BAI TAP VI ET - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.doc) (12 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo án - Bài giảng
>>
3. Toán học

BAI TAP VI ET

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (219.23 KB, 12 trang )

To¸n øng dông ®Þnh lý ViÐt1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ; x2Ví dụ : Cho x1 = 3 ; x2 = 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên S = x1 + x2 = 5vậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: P = x1 x2 = 6Theo hệ thức VI-ÉT ta có x 2 − Sx + P = 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0Bài tập áp dụng:1.x1 = 8vµx2 = -32.x1 = 3avµx2 = a3.x1 = 36vµx2 = -1044.x1 = 1 + 2 vµx2 = 1 − 22. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm củamột phương trình cho trước:V í dụ: Cho phương trình : x 2 − 3x + 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giảiphương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1 = x2 +y2 = x1 +1vàx11x2Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:1 111x +x3 9+ x1 + = ( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) + 1 2 = 3 + =x1x2x1 x22 2 x1 x2 1111 9P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + 1 + 1 += 2 +1+1+ =x1x2x1 x22 2S = y1 + y2 = x2 +Vậy phương trình cần lập có dạng:hayy 2 − Sy + P = 099y2 − y + = 0 ⇔ 2 y2 − 9 y + 9 = 022Bài tập áp dụng:1/ Cho phương trình 3 x 2 + 5 x − 6 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải phươngtrình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 = x1 +5611và y2 = x2 +x2x112(Đáp số: y 2 + y − = 0 hay 6 y 2 + 5 y − 3 = 0 )2/ Cho phương trình : x 2 − 5 x − 1 = 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn44y thoả mãn y1 = x1 và y2 = x2 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phươngtrình đã cho).(Đáp số : y 2 − 727 y + 1 = 0 )3/ Cho phương trình bậc hai: x 2 − 2 x − m 2 = 0 có các nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phươngtrình bậc hai có các nghiệm y1 ; y2 sao cho :(Đáp sốa) y1 = x1 − 3 và y2 = x2 − 3b) y1 = 2 x1 − 1 và y2 = 2 x2 − 1a) y 2 − 4 y + 3 − m 2 = 0b) y 2 − 2 y − (4m 2 − 3) = 0)TÌM HAI SỐ BIẾT TæNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNGNếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :(§iều kiện để có hai số đó là S2 − 4P ≥ 0 )x 2 − Sx + P = 0Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = − 3 và tích P = ab = − 4Vì a + b = − 3 và ab = − 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x 2 + 3x − 4 = 0giải phương trình trên ta được x = 1 và x2 = −4Vậy nếu a = 1 thì b = − 4nếu a = − 4 thì b = 1Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P1. S = 3vàP=22. S = − 3 vàP=63. S = 9vàP = 204. S = 2x vàP = x 2 − y2Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết1. a + b = 9 và a2 + b2 = 412. a − b = 5 và ab = 363. a2 + b2 = 61 v à ab = 30Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VIÉT thì cần tìm tích của a v à b.1T ừ a + b = 9 ⇒ ( a + b ) 2 = 81 ⇔ a 2 + 2ab + b 2 = 81 ⇔ ab =81 − ( a 2 + b 2 )2= 20 x1 = 4 x2 = 52Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : x − 9 x + 20 = 0 ⇔ Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5nếu a = 5 thì b = 42) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + bCách 1: Đ ặt c = − b ta có : a + c = 5 và a.c = − 36 x1 = −4 x2 = 92Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : x − 5 x − 36 = 0 ⇔ Do đó nếu a = − 4 thì c = 9 nên b = − 9nếu a = 9 thì c = − 4 nên b = 42222Cách 2: Từ ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169 a + b = −132⇒ ( a + b ) = 132 ⇒  a + b = 13*) Với a + b = −13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x = −4x 2 + 13x + 36 = 0 ⇔  1 x2 = −9Vậy a = −4 thì b = −9*) Với a + b = 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :x = 4x 2 − 13 x + 36 = 0 ⇔  1 x2 = 9Vậy a = 9 thì b = 43) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b: a + b = −11 a + b = 11T ừ: a2 + b2 = 61 ⇒ ( a + b ) = a 2 + b 2 + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112 ⇒ 2*) Nếu a + b = −11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: x = −5x 2 + 11x + 30 = 0 ⇔  1 x2 = −6Vậy nếu a = −5 thì b = −6 ; nếu a = −6 thì b = −5*) Nếu a + b = 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :x = 5x 2 − 11x + 30 = 0 ⇔  1 x2 = 6Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆMĐối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là c¸c em phải biết biến đổi biểu thứcnghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 + x2 và tích nghiệm x1 x2 để áp dụnghệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức1.Ph¬ng ph¸p: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 + x2 ) và x1 x2D¹ng 1. x12 + x22 = ( x12 + 2 x1 x2 + x22 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2D¹ng 2. x13 + x23 = ( x1 + x2 ) ( x12 − x1 x2 + x22 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 2D¹ng 3. x14 + x24 = ( x12 )2 + ( x22 )2 = ( x12 + x22 ) − 2 x12 x22 = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2  − 2 x12 x222D¹ng 4.D¹ng 5.21 1 x1 + x2+ =x1 x2x1 x2Ta biết ( x1 − x2 ) 2 = ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 ⇒ x1 − x2 = ±(( x1 + x2 )D¹ng 6. x12 − x22 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) = ± ( x1 + x 2 ) 2 − 4 x1 x 2 .( x1 + x 2 )2)− 4 x1 x2D¹ng 7. x13 − x23 = ( x1 − x2 ) ( x12 + x1 x2 + x22 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  =…….2D¹ng 8. x14 − x24 = ( x12 + x22 ) ( x12 − x22 ) =……D¹ng 9. x16 + x26 = ( x12 )3 + ( x22 )3 = ( x12 + x22 ) ( x14 − x12 x22 + x24 ) = ……..[]D¹ng 10. x16 − x26 = ( x1 2 ) 3 − ( x 2 2 ) 3 = ( x1 2 − x 2 2 ) ( x1 2 ) 2 + x1 2 .x 2 2 + ( x 2 2 ) 2 = ...D¹ng 11. x15 + x25 = ( x13 + x 2 3 )( x1 2 + x 2 2 ) − x1 2 .x 2 2 ( x1 + x 2 )D¹ng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2D¹ng13x1 + x 2 − 2a11S − 2a+==x1 − a x 2 − a ( x1 − a )( x 2 − a ) p − aS + a 22. Bµi tËp ¸p dông: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệma) Cho phương trình : x 2 − 8 x + 15 = 0 Không giải phương trình, hãy tính1. x12 + x223.x1 x2+x2 x11 1+x1 x2(34)2. 34  ÷ 15 4. ( x1 + x2 ) 28 ÷ 15 (46)b) Cho phng trỡnh : 8 x 2 72 x + 64 = 0 Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh:1.1 1+x1 x29 ữ82. x12 + x22(65)c) Cho phng trỡnh : x 2 14 x + 29 = 0 Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh:1.1 1+x1 x2 14 ữ 29 2. x12 + x22(138)d) Cho phng trỡnh : 2 x 2 3 x + 1 = 0 Khụng gii phng trỡnh, hóy tớnh:1 1+x1 x2(3)2.1 x1 1 x2+x1x2(1)223. x1 + x2(1)4.x1x+ 2x2 + 1 x1 + 15 ữ61.5.11+x1 1 x2 1e) Cho phng trỡnh x 2 4 3 x + 8 = 0 cú 2 nghim x1 ; x2 , khụng gii phng trỡnh, tớnhQ=HD: Q =6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x225 x1 x23 + 5 x13 x26 x12 + 10 x1 x2 + 6 x226( x1 + x2 ) 2 2 x1 x26.