Bài Tập Môn Toán Cao Cấp A1 - Thư Viện Đề Thi

Có thể bạn quan tâm

Trang Chủ
Đăng ký
Đăng nhập
Upload
Liên hệ

Trang Chủ › Cao Đẳng - Đại Học Bài tập môn Toán cao cấp A1 pdf

6 trang

tranhong

2513

1 Download Bạn đang xem tài liệu "Bài tập môn Toán cao cấp A1", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

ĐỀ SỐ 1, K15, THI NGÀY 24-12-2012 Câu 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại tại 𝑥 = 0: 𝑓 𝑥 = ln cos2 𝑥 𝑥2 𝑘ℎ𝑖 𝑥 ≠ 0 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 = 0 . Câu 2. Tính các giới hạn sau: 𝑎) lim 𝑥→0 arcsin𝑥 − 𝑥 𝑥2arctan𝑥 ; 𝑏) lim 𝑥→0 1 + 𝑥 1 𝑥 𝑒 1 𝑥 . Câu 3. Tính các tích phân sau: 𝑎) 8𝑥3 + 16𝑥 𝑥2 + 4 2 𝑑𝑥 ; 𝑏) cos3𝑥𝑑𝑥 sin 𝑥 3 − 𝜋 4 − 𝜋 2 . Câu 4. Tính tích phân suy rộng 1 𝑥2 sin 1 𝑥 ∞ 2 𝜋 𝑑𝑥. Câu 5. Giải phương trình 𝑦′ + 𝑥𝑦 = 𝑒𝑥 2 𝑦3 . Câu 6. Giải phương trình sai phân 𝑥𝑛+4 − 3𝑥𝑛+3 + 3𝑥𝑛+2 − 3𝑥𝑛+1 + 2𝑥𝑛 = 5 ∙ 2 𝑛+1 . Câu 7. Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất hai loại sản phẩm. Giả sử tổng chi phí kết hợp là 𝑇𝐶 = 3𝑄1 2 + 5𝑄2 2 + 7𝑄1𝑄2. Giá của các loại sản phẩm lần lượt là 230$ và 305$. Hãy tìm mức sản lượng các loại sản phẩm để doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1, NGÀY 24-12-2012 Câu 1 (1 điểm). lim 𝑥→0 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→0 ln cos2 𝑥 𝑥2 = lim 𝑥→0 ln 1 − sin2 𝑥 𝑥2 = lim 𝑥→0 − sin2 𝑥 𝑥2 = −1 ≠ 𝑓 0 , nên 𝑓 gián đoạn tại 𝑥 = 0. Câu 2 (1+1 điểm). a) lim 𝑥→0 arcsin 𝑥−𝑥 𝑥2arctan 𝑥 = lim 𝑥→0 arcsin 𝑥−𝑥 𝑥3 = 𝐿 lim 𝑥→0 1 1−𝑥2 −1 3𝑥2 = lim 𝑥→0 1− 1−𝑥2 3𝑥2 1−𝑥2 = lim 𝑥→0 1− 1−𝑥2 3𝑥2 1−𝑥2 1+ 1−𝑥2 = lim 𝑥→0 1 3 1 − 𝑥2 1 + 1 − 𝑥2 = 1 6 . b) Đây là giới hạn dạng 1∞ , nên lim 𝑥→0 1+𝑥 1 𝑥 𝑒 1 𝑥 = lim 𝑥→0 𝑒 1 𝑥 1+𝑥 1 𝑥 𝑒 −1 . lim 𝑥→0 1 𝑥 1 + 𝑥 1 𝑥 𝑒 − 1 = lim 𝑥→0 1 + 𝑥 1 𝑥𝑒−1 − 1 𝑥 = lim 𝑥→0 𝑒 1 𝑥 ln 1+𝑥 −1 − 1 𝑥 = lim 𝑥→0 𝑒 1 𝑥 𝑥− 𝑥2 2 +𝑜 𝑥2 −1 − 1 𝑥 = lim 𝑥→0 𝑒 −𝑥 2 + 𝑜 𝑥2 𝑥 − 1 −𝑥 2 + 𝑜 𝑥2 𝑥 ∙ lim 𝑥→0 −𝑥 2 + 𝑜 𝑥2 𝑥 𝑥 = 1 ∙ lim 𝑥→0 −1 2 + 𝑜 𝑥2 𝑥2 = −1 2 . Giới hạn phải tìm bằng 𝑒 −1 2 . Cách khác: lim 𝑥→0 ln 1 + 𝑥 1 𝑥 𝑒 1 𝑥 = lim 𝑥→0 1 𝑥 ln 1 + 𝑥 𝑥 − 1 = lim 𝑥→0 ln 1 + 𝑥 − 𝑥 𝑥2 = 𝐿 lim 𝑥→0 1 1 + 𝑥 − 1 2𝑥 = lim 𝑥→0 −1 2 1 + 𝑥 = −1 2 . Câu 3 (1+1 điểm). 