Bài Tập Về Giới Hạn Hàm Số Toán 11 - 123doc

Nội dung

Gieo hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi A là biến cố “ tổng số chấm trên mặt của hai con xúc xắc bằng 4 “ a. Liệt kê các kết quả thuận lợi của biến cố A b. Tính xác suất của biến cố A18. Một vé số có 5 chữ số. Khi quay số nếu vé của bạn mua có số trúng hoàn toàn với kết quả thì bạn trúng giải nhất. Nếu vé bạn trúng 4 chữ số sau thì bạn trúng giải nhì. a. Tính xác suất để bạn trúng giải nhất. b. Tính xác suất để bạn trúng giải nhì.

Các bài tập hàm số liên tục Page 1 9/4/2014 CÁC BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ Vấn đề 1 : Tìm giới hạn của hàm đa thức f(x) tại x = a • Phương pháp : )()(lim afxf ax = → Ví dụ : Tìm các giới hạn sau : a. 1)²3³(lim 1 −=+− → xxx x b. 0)²(lim 0 =− → xx x c. 3)1²(lim 2 =− −→ x x Vấn đề 2 : Tìm giới hạn của hàm phân thức hữu tỷ )( )( xQ xP tại x = a • Phương pháp : )( )( lim xQ xP ax→ – Nếu 0)( ≠aQ thì )( )( )( )( lim aQ aP xQ xP ax = → – Nếu 0)( =aQ và 0)( ≠aP thì ∞= → )( )( lim xQ xP ax – Nếu 0)( =aQ và 0)( =aP thì )( )( lim xQ xP ax→ có dạng 0 0 tính )( )( lim )()( )()( lim )( )( lim xD xC xDax xCax xQ xP axaxax →→→ = − − = Ví dụ : Tìm các giới hạn sau : 1. 3 1 5² lim 1 = + + → x x x 2. ∞= − + → 3 1² lim 3 x x x 3. 1)2(lim 3 )2)(3( lim 3 65² lim 333 =−= − −− = − +− →→→ x x xx x xx xxx 4. 4 1 3 1 lim )3)(1( 1 lim 34² 1 lim 111 −= −− = −−+ + = −−− + −→−→−→ xxx x xx x xxx 5. 2 1 1 12 lim )1)(1( )12)(1( lim 1² 13²2 lim 111 = − + = −+ ++ = − ++ −→−→−→ x x xx xx x xx xxx 6. 6 1 5 2 lim )5)(1( )2)(1( lim 54² 23² lim 111 −= + − = +− −− = −+ +− →→→ x x xx xx xx xx xxx 7. 32)4²)(2(lim 2 )4²)(2)(2( lim 2 16 lim 22 4 2 =++= − ++− = − − →→→ xx x xxx x x xxx 8. 5 7 1 1 lim 5 7 1 = − − → x x x 9. ∞= − − = − −− = − +− →→→ 2 1 lim )²2( )1)(2( lim )²2( 23² lim 222 x x x xx x xx xxx 1 Các bài tập hàm số liên tục Page 2 9/4/2014 10. 3 4² 8³ lim 2 = − − → x x x 11. ∞= − ++− = +− − →→ )²1( )1²).(1( lim 12² 1³ lim 11 x xxx xx x xx 12. 5 )22²).(2( lim 2² 42³ lim 22 −= +−+ = + +− −→−→ x xxx xx xx xx Vấn đề 3: Tìm giới hạn tại x = a , của hàm số có chứa căn bậc hai • Phương pháp : Khử dạng vô định 0 0 bằng cách nhân thêm biểu thức liên hợp Cần nhớ : • a – b = ))(( baba −+ • a – b = )².²)(( 333333 bbaaba ++− Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : 1. )1²1( )1²1)(1²1( lim 1²1 lim 00 ++++ ++++++−+ = ++−+ →→ xxxx xxxxxx x xxx xx 0 2 0 )1²1( ² lim 0 == ++++ − = → xxxx x x 2. )2)(2)(321( )2)(321)(321( lim 2 321 lim 44 +−++ +++−+ = − −+ →→ xxx xxx x x xx 3 4 )321).(4( )2).(4.(2 lim ²)2).(321( )2²).(321( lim 44 = ++− +− = −++ +−+ = →→ xx xx xx xx xx 3. )2).