BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ (LÊ SĨ ĐỔNG) - 123doc

Một khách hàng định mua hộp sản phẩm bằng cách lấy ngẫu nhiên ra cùng lúc 4 sản phẩm từ hộp để kiểm tra, nếu có không quá 1 phế phẩm thì mua hộp sản phẩm.. Tính xác suất một người mua h

LỜI NÓI ĐẦU

Tiếp theo cuốn XAC SUAT - THONG KE VA UNG DUNG

đã xuất bản, chúng tôi biên soạn cuốn sách BÀI TẬP XÁC SUẤT - THỐNG KÊ ỨNG DỤNG nhằm cung cấp phương

pháp, kĩ năng giải các bài toán xác suất thống kê cho bạn đọc, đặc biệt là các sinh viên trong ngành Ngân hàng, Tài chính, Kinh tế, Kĩ thuật

Hệ thống bài tập cơ bản, tổng hợp được trình bày trong cuốn sách tương ứng với các phần của chương trình môn xác

suất thống kê dành cho bậc Đại học - Cao đẳng của Bộ Giáo

dục và Đào tạo để các bạn sinh viên tiện sử dụng khi học môn này Theo đó, cấu trúc của sách gồm có 2 phần với

7 chương -

Phần l : Xác suất

Chương † : Xác suất của một biến cố

Chương 2 : Biến ngẫu nhiên

Chương 3 : Các phân phối xác suất thông dụng

Chương 4 : Biến ngẫu nhiên nhiều chiều

Phần II : Thống kê

Chương 5 : óc lượng tham số

_ Chương 6 : Kiểm định giả thuyết

Chương 7 : Hồi quy tương quan

Mỗi chương gồm có : A Tóm tắt lí thuyết, 8 Bài tập giải,

hướng dẫn, đáp số, © Bài tập tổng hợp (đáp số phả» này

được đưa ra ở cuối cuốn sách) Các bài tập trình bày ở sách là

các bài toán xác suất thống kê, các bài thi môn xác suất

thống kê được chọn lựa trong các giáo trình ở bậc Đại học —

Cao đẳng, ở các kì thi cao học

Với mục đích trình bày ở trên, để phục vụ tốt bạn đọc, tác

giả rất trân trọng và cảm ơn những ý kiến góp ý của bạn doe

nhằm hoàn thiện cuốn sách

~ Định nghĩa thống kê của xác suất : P(A) ~ =

O day ™ ja tần suất xuất hiện A khi lặp lại phép thử n lần

n

m(G) m(H) `

Ở đây : Hình hình học H biểu diễn tất cả các kết cục đồng khả

năng của phép thử ; các kết cục thuận lợi cho A được biểu diễn bằng hình G c H m(H), m(G) là độ do của các hình này, chẳng hạn như độ dài, diện tích, thể tích

~ Định nghĩa hình học của xác suất : P(A) =

6 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

- Hoứớn uị : Một hoán vị của n phân tử là một cách sắp thứ tự n

_ phân tử, vì vậy nó là một chỉnh hợp chập n của n phần tử Số hoán

vị của n phần tử P, = n!

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử : Ak =

B BAI TẬP GIẢI, HƯỚNG DẤN, ĐÁP SỐ

1.1 Một hộp có 7 chính phẩm, 3 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên hai sản

phẩm từ hộp để kiểm tra Tính xác suất :

tổ hợp chập 2 của 3 phần tử suy ra có C$ cách lấy được 2 phế

_Œ

phẩm từ hộp Vậy P(A) = —Š- =— ~ 0.0667 Cio 15

b) Để lấy được 2 sản phẩm trong đó có 1 phế phẩm ta có thé chia các bước :

Cách 1 : Số biến cố thuận lợi cho C là : 21+ C§ = 24

21:CỆ _24

C?o _ 4ð Cách 2 : Số biến cố thuận lợi cho C là :

và P(C)= > 0.8333

24 C?, -C? =24 > P(C)=— 10 7 45 1.2 Một hộp có 10 bỉ đỗ, 6 bi vàng Lấy ngẫu nhiên 5 bi từ hộp Tính xác suất :

a) lấy được 3 bi dé (A)

8 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

1.3 Một nhóm có 12 học sinh trong đó có 5 nữ Chọn ngẫu nhiên 6

học sinh của nhóm để lập một tốp ca Tính xác suất :

a) tốp ca có số nam nữ như nhau (A)

b) tốp ca có ít nhất 2 nữ (B)

DS P(A) = 0,3788 ; P(B) = 0,8788

7.4 Mat hép co 7 chinh pham, 3 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên có hoàn

lại lần lượt từng sản phẩm ra 2 sản phẩm để kiểm tra

Tính xác suất :

a) lấy được 2 phế phẩm (A)

b) lấy được 1 phế phẩm (B)

c) lay được phế phẩm (C)

d) giải câu b) trong trường hợp lấy ngẫu nhiên lần lượt từng sản

phẩm không hoàn lại ra 2 sản phẩm để kiểm tra (D)

Giải

“Lấy có hoàn lại” là lấy lần đầu ra 1 sản phẩm, ghi kết quả réi

trả lại hộp, sau đó lấy ngẫu nhiên sản phẩm thứ bai (có thể lấy

đúng sản phẩm vừa bỏ vào)

a) Phép thử “lấy 2 sản phẩm có hoàn lại" được thực hiện qua 2 bước :

~ Bước 1 : lấy sản phẩm đầu cố 10 khả năng - ~

- Bước 2 : lấy sản phẩm thứ hai có 10 khả năng

Theo quy tắc nhân có tất cả 10.10 = 100 khả năng

Tương tự số khả năng thuận lợi cho A là 3 x 3 = 9

9 Vậy P(A) = maa=0,09 - ay P(A) 100

b) “Số khả năng thuận lợi” cho B là tổng Số :

- Lần đầu lấy được phế phẩm, lần sau lấy được chính phẩm :

- Lần đầu lấy được phế phẩm, lần sau lấy được chính phẩm :

3,17=21-

- Lần đầu lấy được chính phẩm, lần sau lấy được phế phẩm :

7.3=21 3.7+7.3 42 Vay P(D) = ay: PC 90 = — = 0,4667 90 °°

1.5 Co hai hộp bị Hộp 1 (Hy) có 6 bị đỏ và 5 bi vàng ; Hộp 2 (Ha)

có 7 bị đỏ và 6 bi vàng

1) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp †1 bi Tính xác suất :

a) lấy được 2 bi đỏ (A) b) lấy được 2 bi cùng màu (B)

c) lấy được 2 bi khác mau (C)

2) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 2 bi Tính xác suất :

a) lấy được 3 bi đồ (D) b) lấy được số bi đồ nhiều hơn (E)

Giải 1) Phép thử “lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 bi” được tiến hành qua 2 bước :

~ Bước 1 : lấy 1 bi của Hì, có : 11 cách

~ Bước 2 : lấy 1 bi của Hạ, có : 13 cách

10 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

- Khả năng 1 : lấy 2 bi màu đỏ, có 6 7 = 42 cách

- Khả năng 2 : lấy 2 bi màu vàng, có ð 6 = 30 cách

Theo quy tắc cộng, số cách lấy 2 bi cùng màu : 42 + 30 = 72

72

B)ì=——

= P(B) = 143°

c) Số cách lấy 2 bi khác màu bằng :

Cách 1: 6 6 đấy bị đỏ của Hà, lấy bi vàng của Hạ) + 5.7 (lấy bí

vàng của Hị, lấy bi đỏ của Hạ)

= có 71 cách

Cách 2 : 143 (lấy 2 bị) — 72 (lấy 2 bi cùng màu) = 71,

71 143°

2) Phép thử “lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 2 bị” được tiến hành qua 2 bước :

Vậy P(C) =

— Bước 1 : lấy 2 bi từ Hạ, có : C?\ cách

- Bước 3 : lấy 2 bị từ Hạ, có : C? cách

=> 6 C2,.C?, =4290 cach

a) Biến cố “4 bi lấy ra có 3 bị để” có các khả năng :

2 bi đỏ của Hị và 1 bi đỏ, 1 bị vàng của Hạ hoặc 2 bị dé của Hạ

1.7 Mét di béng 16 3 người gồm : 1 hậu vệ, 1 trung vệ, 1 tiền đạo Chọn

ngẫu nhiên mỗi đội 1 người trong 3 đội bóng rổ Tính xác suất : a) 3 người cùng chơi một vị trí (A)

b) Chọn được một đội bóng rổ đẩy đủ (B)

DS P(A) =— ; P(B) =< (A) = 5 3 PCB) ==

1.8 Một lớp học có 20 học sinh trong đó có 8 nữ Chọn ngẫu nhiên 3

người của lớp để lập một ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó

học tập, 1 lớp phó văn thổ Tính xác suất ban cán sự được chọn :

a) có †1 nữ (A) ; b) có ít nhất 2 nữ (B)

Giải

Sau khi lấy 3 người để lập ban cán sự, đổi vai trò của 3 người này ta được một ban cán sự khác Vì vậy việc lấy 3 người để lập một ban cán sự có lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó văn thể

tương ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 20 phần tử : A$o = 6840

a) Việc lập ban cán sự 3 người có 1 nữ ta có thể tiến hành :

