Bài Tập Tính đạo Hàm Của Hàm Số Lũy Thừa, Mũ, Logarit Có đáp án

Trang chủ » Hàm Logarit Khó » Bài Tập Tính đạo Hàm Của Hàm Số Lũy Thừa, Mũ, Logarit Có đáp án

Có thể bạn quan tâm

Bài tập Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ, logarit có đáp án

Một số bài tập trắc nghiệm đạo hàm hàm mũ và logarit có Lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số $y={{2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}$

A. $y'={{2}^{2{{x}^{2}}+x}}.$ B. $y'={{2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}\ln 2.$

C. $y'=\left( 4x+1 \right){{.2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}\ln 2.$ D. $y'=\left( 2x+1 \right){{.2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}\ln 2.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y={{2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}\Rightarrow y'={{2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}.\ln 2.{{\left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right)}^{\prime }}=\left( 4x+1 \right){{.2}^{2{{x}^{2}}+x+1}}\ln 2.$ Chọn C.

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=x.{{e}^{{{x}^{2}}+x}}.$

A. $y'=\left( 2x+1 \right){{e}^{{{x}^{2}}+x}}.$ B. $y'=\left( 2{{x}^{2}}+x \right){{e}^{{{x}^{2}}+x}}.$

C. $y'=\left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right){{e}^{{{x}^{2+x}}}}.$ D. $y'=\left( 2{{x}^{2}}+x+2 \right){{e}^{{{x}^{2}}+x}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'={{e}^{{{x}^{2}}+x}}+x{{\left( {{e}^{{{x}^{2}}+x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{{{x}^{2}}+x}}+x.{{e}^{{{x}^{2}}+x}}.\left( 2x+1 \right)={{e}^{{{x}^{2}}+x}}\left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right).$ Chọn C.

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x+1}{{{4}^{x}}}$

A. $y'=\frac{1-2\left( x+1 \right)\ln 2}{{{2}^{2x}}}$ B. $y'=\frac{1+2\left( x+1 \right)\ln 2}{{{2}^{2x}}}$

C. $y'=\frac{1-2\left( x+1 \right)\ln 2}{{{2}^{{{x}^{2}}}}}$ D. $y'=\frac{1+2\left( x+1 \right)\ln 2}{{{2}^{{{x}^{2}}}}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có $y'=\frac{{{4}^{x}}-\left( {{4}^{x}} \right)'.\left( x+1 \right)}{{{\left( {{4}^{x}} \right)}^{2}}}=\frac{{{4}^{x}}-{{4}^{x}}\ln 4.\left( x+1 \right)}{{{4}^{2x}}}=\frac{{{4}^{x}}\left[ 1-2\left( x+1 \right)\ln 2 \right]}{{{4}^{2x}}}=\frac{1-2\left( x+1 \right)\ln 2}{{{4}^{x}}}$

Hay $y'=\frac{1-2\left( x+1 \right)\ln 2}{{{2}^{2x}}}.$ Chọn A.

Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số $y={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$

A. $y'=\frac{2x+1}{{{x}^{2}}+x+1}.$ B. $y'=\frac{2x+1}{{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+x+2 \right).\ln 2}.$

C. $y'=\frac{\left( 2x+1 \right)\ln 2}{{{x}^{2}}+x+1}.$ D. $y'=\frac{2x+1}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\ln 2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $y'=\frac{{{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}^{\prime }}}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\ln 2}=\frac{2x+1}{\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\ln 2}.$ Chọn D.

Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt[4]{2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1}$

A. $y'=\frac{ax+b{{x}^{3}}}{\sqrt[4]{{{\left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 \right)}^{3}}}}.$ B. $y'=\frac{ax+b{{x}^{3}}}{\sqrt[4]{2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1}}.$

C. $y'=\frac{4ax+4b{{x}^{3}}}{\sqrt[4]{{{\left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 \right)}^{3}}}}.$ D. $y'=\frac{4ax+4b{{x}^{3}}}{\sqrt[4]{2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $y=\sqrt[4]{2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1}={{\left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 \right)}^{\frac{1}{4}}}\Rightarrow y'=\frac{1}{4}{{\left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 \right)}^{\frac{-3}{4}}}.\left( 4ax+4b{{x}^{3}} \right)$

$=\frac{ax+b{{x}^{3}}}{\sqrt[4]{{{\left( 2a{{x}^{2}}+b{{x}^{4}}+1 \right)}^{3}}}}.$ Chọn A.