𝑎) 8𝑥3 + 16𝑥 𝑥2 + 4 2 𝑑𝑥 = 4𝑥2 + 8 𝑥2 + 4 2 𝑑 𝑥2 + 4 = 𝑡=𝑥2+4 4𝑡 − 8 𝑑𝑡 𝑡2 = 4 𝑡 − 8 𝑡2 = 4 ln 𝑡 + 8 𝑡 + 𝐶 = 4 ln 𝑥2 + 4 + 8 𝑥2 + 4 + 𝐶. 𝑏) cos3𝑥𝑑𝑥 sin𝑥 3 − 𝜋 4 − 𝜋 2 = 1 − sin2𝑥 𝑑 sin𝑥 sin𝑥 3 − 𝜋 4 − 𝜋 2 = 𝑡= sin 𝑥 3 1 − 𝑡6 𝑑𝑡3 𝑡 − 1 2 6 −1 = 3 𝑡 − 𝑡7 𝑑𝑡 − 1 2 6 −1 = 3 𝑡2 2 − 𝑡8 8 |−1 − 1 2 6 = 3 1 2 3 1 2 − 1 16 − 1 2 − 1 8 = 21 16 2 3 − 9 8 . Câu 4 (1 điểm). 1 𝑥2 sin 1 𝑥 ∞ 2 𝜋 𝑑𝑥 = 𝑡= 1 𝑥 − sin 𝑡 𝑑𝑡 0 𝜋 2 = sin 𝑡 𝑑𝑡 𝜋 2 0 = − cos 𝜋 2 + cos 0 = 1. Câu 5 (1 điểm).  Giả sử 𝑦 ≠ 0. Ta có: 𝑦′ + 𝑥𝑦 = 𝑒𝑥 2 𝑦3 ⟺ 𝑦′𝑦−3 + 𝑥𝑦−2 = 𝑒𝑥 2 . Thay 𝑧 = 𝑦−2 ⟹ 𝑧′ = −2𝑦′𝑦−3, ta có phương trình vi phân tuyến tính: 1 −2 𝑧′ + 𝑥𝑧 = 𝑒𝑥 2 ⟺ 𝑧′ − 2𝑥𝑧 = −2𝑒𝑥 2 . Phương trình này có nghiệm tổng quát là 𝑧 = −2𝑒𝑥 2 𝑒−2 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒2 𝑥𝑑𝑥 = −2 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒𝑥 2 = −2𝑥 + 𝐶 𝑒𝑥 2 . . Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là 𝑦2 −2𝑥 + 𝐶 𝑒𝑥 2 − 1 = 0. (0,5 điểm)  Dễ thấy 𝑦 ≡ 0 cũng là một nghiệm của phương trình đã cho. (0,5 điểm) Câu 6 (1,5 điểm).  Phương trình đặc trưng 4 - 33 + 32 - 3 + 2 = 0  ( - 1)( - 2)(2 + 1) = 0 có tập nghiệm {1; 2; 𝑖; −𝑖}. (0,5 điểm)  Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là 𝑥 𝑛 = 𝐶1 + 𝐶22 𝑛 + 𝐶3 cos 𝑛𝜋 2 + 𝐶4 sin 𝑛𝜋 2 . (0,5 điểm)  Một nghiệm riêng 𝑥𝑛 ∗ của xn+4 – 3xn+3 + 3xn+2 – 3xn+1 + 2xn = 102 n có dạng 𝑥𝑛 ∗ = 𝐴𝑛2𝑛 . Thay vào phương trình đã cho rồi giản ước cho 2n ta có A[(n+4)2 4 – 3(n+3)23 + 3(n+3)22 – 3(n+1)2 + 2n] = 10. Cho n = 0  A = 1  𝑥𝑛 ∗ = 𝑛2𝑛 . Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 𝑥𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑥𝑛 ∗ = 𝐶1 + 𝐶22 𝑛 + 𝐶3 cos 𝑛𝜋 2 + 𝐶4 sin 𝑛𝜋 2 + 𝑛2𝑛 . (0,5 điểm). Câu 7 (1,5 điểm). Hàm lợi nhuận của sản phẩm là Π 𝑄1;𝑄1 = 230𝑄1 + 305𝑄2 − 3𝑄1 2 − 5𝑄2 2 − 7𝑄1𝑄2 . (0,5 điểm) Π𝑄1 ′ = 230 − 6𝑄1 − 7𝑄2 Π𝑄2 ′ = 305 − 7𝑄1 − 10𝑄2 Giải hệ: 230 − 6𝑄1 − 7𝑄2 = 0 305 − 7𝑄1 − 10𝑄2 = 0 , ta có 𝑄1 = 15; 𝑄2 = 20. Π𝑄12 " = −6, Π𝑄22 " = −10, Π𝑄1𝑄2 " = −7 ⟹ 𝐷 = Π𝑄12 " Π𝑄22 " − Π𝑄1𝑄2 " 2 = 11. (0,5 điểm) 𝐷 > 0, Π𝑄12 " < 0 ⟹ Π đạt cực đại tại 𝑄1 = 15,𝑄2 = 20 và tại đó 𝜋 = 4775. (0,5 