- Lấy 3 người trong đó có 1 nữ

12 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

+ Lấy 1 nữ : có 8 cách

+ Lấy 2 nam : có C? cách

= có 8 Cio cách lấy 3 người trong đó có 1 nữ

~ Đồi vai trò của 3 người ta được ban cán sự khác, có : 3! cách

Vay P(A) = 8C 3! _ 44 9 4630,

b) “Lập ban cán sự 3 người có ít nhất 2 nữ” có 2 khả năng :

Khả năng 1 : “Ban cán sự có 2 nữ”, có thể được thiết lập :

Cách khác : Số cách lap ban cán sự 3 người có ít nhất 2 nữ bằng :

Aio -| AŸ; +8.C7a.3!) | -

1.9 Một tổ có 15 học sinh trong đó có 6 nữ, 9 nam và 2 học sinh tên

là Hải, Hà Tính xác suất :

a) Lập 1 tốp ca 5 người, có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ (A) ;

b) Tổ được chia ngẫu nhiên lần lượt thành 3 tốp có số người bằng

c) Bo 5 bi vào 6 hộp mà hộp 1 có 3 bị, ta có thể thực hiện :

- lấy 3 bi bé vào hộp 1, có : Cỷ cách

— bỏ 2 bị còn lại vào 5 hộp, có : 5 5 = 25 cách

Vậy số cách là Cỷ.25.

14 Chương 1 : Xác suất của một biến cố:

Vì vai trò của các hộp như nhau nên số cách bỏ ð bi vao 6 hép

b) mỗi người đến một quầy khác nhau (B)

c) hai trong 3 người cùng đến một quầy (C)

d) chỉ một khách đến quầy số 1 (D)

25

DS P(A) = 0,0278 ; PB) = 0,5556 ; P(C) = 0,4167 ; P(D) = 79"

4.12 Ba công nhân |, tl, !!H có cùng kĩ năng, cùng tay nghề thay

nhau sản xuất một loại sản phẩm Trong số sản phẩm làm ra

1.13 Số điện thoại ở thành phố M là một số gồm 7 chữ số, bắt đầu

bằng chữ số 8 Chọn ngẫu nhiên một số điện thoại của thành

phố Tính xác suất chọn được :

a) số chấn (A)

b) số có 6 chữ số còn lại đều khác nhau (B)

c) số có 6 chữ số còn lại khác nhau và la $6 chan (C)

J = {0, 2, 4, 6, 8} Số điện thoại của M có dạng 8.aasasa„a;ae

Số số điện thoại có thể của M là 108

a) Số điện thoại được chọn thuận lợi cho A có thể tính : + ag € ở, có B cách

16 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

+ ai,ao, ,as khác nhau (và khác 8, as), có AŠ cách

5

= P(E) = a8 = 0,02688 10°

Ð Số tạo bởi 6 số còn lại : ajagagagagag

- Trường hợp : a¿ =0 thì số cách lấy a.as,as,a¿,ag khác nhau

la AQ (bớt số 0)

- Trường hợp : aạ #0 = as e (2, 4, 6, 8], có 4 cách lấy aa

« ai “0 và ai zao , có 8 cách 7

e ao,aa,a;,as khác nhau và khác aị,ag, CÓ : A§ cách

Trường hợp này có :4 8 Aj cach

Vậy số các số là : A3 +4.8.A§

Ab +4.8.Ag

= P(F) = Š

10 = 0,06888

1.14 An định gọi điện thoại cho bạn nhưng quên mất 3 chữ số cuối Tính

xác suất An bấm ngẫu nhiên 1 lần được đúng số cần gọi, biết :

1.15 Theo théng kê hàng năm ở một vùng trong 3 tháng cuối năm

có mưa lớn 6 lần Tìm tỉ lệ ngày của vùng không có mưa lớn

qua 1 lan trong thởi gian đó

Vậy A={(S.S,(S.N).(N,S} Do đó P(A) = 3

1.17 Gieo đống thời 2 con súc sắc một xanh một đỏ Tính xác suất

của biến cố :

a) Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con súc sắc bằng 7 (A)

b) Số chấm xuất hiện trên con súc sắc đổ lớn hơn số chấm xuất hiện trên con súc sắc xanh (B)

c) Tích số chấm xuất hiện trên 2 con súc sắc là một số lẻ (C) Gidi

Ki hiéu (i, j) là mỗi kết, cục của phép thử gieo 2 con súc sắc

Số biến cố sơ cấp (, j) (i, j = 1, 2, 6) là 36 |

a) Các biến cố thuận lợi cho A : (1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)

6 1 Vậy P(A)=— =— ay 36 6

b) Các biến cố (i, j) với i < j :

=2:(1,2) Jj=3:, 3), (2, 3) j=6:(1,6), , (5, 6)

= có lỗ biển cố thuận lợi cho B Vậy PŒ) =——

c) Biến cố (i, J) với ¡, j cùng là số lẻ ¡, j e (1, 3, 5] là thuận lợi

18 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

1.18 Một công tÍ có 30 người trong đó có 20 người biết tiếng Anh ;

12 người biết tiếng Pháp ; 15 người biết vi tính ; 10 người biết

tiếng Anh và ví tính ; 6 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp ;

5 người biết tiếng Pháp và vi tính ; 2 người biết-cả 3 loại Chọn

ngẫu nhiên một người của công tí đó Tính xác suất để người

được chọn

a) biết ít nhất 1 loại kĩ năng trên (A)

b) chỉ biết một loại kĩ năng trên (B)

c) chỉ biết 2 loại kĩ năng trên (C)

d) chỉ biết tiếng Anh (Ð)

Giải

Dùng biểu đồ Venn (h.1) là hình biểu diễn toàn công tỉ bằng một

hình lớn, mỗi bộ phận của công tỉ là 1 miễn được bao bởi đường

cong kín nằm trong hình lớn Để tìm số phần tử các miễn, ta

xuất phát từ miễn giao nhiều nhất

tử) chứa miền giao nhiều nhất (có 2 phần tử) thì miễn còn lại của

nó có 3 phần tử Tương tự ta tìm được số phẩn tử các miễn khác

a) người đó có sử dựng thẻ thanh toán của ngân hàng (A) b) người đó chỉ sử dụng 1 loại thẻ của ngân hàng (B) c©) người đó chỉ sử dụng loại thẻ M (C)

d) người đó không sử dụng thẻ của ngân hàng (D)

c) có đọc báo buổi sáng và báo buổi chiều (P), có đọc chỉ báo sáng hay báo chiều (Q) Nếu A, C là báo sáng, B là báo chiều

DS P(M) = 33% ; P(N) = 21% ; P(P) = 11% 5 P(Q) = 22%

1.21 Một đường cáp điện thoại ngầm nối tổng đài với một trạm cách:

đó 1 km Tính xác suất để cáp bị hỏng tại nơi cách tổng đài không dưới 600 m (A)

Giải Bằng hình học ta giả sử : Tống đài đặt tại M ; trạm đặt tại N

20 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

x là điểm cáp bị hông kể từ tổng đài Khi đó :

1.22 Hai tau thuỷ cùng cập bến cảng một cách độc lập trong vòng

một ngày đêm Biết rằng thời gian lưu lại cảng để bốc đỡ hàng

của tàu thứ nhất là 1 giờ, của tàu thứ hai là 2 giờ Tìm xác

suất một trong hai tàu phải chờ để đỡ hàng

Giải

Gọi x (giờ) là thời điểm tàu thứ

nhất cập bến, y (giờ) là thời điểm

tàu thứ hai cập bến (h.2)

Toàn bộ kết cục đồng khả năng

của bài toán :

H = {(x, y):0<x<24;0<y<24)

Nếu tàu thứ nhất cập bến trước thì

tàu thứ hai phải chờ khi :

e A kéo theo B, ki hiéu A c B : A xuất hiện thì B xuất, hiện

® A=B: A tương đương với B

se A+B: A hoặc B xuất hiện (có ít nhất một trong hai biến cố xuất hiện)

e A.B:A và B cùng xuất hiện đồng thời

A, B xung khắc với nhau nếu A B = Ø (A, B không cùng xuất hiện đồng thời trong phép thử)

s Biến cố đối của Ala A = “khong A’

1 Công thức cộng xác suất + A, B xung khắc : P(A + B) = P(A) + P(B)

+ Ai,As A„ xung khắc từng đôi :

P(A, + Ag + +A,) = P(A) + ,+ P(A)

+ A, B khong xung khac : P(A + B) = P(A) + P(B) — P(AB) + A, B, C không xung khắc : -

_ P(A + B+ CC) = P(A) + P(R) + P(C) ~ P(AB)

— P(AC) - P(BC) + P(ABC)

+ Công thức xác suất của biến cố đối : P(A) = 1 - P(A)

+ A, B doc lap : P(A.B) = P(A) P(B) + A, B déc lap = AB (A,B:A,B) độc lập + Xác suất điêu kiện : xác suất của A được tính khi B đã xuất hiện :

_ PAB)

P(AIB) = 3)’ (P(B) > 0).

