Bài Tập Toán Cao Cấp B2 - 123doc

Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f.. Tìm ma trận chính tắc của f.. Tìm ma trận chính tắc của f.. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận : a.. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng c

BÀI TẬP CHƯƠNG 3

1 Cho ánh xạ f : R2 ^ R2 xác định bởi f(xi,x2) = (xi+2x2,xi-x2)

a Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính

b Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f

c Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u1,u2} với u 1=(1,1) , u2=(1,0)

2 Cho ánh xạ f : R3 ^ R2 xác định bởi f(x13x2,x3) = (2x1+x2-x3,x1+x2-3x3)

a Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính

b Tìm ma trận chính tắc của f

c Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u^u2, u3} với u 1=(1,1,1) ,

u2=(1,1,0), u3=(1,0,0) trong R3 và (v) = {v1,v2} với v1=(1,2) ,v2=(0,2) trong R 2

3 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 ^ R2 xác định bởi f(x^x2,x3) = (x1+2x2+x3,x1+5x2+x3)

a Tìm ma trận chính tắc của f

b Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u^u2, u3} với u 1=(1,1,1) ,

u2=(1,1,0), u3=(1,0,0) trong R3 và (v) ={v1,v2} với v1=(1,3) ,v2=(-1,2) trong R2

4 Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận :

a A = 2 1

1 2

2 4

5 Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận :

a A =

-3 -1 0

b B =

2 1 0

0 1 -1

c C =

2 2 1

1 3 1

1 2 2

6 Tìm giá trị riêng, vectơ riêng và cơ sở không gian riêng của các ma trận sau

a A =

2 - 1 3

0 -3 0 -1 0 - 2

b B =

5 0 0

1 5 0

0 1 5

c C =

0 1 0

- 4 4 0 -1 1 2

7 Các ma trận sau đây có chéo hóa được hay không ?

8 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 ^ R3 với f(x1,x2,x3) = (x1 +x2 +x3, x1 +x2 +x3 ,x1 +x2 +x3)

a Tìm ma trận chính tắc A của ánh xạ f

b M a trận A có chéo hóa được hay không ? Nếu có hãy làm chéo A

9 Đưa dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc, xác định dấu của chúng (trong R3)và chỉ ra phép biến đổi tọa độ tưong ứng :

a Q= x 12+5x22+8x32-2x1x2+4x2x3+4x1x3

b Q= -2xi2+6x22+X32-4xiX2+8x2X3+4xiX3

c Q= x 12+2x22+6x32-2x1x2-6x2x3+2x1x3

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

1 Cho các vectơ 3 chiều : ai=(2,1,0) , a2=(1,-1,1) và a3=(0, 1,-2)

a Tìm vectơ u = 3a1 - 2a2 + a3

b Tìm vectơ x sao cho a 1 + x = a2 + a3

c Tìm vectơ v là tổ hợp tuyến tính của a1,a2,a3 với các hệ số 4,3,5

d Vectơ x = (1,2,3) có phải là tổ hợp tuyến tính của các vectơ a1,a2,a3 không ?

2 Cho các vectơ 3 chiều : a1=(1,1,2) và a2=(0,-1,1)

a Các số u 1,u2,u3 thỏa điều kiện gì để vectơ u = (u1,u2,u3) là tổ hợp tuyến tính theo a1 và a2

b Vectơ nào sau đây là tổ hợp tuyến tính của a1 và a2 :

x = (1,2,5) ,y = (2,4,2)

3 Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau đây :

a a1=(1,3,-1) , a2= (-1,2,1) và a3=(2, -1,-1)

b a1=(1,2,-1) , a2=(4, 1,2) và a3=(2, -3,4)

c a1=(1,1,2) , a2=(2,-1,1) và a3=(5, -1,m)

4 Tìm hạng của hệ các vectơ :

a a1=(0,1,2) , a2=(2,-1,1) và a3=(-3, 0,1)

b a1=(1,-2,0,3) , a2=(0,0,1,0) và a3=(0, -2,-1,1)

c a1=(1,2,3, 4) , a2=(-1,2,-3,4) , a3=(0,1,-1,1) và a4=(1,1,1,1)

5 Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau đây :

a a1=(1,-2,0) , a2=(3,2,1) và a3=(0,1,2)

b a1=(1,-1,2,-1) , a2=(2, 1,0,2) và a3=(1, 2,4,-1)

c a1=(1,0,2) , a2=(2,2,1) ,a3=(3, -1,0) và a4=(-1,1,0)

6 Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của R3 :

a a1=(1,7,0) , a2=(1,-5,1)

b a1=(1,0,2,0) , a2=(1, 1,0,1) , a3=(1, 0,4,3) và a4=(0, -2,4, 1)

c a1=(1,0,1) , a2=(2,1,1) và a3=(-3, 2,0)

d a1= (1,1,1) , a2=(0,1,1) và a3=(2, 2,2)

7 Trong R3 cho cơ sở chính tắc (e) và cơ sở (u)={u1,u2,u3} với u 1=(0,1,1), u2=(1,0,1),

u1= (1,1,0)

a Tìm ma trận đổi cơ sở từ (e) sang (u)

b Tìm công thức đổi tọa độ từ (e) sang (u)

c Tìm tọa độ của vectơ x = (25,8,51) trong cơ sở (u)

d Tìm tọa độ của vectơ y khi biết tọa độ của y trong cơ sở (u) là (31,12,50)(u)