điểm) ĐỀ SỐ 2, K15, THI NGÀY 24-12-2012 Câu 1. Hàm cầu của một loại sản phẩm độc quyền là 𝑃 = 600 − 2𝑄 $ và tổng chi phí là 𝐶 = 0,2𝑄2 + 28𝑄 + 200 &. Tìm mức sản xuất 𝑄 để lợi nhuận tối đa, tìm mức giá 𝑃 và lợi nhuận khi đó. Nếu chính quyền đặt thuế 22 $ cho mỗi đơn vị sản phẩm thì lợi nhuận tối đa đạt được với mức giá bao nhiêu? Câu 2. Tính các giới hạn sau: 𝑎) lim 𝑥→0 cos 𝑥𝑒𝑥 − cos 𝑥𝑒−𝑥 𝑥3 ; 𝑏) lim 𝑥→+∞ 𝑥 + 2𝑥 1 𝑥 . Câu 3. Tìm cực trị của hàm số 𝑧 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥2 2𝑦 − 𝑦2 (𝑥 > 0; 𝑦 > 0). Câu 4. Tính các tích phân sau: 𝑎) 𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 − 1 ; 𝑏) 𝑑𝑥 2 cos 𝑥 + 3 𝜋 2 0 . Câu 5. Xét sự hội tụ và tính tích phân suy rộng sau (nếu hội tụ) 𝑑𝑥 𝑥2 + 1 2 ∞ 0 . Câu 6. Giải phương trình 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥3𝑦3 . Câu 7. Giải phương trình 𝑦𝑡+2 + 4𝑦𝑡+1 + 3𝑦𝑡 = 16. ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 2, NGÀY 24-12-2012 Câu 1 (1 điểm). Hàm lợi nhuận của sản phẩm là 𝜋 𝑄 = 𝑇𝑅 − 𝐶 = 𝑃 ∙ 𝑄 − 0,2𝑄2 + 28𝑄 + 200 = −2,2𝑄2 + 572𝑄 − 200. Do 𝜋 𝑄 = −2,2 𝑄 − 130 2 + 36980 ≤ 𝜋 130 = 36980, nên với 𝑄 = 130 ta có lợi nhuận tối đa. Khi đó, 𝑃 = 600 − 2 ∙ 130 = 340. (0,5 điểm) Khi tính cả thuế, ta có 𝜋 𝑄 = −2,2𝑄2 + 572𝑄 − 200 − 22𝑄 = −2,2𝑄2 + 550𝑄 − 200. Do 𝜋 𝑄 = −2,2 𝑄 − 125 2 + 34175 ≤ 𝜋 125 = 34175, nên với 𝑄 = 125 ta có lợi nhuận tối đa. Khi đó, 𝑃 = 600 − 2 ∙ 125 = 350. (0,5 điểm) Câu 2 (1+1 điểm). 1) lim 𝑥→0 cos 𝑥𝑒𝑥 −cos 𝑥𝑒−𝑥 𝑥3 = lim 𝑥→0 −2 sin 𝑥 𝑒𝑥+𝑒−𝑥 2 sin 𝑥 𝑒𝑥−𝑒−𝑥 2 𝑥3 = lim 𝑥→0 −2𝑥 𝑒𝑥 +𝑒−𝑥 2 𝑥 𝑒𝑥−𝑒−𝑥 2 𝑥3 = −1 2 lim 𝑥→0 𝑒2𝑥 − 𝑒−2𝑥 𝑥 = −1 2 lim 𝑥→0 𝑒4𝑥 − 1 𝑥 lim 𝑥→0 1 𝑒2𝑥 = −4 2 = −2. 2) lim 𝑥→+∞ 𝑥 + 2𝑥 1 𝑥 = lim 𝑥→+∞ 𝑒 ln 𝑥+2𝑥 𝑥 = 𝐿 lim 𝑥→+∞ 𝑒 1+2𝑥 ln 2 𝑥+2𝑥 = 𝐿 lim 𝑥→+∞ 𝑒 2𝑥 ln 2 2 1+2𝑥 ln 2 = lim 𝑥→+∞ 𝑒 ln 2 2 1 2𝑥 +ln 2 = 𝑒ln 2 = 2. Câu 3 (1,5 điểm). 𝑧𝑥 ′ = 2 − 2𝑥 2𝑦 − 𝑦2 ; 𝑧𝑥 ′ = 2𝑥 − 𝑥2 2 − 2𝑦 (𝑥 > 0; 𝑦 > 0).  𝑧(𝑥; 𝑦) có hai điểm dừng là 𝑀1 1; 1 ; 𝑀2 2; 2 .  𝑧𝑥2 ′′ = −2 2𝑦 − 𝑦2 ; 𝑧𝑦2 ′′ = −2 2𝑥 − 𝑥2 ; 𝑧𝑥𝑦 ′′ = 2 − 2𝑥 2 − 2𝑦 . 