Bài Tập Toán 9 Căn Thức Bậc Hai Và Hằng đẳng Thức √A^2 = A

Trang chủ » Căn Bậc Hai Và Hằng đẳng Thức 9 » Bài Tập Toán 9 Căn Thức Bậc Hai Và Hằng đẳng Thức √A^2 = A

Có thể bạn quan tâm

Chuyên đề Toán 9: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A^2 = A

  • A. Lý thuyết cần nhớ
    • 1. Căn bậc hai, căn bậc hai số học
    • 2. Căn thức bậc hai
  • B. Bài tập căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
    • Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn có nghĩa
    • Dạng 2: Rút gọn biểu thức, Tính giá trị của biểu thức
    • Dạng 3: Giải phương trình
  • D. Bài tập tự rèn luyện

Rút gọn biểu thức chứa căn thức được xem là dạng toán căn bản quan trọng trong chương trình Toán 9 và đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Tài liệu dưới đây do đội ngũ GiaiToan.com biên soạn và chia sẻ giúp học sinh hiểu rõ hơn về căn thức bậc hai cũng như bài toán rút gọn biểu thức. Qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập và rèn luyện cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 sắp tới. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô cùng tham khảo!

Để tải tài liệu, mời ấn vào đường link sau: Bài tập Toán 9 Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A^2 = A

A. Lý thuyết cần nhớ

1. Căn bậc hai, căn bậc hai số học

- Căn bậc hai của một số không a à số x sao cho x2 = a

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau, số dương kí hiệu là \sqrt a, số âm kí hiệu là -\sqrt a

- Số 0 có đúng một căn bậc hau là số 0, ta viết \sqrt 0 = 0

- Với số dương a, số \sqrt a được gọi là căn bậc hai số học của a

- Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

- Với hai số không âm a và b ta có a < b \Rightarrow \sqrt a < \sqrt b

2. Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, ta gọi \sqrt A là căn thức bậc hai của A

\sqrt A xác định (hay có nghĩa) khi A ≥ 0

\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A{\text{ khi A}} \geqslant {\text{0}}} \\ { - A{\text{ khi A < 0}}} \end{array}} \right.

B. Bài tập căn thức bậc hai và hằng đẳng thức

Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn có nghĩa

Ví dụ 1: Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa

a. \sqrt {3x + 1}

b. \sqrt {\frac{{ - 2}}{{x + 1}}}

c. \sqrt {x - 2} + \frac{x}{{x + 2}}

Hướng dẫn giải

a. Điều kiện xác định: 3x + 1 \geqslant 0 \Rightarrow 3x \geqslant - 1 \Rightarrow x \geqslant \frac{{ - 1}}{3}

b. Điều kiện xác định: \frac{{ - 2}}{{x + 1}} \geqslant 0{\text{ Do - 2 < 0}} \Rightarrow x + 1 < 0 \Rightarrow x < - 1

c. Điều kiện xác định: \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 2 \geqslant 0} \\ {x + 2 \ne 0} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 2} \\ {x \ne - 2} \end{array}} \right. \Rightarrow x \ge2

Dạng 2: Rút gọn biểu thức, Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp: Để tính toán các bài toán cần biến đổi và sử dụng thành thạo các dạng của các hằng đẳng thức đáng nhớ. Để đơn giản bài toán, các em có thể tham khảo thông qua ví dụ như sau:

Hằng đẳng thức đáng nhớ

Ví dụ tham khảo

{\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}

\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } = \sqrt {3 + 2\sqrt 3 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 2\sqrt 3 + {1^2}}

= \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 3 + 1} \right| = \sqrt 3 + 1

{\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\begin{matrix} \sqrt {{x^2} - 4\sqrt {{x^2} - 5} + 3} = \sqrt {{x^2} - 5 - 4\sqrt {{x^2} - 5} + 8} \hfill \\ = \sqrt {{x^2} - 5 - 4\sqrt {{x^2} - 5} + {2^2} + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {{x^2} - 5} - 2} \right)}^2} + 4} \hfill \\ \end{matrix}
{a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)

\dfrac{{1 - x}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{{1^2} - {{\sqrt x }^2}}}{{\sqrt x + 1}}

= \dfrac{{\left( {1 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x + 1}} = 1 - \sqrt x ;\left( {x \geqslant 0} \right)