22 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

+ A, B không độc lập : P(A.B) = P(A) P(B | A) = P(B)P(A | B)

+Ai,As,A¿ không độc lập :

P(A, AgAg) = P(A,)P(Ag | Ay) P(Ag | Ay-Ag)

3 Cong thifc Bernoulli

Dãy n phép thử Bernoulli là dãy phép thử thoả mãn 3 diéu kiện

— Các phép thử độc lập

~ Trong mỗi phép thử A hoặc A xuất hiện

~ Xác suất P(A) = p trong mỗi phép thử

Ay = “klần xuất hiện A trong dãy n phép thử Bernoulli”

P(Ay) = CRpkqạn~k

4 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

Nhóm day đủ các biến cố H;,H,, H, là nhóm các biến cố

thoả mãn điều kiện : Trong mỗi phép thử có 1 và chỉ 1 biến cố của

nhóm xuất hiện Nếu Hì, H,„ là nhóm đẩy đủ và A phụ thuộc vào

Cong thie Bayes: P(H; | A) =

B BÀI TẬP GIẢI, HƯỚNG DẤN, ĐÁP SỐ

Công thức cộng ; công thức nhân ; xác suất có điều kiện

1.23 Một khách hàng định mua hộp sản phẩm bằng cách lấy ngẫu

nhiên ra cùng lúc 4 sản phẩm từ hộp để kiểm tra, nếu có

không quá 1 phế phẩm thì mua hộp sản phẩm

Tính xác suất : a) khách hàng mua hộp sản phẩm (A)

b) khách hàng không mua hộp sản phẩm (B)

Biết hộp sản phẩm có 20 sản phẩm, trong đó có 5 phế phẩm

Giải Gọi A; = “Trong 4 sản phẩm lấy ra có ¡ phế phẩm”

P(B) = 1 - P(A) = 0,2487

1.24 Tính xác suất một người mua hộp bóng đèn nếu lấy 3 bóng để

kiểm tra mà :

a) có bóng hỏng thì không mua hộp bóng đèn b) số bóng hỏng nhiều hơn thì không mua hộp bóng đèn

Biết hộp bóng đèn có 15 bóng trong đó có 3 bóng hồng

DS a) P = 0,486 ; b) P ~ 0,9187

1.25 Một lô hàng có 100 sản phẩm trong đó có 10 phế phẩm Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt 3 sản phẩm Nếu có phế phẩm trong 3 sản phẩm kiểm tra thì không mua lô hàng: Tính xác suất lô hàng được mua (A) (xét trường hợp lấy có hoàn lại và không hoàn lại) Giải

Gọi A; = “lần ¡ lấy được phế phẩm” ¡ = 1, 2, 3

- Lấy có hoàn lại : A,As,A¿ độc lập :

P(A) = P(A1A2A3) = P(Ai)P(Aa)P(A3)

3

-( 8Ÿ -sm 100

24 Chương 1 : Xác suất của một biến cổ

~ Lấy không hoàn lại : A¡,A¿,A¿ không độc lập

P(A) = P(A1 Az As) = P(A1)P(Ag | Ai)P(A3 | A1-Az)

=——.——.—~0,72653

100 99 98 1.26 Tỉ lệ phế phẩm của một lô hàng là 5%

a) Chọn ngẫu nhiên có hoàn lại lần lượt từng sản phẩm cho đến

khi gặp phế phẩm thì dừng Tính xác suất phải chọn đến lần

thứ 3 (A)

b) Chọn ngẫu nhiên có hoàn lại lần tượt từng sản phẩm từ lô

hàng Phải chọn bao nhiêu lần để xác suất chọn được ít nhất

4.27 Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt (có hoàn lạ): 3 sản phẩm từ một lô

hàng có tỉ lệ phế phẩm là 5% Tat: xác suất : Trong: 3 sản

Chu ý Ta cũng có thể giải bài này như sau :

~ Việc lấy 3 sản phẩm có hoàn lại tạo thành dãy 3 phép thử Bernoulli với xác suất lấy được phế phẩm là 0,05

P(A) = C2 (0,05)? 0,95 = 0,0071 P(B) =1-C$ (0,05)°.(0.95)? = 0,1426

1.28 Một hộp có 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng Có 10 người lần lượt lấy ngẫu nhiên mỗi người 1 phiếu Tính xác suất : a) Người thứ 3 lấy được phiếu trúng thưởng

b) Người thứ 3 lấy được phiếu trúng thưởng biết trong 2 người đầu

đã có 1 người lấy được phiếu trúng thưởng c) Giả sử người thứ 3 lấy được phiếu trúng thưởng thì khả năng người thứ nhất lấy được phiếu trúng thưởng là bao nhiêu ? Giải

A; = “người thứ ¡ lấy được phiếu trúng thưởng”

a) Céch 1: Ag =A,A2Ag+ AlAgA; + Al A2As (xung khắc)

P(Ag) = P(A, AzAg)+ P(AlApA3) +P(A1AzA3)

‘= P(A, )P(A2 | A, )P(Ag | Ay Az) + PCA )P(Ag | At)

P(Ag | A1Ay) + P(A1)P(Ag | Ai PLAS | Ar A2)

$e t eee,

f

26 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

Cách 9 Số khả năng 10 người rút phiếu là 101

Số khả năng thuận lợi cho người thứ ba :

- người thứ 3 lấy được phiếu trúng thưởng có 2 cách

~ những người còn lại rút mỗi người 1 phiếu : 9!

hoàn lại) lần lượt từng bi cho đến khi lấy được 2 bị đỏ thì dừng

Tỉnh xác suất việc lấy bi dừng ở lần thứ 4,

Giải

Á; = “lần ¡ lấy được bị đỏ” ¡ = 1, 2, , 10 B; = “Dừng ở lan j” j = 2, 3, , 10

Bạ = A, AzAg +ÃIA;A;

PŒ¿) = P(A¡)P(A¿ | A)P(Aa | A¡ A2)+

P(A} )P(Ag | Ai P(A | A1Ag) = = -4.30 Ba xạ thủ cùng bắn mỗi người 1 viên đạn vào một con thú Xác

suất bắn trúng thú của từng xạ thủ tương ứng là 0,6 ; 0,6 ; 0,8

Giả sử thú bị trúng 2 viên đạn (A) thì xác suất xạ thủ thứ nhất bắn trúng khi đó là bao nhiêu ?

_ c2:

P(A) = <2

17

P(A) = 1- P(A) =0,97794.

28 - Chương 1 : Xác suất của một biến cố

1.32 Khả năng gap rủi ro khi đầu tư các dy an |, II tương ứng là 9%,

7% và gặp rủi ro đồng thời khi đầu tư cả 2 dụ á án là 4% Nếu

đầu tư cả 2 dự án, tính xác suất :

A, dự án ¡ gặp rủi ro ie {I; II}

a) A, = Ay.Q= Ay (Ag +A2)= AyAy +A, Ao

=> P(A,)= P(A, Ag) + P(A, Ag) (xung khắc)

P(A) = P(A, Az) = P(A,)- P(A; Ag) = 0,09 — 0,04 = 0,05

b) B= A, Ag+ Ai Ag ; tuong tu cau a) ta có P(AiAs) = 0,03

P(B) = P(A, Az) +P(A1Ay) = 0,05 + 0,03 = 0,08

ce) C=A, + Ay

P(C) = PtA;) + P(Aa) - P(AiAa) =0,12

d) P(D) = 1 -— P(C) = 0,88

Chú ý Bài toán này cùng giải được bằng biéu dé Venn

4.33 Một xí nghiệp có 2 ô tô hoạt động độc lập Xác suất trong một

ngày làm việc các ô tô này hồng tương ứng là 0,08 ; 0,1 Tính

xác suất trong một ngày làm việc xí nghiệp có :

a) 2 6 t6 hdng (A)

b) có † ồ tô hỏng (B)

c) có ô tô hỏng (€)

HD: A; = “ô tô ¡ hỏng”, A,,A> déc lap, A= AiAo:

B=A,A2 + AiAg; C=A,+Ap

A; = “công tắc ¡ đóng” ¡ = 1, 2, 6

Bị = “mạch chứa công tắc 1, 2 có điện” Bị = Ai.A;

Bạ = “mạch chứa công tắc 3 có điện”

Bg = “mạch chứa công tắc 4, 5 có điện”

M = “mach AB cé dign” = (B, + By +By).Ag

B, +B, +B; = Bi Bo.Bs P(B) B2.Bs) = P(B;).P(Bz).P(B3)

= (1-P(B, (1 - P(B, (1 - PCB)

=(1-P(A,Ay))(1~ P(Ag (1 - P(A, As))

= (1-P,P (1 - Ps 4 ~ PyPs).