𝐷 𝑥; 𝑦 = 𝑧𝑥2 ′′ 𝑧𝑦2 ′′ − 𝑧𝑥𝑦 ′′ 2 = 4 2𝑥 − 𝑥2 2𝑦 − 𝑦2 − 2 − 2𝑥 2 2 − 2𝑦 2 . (0,5 điểm)  𝐷 1; 1 = 4 > 0; 𝑧𝑥2 ′′ = −2 < 0 ⟹ hàm số đạt cực đại tại 𝑀1 1; 1 ; 𝑧 1; 1 = 1. (0,5 điểm)  𝐷 2; 2 = −16 < 0 ⟹ hàm số không đạt cực trị tại 𝑀2 2; 2 . (0,5 điểm) Câu 4 (1+1 điểm). 𝑎) 𝑑𝑥 𝑥 𝑥2 − 1 = 𝑥𝑑𝑥 𝑥2 𝑥2 − 1 = 𝑡= 𝑥2−1 𝑡𝑑𝑡 𝑡2 + 1 𝑡 = 𝑑𝑡 𝑡2 + 1 = arctan𝑡 + 𝐶 = arctan 𝑥2 − 1 + 𝐶. 𝑏) 𝑑𝑥 2 cos𝑥 + 3 𝜋 2 0 = 𝑡=tan 𝑥 2 2 1 + 𝑡2 2 1 − 𝑡2 1 + 𝑡2 + 3 𝑑𝑡 1 0 = 2 𝑑𝑡 𝑡2 + 5 𝑑𝑡 1 0 = 2 5 arctan 𝑡 5 |0 1 = 2 5 arctan 1 5 . Câu 5 (1 điểm). 𝐼 = 𝑑𝑥 𝑥2 + 1 = 𝑥 𝑥2 + 1 − 𝑥𝑑 1 𝑥2 + 1 = 𝑥 𝑥2 + 1 + 2 𝑥2 𝑥2 + 1 2 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥2 + 1 + 2 𝑥2 + 1 − 1 𝑥2 + 1 2 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥2 + 1 + 2𝐼 − 2 𝑑𝑥 𝑥2 + 1 2 ⟹ 𝑑𝑥 𝑥2 + 1 2 = 𝑥 2 𝑥2 + 1 + 1 2 𝐼 = 𝑥 2 𝑥2 + 1 + 1 2 arctan𝑥 + 𝐶. (0,5 điểm) 𝑑𝑥 𝑥2 + 1 2 ∞ 0 = lim 𝑡⟶∞ 𝑑𝑥 𝑥2 + 1 2 𝑡 0 = lim 𝑡⟶∞ 𝑡 2 𝑡2 + 1 + 1 2 arctan𝑡 = 0 + 1 2 𝜋 2 = 𝜋 4 . (0,5 điểm) Cách khác: 𝑑𝑥 𝑥2 + 1 2 ∞ 0 = 𝑥=tan 𝑡 1 tan2𝑡 + 1 2 𝜋 2 0 𝑑 tan 𝑡 = cos2 𝑡 𝜋 2 0 𝑑𝑡 1 + cos 2𝑡 2 𝜋 2 0 𝑑𝑡 = 𝑡 2 + sin 2𝑡 4 |0 𝜋 2 = 𝜋 4 . Câu 6 (1 điểm).  Giả sử 𝑦 ≠ 0. Ta có: 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 2𝑥3𝑦3 ⟺ 𝑦′𝑦−3 + 2𝑥𝑦−2 = 2𝑥3 . Thay 𝑧 = 𝑦−2 ⟹ 𝑧′ = −2𝑦′𝑦−3, ta có phương trình vi phân tuyến tính: 1 −2 𝑧′ + 2𝑥𝑧 = 2𝑥3 ⟺ 𝑧′ − 4𝑥𝑧 = −4𝑥3. Phương trình này có nghiệm tổng quát là 𝑧 = −4𝑥3𝑒−4 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒4 𝑥𝑑𝑥 = −4𝑥3𝑒−2𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑒2𝑥 2 = 𝑥2 𝑑𝑒−2𝑥 2 + 𝐶 𝑒2𝑥 2 = 𝑥2𝑒−2𝑥 2 − 𝑒−2𝑥 2 𝑑𝑥2 + 𝐶 𝑒2𝑥 2 = 𝑥2𝑒−2𝑥 2 + 𝑒−2𝑥 2 2 + 𝐶 𝑒2𝑥 2 = 𝑥2 + 1 2 + 𝐶𝑒2𝑥 2 . Tích phân tổng quát của phương trình đã cho là 𝑦2 𝑥2 + 1 2 + 𝐶𝑒2𝑥 2 − 1 = 0. (0,5 điểm)  Dễ thấy 𝑦 ≡ 0 cũng là một nghiệm của phương trình đã cho. (0,5 điểm) Câu 7 (1,5 điểm). Phương trình đặc trưng 𝑘2 + 4𝑘 + 3 = 0 có các nghiệm là −1; −3. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là 𝑦 𝑡 = 𝐶1 −1 𝑡 + 𝐶2 −3 𝑡 . (0,5 điểm) Một nghiệm riêng của phương trình 𝑦𝑡+2 + 4𝑦𝑡+1 + 3𝑦𝑡 = 16 có dạng 𝑦𝑡 ∗ = 𝐴. Thay vào phương trình này, ta có: 𝐴 + 4𝐴 + 3𝐴 = 16 ⟺ 𝐴 = 2. (0,5 điểm) Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 𝑦𝑡 = 𝑦 𝑡 + 𝑦𝑡 ∗ = 𝐶1 −1 𝑡 + 𝐶2 −3 𝑡 + 2. (0,5 điểm)