(914( )314).(2²( lim 314 2 lim 22 ++−+ ++−− = −+ +− →→ xxx xxx x xx xx 8 9 )2).(2.(4 )314).(2)(1( lim 2 = ++− ++−+ = → xxx xxx x 4. 2 111 lim 0 = −− → x x x 5. 1 23² 1 lim 1 −= −+ − → x x x 6. [ ] 9 1 )²1(113 lim 3 11 lim 3 3 0 3 0 = −+−+ = −− →→ xxx x x x xx 7. 3 2 23² 1 lim 3 1 −= −+ + −→ x x x 8. 2.2 3 )1²).(1).(21( 1²).(21).(21( lim 1 21 lim 333 33 1 3 1 = ++−++ ++++−+ = − −+ →→ xxxx xxxx x x xx Vấn đề 4: Tìm giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ 2 Các bài tập hàm số liên tục Page 3 9/4/2014 )( )( lim xQ xP x ∞→ ( có dạng ∞ ∞ ) • Phương pháp : Chia tử và mẩu cho bậc cao nhất Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : 1. 3 2² 15²3 lim = − +− ∞→ x xx x 2. 1 )5)(2( 1² lim = −+ − ∞→ xx x x 3. ∞= − ++− ∞→ 2² 1³ lim x xx x 4. 0 )1).(1³2( )35).(1²3( lim = +− ++ ∞→ xx xx x 5. 2 3 35²2 17²3 lim = +− +− ∞→ xx xx x 6. 3²5 ²22²3 lim 4 + +−+ ∞→ x xxx x = 5 3 7. ∞= + −+ ∞→ 72 1² lim 3 5 x xx x 8. 4 1²4 32² lim = −+ ++ +∞→ xx xx x 9. 3 2 1²4 32² lim −= −+ ++ −∞→ xx xx x 10. 1)234²4(lim −=−+− +∞→ xxx x 11. +∞=−+− −∞→ )234²4(lim xxx x Vấn đề 5 : Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số có chứa căn bậc hai • Phương pháp : – Trường hợp 1 : Khử dạng vô định ∞ ∞ bằng cách chia tử và mẩu cho lũy thừa lớn nhất – Trường hợp 2 : Khử dạng vô định ∞−∞ bằng cách nhân thêm lượng biểu thức liên hợp • Cần nhớ : x → + ∞ thì x = ²x x → – ∞ thì x = – ²x Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : 3 Các bài tập hàm số liên tục Page 4 9/4/2014 1. 2 ² 11 1 4 1 ² 1 1 lim ² 1² ² 4²1² lim 1² 4²1² lim = +− −++ = +− −++ = +− −++ ∞→∞→∞→ xx xx x xx x xxx xx xxx xxx 2. )3²( )3²)(3²( lim)3²(lim xxx xxxxxx xxx xx −+− −+−++− =++− −∞→−∞→ xxx xxx x −+− −+− = −∞→ 3² ²3² lim 2 1 )1 ² 31 1( ) 3 1( lim 3² 3 lim = ++−− −− = −+− +− = −∞→−∞→ xx x x x xxx x xx 3. xxx x xxx xxxxxx xxx xxx +− − = +− +−−− =−− +∞→+∞→+∞→ 4² 4 lim 4² )4²)(4²( lim)4²(lim = 2 )1 4 1( 4 lim −= +− − +∞→ x x x x 4. 1 1 ² lim −= + − −∞→ x xx x 5. 1 1 ² lim = + − +∞→ x xx x 6. )4²).(3(lim xxx x −++ +∞→ ( dạng ∞ .0 ) đs : 2 7. [ ] 4 7 27²4lim −=++ −∞→ xxx x HÀM SỐ LIÊN TỤC Vấn đề 1 : Xét tính liên tục của hàm số tại điểm 0 x : Phương pháp : Cần kiểm tra 3 điều kiện – Tính )( 0 xf – Tính )(lim 0 xf xx→ – So sánh )(lim 0 xf xx→ = )( 0 xf Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số : 1.f(x) = 2 1 − + x x tại x = 1 , x = 2 Tại x = 1 : Ta có : f(1) = – 2 4 Các bài tập hàm số liên tục Page 5 9/4/2014 2 2 1 lim)(lim 11 −= − + = →→ x x xf xx )(lim 1 xf x→ = f(1) Vậy f(x) liên tục tại x = 1 Tại x = 2 thì f(x) không xác định Vậy f(x) không