Ví dụ 6: Cho hàm số $f\left( x \right)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x \right).$ Tính $f'\left( 2 \right)$

A. $f'\left( 2 \right)=\frac{3}{2}.$ B. $f'\left( 2 \right)=\frac{3}{2}{{\log }_{2}}e.$ C.$f'\left( 2 \right)=\frac{3\ln 2}{2}.$ D. $f'\left( 2 \right)=\frac{2}{3\ln 2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $f'\left( x \right)=\frac{2x-1}{\left( {{x}^{2}}-x \right)\ln 2}\Rightarrow f'\left( 2 \right)=\frac{3}{2\ln 2}=\frac{3}{2}{{\log }_{2}}e.$ Chọn B.

Ví dụ 7: Giá trị của tham số $m$ để $y'\left( e \right)=2m+1$ với $y=\ln \left( 2x+1 \right)$ là:

A. $\frac{1+2e}{4e-2}.$ B. $\frac{1+2e}{4e+2}.$ C. $\frac{1-2e}{4e+2}.$ D. $\frac{1-2e}{4e-2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $y'=\frac{2}{2x+1}\Rightarrow y'\left( e \right)=\frac{2}{2e+1}=2m+1\Leftrightarrow \frac{2}{2e+1}-1=2m\Leftrightarrow \frac{1-2e}{2e+1}=2m\Leftrightarrow m=\frac{1-2e}{2+4e}.$

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln \left( 2{{e}^{x}}+m \right)$ thỏa mãn $f'\left( -\ln 2 \right)=\frac{3}{2}.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $m\in \left( 1;3 \right).$ B. $m\in \left( -5;-2 \right).$ C. $m\in \left( 1;+\infty \right).$ D. $m\in \left( -1;0 \right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f'\left( x \right)=\frac{2{{e}^{x}}}{2{{e}^{x}}+m},$ lại có ${{e}^{-\ln 2}}={{2}^{-\ln e}}=\frac{1}{2}$

Do đó $f'\left( -\ln 2 \right)=\frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{1+m}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow m=-\frac{1}{3}.$ Chọn D.

Ví dụ 9: Cho hàm số $y={{\log }_{3}}\left( {{3}^{x}}+x \right),$ biết $y'\left( 1 \right)=\frac{a}{4}+\frac{1}{b\ln 3}$ với $a,b\in \mathbb{Z}.$ Giá trị của $a+b$ là:

A. $a+b=2.$ B. $a+b=7.$ C. $a+b=4.$ D. $a+b=5.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'=\frac{{{\left( {{3}^{x}}+x \right)}^{\prime }}}{\left( {{3}^{x}}+x \right)\ln 3}=\frac{{{3}^{x}}\ln 3+1}{\left( {{3}^{x}}+x \right)\ln 3}$

Suy ra $y'\left( 1 \right)=\frac{3\ln 3+1}{4\ln 3}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4\ln 3}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=3 \\ & b=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow a+b=7.$ Chọn B.

Ví dụ 10: Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{x}.$ Biết rằng $f'\left( 1 \right)=a\ln 2+b$ với $a,b\in \mathbb{Z}.$ Tính $a-b.$

A. $a-b=1.$ B. $a-b=-1.$ C. $a-b=2.$ D. $a-b=-2.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f'\left( x \right)=\frac{{{\left[ \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right]}^{\prime }}.x-\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}}=\frac{\frac{2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+1}-\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}}$

Do đó $f'\left( 1 \right)=1-\ln 2\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=-1 \\ & b=1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow a-b=-2.$ Chọn D.

Ví dụ 11: Cho hàm số $y=\frac{\ln x}{x},$ mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $2y'+xy''=-\frac{1}{{{x}^{2}}}.$ B. $y'+xy''=\frac{1}{{{x}^{2}}}.$ C. $y'+xy''=-\frac{1}{{{x}^{2}}}.$ D. $2y'+xy''=\frac{1}{{{x}^{2}}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $xy=\ln x\Rightarrow \left( xy \right)'=\left( \ln x \right)'\Rightarrow x'y+y'x=\frac{1}{x}\Leftrightarrow y+xy'=\frac{1}{x}$

Tiếp tục đạo hàm 2 vế ta có: $y'+y'+xy''=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow 2y'+xy''=-\frac{1}{{{x}^{2}}}.$ Chọn A.

Ví dụ 12: Tính đạo hàm của hàm số $y={{\log }_{2}}\left( \sqrt[3]{3x+1} \right)$ trên tập xác định của nó

A. $\frac{1}{\left( 3x+1 \right)\ln 2}.$ B. $\frac{1}{\sqrt[3]{3x+1}\ln 2}.$ C. $\frac{\ln 2}{3x+1}.$ D. $\frac{1}{3\left( 3x+1 \right)\ln 2}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y={{\log }_{2}}\left( \sqrt[3]{3x+1} \right)=\frac{1}{3}{{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)\Rightarrow y'=\frac{1}{3}.\frac{3}{\left( 3x+1 \right)\ln 2}=\frac{1}{\left( 3x+1 \right)\ln 2}.$ Chọn A.

