Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp, Phương Trình Bậc Nhất ...

Có thể bạn quan tâm

Dưới đây là phần hướng dẫn giải bài tập một số phương trình lượng giác cơ bản, phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác và phương trình bậc nhất với sinx và cosx.

• Lý thuyết một số phương trình lượng giác thường gặp và cách giải

* Bài 1 trang 36 SGK Giải tích 11: Giải phương trình: sin2x – sinx = 0

> Lời giải:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

$\small \Leftrightarrow sinx(sinx-1)=0$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} sinx=0\\ sinx-1=0 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} sinx=0\\ sinx=1 \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=k\pi\\ x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

* Bài 2 trang 36 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x + √2.sin4x = 0

> Lời giải:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Ta đặt t = cosx, điều kiện –1 ≤ t ≤ 1

(1) ⇔ 2t2 – 3t + 1 = 0

⇔ t = 1 hoặc t = 1/2

+ Với t = 1 ⇒ cosx = 1 ⇔ x = k.2π (k ∈ Z)

+ Với t=1/2 ⇒ cosx = 1/2

$\small \Leftrightarrow cosx=cos\left ( \frac{\pi}{3} \right )$

$\small \Leftrightarrow x= \pm \frac{\pi}{3}+k2\pi\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\small \left \{ k2\pi;\: \pm \frac{\pi}{3}+k2\pi \right \}\: \: k\in \mathbb{Z}$

b) 2sin2x + √2.sin4x = 0

$\small \Leftrightarrow 2sin2x+2\sqrt{2}sin2x.cos2x=0$

$\small \Leftrightarrow 2sin2x(1+\sqrt{2}cos2x)=0$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} sin2x=0\\ 1+\sqrt{2}cos2x=0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} sin2x=0\\ cos2x=-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} \right.$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 2x=k\pi\\ 2x=\pm \frac{3\pi}{4}+k2\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=k\frac{\pi}{2}\\ x=\pm \frac{3\pi}{8}+k\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có tập nghiệm: $\small \left \{ k\frac{\pi}{2};\pm \frac{3\pi}{8}+k\pi \right \}\: (k\in \mathbb{Z})$

* Bài 3 trang 37 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

$\small a)\: sin^2\frac{x}{2}-2cos\frac{x}{2}+2=0$

$\small b)\: 8cos^2x+2sinx-7=0$

$\small c)\: 2tan^2x+3tanx+1=0$

$\small d)\: tanx-2cotx+1=0$

> Lời giải:

$\small a)\: sin^2\frac{x}{2}-2cos\frac{x}{2}+2=0$

$\small \Leftrightarrow \left ( 1-cos^2\frac{x}{2} \right )-2cos\frac{x}{2}+2=0$

$\small \Leftrightarrow -cos^2\frac{x}{2}-2cos\frac{x}{2}+3=0$

$\small \Leftrightarrow cos^2\frac{x}{2}+2cos\frac{x}{2}-3=0$

(phương trình bậc 2 với ẩn $\small cos\frac{x}{2}$ hệ số a + b + c =0)

$\small \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} cos\frac{x}{2}=1\\ \\ cos\frac{x}{2}=-3\: (L) \end{matrix} \right.$

$\small \Leftrightarrow cos\frac{x}{2}=1\Leftrightarrow cos\frac{x}{2}=cos0$

$\small \Leftrightarrow \frac{x}{2}=k2\pi\Leftrightarrow x=k4\pi\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có họ nghiệm x = k4π (k ∈ Z)

$\small b)\: 8cos^2x+2sinx-7=0$

⇔ 8(1 – sin2x) + 2sinx – 7 = 0

⇔ 8sin2x - 2sinx – 1 = 0 (phương trình bậc hai với ẩn sinx)

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} sinx=\frac{1}{2}\\ \\ sinx=-\frac{1}{4} \end{matrix} \right.$ $\small \Leftrightarrow\left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\\ x=arcsin\frac{-1}{4}+k2\pi\\ x=\pi-arcsin\frac{-1}{4}+k2\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có tập nghiệm:

$\small \left \{ \frac{\pi}{6}+k2\pi;\frac{5\pi}{6}+k2\pi; arcsin\left (-\frac{1}{4} \right )+k2\pi;\pi-arcsin\left (-\frac{1}{4} \right )+k2\pi \right \}$ (k ∈ Z).

$\small c)\: 2tan^2x+3tanx+1=0$

- Điều kiện: x ≠ π/2 + kπ

Ta có: 2tan2x + 3tanx + 1 = 0 (phương trình bậc 2 với ẩn tanx).