30 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

P(M) = P(B, + Bo +Bg)P(Ag) (déc lap)

=[1-P(B, +By +Bạ) |P(Aa)

=[1-(1~P,P;)q - Pa) - P„Pạ) |.Pạ

1.36 Một chủ khách sạn gửi ngẫu nhiên 3 chiếc mũ bị bỏ quên cho

3 vị khách vì ông ta không biết mũ nào của ai Tính xác suất :

a) Không ai nhận được mũ của mình (A)

b) Chỉ có 1 người nhận được mũ của mình (B)

Giải

a) Aj = “ngudi khách ¡ nhận được mũ của mình”

A = Ay + Ag +Ay

P(A) = P(A, ) + P(Ag)+P(A3) -

P(A, Ao) ~ P(A, Ag) ~ P(A¿Aa) + P(A, AgA3) `

2! 1 —

Ta có : P(Aj)= =2 1= 18

AIA¿A¿ C AIA¿ và ArÁc CAILAÁ¿ 2 AIÁo =AIA¿Áa

Tuong tu A,Agz = AgAg = AyApAg ; P(A,AgA3) “ai

P(A) = 1-P(A) =—

Cách khác : A = AI.A2.À3

=> P(A) = P(Ai)P(A¿ | A1) P(As ro)

P(AI)=1- Play) = 3; P(Az |A1)=1-P(Ag | Ai) = 1- art

P(A, Az Ag) = PCA YP(Az | A, )P(A3 IA, Ae) = at

Tương tự P(A¡As Aa) = P(Ai A2Aa) = ” PŒ)=—

1.37 Xác suất để một máy hoạt động tới thời gian T là " ; quá thời gian 2T là 0,3 và quá thời gian 3T là 0,1

a) Nếu máy đã hoạt động tới thời gian T thì xác suất để nó hoạt

động quá thời gian 2T là bao nhiêu 2 b) Nếu máy đã hoạt động tới thời gian T thì xác suất để nó hoạt động thêm quãng thời gian hơn 2T là bao nhiêu ?

.Giải A; = “Máy hoạt động tới thời gian iT”, ¡ = 1, 2, 3

A = “Gia đình có con gái” : P(A) =ễ

B = “Gia đình có 9 con gái” = Bc A và P(B) z — : Xác suất đứa bé còn lại là con gái :

32 Chương 1 : Xác suất của một biến cỡ

4.39 Sản phẩm của phân xưởng 1 chiếm 60% tổng sản lượng của xí

nghiệp 80% sản phẩm của xí nghiệp là loại A trong đó có

70% là của phân xưởng 1 Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm

của xí nghiệp để kiểm tra Tính xác suất :

Sản phẩm đó là loại A, biết rằng sản phẩm được chọn là của

phân xưởng 1

A = “Sản phẩm được chọn là loại A”

B = “Sản phẩm được chọn của phân xưởng 1”

a) Học sinh được chọn ở ngoại thành, biết rằng em đó là nữ

b) Học sinh được chọn là nữ, biết rằng em đó ở ngoại thành

nguyên tắc : đỗ ki thi này thì mới được thi kì sau Xác suất để sinh viên dé ki thi thứ nhất là 0,9 Nếu đỗ kì thi đầu thì xác suất sinh viên đó đỗ được kì thi thứ hai là 0,85, tương tự đỗ kì

thi thứ hai thì xác suất sinh viên đó đỗ kì thị thứ ba là 0,7

a) Tính xác suất sinh viên đó đỗ cả 3 kì thi (A) 'b) Nếu sinh viên đó không hoàn thành khóa học thì xác suat anh

ta bị trượt ở ki thi thứ hai là bao nhiêu 2 Giải

A¡ = “Sinh viên dé ki thi thi i”, i = 1, 2, 3

a) A= AtA¿Aa > P(A) = P(Ai)P(A¿ LAI) P(A, | A; Ag)

= 0,9 0,85 0,7 = 0,5355

b) B = “Sinh viên không hoàn thành khoá học”

B=Ai+A,A2+A,A,A3 Cách 1: P(B) = P(A1)+P(A, Ag) + P(A, Ap A3)

=P(A1)+P(A,).P(A21A,)+ P(A, )P(Ag | A, )P(A3 1A, Ap)

=0,1+0,9.0,15 + 0,9 0,85 0,3 = 0,4645

Cach 2 : P(B) = 1 — P(A) = 0,4645

Vi A, A2 cB, P(A, Az) =0,15 nén xéc suat cân tính :

P(A, Aa |B) = S55 P(B) P(B)

1.42 Một hộp gồm 6 sản phẩm loại 1, 4 sản phẩm loại 2 Lấy ngẫu

nhiên lần lượt từng sản phẩm ra 2 sản phẩm (không hoàn lại) Tính xác suất :

a) Lấy được 2 sản phẩm loại 2, biết rằng có sản phẩm loại 2 đã

được lấy

~ 0.2906

3.BAI TẬP XÁC SUAT - THONG Ke UNG DUNG -A

34 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

b) Lấy được một sản phẩm loại 2 biết rằng đã có ít nhất một sản

phẩm loại 2 đã được lấy

Giải

a) A = “Trong 2 san phẩm lấy ra có sản phẩm loai 2” A; = “Lan

¡ lấy được sản phẩm loại 2” ¡ z 1, 2

P(AiAa.A) _ P(A, Ag)

PCAyAg | A)= Sy = Braj

P(AB) P(B) P(A, )P(Az1A,)+P(A1)P(Ag | Ai) _

1.43 Bắn liên tiếp vào một mục tiêu cho đến khi có một viên đạn

đầu tiên trúng mục tiêu thì ngừng bắn Tìm xác suất sao cho

phải bắn tới lần thứ 4, biết xác suất trúng mục tiêu của mỗi

cdc bién cd A,,Ag,A3,A, khong dc lap va

P(Ai,11A;)= 0; P(A;,; | Ai) = 0,4

=> P(A) = P(A1)P(Az | A1) P(A3 | A1A2) P(A, |A1A2As)

Mat khác : Ag c Ay => Ai.Ag = Ag

A3c Agc Ai = ArA2As = As

Vay P(A) = (1 - 0,4) (1 — 0,4) (1 — 0,4) 0,4 = 0,0864

1.44 Một hộp có 10 bi trong đó có 3 bị đỏ

a) Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt từng bị cho đến khi lấy

được bị đỏ thì dừng Tính xác suất việc lấy bi dừng ở lần thứ

b) Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại lần lượt từng bi cho đến khi lấy được 2 bì đồ thì dừng Tính xác suất việc lấy bi dừng lại ở lần

thứ tư (B) Giải

A; = “Lan i lay được bi đề”

a) A=À1A2Aa P(A) = P(Ay)P(Az | Ar) P(As IÃIÃ2) -1 1098 40 § 317 Lois b) B= A, AgAsAy + À1Á¿Á3Á¿ + A1Á2AaA„

P(A1 A2A3A4) = P(A1)P(A2 | A1) P(Ag | Ai A2)P(A, | A1A2Ag)

-2632

1098 7

PB) =3 (2.332) 3 = 0/18 10987)” 20

36 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

Công thức Bernoulli

1.45 Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm Xác suất máy sản

xuất ra phế phẩm là 0,08 Tính xác suất :

a) Trong 10 sản phẩm máy sản xuất ra có 3 phế phẩm (A)

b) Trong 10 sản phẩm máy sản xuất ra có phế phẩm (B)

c) Cần kiểm tra tối thiểu bao nhiêu sản phẩm của máy sản xuất

ra để xác suất có phế phẩm (C) hơn 90%

Giải

Máy sản xuất n sản phẩm tương ứng với dãy n phép thử

Bernoulli với xác suất xuất hiện phế phẩm là 0,08

Phải điều tra tối thiểu 28 sản phẩm

1.46 Một người mỗi ngày tới 6 nơi để bán hàng Xác suất bán được

hàng tại mỗi nơi của người đó là 0,3 Tinh xác suất người đó bán

-được hàng trong một ngày

HD 6 nơi bán hàng là 6 phép thử Bernouli — ĐS: 0,882351

1.47 Xác suất tiêu thụ điện không quá mức quy định của một nhà

máy trong 1 ngày là 0,8 Tính xác suất trong 1 tuần (6 ngày)

nhà máy

a) có 4 ngày tiêu thụ điện không quá mức quy định

b) có ngày tiêu thụ điện quá mức quy định

HD 6 ngày của nhà máy là 6 phép thử Bernoulli với biến cố

A = “Ngày tiêu thụ điện không quá mức quy định”

Giải A; = “Xa thủ thứ nhất bắn trúng ¡ viên đạn”

Bị, = “Xa thủ thứ hai bắn trúng ¡ viên đạn”, i=1,6

a) P(A) = 1-P(A) = 1-P(ApBy) = 1- P(Ap)P(By)

=1~C§ (0,6)0.(0,4)8 C§.(0,7)9.(0,8)8 ~1

b) B= Ap.Bg +-A;By + AgBo

P(A,Bg) = P(Ag) P(Bg) = C§.0,62.0,48 0,38 = 2,7088.107% P(A,B,) = P(A, )P(B,) =

DS 0,02706

1.61 Mach dién mac song Song sẽ hoạt động được nếu có ít nhất

một thành phần của nó hoạt động bình thường

1) Xét mạch điện mắc song song có 5 thành phần hoạt động độc lập với xác suất hoạt động của mỗi thành phần là 0,7 Tính xác suất :

38 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

a) Mach hoạt động bình thường (A)

b) Mạch có 2 thành phần hoạt động (B)

c) Mạch có 2 thành phần hoạt động, biết rằng mạch hoạt động

2) Nếu xác suất hoạt động của mỗi thành phần là 0,4, để mạch

hoạt động bình thường với xác suất trên 95% thì cần mắc song

song ít nhất bao nhiêu thành phần ?