Tài liệu đính kèm:

toan_cao_cap_a1.pdf

Đề thi liên quan

Đề thi thử học kỳ i năm học: 2016 – 2017 học phần: Khoa học trái đất - Mã đề thi 352
Lượt xem: 1004 Lượt tải: 0
Tài liệu ôn thi Đường lên đỉnh Olympia năm 2014 - Nguyễn Nam
Lượt xem: 674 Lượt tải: 0
Giáo trình Mạng máy tính - Ngô Bá Hùng
Lượt xem: 396 Lượt tải: 0
Đề kiểm tra chất lượng ôn thi THPT quốc gia năm 2017 môn: tiếng Anh – Đề số 06
Lượt xem: 979 Lượt tải: 0
Đề thi thử THPT quốc gia lần I năm học 2016 – 2017 môn thi: Toán
Lượt xem: 889 Lượt tải: 0
Đề kiểm tra chất lượng ôn thi THPT quốc gia năm 2017 môn: tiếng Anh – Trường THPT Liên Sơn - Đề số 58
Lượt xem: 1091 Lượt tải: 0
Đề thi lý thuyết dược liệu II
Lượt xem: 5645 Lượt tải: 0
Đề thi thử THPT quốc gia năm 2017 môn: Toán - Trường THPT TĨnh Gia
Lượt xem: 900 Lượt tải: 0
Đề cương dự án Thiết kế bẫy chuột bắt nhiều con - Năm học 2016-2017 - Lưu Phạm Thảo Nguyên
Lượt xem: 751 Lượt tải: 0
Đề kiểm tra chất lượng ôn thi THPT quốc gia năm 2017 môn: tiếng Anh – Đề số 70
Lượt xem: 1082 Lượt tải: 0