liên tục tại x = 2 2.f(x) =      ≤+ > − −− 132 1 1 12²3 xkhix xkhi x xx Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 Tacó : f(1) = 5 4 1 )13)(1( lim 1 12²3 lim 11 = − +− = − −− ++ →→ x xx x xx xx 5)32(lim 1 =+ − → x x Không tồn tại )(lim 1 xf x→ Vậy f(x) không liên tục tại x = 1 3. f(x) =      ≠ +− − = 2 23² )2(2 22 xkhi xx x xkhi Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2 Ta có : f(2) = 2 2 )2)(1( )2(2 lim 23² )2(2 lim)(lim 222 = −− − = +− − = →→→ xx x xx x xf xxx )(lim 2 xf x→ = f(2) Vậy f(x) liên tục tại x = 2 4. f(x) =      ≠ − −+− = 1 1 22²³ 14 xkhi x xxx xkhi Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục tại x = 1 ) 5.f(x) =      > − ≤+ 1 3² 1 11 xkhi xx xkhix Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 1 ( f(x) không liên tục tại x = 1 ) 5 Các bài tập hàm số liên tục Page 6 9/4/2014 6.        ≠ − −− = = 2 2 321 21 )( xkhi x x xkhi xf Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2 ( f(x) liên tục tại x = 2 ) 7.        ≠ − = = 0 ²sin cos1 0 4 1 )( xkhi x x xkhi xf Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 0 ( f(x) liên tục tại x = 0 ) 8.Cho các hàm số f(x ) sau , có thể gán cho f(1) giá trị để f(x) liên tục tại x =1 a. f(x) = 1 23² − +− x xx Ta có : 1 1 )2).(1( lim 1 23² lim)(lim 111 −= − −− = − +− = →→→ x xx x xx xf xxx Để f(x) liên tục tại x =1 thì gán f(1) = –1 Vậy f(x) =      −=− −≠ − +− 11 1 1 23² xkhi xkhi x xx b. f(x) = 1 1 −x Ta có : +∞= − = ++ →→ 1 1 lim)(lim 11 x xf xx −∞= − = −− →→ 1 1 lim)(lim 11 x xf xx Nên f(x) không có giới hạn tại x = 1 Vậy không thể gán giá trị cho f(1) để f(x) liên tục tại x = 1 9.Định a để f(x) liên tục tại x = x 0 a. f(x) =      = ≠ − − 2 2 2 4² xkhia xkhi x x Định a để f(x) liên tục tại x = 2 b. f(x) =      ≤+ > − −− 12 1 1 12²3 xkhiax xkhi x xx 6 Các bài tập hàm số liên tục Page 7 9/4/2014 Định a để f(x) liên tục tại x =1 ( a = 2 ) c.f(x) =        ≥ + − + <≤− +−− 0 2 4 01 11 xkhi x x a xkhi x xx Định a để f(x) liên tục tại x = 0 Ta có : f(0) = a + 2 1 11 2 lim 11 lim)(lim 2) 2 4 (lim)(lim 000 00 −= ++− − = +−− = += + − += −−− ++ →→→ →→ xx x xx xf a x x axf xxx xx ⇒ f(x) liên tục tại x = 0 , khi và chỉ khi : f(0) = )(lim 0 xf x + → = − →0 lim x ⇔ a = – 3 Vậy a = –3 thì f(x) liên tục tại x = 0 d. f(x) =        ≥ + + < − 0 1 0 2sin. 4cos1 xkhi x ax xkhi xx x Định a để f(x) liên tục tại x = 0 ( a = 2 ) e. f(x) =        = ≠ −− 0 4 1 0 42 xkhi xkhi x x Chứng minh f(x) liên tục tại x = 0 Vấn đề 2:Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) f(x) gián đoạn tại x 0 ⇔ f(x) không liên tục tại x 0 • Phương pháp : f(x) gián đoạn tại x 0 khi : – hoặc f(x) không xác định tại x 0 – hoặc không tồn tại )(lim 0 xf xx→ – )(lim 0 xf xx→ ≠ f( x 0 ) Ví dụ :Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) 1. f(x) = 2 12 − + x x Tại x = 2 thì f( x ) không xác định Vậy f(x) gián đoạn tại x = 2 7 Các bài tập hàm số liên tục Page 8 9/4/2014 2. f(x) =      ≠ +− − =− 2 23² )1(2 22 xkhi xx x xkhi f(x) xác định ∀ x ∈ R { 1;2 } f(x) là hàm hữu tỉ ⇒ f(x) liên tục ∀ x ∈ R { 1;2 } • Khi x ≠ 1 : Ta có f(x) = 23² )1(2 +− − xx x = 2 2 )2).(1( )1(2 − = −− − xxx x ⇒ f(x) không xác định tại x = 2 ⇒ f(x) gián đoạn tại x = 2 • Khi x =1 : Ta có f(1) = – 2 2 )2).(1( )1(2 lim 23² )1(2 lim)(lim 111 −= −− − = +− − = →→→ xx x xx x xf xxx ⇒ )(lim 1 xf x→ = f(1) ⇒ f(x) liên tục tại x = 1 Vậy f(x) chỉ gián đoạn tại x = 2 Vấn đề 3 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên toàn trục số : • Phương pháp : Sử dụng định lí Các hàm đa thức , hàm số hữu tỷ , hàm số lượng giác thì liên tục trên tập xác dịnh của chúng Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R : 1. f(x) = 3x 4 –2x ³ + x² – 3x + 2 Ta có : f(x) = 3x 4 –2x ³ + x² – 3x + 2 là hàm đa thức Vậy f(x) liên tục trên R 2. f(x) = 1 24² − +− x xx TXD : D = R { 1 } Ta có : f(x) = 1 24² − +− x xx là hàm hữu tỷ Vậy f(x) liên tục trên D = R { 1 } 8 Các bài tập hàm số liên tục Page 9 9/4/2014 3. f(x ) = 2² 12²3 + ++ x xx liên tục trên R 4. f(x) = x 1 liên tục trên R { 1 } 5.f(x) =      =− ≠ − ++− 23 2 2 6²4³ xkhi xkhi x xxx Vấn đề 4: Xét tính liên tục của hàm số f(x) cho bởi các biểu thức giải tích trên trục số : • Phương pháp : – Tìm “ điểm nối ” a giữa hai công thức – Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên hai khoảng (– ∞ ; a ) và ( a ; + ∞ ) – Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = a Ví dụ :Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R : 1. f(x) =      = ≠ − +− 2 2 2 65² xkhia xkhi x xx • x ≠ 2 thì f(x) = 2 65² − +− x xx liên tục ∀ x ≠ 2 • x = 2 , Ta có : f(2) = a 1 2 )3.(2( lim 2 65² lim)(lim 222 −= − −− = − +− = →→→ x xx x xx xf xxx – Nếu a = –1 thì f(2) = )(lim 2 xf x→ nên f(x) liên tục tại x = 2 – Nếu a ≠ 1 thì f(2) ≠ )(lim 2 xf x→ nên f(x ) không liên tục tại x = 2 Vậy a = – 1 thì f(x) liên tục trên R a ≠ 1 thì f(x) liên tục trên ( – ∞ ; 2 ) và ( 2 ; + ∞ ) 2. f(x) =      ≥+ < − +− 32 3 3 127² xkhibx xkhi x xx • Với x < 3 thì f(x) = 3 127² − +− x xx là hàm phân thức hữu tỷ 9 Các bài tập hàm số liên tục Page 10 9/4/2014 ⇒ f(x) liên tục trên khoảng ( – ∞ ; 3 ) • Với x > 3 thì f(x) = 2x + b là hàm đa thức ⇒ f(x) liên tục trên khoảng ( 3 ; + ∞ ) • Tại x = 3 , ta có f(3) = 6 + b 1 3 )4).