Ví dụ 13: Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt[7]{\cos x}$ là:

A. $\frac{-\sin x}{7.\sqrt[7]{{{\cos }^{8}}x}}.$ B. $\frac{\sin x}{7.\sqrt[7]{{{\cos }^{6}}x}}.$ C. $\frac{1}{7.\sqrt[7]{{{\cos }^{6}}x}}.$ D. $\frac{-\sin x}{7.\sqrt[7]{{{\cos }^{6}}x}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có $y=\sqrt[7]{\cos x}={{\left( \cos x \right)}^{\frac{1}{7}}}\Rightarrow y'=\frac{1}{7}{{\left( \cos x \right)}^{\frac{-6}{7}}}.\left( \cos x \right)'=\frac{-\sin x}{7.\sqrt[7]{{{\cos }^{6}}x}}.$ Chọn D.

Ví dụ 14: Tính đạo hàm của hàm số $y=\ln \frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-1}$

A. $y'=\frac{4x}{{{x}^{4}}-1}.$ B. $y'=\frac{-4x}{{{x}^{4}}-1}.$ C. $y'=\frac{-4{{x}^{3}}}{{{x}^{4}}-1}.$ D. \[y'=\frac{4{{x}^{3}}}{{{x}^{4}}-1}.\]

Lời giải chi tiết:

Ta có $y=\ln \frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{2}}-1}=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)-\ln \left( {{x}^{2}}-1 \right)\Rightarrow y'=\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}-\frac{2x}{{{x}^{2}}-1}=\frac{2x\left( {{x}^{2}}-1-{{x}^{2}}-1 \right)}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{2}}-1 \right)}=\frac{-4x}{{{x}^{4}}-1}.$

Chọn B.

Ví dụ 15: Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)={{3}^{x}}.{{\log }_{3}}x$ là:

A. $f'\left( x \right)={{3}^{x}}\left( \ln x+\frac{1}{x\ln 3} \right).$ B. $f'\left( x \right)={{3}^{x}}\left( \ln x+\frac{1}{\ln 3} \right).$

C. $f'\left( x \right)={{3}^{x}}\left( \ln x+\frac{\ln 3}{x} \right).$ D. $f'\left( x \right)={{3}^{x}}\left( {{\log }_{3}}x+\frac{1}{x\ln 3} \right).$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $f'\left( x \right)={{3}^{x}}\ln 3.lo{{g}_{3}}x+\frac{{{3}^{x}}}{x\ln 3}={{3}^{x}}\left( \ln x+\frac{1}{x\ln 3} \right).$ Chọn A.

Ví dụ 16: Đạo hàm của hàm số $y={{\log }_{\sqrt{3}}}\left| {{x}^{2}}-1 \right|$ là:

A. $y'=\frac{2x}{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\ln 3}.$ B. $y'=\frac{4x}{\left| {{x}^{2}}-1 \right|\ln 3}.$

C. $y'=\frac{4x}{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\ln 3}.$ D. $y'=\frac{2x}{\left| {{x}^{2}}-1 \right|\ln \sqrt{3}}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y'=\frac{2x}{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\ln \sqrt{3}}=\frac{2x}{\left( {{x}^{2}}-1 \right).\frac{1}{2}\ln 3}=\frac{4x}{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\ln 3}.$ Chọn C.

Ví dụ 17: Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln \left( {{x}^{2}}-2x \right).$ Tính đạo hàm của hàm số \[y=\frac{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)}\]

A. $y'=\frac{2x-2}{{{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{2}}}.$ B. $y'=\frac{4-4x}{\left( {{x}^{2}}-2x \right){{\ln }^{3}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)}.$

C. $y'=\frac{x-1}{2\left( {{x}^{2}}-2x \right)}.$ D. $y'=\frac{-4x+4}{\left( {{x}^{2}}-2x \right){{\ln }^{4}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y=\frac{1}{{{f}^{2}}\left( x \right)}\Rightarrow y'=\frac{-{{\left[ {{f}^{2}}\left( x \right) \right]}^{\prime }}}{{{f}^{4}}\left( x \right)}=-\frac{2f\left( x \right).f'\left( x \right)}{{{f}^{4}}\left( x \right)}=-\frac{2f'\left( x \right)}{{{f}^{3}}\left( x \right)}$

Trong đó $f'\left( x \right)=\frac{2x-2}{{{x}^{2}}-2x}\Rightarrow y'=\frac{4-4x}{\left( {{x}^{2}}-2x \right).{{\ln }^{3}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)}.$ Chọn B.

Từ khóa » Hàm Logarit Khó