồn tại lim

x→a

α(x)β(x) hữu hạn hay vô cùng thì α(x), β(x) được gọi là những hàm vôcùng bé không so sánh được

2.12 Những hàm vô cùng bé tương đương

Định nghĩa 2.12.1 Những hàm vô cùng bé α = α(x) và β = β(x) khi x → a được gọi làtương đương nếu như lim

x→a

α(x)β(x) = 1.

Định lý 2.12.1 (nguyên lý thay thế hàm vô cùng bé tương đương.)

Cho hàm vô cùng bé α = α(x) khi x → a tương đương với hàm vô cùng bé α = α(x) cònhàm vô cùng bé β = β(x) khi x → a tương đương với hàm vô cùng bé β = β(x) Khi đó luôn

có đẳng thức

lim

x→a

α(x)β(x) = limx→a

α(x)β(x)nếu như có ít nhất 1 trong 2 giới hạn trên tồn tại

Bảng những hàm vô cùng bé tương đương

Khi x → 0 những hàm vô cùng bé sau tương đương

Cho hàm số f (x) và g(x) với cùng 1 tập xác định X ⊂ R là những hàm vô cùng lớn khi

x → a, khi đó nếu như

g(x) = 0 thì f (x) được gọi là hàm vô cùng lớn có bậc thấp hơn g(x).

4 không tồn tại lim

x→a

f (x)g(x) hữu hạn hay vô cùng thì f (x), g(x) được gọi là những hàm vôcùng lớn không so sánh được

Định nghĩa 2.13.1 Những hàm vô cùng lớn f (x) và g(x) khi x → a được gọi là tươngđương nếu như lim

x→a

f (x)g(x) = 1.

Những giới hạn cơ bản của vô cùng lớn

Ta có lim

x→0ln(1 + x tan x) = 0 và lim

x→0x2+ sin3x = 0 nên ta có thể thay chúng bằng những

vô cùng bé tương đương

Khi x → 0 thì ln(1 + x tan x) ∼ x tan x ∼ x2 vì ln(1 + u(x)) ∼ u(x) khi u(x) → 0 vàtan x ∼ x

Bài 2.14.6 Hãy so sánh hai vô cùng bé α(x) = x − sin x, β(x) = mx3, m 6= 0.

Bài 2.14.7 Tìm α, β để các vô cùng bé sau đây tương đương f (x) = x cos x − sin x, g(x) =

αxβ, khi x → 0

Bài 2.14.8 Tìm α, β để các vô cùng bé sau đây tương đương f (x) = x − x

2

2 − ln(1 +x)x, g(x) = αxβ, khi x → 0

2.14.3 Tìm giới hạn của hàm một biến bằng cách thay vô cùng

Bài 2.14.12 I = lim

n→∞

ln(n2− n + 1)ln(n10+ n + 1)

Bài 2.14.16 Vô cùng lớn nào sau đây có bậc cao nhất khi x → +∞ : 2x, x2, x2+sin4x, x ln x

2.14.5 Tìm giới hạn của hàm một biến dùng giới hạn cơ bản lim

x→0(1+ u(x))u(x)1 = e, biết rằng khi x → a thì u(x) → 0.

x

2.14.6 Tìm giới hạn của biểu thức có dạng f (x)g(x) khi x → a

Tìm giới hạn của những dãy số sau: