Bài Tập Giao Thoa Với ánh Sáng Trắng Có đáp án Chi Tiết - Tự Học 365

BÀI TẬP GIAO THOA VỚI ÁNH SÁNG TRẮNG

Ví dụ 1: Trong thí nghiệm giao thoa Y-âng, khoảng cách giữa hai khe là $1\text{ mm}$, khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe đến màn $1\ \text{m}$. Nguồn sáng S phát ánh sáng trắng có bước sóng nằm trong khoảng từ $0,38\text{ }\mu m$ đến $0,76\text{ }\mu m$. Thí nghiệm thực hiện trong không khí. a) Tính độ rộng của quang phổ bậc 4 quan sát được trên màn. b) Tính bề rộng khoảng chồng chập của quang phổ bậc 3 và bậc 5. c) Hỏi tại điểm M trên màn cách vân sáng trung tâm $3,5\,\,\text{mm}$ những bức xạ nào cho vân sáng? Cho vân tối? d) Trên màn M là vị trí gần vân trung tâm nhất có đúng 3 bức xạ cho vân sáng. Tìm khoảng cách từ M đến vân trung tâm.

Lời giải:

a) Bề rộng quang phổ bậc 4 trên màn tính theo công thức:

${{\delta }_{4}}=x_{4}^{D}-x_{4}^{T}=4\frac{\left( {{\lambda }_{_{D}}}-{{\lambda }_{T}} \right)D}{a}=4\frac{\left( 0,76-0,38 \right).1}{1}=1,52\text{ mm}.$

b) Bề rộng khoảng chồng chập của quang phổ bậc 3 và bậc 5 là:

$\Delta x=x_{thap}^{D}-x_{cao}^{T}=x_{3}^{D}-x_{5}^{T}=\left( 3{{\lambda }_{D}}-5{{\lambda }_{T}} \right).\frac{D}{a}=\left( 3.0,76-5.0,38 \right)\frac{1}{1}=0,38\ mm.$

c) Tai điểm M bức xạ $\lambda $cho vân sáng thì ${{x}_{M}}=k\frac{\lambda D}{a}\Rightarrow \lambda =\frac{a{{x}_{M}}}{kD}=\frac{3,5}{k}\mu m\text{ }\left( 1 \right)$

Do $0,38\le \lambda \le 0,76\Rightarrow 4,6\le k\le 9,2\Rightarrow k=\left\{ 5,6,7,8,9 \right\}$

Thay các giá trị k vào $\left( 1 \right)$ ta tìm được bước sóng của các bức xạ cho vân sáng tại M:

k	5	6	7	8	9
$\lambda \,\,\left( \mu m \right)$	$0,7$	7/12	$0,5$	7/16	7/18

Tại điểm M bức xạ $\lambda $ cho vân tối thì ${{x}_{M}}=\left( m+0,5 \right)\frac{\lambda D}{a}$

$\Rightarrow \lambda =\frac{a{{x}_{M}}}{\left( m+0,5 \right)D}=\frac{3,5}{m+0,5}\text{ }\mu m\text{ }\left( 2 \right)$

Do $0,38\le \frac{3,5}{m+0,5}\le 0,76\Rightarrow 4,1\le m\le 8,7\Rightarrow m=\left\{ 5,6,7,8 \right\}$

Thay các giá trị k vào $\left( 2 \right)$ ta tìm được bước sóng của các bức xạ cho vân tối tại M:

k	5	6	7	8
$\lambda \,\,\left( \mu m \right)$	7/11	7/13	7/15	7/17

d) Vị trí có 3 bức xạ cho vân sáng: $n+1=3\Rightarrow n=2$

Để tại M có đúng 3 bức xạ chồng nhau thì vân màu tím quang phổ bậc k phải chồng lên vân màu đỏ quang phổ bậc $\left( k-2 \right)$ tức là:

$x_{T}^{k}\le x_{D}^{k-2}\Rightarrow k\frac{{{\lambda }_{T}}D}{a}\le \left( k-2 \right)\frac{{{\lambda }_{D}}D}{a}$

$\Rightarrow k\ge 2\frac{{{\lambda }_{D}}}{{{\lambda }_{D}}-{{\lambda }_{T}}}=2\frac{0,76}{0,76-0,38}=4\Rightarrow k=4,5,6,...$

Vị trí M gần nhất để tại đó có đúng 3 bức xạ cho vân sáng là ${{x}_{M\min }}=4\frac{{{\lambda }_{T}}D}{a}=\frac{4.0,38.1}{1}=1,52\text{ mm}.$

Ví dụ 2: Trong thí nghiệm Y-âng, các khe ${{S}_{1}}$ và ${{S}_{2}}$ được chiếu sáng bởi ánh sáng gồm 3 đơn sắc: đỏ, vàng, chàm thì trong quang phổ bậc 1, tính từ vân chính giữa đi ra ta sẽ thấy các đơn sắc theo thứ tự là A. vàng, chàm, đỏ. B. chàm, đỏ, vàng. C. chàm, vàng, đỏ. D. đỏ, vàng, chàm.

Lời giải:

Ở chính giữa, mỗi ánh sáng đơn sắc đều cho một vạch màu riêng, tổng hợp của chúng ta thấy có vạch sáng trắng.

Do bước sóng của tia tím nhỏ nhất $\Rightarrow $ khoảng vân của tia tím $i=\frac{{{\lambda }_{T}}D}{a}$ nhỏ nhất và làm cho tia tím gần vạch trung tâm nhất (xét cùng một bậc giao thoa).

$\Rightarrow $ Thứ tự các vân sáng đơn sắc từ chính giữa đi ra là: tím, chàm, lục, lam, vàng, cam, đỏ.

Chọn C.

Ví dụ 3: Trong thí nghiệm Y-ângvề giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu bằng ánh sáng trắng có bước sóng từ $0,38\text{ }\mu \text{m}$ đến $0,76\text{ }\mu \text{m}$. Khoảng cách giữa hai khe là $0,8\text{ mm}$, khoảng cách từ mặt phẳng chứ hai khe đến màn quan sát là $1,2\text{ m}\text{.}$ Độ rộng quang phổ bậc 3 (nằm về một phía so với vân sáng trung tâm) là: A. $0,57\text{ mm}\text{.}$ B. $1,14\text{ mm}\text{.}$ C. $1,71\text{ mm}.$ D. $2,36\text{ mm}\text{.}$

Lời giải:

Độ rộng quang phổ bậc 3 (nằm về một phía so với vân sáng trung tâm) là

${{\delta }_{3}}=x_{3}^{D}-x_{3}^{T}=3\frac{{{\lambda }_{D}}D}{a}-3\frac{{{\lambda }_{T}}D}{a}$

$=3\frac{\left( {{\lambda }_{D}}-{{\lambda }_{T}} \right)D}{a}=3\frac{\left( 0,{{76.10}^{-6}}-0,{{38.10}^{-6}} \right).1,2}{0,{{8.10}^{-3}}}=1,{{71.10}^{-3}}\text{ m = 1,71 mm}\text{.}$

Chọn C.

Ví dụ 4: Trong thí nghiệm giao thoa ánh sáng khe Y-âng, khoảng cách giữa 2 khe ${{S}_{1}}$, ${{S}_{2}}$ bằng $1\text{ mm}$, khoảng cách từ hai khe đến màn quan sát là $D=2\text{ m}\text{.}$ Chiếu vào 2 khe bằng chùm sáng trắng có bước sóng $\lambda $ $\left( 0,38\text{ }\mu \text{m}\le \lambda \le \text{ 0,76 }\mu \text{m} \right)$. Bề rộng đoạn chồng chập của quang phổ bậc $n=5$ và quang phổ bậc $t=7$ trên trường giao thoa bằng A. $\Delta x=\text{ 0,76 mm}\text{.}$ B. $\Delta x=\text{ 2,28 mm}\text{.}$ C. $\Delta x=\text{ 1,14 mm}\text{.}$ D. $\Delta x=\text{ 1,44 mm}\text{.}$

Lời giải:

Bề rộng vùng chồng chập:

$\Delta {{x}_{5-7}}=x_{5}^{D}-x_{7}^{T}=5\frac{{{\lambda }_{D}}D}{a}-7\frac{{{\lambda }_{T}}D}{a}\Rightarrow \Delta {{x}_{5-7}}=5.\frac{0,76.2}{1}-7.\frac{0,38.2}{1}=2,28\text{ mm}\text{.}$ Chọn B.

Ví dụ 5: Trong thí nghiệm Y-âng dùng ánh sáng trắng có bước sóng từ $0,4\text{ }\mu \text{m}$ đến$0,75\text{ }\mu \text{m}$. Bề rộng quang phổ bậc 1 là $0,7\text{ mm}\text{.}$ Khi dịch màn ra xa khe thêm 40 cm thì bề rộng quang phổ bậc 1 là $0,84\text{ mm}\text{.}$ Khoảng cách giữa hai khe ${{S}_{1}}$, ${{S}_{2}}$ là A. $1\text{ mm}\text{.}$ B. $1,3\text{ mm}\text{.}$ C.$1,5\text{ mm}\text{.}$ D. $1,7\text{ mm}\text{.}$

Lời giải:

Độ rộng quang phổ bậc 1 là: ${{\delta }_{1}}=x_{1}^{D}-x_{1}^{T}=\left( {{\lambda }_{D}}-{{\lambda }_{T}} \right)\frac{D}{a}$

Khi chưa dịch màn: ${{\delta }_{1}}=\left( {{\lambda }_{D}}-{{\lambda }_{T}} \right)\frac{D}{a}\text{ }\Leftrightarrow \text{ 0,7 = }\left( 0,75-0,4 \right)\frac{D}{a}\text{ }\left( 1 \right)$

Khi dịch màn: ${{\delta }_{1}}=\left( {{\lambda }_{D}}-{{\lambda }_{T}} \right)\frac{D+0,4}{a}\text{ }\Leftrightarrow \text{ 0,84 =}\,\left( 0,75-0,4 \right)\frac{D+0,4}{a}\text{ }\left( 2 \right)$

Chia vế cho vế của $\left( 1 \right)$ cho $\left( 2 \right)$ ta được: $\frac{0,7}{0,84}=\frac{D}{D+0,4}\Rightarrow \text{ D = 2 m}$

Thay $D=2\text{ m}$ lên $\left( 1 \right)$, ta được: $0,7=\left( 0.75-0,4 \right).\frac{2}{a}\Rightarrow a=1\text{ mm}.$ Chọn A.

Ví dụ 6: [Trích đề thi THPT QG năm 2010] Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu bằng ánh sáng trắng có bước sóng từ $380\text{ nm}$ đến $760\text{ nm}\text{.}$ Khoảng cách giữa hai khe là $0,8\ \text{mm}$, khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe đến màn quan sát là $2\text{ m}\text{.}$ Trên màn, tại vị trí cách vân trung tâm $3\ \text{mm}$ có vân sáng của các bức xạ với bước sóng A. $0,40\text{ }\mu \text{m}$ và $0,64\text{ }\mu \text{m}\text{.}$ B. $0,48\ \mu \text{m}$ và $0,56\text{ }\mu \text{m}\text{.}$ C. $0,45\text{ }\mu \text{m}$ và $0,60\text{ }\mu \text{m}\text{.}$ D. $0,40\text{ }\mu \text{m}$ và $0,60\text{ }\mu \text{m}\text{.}$

Lời giải:

Giả sử tại vị trí có tọa độ $x=3\text{ mm}$ trùng với vân sáng bậc $k$ của bức xạ có bước sóng $\lambda $, ta có:

$x=k\frac{\lambda D}{a}\Rightarrow k=\frac{ax}{\lambda D}$

Do ${{\lambda }_{\min }}=\text{0,38}\mu m\le \lambda \le 0,76\mu m={{\lambda }_{\max }}$ nên $\frac{ax}{{{\lambda }_{\max }}D}\le k\le \frac{ax}{{{\lambda }_{\min }}D}$

$\Leftrightarrow \frac{0,{{8.10}^{-3}}{{.3.10}^{-3}}}{0,{{76.10}^{-6}}.2}\le k\le \frac{0,{{8.10}^{-3}}{{.3.10}^{-3}}}{0,{{38.10}^{-6}}.2}\Leftrightarrow 1,6\le k\le 3,2$

Do $k\in Z$ nên có 2 bức xạ cho vân sáng trùng nhau tại vị trí có $x=3\text{ mm}$ và bước sóng tương ứng là

k	2	3
$\lambda =\frac{ax}{kD}\,\,\left( \mu m \right)$	$0,6\text{ }\mu m$	$0,4\text{ }\mu \text{m}$

Chọn D.

Ví dụ 7: Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu bằng ánh sáng trắng có bước sóng từ $0,38\mu m$ đến $0,76\mu m$. Khoảng cách giữa hai khe là $1,2\text{ mm}$, khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe đến màn quan sát là $2\text{ m}\text{.}$ Trên màn, tại vị trí cách vân trung tâm $1,5\text{ mm}$ có vân tối của bức xạ có bước sóng A. $0,45\,\,\mu m$ và $0,52\,\,\mu m.$ B. $0,52\,\,\mu m.$ C.$0,60\,\,\mu m.$ D. $0,6\,\,\mu m$ và $0,75\,\,\mu m.$

Lời giải:

Tại $x=\text{ 1,5 mm}$có sự trùng nhau của các vân tối:

${{x}_{M}}=\left( k+0,5 \right)\frac{\lambda D}{a}\Rightarrow k=\frac{a{{x}_{M}}}{\lambda D}-0,5$

Do ${{\lambda }_{\min }}=0,38\mu m\le \lambda \le 0,76\mu m={{\lambda }_{\max }}$ nên $\frac{ax}{{{\lambda }_{\max }}D}-0,5\le k\le \frac{ax}{{{\lambda }_{\min }}D}-0,5$

$\Leftrightarrow \frac{1,{{2.10}^{-3}}.1,{{5.10}^{-3}}}{0,{{76.10}^{-6}}.2}-0,5\le k\le \frac{1,{{2.10}^{-3}}.1,{{5.10}^{-3}}}{0,{{38.10}^{-6}}.2}-0,5\Leftrightarrow 0,7\le k\le 1,9$

Do $k\in Z$ nên có 1 bức xạ $k=1$ cho vân tối tại vị trí có $x=\text{ 1,5 mm}$và bước sóng tương ứng là

$\lambda =\frac{ax}{\left( k+0,5 \right)D}-0,5=\frac{1,{{2.10}^{-3}}.1,{{5.10}^{-3}}}{\left( 1+0,5 \right).2}=0,{{6.10}^{-6}}\text{ m = 0,6 }\mu \text{m}\text{.}$ Chọn C.

Ví dụ 8: [Trích đề thi THPT QG năm 2009] Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, hai khe được chiếu bằng ánh sáng trắng có bước sóng từ $0,38\text{ }\mu \text{m}$ đến $0,76\text{ }\mu \text{m}\text{.}$ Tại vị trí vân sáng bậc 4 của ánh sáng đơn sắc có bước sóng $0,76\text{ }\mu \text{m}$ còn có bao nhiêu vân sáng nữa của các ánh sáng đơn sắc khác ? A. 8. B. 7. C. 4. D. 3.

Lời giải:

Tại vị trí ${{x}_{M}}$ là sự trùng nhau của vân sáng bậc 4 màu đỏ $0,76\text{ }\mu \text{m}$và bậc k của các màu khác, ta có:

xM = 4iđ = ki

$\Leftrightarrow 4{{\lambda }_{d}}=k\lambda \Rightarrow k=\frac{4{{\lambda }_{d}}}{\lambda }=\frac{4.0,76}{\lambda }$

Do ${{\lambda }_{\min }}=0,38\text{ }\mu \text{m}\le \lambda \le \text{0,76 }\mu \text{m = }{{\lambda }_{\max }}\Rightarrow \frac{4.0,76}{0,76}<k\le \frac{4.0,76}{0,38}\Leftrightarrow 4<k\le 8$

Do $k\in Z$ nên có 4 giá trị của $k=5,6,7,8$ ứng với ứng với 4 vân sáng khác màu đỏ tại M.

Chọn C.

Ví dụ 9: Thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng. Khoảng cách giữa hai khe là 1 mm, màn quan sát đặt song song với mặt phẳng chứa hai khe và cách hai khe $2\text{ m}$. Chiếu sáng hai khe bằng ánh sáng trắng có bước sóng $0,400\text{ }\mu m\le \lambda \ge 0,750\text{ }\mu \text{m}\text{.}$ Bước sóng lớn nhất của các bức xạ cho vân tối tại điểm N trên màn, cách vân trung tâm $12\text{ mm}$ là A. $0,735\text{ }\mu \text{m}\text{.}$ B. $0,685\text{ }\mu \text{m}\text{.}$ C. $0,705\text{ }\mu \text{m}\text{.}$ D. $0,735\text{ }\mu \text{m}\text{.}$

Lời giải:

Bước sóng của bức xạ cho vân tối tại vị trí x:

$x=\left( k+0,5 \right).\frac{\lambda D}{a}\Rightarrow \lambda =\frac{ax}{\left( k+0,5 \right).D}=\frac{1.12}{\left( k+0,5 \right).2}=\frac{6}{k+0,5}\,\,\left( \mu m \right)$

Cho $\lambda $ vào điều kiện bước sóng của ánh sáng trắng:

${{\lambda }_{d}}\le \lambda \le {{\lambda }_{t}}\Rightarrow 0,4\le \frac{6}{k+0,5}\ge 0,75\Rightarrow 7,5\le k\le 14,5\Rightarrow k=\left\{ 8;...14 \right\}$

Trong các bước sóng của các bức xạ cho vân tối tại M, bước sóng ứng với $k=8$ là bước sóng dài nhất ($\lambda $càng lớn khi $k$ càng nhỏ) là: ${{\lambda }_{\max }}=\frac{6}{8+0,5}=0,705\text{ }\mu \text{m}\text{.}$ Chọn C.

Ví dụ 10: Trong một thí nghiệm về giao thoa ánh sáng, khoảng cách giữa hai khe sáng là $0,8\text{ mm}$, khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe đến màn là $1,6\text{ m}$. Dùng ánh sáng trắng có bước sóng từ $0,40\text{ }\mu \text{m}$ đến $0,76\text{ }\mu \text{m}\text{.}$ Trên màn, khoảng cách từ vân sáng trung tâm đến vị trí gần nhất mà tại đó có sự trùng nhau của hai ánh sáng đơn sắc có bước sóng khác nhau là A. $1,6\text{ mm}\text{.}$ B. $2,4\text{ mm}\text{.}$ C. $1,52\text{ mm}\text{.}$ D. $3,04\text{ mm}\text{.}$

Lời giải:

Điều kiện để một vị trí có hai quang phổ bậc $k$ và $k+1$ chồng chập lên nhau là

$x_{1}^{k+1}\le x_{2}^{k}\Leftrightarrow \left( k+1 \right)\frac{{{\lambda }_{1}}D}{a}\le k\frac{{{\lambda }_{2}}D}{a}\Rightarrow \left( k+1 \right){{\lambda }_{1}}-k{{\lambda }_{2}}\le 0$

$\Leftrightarrow \left( k+1 \right).0,4-k.0,76\le 0\Rightarrow k\ge 1,11$

Vậy hiện tượng chồng chập bắt đầu xảy ra giữa quang phổ bậc 2 và bậc 3. Vị trí có hai vân chồng chập lên nhau và gần vân trung tâm nhất chính là vị trí vân sáng bậc 3 của bức xạ ${{\lambda }_{1}}.$

Ta có ${{x}_{\min }}=3\frac{{{\lambda }_{1}}D}{a}=3\frac{0,{{4.10}^{-6}}.1,6}{0,{{8.10}^{-3}}}=2,{{4.10}^{-3}}\,m=2,4\text{ mm}\text{.}$ Chọn B.