(3( lim 3 127² lim 6)2(lim 33 3 −= − −− = − +− +=+ −− + →→ → x xx x xx bbx xx x – Nếu 6 + b = –1 ⇔ b = – 7 thì + →3 lim x = − →3 lim x = f(3) nên f(x) liên tục tại x = 3 – Nếu 6 + b ≠ –1 ⇔ b ≠ – 7 thì + →3 lim x ≠ − →3 lim x nên f(x) không liên tục tại x = 3 Vậy b = – 7 thì f(x) liên tục trên R b ≠ – 7 thì f(x) liên tục trên khoảng ( – ∞ ; 3 ) và ( 3 ; + ∞ ) 3.f(x) =        > − −+ ≤+ 2 2 223 2 4 1 3 xkhi x x xkhiax a = 0 thì f(x) liên tục trên R a ≠ 0 thì f(x) liên tục trên khoảng ( – ∞ ; 2 ) và ( 2 ; + ∞ ) Vấn đề 5: Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm x 0 ∈( a ; b ) • Phương pháp : – Chứng minh f(x) liên tục trên [ a ; b ] – Chứng minh f(a).f(b) < 0 Ví dụ : 1.Chứng minh phương trình : x³ – 3x +1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt Giải Đặt f(x) = x³ – 3x + 1 thì f(x) liên tục trên R Ta có : 0-3f(2).f(1) 1 f(1) 3 f(2) <=⇒    −= = thì ∃ x 1 ∈( 1 ; 2 ) : f( x 1 ) = 0 10 [...]...Các bài tập hàm số liên tục Page 11 9/4/2014 f(1) = - 1 ⇒ f(1).f(-1) = -3 < 0  f(-1) = 3 thì ∃ x 2 ∈( – 1 ; 1 ) : f( x 2 ) = 0 f(-1) = 3 ⇒ f(-1).f(-2) = -3 < 0  f(-2) = - 1 thì ∃ x 3 ∈( –1 ;– 2) : f( x 3 ) 0 Vậy phương... + x – 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc ( -1 3.Chứng minh phương trình : x 17 = x 11 + 1 có nghiệm Giải Đặt f(x) = x 17 – x 11 – 1 thì f(x) liên tục trên R f(0) = - 1 ⇒ f(0).f(2) < 0 f(2) > 0 Ta có :  2) thì ∃ ít nhất x 2 ∈( 0 ;– 1 ) : f( x 2 ) thì ∃ ít nhất x 1 ∈( 0 ; 1 ) : f( x 1 ) = 0 Vậy phương trình : x 17 – x 11 – 1 = 0 có nghiệm 4.Chứng minh phương trình : x 5 –3x = 1 có ít nhất một nghiệm... 1)³.( x + 2 ) + 2x + 3 = 0 luôn có nghiệm ( f(1).f( – 2) < 0 ) 6.Chứng minh phương trình : a( x – b )( x – c ) + b.( x – a )( x – c ) + c.( x – a)( x – b ) = 0 luôn có nghiệm ( f(a) f(b).f(c).f(0) ≤ 0 ) 11 . Các bài tập hàm số liên tục Page 1 9/4/2014 CÁC BÀI TẬP VỀ GIỚI HẠN HÀM SỐ Vấn đề 1 : Tìm giới hạn của hàm đa thức f(x) tại x = a • Phương pháp : )()(lim afxf ax = → Ví dụ : Tìm các giới hạn. ∞ thì x = ²x x → – ∞ thì x = – ²x Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : 3 Các bài tập hàm số liên tục Page 4 9/4/2014 1. 2 ² 11 1 4 1 ² 1 1 lim ² 1² ² 4²1² lim 1² 4²1² lim = +− −++ = +− −++ = +− −++ ∞→∞→∞→ xx xx x xx x xxx xx xxx xxx 2. )3²( )3²)(3²( lim)3²(lim xxx xxxxxx xxx xx −+− −+−++− =++− −∞→−∞→ xxx xxx x −+− −+− = −∞→ 3² ²3² lim 2 1 )1 ² 31 1( ) 3 1( lim 3² 3 lim. • Phương pháp : Sử dụng định lí Các hàm đa thức , hàm số hữu tỷ , hàm số lượng giác thì liên tục trên tập xác dịnh của chúng Ví dụ : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R : 1. f(x) = 3x 4 –2x ³

Ngày đăng: 04/09/2014, 21:14