HD va DS P(A) = 0,99757 ; P(B) = 0,1323

1)c) BC A> AB=B, P(AB) = P(B):

P(B! A) = 0,13262

2) Ít nhất 6

4.62 Có 2 loại máy bay : 5 động cơ, 3 động cơ Xác suất của mỗi

động cơ trên máy bay hỏng là 0,1 Các động cơ hoạt động độc

lập Máy bay vẫn tiếp tục bay khi có hơn nửa số động cơ vẫn

hoạt động Cho biết loại máy bay 5 động cơ hay 3 động cơ

thích hợp hơn ?

Giỏi

A = “Máy bay loại 3 động cơ vẫn bay tiếp”

B = “May bay loại Š động cơ vẫn bay tiếp”

Ta coi mỗi động cơ là 1 phép thử Bernoulli,

P(A) = C?.0,92 0,1+ CỶ.0,92-= 0,979

P(B) = C2.0,9°.0,1? + C§.0,94.0,1 + 0,9° = 0,99144

P(B) > P(A) : May bay 5 d6ng co thich hgp hon

1.53 Có 20 hộp sản phẩm Mỗi hộp có 8 sản phẩm loại A, 2 san

phẩm loại B

Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 sản phẩm để kiểm tra Tính xác suất

trong số sản phẩm lấy ra có 2 sản phẩm loại B

_§2 Các công thức tính xác suất 39 Giải

_ Mỗi lần lấy 1 sản phẩm từ mỗi hộp là 1 phép thử Bernoulli với xác suất lấy được sản phẩm loại B là 0,2

Xác suất cẩn tính là p = C?o.0,22.0,818 = 0,1369

1.84 Một mô hình đơn giản về biến đổi giá chứng khoán : trong một phiên giao dịch giá lên 1 đơn vị là p, giá giảm một đơn vị là

1 ~p, sự thay đổi giá của các phiên là độc lập

a) Tính xác suất sau 3 phiên giao dịch giá tăng lên 1 đơn vị (A) b) Nếu sau 3 phiên giao dịch giá tăng lên 1 đơn vị thì xác suất giá

tăng trong phiên đầu tiên là bao nhiêu 2

Giải a) Mỗi phiên giao dịch là một phép thử Bernoulli A= “Trong 3 phiên giá tăng 2 lần, giảm 1 lần"

P(A) = C2p7(1- p)

b) A; = “Gid tang trong phién thit i”

A= A,A2A3 + Ay Ag A3 +A1A,A3

A, A = A, A2Ag + Ay Ay As P(A, A) = P(A, AgAg) + P(A, Ap Az) = 2p?.(1-p)

P(A 1a) = PAA) 2p ep) Vô,

1.65 Hai nhà máy I và II cùng sản xuất một loại sản phẩm Tỉ lệ phế

40 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

P(B) = P(A,)+P(Ag)- P(A, YP(Ag) = 0,2471

Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes_

4.56 Một phân xưởng có 3 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm

Sản lượng của các máy này sản xuất ra chiếm tỈ lệ 35% ; 40%;

25% toàn bộ sản lượng của phân xưởng TỈ lệ phế phẩm của

các máy này tương ứng là 1% ; 1,5% ; 0,8% Lấy ngẫu nhiên

một sản phẩm của phân xưởng để kiểm tra :

a) Tính xác suất lấy được phế phẩm (A)

b) Giả sử sản phẩm lấy ra là phế phẩm, nhiều khả năng sản

phẩm đó do máy nào sản xuất ra ?

Giải a) A; = “Sản phẩm lấy duge cia may i”, i=1,3, Ay,Ag,Ag là

a) Tính xác suất lấy được phế phẩm (A)

b) Nếu sản phẩm lấy ra là chính phẩm Tính xác suất sản phẩm

đó do máy thứ hai sản xuất ra

Giải a) A; = “Sản phẩm của máy i7, ¡ = 1, 2

ro ; 50% rủi ro trung bình ; 30% rủi ro cao

a) Tính tỉ lệ dân gặp rủi ro trong một năm

b) Nếu một người không gặp rủi ro trong năm thì xác suất người

đó thuộc loại ít rủi ro là bao nhiêu ?

HD Xem BT 1.54

DS a) 17,5% ; b) 0,2303.

42 | Chương 1 : Xác suất của một biến cố

1.59 Một nhân viên quảng cáo nghiên cứu sở thích xem ti vi (TV)

của những người có gia đình Từ số liệu thống kê anh ta kết

luận : 60% các ông chồng thích xem TV Khi chồng xem TV có

40% các bà vợ cũng thích xem TV ; chồng không thích xem

1.60 Trong một vùng dân cư tỉ lệ nữ là 55%, có một nan dịch bệnh

truyền nhiễm với tỉ lệ mắc của nam là 6%, của nữ là 2%

a) Tính tỈ lệ mắc dịch bệnh của đân cư vừng đó (A);

b) Chọn ngẫu nhiên một người dân của vùng thì được người

mắc dịch bệnh, tính xác suất người mắc dịch bệnh đó là nam

HD H = "Một người được chọn ngấu nhiên là nữ, H, H là một

nhóm đầy đủ

DS a) P(A) = 3,8% ; b) p = 71,05%

1.61 Một đài khí tượng thủy văn muốn xem xét khả năng dự báo thời

tiết của mình Từ số liệu thống kê chỉ ra rằng : xác suất dự báo

có nắng trong ngày không mưa là 0,8 ; có nắng trong ngày

mưa là 0,4; xác suất một ngày sẽ không mưa là 0,6

a) Tính xác suất dự báo ngày sẽ có nắng (A)

b) Tính xác suất sẽ là ngày không mưa, biết rằng đã có dự báo là

c) Lấy ngẫu nhiên một bị của hộp 1 bỏ sang hộp 2 sau đó từ hộp

2 lấy ra 2 bị Tính xác suất trong 2 bị lấy ra có bi đô (C) d) Lấy ngẫu nhiên 2 bị từ hộp 1 bỏ sang hộp 2, sau đó lấy 2 bi từ hộp 2 Tính xác suất lấy được 2 bi đỗ (D)

Giải a) H; = “Lấy được hộp Ï° ;¡ = 1, 9, Hị.H; là một nhóm đây đủ, P(H,) =5

i ` + 1Ê „0.7208,

211 214 b) Với kí hiệu Hị ở a), ta có :

8 C2 3

=— 4+ = “5 20,0675 11 C2, 11 Cis

P(C) = 1-P(C) =0,9325.

44 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

phẩm loại A, 3 sản phẩm loại B Người ta lấy ngẫu nhiên 1

sân phẩm làm mẫu (không bán) Sau đó có một khách tới

mua 1 trong 11 sản phẩm còn lại Tính xác suất khách mua

được sản phẩm loại A

HD THÍ = “Sản phẩm làm mẫu là loại À”;

H, H là nhóm đẩy đủ

DS 0,75

1.64 Một hộp có 15 quả bóng bản, trong đó có 9 quả còn mới và 6

quả đã sử dụng Lần đầu tiên người ta lấy 3 trong 15 quả để

sử dụng, sau đó trả lại hộp Lần thứ 2 lại lấy ngẫu nhiên 3 quả

từ 15 quả này

Tính xác suất trong 3 quả lấy lần thứ hai có quả đã sử dụng (A)

HD Tinh P(A) qua nhóm đây đủ

A; = “Trong 3 quả lấy lần 1 có ¡ quả đã sử dụng”, ¡ = 0, 1, 2, 3

4.65 Hộp 1 có 10 quả cầu đỏ, 5 quả cầu vàng ; hộp 2 có 7 quả cầu

đô, 3 quả cầu vàng Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả cầu,

sau đó lấy ngẫu nhiên 1 quả từ 2 quả cầu này Tìm xác suất

quả cầu lấy sau là quả cầu vàng (A)

Giải A = “Quả cầu lấy từ hộp 1 màu vàng”

Bị = “Quả cầu lấy từ hộp 2 màu vàng"

C¡ = “Trong 2 quả cầu lấy ra có ¡ quả vàng”,

¡ =0, 1, 2, là nhóm đầy đủ

P(Cy) = P(A Bi) = P(A )P(B1) = = ; P(C) = P(A, B,) = 16 ;

P(C,) = P(A, Bi + ArB,) = P(A, B) + P(AyB,) = 22;

P(A) = P(Co)P(A|Co)+P(C,) P(A1C,) + P(Cy)P(A | Cy) -g„18 1,11 _19

1.66 Nga dang suy nghĩ nên thi đại học khối A hay khối B Theo suy nghĩ của mình, Nga thấy xác suất đỗ đại học ở khối A là ši ở khối B là = Nga quyết định dựa trên việc tung một đồng xu Giả sử Nga đỗ đại học, thì khả năng Nga đỗ đại học khối B là

HD S = “Mặt sấp xuất hiện khi tung đồng xu”

8 và § là nhóm đầy đủ

DS 57,14%

1.67 TỈ lệ sản phẩm loại I do một máy sản xuất ra là 80% : còn lại là

loại II Sản phẩm của máy sản xuất ra được một trạm kiểm tra

tự động phân loại Tuy nhiên khả năng nhận biết đúng một sản phẩm loại ! và một sản phẩm loại !I của trạm tương ứng là

90%, 95%

a) Tính xác suất một sản phẩm của máy được trạm phân loại I (A) b) Tính xác suất một sản phẩm của máy được trạm phân loại không đúng với bản chất của nó (B)

46 Chương 1 : Xác suất của một biến cô

c) Nếu một sản phẩm được phân loại là A thì khả năng nó không

đúng là bao nhiêu ?