Ví dụ 11: [Trích đề thi THPT QG 2017] Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, khoảng cách giữa 2 khe là $1\text{ mm}$, khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe đến màn quan sát là $2\text{ m}\text{.}$ Chiếu vào hai khe ánh sáng trắng có bước sóng $380\text{ nm}$ đến $760\text{ nm}\text{.}$Trên màn, M là vị trí gần vân trung tâm nhất có đúng 5 bức xạ cho vân sáng. Khoảng cách từ M đến vân trung tâm có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây? A. $6,7\text{ mm}\text{.}$ B. $6,3\text{ mm}\text{.}$ C. $5,5\text{ mm}\text{.}$ D. $5,9\text{ mm}\text{.}$

Lời giải:

Có sự chồng chập của 5 bức xạ khi vân tím bậc cao $\left( k \right)$ ở dưới vân đỏ bậc thấp $\left( k-4 \right):$

${{x}_{tk}}\le {{x}_{d\left( k-4 \right)}}\Leftrightarrow k.{{\lambda }_{1}}\le \left( k-4 \right){{\lambda }_{d}}\Leftrightarrow k.380\le \left( k-4 \right).760\Rightarrow k\ge 8$

$\Rightarrow $ Vị trí gần vân trung tâm nhất có 5 bức xạ trùng nhau là vị trí vân tím bậc 8

$\Rightarrow {{x}_{t8}}=\frac{{{8.380.10}^{-9}}.2}{{{10}^{-3}}}=6,{{08.10}^{-3}}\ \text{m = 6,08 mm}\text{.}$ Chọn D.

Ví dụ 12: Trong thí nghiệm Y-âng về giao thoa ánh sáng, nguồn sáng phát ra ánh sáng trắng có bước sóng từ $380\text{ nm}$ đến $760\text{ nm}\text{.}$ Trên màn quan sát, tại điểm M có đúng 4 bức xạ cho vân sáng có bước sóng $735\text{ nm; 490 nm; }{{\lambda }_{1}}\text{ }v\grave{a}\text{ }{{\lambda }_{2}}.$ Tổng giá trị ${{\lambda }_{1}}+{{\lambda }_{2}}$ bằng A. $1078\ \text{nm}\text{.}$ B. $1080\text{ nm}\text{.}$ C. $1008\text{ nm}\text{.}$ D. $1181\text{ nm}\text{.}$

Lời giải:

Tại M có 4 vân trùng: ${{k}_{1}}.735={{k}_{2}}.490={{k}_{3}}{{\lambda }_{3}}={{k}_{4}}{{\lambda }_{4}}\text{ }\left( 1 \right)$

$\Rightarrow \frac{{{k}_{1}}}{{{k}_{2}}}=\frac{490}{735}=\frac{2}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}{{k}_{1}}=2n \\{{k}_{2}}=3n \\\end{matrix}\Rightarrow {{x}_{M}}=\frac{2n.735.D}{a}=\frac{1470nD}{a} \right.$

Tại M ngoài 2 bức xạ $735\text{ nm }v\grave{a}\text{ 490 nm}$ cho vân sáng thì còn có 2 bức xạ khác cũng cho vân sáng.

$\Rightarrow {{x}_{M}}=\frac{1470nD}{a}=\frac{k\lambda D}{a}\Rightarrow \lambda =\frac{1470n}{k}\Rightarrow 380\le \frac{1470}{k}\le 760\Leftrightarrow 1,93n\le k\le 3,87n$

+) Với n = 1: $1,93\le k\le 3,87\Rightarrow k=2;3\Rightarrow $ Tại M có 2 bức xạ cho vân sáng (loại)

+) Với n = 2: $3,86\le k\le 7,74\Rightarrow k=4;5;6;7\Rightarrow $ Tại M có 4 bức xạ cho vân sáng (thỏa mãn) ứng với:

${{\lambda }_{1}}=\frac{1470.2}{4}=735\text{ nm;}{{\lambda }_{3}}=\frac{1470.2}{5}=588\text{ nm;}{{\lambda }_{2}}=\frac{1470.2}{6}=490\text{ nm;}{{\lambda }_{4}}=\frac{1470.2}{7}=420\text{ nm;}$

$\Rightarrow {{\lambda }_{3}}+{{\lambda }_{4}}=588+420=1008\,\,\text{nm}.$ Chọn C.