{a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\begin{matrix} \dfrac{{x\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 1}} - \sqrt x = \dfrac{{\sqrt {{x^3}} - {1^3}}}{{\sqrt x - 1}} - \sqrt x \hfill \\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} - \sqrt x \hfill \\ = x + \sqrt x + 1 - \sqrt x = x + 1 \hfill \\ \end{matrix}
{a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\begin{matrix} \dfrac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {x\sqrt x + 1} \right)}}{{x - \sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt {{x^3}} + {1^3}} \right)}}{{x - \sqrt x + 1}} \hfill \\ = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{x - \sqrt x + 1}} = \sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) \hfill \\ \end{matrix}
{\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}{\left( {\sqrt a + 1} \right)^3} = a\sqrt a + 3a + 3\sqrt a + 1
{\left( {a - b} \right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}{\left( {\sqrt a - 1} \right)^3} = a\sqrt a - 3a + 3\sqrt a - 1

Dạng 3: Giải phương trình

Dạng phương trình

Ví dụ tham khảo

{A^2} = {B^2}{x^2} = 9 \Leftrightarrow {x^2} = {3^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 3} \\ {x = - 3} \end{array}} \right.
\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A \geqslant 0} \\ {A = B} \end{array}} \right.

\sqrt {3x - 1} = \sqrt {x + 2}

Điều kiện xác định \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x - 1 \geqslant 0} \\ {x + 2 \geqslant 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow x \geqslant \frac{1}{3}

\begin{matrix} \Leftrightarrow 3x - 1 = x + 2 \hfill \\ \Leftrightarrow 2x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\left( {tm} \right) \hfill \\ \end{matrix}

\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {B \geqslant 0} \\ {A = {B^2}} \end{array}} \right.

B < 0 phương trình vô nghiệm

\begin{matrix} \sqrt {1 - {x^2}} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - 1 \geqslant 0} \\ {1 - {x^2} = {{\left( {x - 1} \right)}^2}} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 1} \\ {2{x^2} - 2x = 0} \end{array}} \right.} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 1} \\ {2x\left( {x - 1} \right) = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 1} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0} \\ {x = 1} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Vậy x = 1

\left| A \right| = B \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {B \geqslant 0} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = B} \\ {A = - B} \end{array}} \right.} \end{array}} \right.\begin{matrix} \sqrt {{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left| {x + \dfrac{1}{2}} \right| = 2x \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x \geqslant 0} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \dfrac{1}{2} = 2x} \\ {x + \frac{1}{2} = - 2x} \end{array}} \right.} \end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \geqslant 0} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{1}{2}\left( {tm} \right)} \\ {x = \dfrac{{ - 1}}{6}\left( l \right)} \end{array}} \right.} \end{array} \Leftrightarrow } \right.x = \dfrac{1}{2} \hfill \\ \end{matrix}
\left| A \right| = \left| B \right| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = B} \\ {A = - B} \end{array}} \right.\left| {x + 1} \right| = \left| {2x + 5} \right| \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1 = 2x + 5} \\ {x + 1 = - 2x - 5} \end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = - 4} \\ {x = - 2} \end{array}} \right.} \right.
\left| A \right| + \left| B \right| = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = 0} \\ {B = 0} \end{array}} \right.\begin{matrix} \left| {{x^2} - 4} \right| + \left| {x + 2} \right| = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 4 = 0} \\ {x + 2 = 0} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0} \\ {x = - 2} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2} \\ {x = - 2} \end{array}} \right.} \\ {x = - 2} \end{array}} \right. \Rightarrow x = - 2 \hfill \\ \end{matrix}
\sqrt A + \sqrt B = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {A = 0} \\ {B = 0} \end{array}} \right.

Điều kiện xác định x \geqslant - 5

\begin{matrix} \sqrt {{x^2} - 25} + \sqrt {x + 5} = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 25 = 0} \\ {x + 5 = 0} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right) = 0} \\ {x = - 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \pm 5} \\ {x = - 5} \end{array}} \right. \Rightarrow x = - 5 \hfill \\ \end{matrix}

D. Bài tập tự rèn luyện

Bài 1: Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa:

a. \sqrt {2x - 1}

b. \frac{x}{{{x^2} - 4}} + \sqrt {x - 2}

g. \sqrt {25 - {x^2}}

c. \sqrt {9x - 2}

d. \sqrt {\frac{1}{{3 - 2x}}}

h. \sqrt {x\left( {x - 1} \right)}

e. \sqrt {\frac{{ - 2}}{{2x - 1}}}

f. \sqrt {{x^2} + 4}

i \sqrt {{x^2} - 5x + 6}

Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:

a.  \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}}

b. \sqrt {{{\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)}^2}}

c. \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 5} \right)}^2}}

d.  \sqrt {17 - 12\sqrt 2 } + \sqrt {9 + 4\sqrt 2 }

e. \sqrt {6 - 4\sqrt 2 } + \sqrt {22 - 12\sqrt 2 }

f. \sqrt {\sqrt 5 - \sqrt {9 - \sqrt {29 - 12\sqrt 5 } } }

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau đây:

a. \sqrt {1 - 4x + 4{x^2}} - 2x

b. {a^2} + \sqrt {{a^4} - 8{a^2} + 16}

c.  \frac{{\sqrt {{x^2} - 2x + 1} }}{{x - 1}};\left( {x 1} \right)

d. 2x - 1 - \frac{{\sqrt {{x^2} - 10x + 25} }}{{x - 5}}

e. \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} + \frac{{x - 4}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 16} }}

f. \sqrt {{x^2} + 2\sqrt {{x^2} - 1} } - \sqrt {{x^2} - 2\sqrt {{x^2} - 1} }

Bài 5: Giải các phương trình sau:

a. \sqrt {2x + 5} = \sqrt {1 - x}

b. \sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} } = 2

c. \sqrt {{x^2} - 4x + 3} = x - 2

d. \sqrt {{x^2} - 2x + 1} = {x^2} - 1

e. \sqrt {1 - 12x + 36{x^2}} = 5

f. \left| {3x + 1} \right| = \left| {x + 1} \right|

g. \sqrt {9{x^2} - 12x + 4} - \sqrt {{x^2}} = 0

h. \sqrt {{x^2} - 1} - {x^2} + 1 = 0

-----------------------------------------------------

----------> Bài liên quan:

  • Trục căn thức ở mẫu và rút gọn
  • Rút gọn biểu thức chứa căn Toán 9
  • Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn

Hy vọng tài liệu Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi biểu thức chứa căn đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo! Ngoài ra mời thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số tài liệu liên quan: Lý thuyết Toán 9, Luyện tập Toán 9, Giải toán 9, ...

Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức:

  • Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH
  • Từ điểm M ở bên ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB của (O) (với A, B là các tiếp điểm) và cát tuyến MDE không qua tâm O (D, E thuộc (O), D nằm giữa M và E).
  • Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự tính trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe máy tăng thêm 10km/h vì vậy xe máy đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường AB dài 120km.
  • Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124
  • Một ôtô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với quy định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của oto tại A.
  • Giải bài toán cổ sau Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui
  • Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng chuyển động
  • Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280m. Người ta làm 1 lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất của vườn) rộng 2m. Diện tích còn lại để trồng trọt là 4256m2 . Tìm diện tích vườn lúc đầu.
  • Hai ô tô đi ngược chiều từ A đến B, xuất phát không cùng lúc
  • Cho tam giác ABC vuông tại A. trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng:a. ABCD là một tứ giác nội tiếpb. \widehat {ABD} = \widehat {ACD}c. CA là tia phân giác của góc SCB.
  • Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là một điểm nằm giữa O và A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn trên tại I, K là một điểm nằm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I) tia AK cắt nửa đường tròn O tại M tia BM cắt tia CI tại D.Chứng minh:a) Các tứ giác ACMD, BCKM nội tiếp đường trònb) CK.CD = CA.CBc) Gọi N là giao điểm của AD và đường tròn O chứng minh B, K, N thẳng hàngd) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố định khi K di động trên đoạn thẳng CI

  • Lúc 6 giờ sáng, một xe máy khởi hành từ A để đến B. Sau đó 1 giờ, một ô tô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy 20km/h. Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9 giờ 30 phút sáng cùng ngày. Tính độ dài quãng đường AB và vận tốc trung bình của xe máy.

  • Một canô xuôi dòng từ bến A đến bên B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về bến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là 2km/h.

  • Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B sớm hơn 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A.

  • Thuyền Olympias là một loại thuyền buồm được người Hi Lạp sử dụng cách đây hơn 2000 năm. Năm 1987, một chiếc thuyền theo kiểu Olympias lần đầu đã được đóng lại và thực hiện chuyến hành trình với thủy thủ đoàn tình nguyện gồm 170 người. Khi đó học đã tính tốc độ của thuyền theo công thức sau: p = 0,0289ss, tức là s=\sqrt{\frac{p}{0,0289}}, trong đó p tính bằng kilowatt, s là tốc độ tính bằng knot (1 knot \approx \frac{8}{7} dặm/giờ). Cho biết sức chèo của thủy thủ đoàn là 10,5 kilowatt, hãy tính tốc độ của thuyền tính theo km/giờ, biết 1 dặm = 1609 m? (làm tròn đến km)

Từ khóa » Căn Bậc Hai Và Hằng đẳng Thức 9