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} tanx=-1\\ tanx=-\frac{1}{2} \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\ x=arctan\left (-\frac{1}{2} \right )+l\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Đối chiếu với điều kiện ta thấy các nghiệm đều thỏa

Vậy phương trình có tập nghiệm: $\small \left \{ -\frac{\pi}{4}+k\pi;arctan\left ( -\frac{1}{2} \right )+k\pi \right \}$

$\small d)\: tanx-2cotx+1=0$

- Điều kiện: $\small \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi\\ x\neq k\pi \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\neq k\frac{\pi}{2}$

- Ta có: $\small tanx-2cotx+1=0$

$\small \Leftrightarrow tanx-2.\frac{1}{tanx}+1=0$

$\small \Leftrightarrow tan^2x+tanx-2=0$ (pt bậc 2 với tanx)

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} tanx=1\\ tanx=-2 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\ x=arctan(-2)+k\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

Đối chiếu với điều kiện thấy các nghiệm đều thỏa

Vậy tập nghiệm của phương trình: $\small \left \{ \frac{\pi}{4}+k\pi;acrtan(-2)+k\pi \right \}\: \: (k\in \mathbb{Z})$

* Bài 4 trang 37 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0

b) 3sin2 x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2

c) sin2x + sin2x - 2cos2x = 1/2

d) 2cos2x - 3√3sin2x - 4sin2x = -4

> Lời giải:

a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0 (*)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

Phương trình (*) trở thành: 2 = 0 (loại)

+ Xét cosx ≠ 0, chia cả hai vế của (1) cho cos2x ta được:

$\small (*)\Leftrightarrow 2\frac{sin^2x}{cos^2x}+\frac{sinx}{cosx}-3=0$

$\small \Leftrightarrow 2tan^2x+tanx-3=0$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} tanx=1\\ tanx=-\frac{3}{2} \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\ x=arctan(-\frac{3}{2})+k\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\small \left \{ \frac{\pi}{4} +k\pi;acrtan\left ( -\frac{3}{2} \right )+k\pi\right \}\: (k\in \mathbb{Z})$

b) 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2

⇔ 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2(sin2x + cos2x)

⇔ sin2x – 4sinx.cosx + 3 cos2x = 0 (*)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1.

Phương trình (*) trở thành: 1 = 0 (vô lý).

+ Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:

$\small (*)\Leftrightarrow \frac{sin^2x}{cos^2x}-4\frac{sinx}{cosx}+3=0$

$\small \Leftrightarrow tan^2x-4tanx+3=0$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} tanx=1\\ tanx=3 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\ x=arctan(3)+k\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\small \left \{ \frac{\pi}{4} +k\pi;acrtan\left ( 3 \right )+k\pi\right \}\: (k\in \mathbb{Z})$

c) sin2x + sin2x - 2cos2x = 1/2

$\small \Leftrightarrow sin^2+2sinxcosx-2cos^2x=\frac{1}{2}(sin^2x+cos^2x)$

$\small \Leftrightarrow \frac{1}{2}sin^2x+2sinxcosx-\frac{5}{2}cos^2x=0$

$\small \Leftrightarrow sin^2x+4sinxcosx-5cos^2x=0\: \: (*)$

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

(*) trở thành: 1 = 0 (vô lý).

+ Xét cosx ≠ 0, chia cả hai vế cho cos2x ta được:

$\small (*)\Leftrightarrow \frac{sin^2x}{cos^2x}+4\frac{sinx}{cosx}-5=0$

$\small \Leftrightarrow tan^2x+4tanx-5=0$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} tanx=1\\ tanx=-5 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\ x=arctan(-5)+k\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\small \left \{ \frac{\pi}{4} +k\pi;acrtan\left ( -5 \right )+k\pi\right \}\: (k\in \mathbb{Z})$

d) 2cos2x - 3√3sin2x - 4sin2x = -4

$\small \Leftrightarrow 2cos^2x-3\sqrt{3}sinxcosx-4sin^2x$ $\small =-4(sin^2x+cos^2x)$

$\small \Leftrightarrow 6cos^2x-6\sqrt{3}sinxcosx=0$

$\small \Leftrightarrow 6cosx(cosx-\sqrt{3}sinx)=0$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} cosx=0\\ cosx-\sqrt{3}sinx=0 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} cosx=0\\ cosx=\sqrt{3}sinx \end{matrix} \right.$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} cosx=0\\ \frac{sinx}{cosx}=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} cosx=0\\ tanx=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix} \right.$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi \end{matrix} \right.\: \: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\small \left \{ \frac{\pi}{2} +k\pi; \frac{\pi}{6}+k\pi\right \}\: (k\in \mathbb{Z})$

* Bài 5 trang 37 SGK Giải tích 11: Giải các phương trình sau:

$\small a)\: cosx-\sqrt{3}sinx=\sqrt{2}$

$\small b)\: 3sin3x-4cos3x=5$

$\small c)\: 2sinx+2cosx-\sqrt{2}=0$

$\small d)\: 5cos2x+12sin2x-13=0$

> Lời giải:

$\small a)\: cosx-\sqrt{3}sinx=\sqrt{2}$

$\small \Leftrightarrow \frac{1}{2}cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\small \Leftrightarrow cos\frac{\pi}{3}cosx-sin\frac{\pi}{3}sinx=cos\frac{\pi}{4}$

$\small \Leftrightarrow cos\left ( \frac{\pi}{3}+x \right )=cos\frac{\pi}{4}$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi}{4}+k2\pi\\ x+\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi}{4}+k2\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=-\frac{\pi}{12}+k2\pi\\ x=-\frac{7\pi}{12}+k2\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\small \left \{ -\frac{\pi}{12} +k2\pi;- \frac{7\pi}{12}+k2\pi\right \}\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small b)\: 3sin3x-4cos3x=5$

$\small \Leftrightarrow \frac{3}{5}sin3x-\frac{4}{5}cos3x=1\: (*)$

Ta thấy: $\small \left ( \frac{3}{5} \right )^2+\left ( \frac{4}{5} \right )^2=1$ nên tồng tại α thỏa mãn $\small \left\{\begin{matrix} cos\alpha =\frac{3}{5}\\ sin\alpha =\frac{4}{5} \end{matrix}\right.$

Khi đó (*) trở thành: cosα.sin3x – sinα.cos3x = 1

⇔ sin(3x - α) = 1

$\small \Leftrightarrow 3x-\alpha =\frac{\pi}{2}+k2\pi\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow x=\frac{\alpha}{3}+\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy tập nghiệm của phương trình: $\small \left \{ \frac{\alpha}{3}+\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\right \}\: (k\in \mathbb{Z})$ với α thỏa mãn $\small \left\{\begin{matrix} cos\alpha =\frac{3}{5}\\ sin\alpha =\frac{4}{5} \end{matrix}\right.$ .

$\small c)\: 2sinx+2cosx-\sqrt{2}=0$

$\small \Leftrightarrow 2sinx+2cosx=\sqrt{2}$

$\small \Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}cosx+\frac{1}{\sqrt{2}}sinx=\frac{1}{2}$

$\small \Leftrightarrow cos\left (\frac{\pi}{4} \right )cosx+sin\left (\frac{\pi}{\4} \right )sinx=\frac{1}{2}$

$\small \Leftrightarrow cos\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )=cos\frac{\pi}{3}$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\ x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{3}+k2\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=\frac{7\pi}{12}+k2\pi\\ x=-\frac{\pi}{12}+k2\pi \end{matrix} \right.\: (k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có tập nghiệm là: $\small \left \{ \frac{7\pi}{12}+k2\pi;-\frac{\pi}{12}+k2\pi \right \}\: (k\in \mathbb{Z})$

$\small d)\: 5cos2x+12sin2x-13=0$

$\small \Leftrightarrow 5cos2x+12sin2x=13$

$\small \Leftrightarrow \frac{5}{13}cos2x+\frac{12}{13}sin2x=1\: (*)$

Vì $\small \left ( \frac{5}{13} \right )^2+\left ( \frac{12}{13} \right )^2=1$ nên tồn tại α thỏa mãn $\small \left\{\begin{matrix} cos\alpha =\frac{5}{13}\\ sin\alpha =\frac{12}{13} \end{matrix}\right.$

(*) ⇔ cosα.cos2x + sinα.sin2x = 1

⇔ cos(2x - α) = 1

⇔ 2x - α = kπ (k ∈ Z)

⇔ x = (α/2) + kπ (k ∈ Z)

Vậy phương trình có họ nghiệm: {(α/2) + kπ} (k ∈ Z) với α thỏa mãn $\small \left\{\begin{matrix} cos\alpha =\frac{5}{13}\\ sin\alpha =\frac{12}{13} \end{matrix}\right.$

Từ khóa » Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp, Phương Trình Bậc Nhất ...

Tổng Hợp Các Dạng Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp – Giải Bài Tập SGK ...

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Lý Thuyết Toán 11

Giải Toán 11 Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Toán 11

Toán 11 Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Hoc247

Một Số Dạng Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp (Tiết 1) - Bài 3

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Học Tốt Đại Số 11 - Itoan

Giải Bài 3: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp - Tech12h

Lý Thuyết Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp Toán 11

Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp Nâng Cao - TopLoigiai

5 Dạng Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp Lớp 11 - Hocmai

[Toán Lớp 11] – Bài 3 – Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp ...

Liên Hệ