8 Trong R3 cho các vectơ : u 1=(m,1,1), u2=(1,m,1), u3=(1,1,m)

a Tìm m để hệ (u)={u1,u2,u3} là một cơ sở của R3

b Đặt (v)=(u) khi m=0 và (w)=(u) khi m=-1.Chứng tỏ (v) và (w) là hai cơ sở của R3

c Tìm ma trận đổi cơ sở từ (v) sang (w)

d Cho x = (1,2,3),tìm tọa độ của x trong cơ sở (v) và (w)

e Cho biết tọa độ của y trong cơ sở (w) là (5,12,51)(u),tìm tọa độ của y trong cơ

sở (v)

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

1 Cho các ma trận :

"1 0 - 1 2" "2 1 0 1"

Gọi C = 2A - 3B , D = 3At + Bt , E = At.B Tìm C23, Ổ31, e43

2 Cho các ma trận :

" 2 1 0 " " 0 1 1"

Gọi C= 3A + 4I - 5B , D = A2 , E = AI - B2 , F = AB - BA Tìm c2i, d33, e22, fi3

" 2 1" "1 2 "

3 Cho các ma trận : B =

- 3 0 và C = 4 - 1 Tìm ma trận A , biết rằng

4 Đưa các ma trận sau đây về dạng bậc thang :

" 1 3 - 2 -1"

"1 - 2 0 3" "1 2 3 4"

5 Tìm ma trận đảo :

" - 3 4 6 " "2 4 6"

"1 2" "5 - 4"

a

6 Tìm hạng của các ma trận :

"3 - 1 4" "2 - 1 3 - 2 4"

"4 2"

a

" 0 2 - 4 "

"1 7 1 3 0 "

7 Tìm m a trận đảo bằng định thức :

a 2 3

cos X sin X

- sin X cos X

"1 1 - 1 "1 a a2

8 X ét sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình :

X1 - X2 + 2 X3 = 0

a) ị - 3x1 + 4 X2 + X3 = 2 b) ị

2X1 - 2X2 + 4 X3 =1

9 Giải hệ phương trình Cram er :

3x1 - X2 - X3 + 2 X4 =1 X1 + X2 - 2 X3 + 4 X4 = 5 X1 + 2 X2 + 3x3 - 6 X4 = - 9

12 X1 - 2 X2 + X3 - 2 X4 =10

2X1 + X2 - X3 = - 1 X1 + 3x2 - X3 = - 1

a) X1 - 2 X2 + X3 = 5 b) - - X1 + 2 X2 + X3 =1 c) ị

- X1 + X2 + 2 X3 =14 2 X1 - X2 - X 3 = 2

V.

2 X1 + 3x2 - X3 =16 c) ị X1 - 4 X2 + X3 = - 1 1

- X1 + X2 + 3x3 = 7

X1 + 2 X2 + 3x3 + 4 X4 = 30

- X1 + 2 X2 - 3x3 + 4 X4 =10

X2 - X3 + X4 = 3 X1 + X2 + X3 + X4 =10

X1 + 2 X2 - X3 = 3

d) ị - X1 + X2 - 2 X3 = 0

2 X1 - X2 + 4 X3 = 1

X1 + X2 - X3 = 4 e) ị3X 1 - 2 X2 + 3x3 = 2 f) ị

5x1 - X2 + 3x3 =1

X1 - 2 X2 = 1

3x1 + 2 X2 + X3 =1 X2 + 2 X3 = - 1

10 Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss :

X1 + 2 X2 - X3 = 2

a) ị X 1 - X2 + X3 = 5

X1 + 3x2 - 2 X3 = - 1

X1 - 2 X2 - X3 + X4 = 2 b) ị 3x1 - 6X2 - 4 X3 + 2 X4 = 4 c) ị 4 X1 + X2 + 2 X3 = 1

- X1 + 2 X2 + 2 X3 = 0

X1 + 2 X2 - X3 = 3

2 X1 - 3x2 + 4 X3 = 2

X1 - 2 X2 + X3 + X4 = 1

d) ị X1 - 2 X2 + X3 - X4 = - 1e) ị

X1 - 2 X2 + X3 + 5x4 = 5

X1 + X2 + X3 = 3 X1 + X2 - 3x3 = - 1

2x1 + X2 - 2x3 = 1 X1 + 2 X2 - 3x3 =1

f) ị

2 X1 + X2 + X3 - X4 + X5 =1 X1 - X2 + X3 + X4 - 2 X5 = 0

3x1 + 3x2 - 3x3 - 3x4 + 4 X5 = 2

4 X1 + 5X2 - 5x3 - 5x4 + 7 X5 = 3

11 Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :

X1 - X2 + 2 X3 = 0 X1 + 2 X2 + X3 = 0

a) - 2 X1 + 4 X2 + X3 = 0 b ) ‘ X1 + 3x2 + 3x3 = 0 c) ị

2 X1 - X2 + 4 X3 = 0 2 X1 + 6 X2 + 6 X3 = 0

X1 - X2 + 2 X4 = 0

2 X1 + X2 - X3 + X4 = 0

- 3x1 + X3 - 2 X4 = 0