(4 3) 2 2.817===33225 x1 x2 + 5 x1 x25 x1 x2 ( x1 + x2 ) 2 x1 x2 5.8 (4 3) 2.8 80TèM H THC LIấN H GIA HAI NGHIM CA PHNG TRèNH SAO CHO HAINGHIM NY KHễNG PH THUC (HAY C LP) VI THAM S lm cỏc bi toỏn loi ny,các em lm ln lt theo cỏc bc sau:1- t iu kin cho tham s phng trỡnh ó cho cú hai nghim x1 v x2(thng l a 0 v 0)2- p dng h thc VI-ẫT:x1 + x 2 =bc; x1 .x 2 =aa3- Sau ú da vo h thc VI-ẫT rỳt tham s theo tng nghim, theo tớch nghim sau úng nht cỏc v ta s c mt biu thc cha nghim khụng ph thuc vo tham s.Đóchính là h thc liờn h gia cỏc nghim x1 v x2 không phụ thuộc vào tham số m.2Vớ d 1: Cho phng trỡnh : ( m 1) x 2mx + m 4 = 0 (1) cú 2 nghim x1 ; x2 . Lp hthc liờn h gia x1 ; x2 sao cho chỳng khụng ph thuc vo m.(Bài này đã cho PT có hai nghiệmx1 ;x2 nên ta không biện luận bớc 1)Giải:Bớc2: Theo h th c VI- ẫT ta cú :2m2 x1 + x2 = m − 1 x1 + x2 = 2 + m − 1 (1)⇔ x .x = m − 4 x .x = 1 − 3 (2)1 21 2m −1m −1Bíc2: Rút m từ (1) ta có :22= x1 + x2 − 2 ⇔ m − 1 =m −1x1 + x2 − 2(3)Rút m từ (2) ta có :33= 1 − x1 x2 ⇔ m − 1 =m −11 − x1 x2(4)Bíc 3: Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:23=⇔ 2 ( 1 − x1 x2 ) = 3 ( x1 + x2 − 2 ) ⇔ 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 0x1 + x2 − 2 1 − x1 x22Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − 4 = 0 . Chứng minhrằng biểu thức A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 không phụ thuộc giá trị của m.Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :2m x1 + x2 = m − 1 x .x = m − 41 2m −1§K:( m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 ) ;Thay vào A ta c ó:A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 3.2mm−46m + 2m − 8 − 8(m − 1)0+ 2.−8 ===0m −1m −1m −1m −1Vậy A = 0 với mọi m ≠ 1 . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào mBài tập áp dụng:11. Cho phương trình : x 2 − ( m + 2 ) x + ( 2m − 1) = 0 . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1 ; x2 saocho x1 ; x2 độc lập đối với m.Hướng dẫn:B1: Dễ thấy ∆ = ( m + 2 ) − 4 ( 2m − 1) = m 2 − 4m + 8 = ( m − 2 ) + 4 > 0 . Do đó phương trình2đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2B2: Theo hệ thức VI- ÉT ta có m = x1 + x2 − 2(1) x1 + x2 = m + 2⇔x1 x2 + 1 x1.x2 = 2m − 1 m = 2 (2)B3:Từ (1) và (2) ta có:x1 + x2 − 2 =x1 x2 + 1⇔ 2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 5 = 02222Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 .Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = (4m + 1) 2 − 4.2(m − 4) = 16m 2 + 33 > 0 do đó phương trình đã choluôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2Theo hệ thức VI- ÉT ta có x1 + x2 = −(4m + 1)4m = −( x1 + x2 ) − 1(1)⇔ x1.x2 = 2(m − 4)4m = 2 x1 x2 + 16(2)Từ (1) và (2) ta có:−( x1 + x2 ) − 1 = 2 x1 x2 + 16 ⇔ 2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = 0TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆMĐÃ CHOĐối với các bài toán dạng này c¸c em làm như sau:- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2(thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là thamsố).- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.2Ví dụ 1: Cho phương trình : mx − 6 ( m − 1) x + 9 ( m − 3) = 0Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 + x2 = x1.x2Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à : m ≠ 0m ≠ 0m ≠ 0 m ≠ 0⇔⇔⇔222∆ ' = 9 ( m − 1) ≥ 0 m ≥ −1∆ ' = 9 ( m − 2m + 1) − 9m + 27 ≥ 0 ∆ ' = 3 ( m − 21)  − 9(m − 3)m ≥ 06(m − 1) x1 + x2 = mTheo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: và từ giả thiết: x1 + x2 = x1 x2 . Suy ra:9(m−3)x x = 1 2m6(m − 1) 9(m − 3)=⇔ 6(m − 1) = 9(m − 3) ⇔ 6m − 6 = 9m − 27 ⇔ 3m = 21 ⇔ m = 7mm(thoả mãn điều kiện xác định )Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :x1 + x2 = x1.x222Ví dụ 2: Cho phương trình : x − ( 2m + 1) x + m + 2 = 0 .Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x2 là :∆ ' = (2m + 1) 2 − 4(m 2 + 2) ≥ 0⇔ 4 m 2 + 4m + 1 − 4 m 2 − 8 ≥ 0⇔ 4m − 7 ≥ 0 ⇔ m ≥74 x1 + x2 = 2m + 1Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 2 x1 x2 = m + 2và từ giả thiết 3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 .Suy ra3(m 2 + 2) − 5(2m + 1) + 7 = 0⇔ 3m 2 + 6 − 10m − 5 + 7 = 0 m = 2(TM )⇔ 3m − 10m + 8 = 0 ⇔  m = 4 ( KTM )32Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0Bài tập áp dụng21. Cho phương trình : mx + 2 ( m − 4 ) x + m + 7 = 0Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 − 2 x2 = 022. Cho phương trình : x + ( m − 1) x + 5m − 6 = 0Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4 x1 + 3 x2 = 123. Cho phương trình : 3 x − ( 3m − 2 ) x − ( 3m + 1) = 0 .Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 − 5 x2 = 6Hướng dẫn cách giải:Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1và ví dụ 2 ở chỗ:+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 + x2 và tích nghiệm x1 x2nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấnđề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổngnghiệm x1 + x2 và tích nghiệm x1 x2 rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Vídụ 1 và ví dụ 2.BT1: - ĐKX Đ: m ≠ 0 & m ≤1615−( m − 4) x1 + x2 =m(1)-Theo VI-ÉT: m+7x x = 1 2m x1 + x2 = 3 x2⇒ 2( x1 + x2 ) 2 = 9 x1 x2 (2)- Từ x1 − 2 x2 = 0 Suy ra:  2( x1 + x2 ) = 3 x1- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: m + 127m − 128 = 0 ⇒ m1 = 1; m2 = −128BT2: - ĐKXĐ: ∆ = m 2 − 22m + 25 ≥ 0 ⇔ 11 − 96 ≤ m ≤ 11 + 962 x1 + x2 = 1 − m(1) x1 x2 = 5m − 6- Theo VI-ÉT:  x1 = 1 − 3( x1 + x2 )⇒ x1 x2 = [ 1 − 3( x1 + x2 ) ] .[ 4( x1 + x2 ) − 1]- Từ : 4 x1 + 3 x2 = 1 . Suy ra:  x2 = 4( x1 + x2 ) − 1(2)⇔ x1 x2 = 7( x1 + x2 ) − 12( x1 + x2 ) 2 − 1m = 0(thoả mãn ĐKXĐ)m = 1- Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m − 1) = 0 ⇔ BT3: - Vì ∆ = (3m − 2) 2 + 4.3(3m + 1) = 9m 2 + 24m + 16 = (3m + 4) 2 ≥ 0 với mọi số thực m nênphương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.3m − 2 x1 + x2 = 3(1)- -Theo VI-ÉT:  x x = −(3m + 1) 1 23- Từ giả thiết: 3 x1 − 5 x2 = 6 . Suy ra:8 x1 = 5( x1 + x2 ) + 6⇒ 64 x1 x2 = [ 5( x1 + x2 ) + 6] .[ 3( x1 + x2 ) − 6](2)8 x2 = 3( x1 + x2 ) − 6⇔ 64 x1 x2 = 15( x1 + x2 ) 2 − 12( x1 + x2 ) − 36m = 0- Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m(45m + 96) = 0 ⇔ 32m=−15(thoả mãn )XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAICho phương trình:ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….Ta lập bảng xét dấu sau:S = x1 + x2P = x1 x2Dấu nghiệmx1x2m±trái dấuP0cùng dương,++S>0P>0−−cùng âmS0Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình:∆∆≥0∆≥0∆≥0∆≥0Điều kiện chung∆ ≥ 0 ; P < 0.∆≥0 ;P>0∆≥0 ;P>0;S>0∆ ≥ 0 ; P > 0 ; S < 0.2 x 2 − ( 3m + 1) x + m 2 − m − 6 = 0 có 2 nghiệm trái dấu.Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì∆ = (3m + 1) 2 − 4.2.(m 2 − m − 6) ≥ 0∆ = ( m − 7) 2 ≥ 0∀m∆ ≥ 02⇔⇔⇔ −2 < m < 3m −m−6