Giải

a) A, = “Sản phẩm của máy thuộc loại ¡', A¡,A; là nhóm đầy đủ

P(A) = P(Ai)P(A | Ai)+ P(Ag)P(A I Ag)

4.68 Một hộp có 7 sản phẩm, hoàn toàn không biết chất lượng của

các sẵn phẩm trong hộp này Mọi giả thiết về số phế phẩm có

trong hộp là đồng khả năng Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ

hộp ra 3 sản phẩm để kiểm tra thì thấy có 2 phế phẩm

a) Số phế phẩm nhiều khả năng nhất trong các sản phẩm còn lại

P(A) được tính theo công thức xác suất đầy đủ với P(A | A;)=0,

i = 0,1 Tinh P(A{ Ag) theo 3 khả năng : 2 trong 3 lân lấy được

phế phẩm, 1 lần lấy được chính phẩm Xác suất mỗi lần bằng

= PIA) = Š'P(A,)P(A |A,)=

Tương tự P(AB| Ay) ==; PAB As) = =; P(AB| Ag) = —¬1| G2

PtAB) = TPA, )P(ABI-A; ==

i=0

Xác suất lấy them 1 sản phẩm nữa được phế phẩm là :

P(AB) 3

P(BIA) (BIA) = Say 5 = ——~- = = =0.6

-1.69 Một hộp có 10 sản phẩm nhưng không biết chất lượng của

chung Moi giả thiết về số phế phẩm có trong hộp là đồng khả

năng Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 3 sản phẩm từ hộp để

48 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

kiểm tra thì được 3 phế phẩm Lấy tiếp một sản phẩm nữa tử

hộp thì xác suất lấy được phế phẩm là bao nhiêu ?

DS 0,8

1.70 Một hộp có 10 chính phẩm và phế phẩm không rõ chất lượng

cụ thể Một khách hàng rút ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ hộp để

kiểm tra được chính phẩm, vì vậy khách hàng dự định sẽ mua

hộp sản phẩm nếu rút tiếp ngẫu nhiên 1 sản phẩm nữa từ hộp

1.71 Mét hdp co 15 san ph4m trong dé cé 10 sdn phdm toai | va 5

sản phẩm loại Il Khách hàng thứ nhất mua ngẫu nhiên 2 sản

phẩm Sau đó khách hàng thứ 2 mua ngẫu nhiên 2 sản phẩm

Tính xác suất trong số sản phẩm người thứ 2 mua có 1 sản

phẩm loại II (A)

C3, cũ "Cs Ci, Cis Ci,

1.72 Có 2 loại hộp sản phẩm để trong kho không phân biệt được

Loại thứ nhất có 10 hộp, mỗi hộp có 7 chính phẩm, 3 phế phẩm

Loại thứ hai có 15 hộp, mỗi hộp có 8 chính phẩm, 4 phế phẩm

a) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp từ kho, rồi từ hộp lấy ngẫu nhiên ra 2 sản

phẩm Tinh xác suất trong 2 sản phẩm lấy ra có chính phẩm (A)

b) Nếu trong 2 sản phẩm lấy ra có chính phẩm, tỉnh xác suất để

các chính phẩm đó thuộc các hộp loại hai

§2 Các công thức tính xác suất | 49 - Gidi a) A; = “Hop lấy ra thuộc loại ¡”, i = 1,2

P(Ai)=— s¡ P(A¿)= = x P(A) = oth YP(A | A,)+ P(Ag)P(A| Ag)

PlAg |A)= 2” al P(A) L^2) 0,9188 0,5937 „26-11 „

3.73 Một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm TỈ lệ phế phẩm của

xí nghiệp là 5% Một sản phẩm của xí nghiệp sản xuất ra được qua 2 trạm kiểm tra độc lập

Ö trạm 1 : xác suất nhận biết đúng 1 chính phẩm là 90%, nhận biết sai một phế phẩm là 3%

Ở trạm 2 : xác suất nhận biết đúng 1 chính phẩm là 95% và

nhận biết đúng † phế phẩm là 98%

Một sản phẩm được đưa ra thị trưởng nếu qua hai trạm kiểm tra coi là chính phẩm Tính xác suất :

a) Một phế phẩm, được đưa ra thị trường (A)

b) Một chính phẩm bị loại trong quá trình kiểm tra (B)

c) Một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên trong số các sản phẩm -_ chưa kiểm tra của xí nghiệp sẽ được đưa ra thị trường (C) d) Một sản phẩm của xí nghiệp được đưa ra thị trường là một phế

phẩm (D).:

-.4.BÁI TẬP XÁC SUẤT - THỐNG KE ỨNG DỤNG -A

50 Chương ? : Xác suất của một biến cố

nhau Xác suất bán được hàng ở mỗi nơi tương ứng là 0,2 ; 0,3 ;

0,4 Biết rằng mỗi nơi người đó đến bán hang Š ngày nhưng

chi có 2 ngày bán được hàng

a) Tinh xác suất người đó bán được hàng trong một tháng (A)

b) Nếu người đó bán được hàng trong một tháng thì xác suất

người đó bán được hàng ở nơi thứ nhất là bao nhiêu ?

Giải a) A; = “Người đó đến bán hàng ở nơi Ù”, ¡ = 1, 2, 3

P(A,) = vi A,As,A; là nhóm đây đủ

-Mỗi nơi người đó đến bán hàng tạo thành một đãy 5 phép thử

Ta co: P(A! A,)=C2 0,27.0,87 =0,2048 ˆ

4 BAI TAP XÁC SUẤT - THONG KE UNG DUNG-

-_ Tương tự P(A| As) =0,8087; P(A | Aa) = 0,3456

'P(A) = P(A¿)P(A LAy)+ P(Az)P(A |Az)+ P(As)P(A | Aa)

50.2048 + 50.8087 + : 0,3456 ~ 0,2864

: b) PA; 1A) = HỆ TẾ, _ P(A, )P(ALA;)

1.76 Một nhà máy có 2 dây chuyền cùng sản xuất một loại sản phẩm,

Xác suất để mỗi sản phẩm được sản xuất từ các dây chuyền là

phế phẩm tương ứng là 0,04 ; 0,03 Sản phẩm của mỗi dây chuyền được đóng hộp (mỗi hộp 10 sản phẩm) Biết năng suất của dây chuyền thứ nhất gấp đôi dây chuyền thứ hai

Lấy ngẫu nhiên một hộp sản phẩm của nhà máy sau ca làm việc

để kiểm tra Tính xác suất hộp sản phẩm đó có phế phẩm (A)

Giải A; = “Hộp sản phẩm của dây chuyển ¡”, Ai,A; là nhóm đẩy đủ

C BAI TAP TONG HỢP CHƯƠNG 1

1.76 Một người đến cửa hàng điện để mua 1 hộp bóng đèn Anh ta lấy

ngẫu nhiên 2 bóng từ hộp bóng đèn để kiểm tra nếu có bóng hông

thi không mua hộp bóng đèn Tính xác suất người đó mua hộp béng dan Biết hộp bóng đèn có 10 bóng trong đó có 3 bóng hỗng 1.77 Hộp có 4 bị đỏ, 3 bi vàng, 2 bí xanh Lấy ngẫu nhiên ra 3 bi

Tính xác suất cả 3 bi đều củng màu.

52 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

4.78 Một người đầu tư vào 3 loại cổ phiếu A, B, C Xác suất trong

thời gian T các cổ phiếu này tăng giá là 0,6 ; 0,7 ; 0,8 Tìm xác

suất trong thời gian T : :

a) có cổ phiếu tăng giá

b) có 1 cổ phiếu tăng giá

c) Giả sử có 2 cổ phiếu không tang giá Tìm xác suất B không

tăng giá

Biết rằng các cổ phiếu Á, B, C hoạt động độc lập

4.79 Xác suất bắn trúng đích mỗi lần của một xạ thủ là 0,8 Xạ thủ

1.80 Hộp có 4 bị đỏ, 3 bị xanh, 5 bi vàng Lấy ngẫu nhiên không

hoàn lại lần lượt từng bị cho đến khi lấy được bị đỏ thì dừng

a) Tính xác suất việc lấy bi dừng ở lần thứ 4

b) Gia sử việc lấy bi dừng ở lần thứ 4

1) Tinh xác suất trong số bi lấy ra có 2 bi vàng

2) Tính xác suất trong số bị lấy ra có 2 bị cùng màu

3) Tính xác suất trong các bi lấy ra không có bi xanh

4.81 Tỉ lệ phế phẩm của một loại sản phẩm là 0,1 Để đầm bảo chất

lượng người ta kiểm tra sản phẩm trước khi đưa ra thị trường

Thiết bị kiểm tra tự động có độ chính xác là 95% đối với chính

phẩm và 98% đối với phế phẩm Sản phẩm được đưa ra thị

trưởng nếu được thiết bị kiểm tra coi là chính phẩm

-_ a) Tính tỉ lệ sản phẩm được đưa ra thị trường

b) Với một sản phẩm được đưa ra thị trường thì khả năng nó là

d) Một người mua 5 san phẩm được đưa ra thị trường Tính xác

suất trong 5 sản phẩm này có 2 phế phẩm

1.82 Để thi hết môn học, mỗi học sinh phải học 30 câu Đề thi gồm

5 câu trong 30 câu đã cho Một học sinh chỉ thuộc 20 câu Tính xác suất một học sinh dự thi :

b) Giả sử Hoa là một trong 4 nữ Tính xác suất để Hoa được tuyển biết rằng đã có nữ được tuyển

1.84 Có 3 xạ thủ mỗi người bắn 6 viên đạn vào một cái bia, mỗi lần

1 viên Xác suất bắn trúng bia mỗi lần của các xạ thủ này

54 Chương 1 : Xác suất của một biến cố §2 Các công thức tính xác suất 55 a) Có 1 hệ thống hỏng 1.90 Một bệnh nhân bị nghỉ là có thể mắc 3 loại bệnh A, B, C với

4.86 Có 2 hộp bi Hộp thứ nhất có 2 bì đỏ, 3 bị trắng; hộp thứ hai có TU : ; re ` og sĩ thứ hai chẩn đoán bệnh B ; bác sĩ thứ ba chẩn đoán bênh C và ỳ ộc lập Bác sĩ thứ nhất chẩn đoán bệnh A ; bác

4 bi đỏ, 2 bi trắng, † bi vàng Gieo đồng thời 2 con súc sắc bác sĩ thứ tư chẩn đoán bệnh A Sau khi khám bệnh xong, người

a) Tính xác suất tổng số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc không vượt quá 6 (A) bệnh xác định xác suất mắc bệnh A, B, C là bao nhiêu ? Biết

rằng xác suất chẩn đoán đúng của mỗi ông bác sĩ là 0,6 và chẩn

b) Nếu tổng số chấm xuất hiện không vượt quá 6, ta chọn hộp thứ đoán nhằm sang hai bệnh còn lại là 0,2 ; 0,2

nhất ; nếu ngược lại ta chọn hộp thứ hai Sau đó lấy ngau 1.91 Khả năng lãi suất cổ phiếu của công ti A đạt mức 10% trong nhiên ra 2 bi từ hộp đã chọn Tính xác suất trong 2 bi lấy ra có năm tới phụ thuộc vào tỉ lệ lãi suất trên thị trường bất động sản

4.87 Một lớp học có a hoc sinh giỏi, b học sinh khá, c học sinh trung Lãi suất trên thị trường bất động sân | < 1% | 1% — 5% %

thể được điểm giỏi; một học sinh khá có thể được điểm giỏi Khả năng lãi suất cổ phiếu của | 0,1 02 | 0/7

thé được điểm Kn điểm trung anh, điểm yếu với xác suất như Dự báo năm tới lãi suất trên thị trường bất động sản như sau :

nhau Sau khi kiếm tra chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp, - ; TT HN

tìm xác suất chọn được học sinh có điểm khá hay điểm giỏi P Lãi sue trên thị trưởng bat động | <1% | 1%-5% | >5%

4.88 Nếu thời tiết tốt thì xác suất để một máy bay hạ cánh an toàn >

nhờ thiết bị điều khiển với xác suất làm việc tốt là p Nếu thiết a) Kha nang trong năm tới lãi suất cổ phiếu của céng ti A đạt mức

bị hoạt động tốt thì xác suất máy bay hạ cánh an toàn cũng là 10% và lãi suất trên thị trường bất động sản đạt mức trên 5%

P, Nếu thiết bị hoạt động không tốt thì xác suất hạ cánh an là bao nhiêu ?

toàn của máy bay là P;„ Tìm xác suất máy bay hạ cánh an b) Tìm xác suất lãi suất cổ phiếu của công ti A dat mức 10% trong

toàn biết có k% trường hợp máy bay hạ cánh khi thời tiết xấu năm tới

và xác suất thời tiết xấu là q - 1.92 Dân cư trong thành phố X có nhóm máu phân bố như sau :

Giá sử xác suất đoán đúng của mỗi người là 70% Có 3 người Dân cự rong thành phố Y có nhóm máu phân bố :

- kết luận hộp nước hoa là chính hãng và 2 người kết luận hộp Nhóm máu Oo A B AB

56 Chương 1 : Xác suất của một biến cố

Biết rằng người có nhóm máu AB có thể nhận máu của bat ki

nhóm máu nào, còn một người có máu thuộc các nhóm còn lại

-(A hay B hay O) thì có thể nhận máu của người cùng nhóm với

mình hay người có nhóm máu O Giả sử có một bệnh nhân là

dân cư của thành phố X,

a) Nếu biết bệnh nhân có nhóm máu B Tính xác suất để chọn

ngẫu nhiên 1 người của thành phố Y có thể truyển máu được

cho bệnh nhân

b) Nếu chưa biết nhóm máu của bệnh nhân Tính xác suất để

chọn ngẫu nhiên 1 người của Y có thể truyền máu được cho

bệnh nhân

©) Nếu chưa biết nhóm máu của bệnh nhân và một người của

thành phố Y đã có thể truyền máu được cho bệnh nhân Tính

xác suất để người cho máu này thuộc nhóm B

CHUONG 2

Biên ng&u nhién

A TOM TAT LI THUYET

1 Biến ngẫu nhiên rời rac Bảng phân phối xác suất của biến ngầu nhiên rời rạc X

9 Biến ngẫu nhiên liên tục

Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên liên tục X là

58 Chương 2 : Biến ngẫu nhiên

3) Phương sai VX = [(x -EX)?dx = EX? -(EX)Ẻ

Với EXỀ = [x°f@odx

x

° Ham phan phéi : F(x) = [ £Gddx

F(x) = fx) tại những điểm x mà fÙU¿) liên tục ˆ

8 Tỉnh chất của kì vọng và phương sai

e Kivong:

1) E(CX) = CEX, C là hằng số

2) R(X ¥) = EXt EY

3) X, ¥ déc lap : ECW.) = EXEY

> 8% Pi, i x rdi rac sot et

3) X, Y độc lap : V(X+ Y) = VX + VY

© Ham của biến ngẫu nhiên : Cho biến ngẫu nhiên X : + rời rạc có bảng phân phối xác suất

» _ Hàm của biến ngẫu nhién : Y = g(X):

+ Luật phân phối xác suất của Y :

- Khi X lién tuc, néu y = g(x) lA hàm đơn điệu tăng hoặc

_ giảm có hàm ngược g Ì(y) thì hàm mật độ của Y :

VX 1) P{|X - EX| > s} si

2) PÍX~EXI<e}>1- c2 -

60 Chương 2 : Biến ngẫu nhiên

B BÀI TẬP GIẢI, HƯỚNG DẤN, ĐÁP SỐ

2.1 Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phổi xác suất

Tim ModX, EX, VX, P{-1 <X <2};

P{IX - EXI < 0,5) ; P{IX — EX! > 0,8}

Tìm phương sai của Y = 5X +o(X); ơ(X) = /VỚX)

Giải Áp dụng tính chất của kì vọng, phương sai

B Bải tập giải, hướng dẫn, đáp số

10 néux £[0.1| eee ty) =

ø Giả su trung vi (median) cua X lam: : dg ty) © y _y dy 4] *g” : fxÁg"'(y)) - = ti x]: 1#] (y 2 2\3 yề

2) Tim ham mat d6

64 _ Chương 2 : Biến ngẫu nhiên

=1-= [xe 2dx 4 = 1-=| -2xe 2-de 2 |)? = 0,2823 4 lo

e 6 thiết bị hoạt động tương ứng 6 phép thir Bernoulli

66 Chương 2 : Biến ngẫu nhiên

Dung lượng kho chứa là bao nhiêu để xác suất trong 1 tuần

khách hàng chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ hộp để mua

a) Goi X là số sản phẩm loại A trong 2 sản phẩm Tìm phân phổi

xác suất của X

b) Giá của mỗi sản phẩm loại A là 10 (ngàn), mỗi sản phẩm loại

B là 8 (ngàn) Gọi Y là tổng số tiền người khách phải trả Tìm

phân phối xác suất của Y

6.BÀI TẬP XÁC SUẤT - THỐNG KẾ ỦNG DUNG-B

ii) Tinh EY,

Gidi i) Tap gid tri cla Y = p(X) = X?—X +9

+ Bảng phân phối xác suất của Y :

68 Chương 2 : Biến ngẫu nhiên

2.9 Một hộp có 10 lọ thuốc trong đó có 2 lọ kém phẩm chất Người

ta kiểm tra từng lọ thuốc cho đến khi phát hiện ra 2 lọ kém

phẩm chất thì dừng Gọi X là số lần kiểm tra Tìm phân phối

1) Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm của hộp 1 Gọi X là số phế phẩm

lấy được Lập bảng phân phối xác suất của X; tìm ModX; EX;

VX và hàm phân phối của.X

2) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một sản phẩm Gọi Y là số phế phẩm

có được Lập bảng phân phối xác suất của Y

3) Từ hộp 1 lấy 2 sản phẩm bỏ vào hộp 2 Sau đó lấy từ hộp 2 ra

2 sản phẩm Lập bảng phân phối xác suất của số chính phẩm

Z lấy được Tìm số chính phẩm lấy được nhiều khả năng nhất

khi lấy 2 sản phẩm như trên

8 Bài tập giải hướng dẫn, đáp số 69

4) Lấy ngẫu nhiên một hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm

Tìm xác suất để sai lệch giữa số chính phẩm được lấy ra và kì vọng của nó không nhô hơn 1

Giải 1) Tập giá trị của X : X(Q) = (0, 1, 2|

Xác suất của biến cố : 2 sản phẩm lấy ra có 0 phế phẩm (2 chính phẩm) :

Vì X = 0, X = 1 có xác suất lớn nhất và bằng nhau nên

e ModX = 0 hoặc ModX -= 1

0.9384 l<x<2

1 _x>2

Fy (x) =

70 , Chương 2 : Biến ngẫu nhiên

2) ¥(Q) = {0,1,2}

Từ định nghĩa cố điển của xác suất :

e Xác suất của biến cố : 2 sản phẩm lấy ra có 0 phế phẩm (toàn

+ {Y = 1} = A, A2 +A1.Ao

P{Y =1} = P{A, Ao} +P{ArAg} = P{A,} } P{Aa} + PCALPCA,)

-3 8,74 1012 10 12

8 4 + {¥=2}= Ay Ap => P{Y=2}=P(A)P(Ag)= 7s

e Bảng phân phối xác suất :

s« P{Z=kiH;} (k = 0, 1, 2;i = 0, 1, 3): xác suất lấy ra 2 sản phẩm của hộp 2 sau khi hộp 2 được bỏ thêm 2 sản phẩm trong đó

có ¡ chính phẩm (lúc này hộp 2 có 14 sản phẩm và có 8 + ¡ chính phẩm)

- Theo công thức xác suất đây 4 đủ :

72 Chương 2 : Biến ngẫu nhiên

4) Gọi W là số chính phẩm có khi lấy 3 san phẩm

Trước hết ta lập bảng phân phối của W

Việc lấy ngẫu nhiên 1 hộp từ 2 hộp hình thành nhóm đây đủ :

A; = {lấy được hộp i}, ¡ = 1, 2 ; P(A,) =2 =0/5

— Ta có : W(Q) = {0, 1, 2, 3ì, P(W = kil A;) : Xác suất lấy 3 sản

2.11 Một xạ thủ có 3 viên đạn, Anh ta bắn lần lượt từng viên cho

đến khi trủng đích hoặc hết đạn thì ngừng Biết rằng xác suất

trúng đích của mỗi viên đạn là 0,8 Tìm phân phối xác suất của

số viên đạn đã được xạ thủ bắn

Giải, Gọi X là số viên đạn đã được xạ thủ bắn X(O) = (1,2,3J

Á;¡ = “Viên đạn thứ ¡ trúng đích”, ¡ = 1, 2, 3 A; độc lập

{X =1} = Ay; P(A})=0,8 > P{X =1} =0,8 {X = 2} = A1Ao; PIX = 2} = P(A1)P(Ag) = 0,16

{X =3} = Al AzAg +A1A2A3 |

P{X = 3} = P(Ai AgAg) + P(A1 AzA3).= 0,2.0,2.0,8 + (0,2)° = 0,04

Bảng phân phối xác suất :

X | 1 2 3

74 : Chương 2 : Biến ngẫu nhiên

‘ Lã qe "

2.12 Cho hai máy, tỈ lệ sản phẩm loại † của máy thứ ¡ là 101%

(i = 1, 2) Cho mỗi máy sản xuất 2 sản phẩm

a) Tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm loại 1 trong 4

sản phẩm sản xuất ra

b) Tìm số sản phẩm loại 1 tin chắc nhất ; số sản phẩm loại 1

trung bình có trong 4 sản phẩm sản xuất ra

Giải a) Gọi X; là số sản phẩm loại 1 có trong 2 sản phẩm của

máy ¡ được sản xuất : ¡ = 1, 2

X;(Q) = (0, 1,2}; tỉ lệ sản phẩm loại 1 của máy 1 : 0,1 ; máy 2 : 0,2,

{X, =0}= “2 sản phẩm máy 1 sản xuất ra không là loại 1” =

PÍX; =0) = 0,9.0,9 = 0,81

(X; =1] = “Máy 1 sản xuất lần 1 là sản phẩm loại 1, lần 2 không

là loại 1” + “Máy 1 sản xuất lần 1 không là loại 1, lần 2 là loại 1”

~ Gọi X là số sản phẩm loại 1 có trong 4 sản phẩm :

X(@) = {0,1,2,3.4} ; Xị,X; độc lập Từ bảng phân phối xác suất của Xị,Ã; ta có :

P | 0,5184 0/3744 0/0964 0/0104 0,0004 b) Số sản phẩm loại 1 tin chắc : ModX = 0

_ Số sản phẩm loại 1 trung bình : EX = 0,6

2.13 Một thiết bị có 3 bộ phận hoạt động độc lập Xác suất trong thời gian t các bộ phận nay bị hồng tương ứng là : 0,1 ; 0,12; 0,15 Tìm luật phân phối xác suất của số bộ phận bị hồng của thiết bị trong thời gian t Tìm xác suất trong thời gian t thiết bị

76 Ghương 2 : Biến ngẫu nhiên

2.14 Theo thống kê xác suất để một người ở độ tuổi 40 sẽ sống

thêm một năm nữa là 0,995 Một công ti bảo hiểm nhân thọ

- bán bảo hiểm một năm cho những người ở tuổi đó với giá 100

ngàn đồng và nếu người mua bảo hiểm chết trong thời gian đó

thì số tiền bổi thường là 10 triệu đồng Hỏi lợi nhuận trung bình

của công ti khi bán mỗi thẻ bảo hiểm loại này là bao nhiêu ?

Giải '

100 ngàn = 0,1 triệu Gọi X là số tiền lời bán bảo hiểm ta có :

01 Nếu người mua thê sống qua thời gian bảo hiểm

~ 0,1-10 Nếu người mua thẻ chết trong thời gian bảo hiểm

Bảng phân phối xác suất của X : |

EX =-~ 9,9 0,005 + 0,1 0,995 = 0,05 (triệu) -

2.15 Nhu cau hang ngày về một loại thực phẩm tươi sống có bảng phân phổi xác suất :

Nhu cẩu (kg) | 30 31 ` 32 33 34

Mỗi kg mua vào với giá 2,5 ngàn và bán ra với giá 4 ngân Nếu

bị ế cuối ngày bán hạ giá còn 1,5 ngàn mới bán hết hàng Phải đặt mua hàng ngày bao nhiêu kg thực phẩm để có lãi nhất 2 Giải Gọi X;¡, ¡ = 0, 1, 2 3, 4 là số tiển lời (đơn vị ngàn) khi nhập rau tương ứng các mức :

78 Chương 2 : Biến ngẫu nhiên

Trung bình lãi X; là EX¿ lớn nhất nên cần nhập 32 (kg)

2.16 Một người bán hàng sẽ đến 2 nơi bán mỗi nơi một sản phẩm

cùng một loại Khả năng người đó bán được một sản phẩm ở

nơi thứ nhất là 0,3, còn nơi thứ hai là 0,6 Một sản phẩm bán ở

mỗi nơi, loại thượng hạng là 1000 USD, còn loại thường là

500 USD và đồng khả năng Tìm phân phối xác suất tổng số

tiền bán hàng của người đó

Giải Gọi X là số nơi người đó bán được hàng, X(@) = {0, 1, 2]

A¡ = “Người đó bán được hàng ở nơi Ì, i = 1, 2

xác suất bán được một loại cả hai nơi là ha: =

BỊ pope [Y=0I=[X=0|= P{Y = 0} = 0.28

fY = 5] = "Một trong 2 nơi bán được 1 sản phẩm loại thường"

1

=> P{Y=5} 5: P{X =1}=0,27

[Y = 10] = “Ban được 2 sản phẩm loại thường” + “Bán được 1 sản

phẩm loại thượng hang tại một trong 2 nơi”

P{Y =10} = =P {x =2)+ SP{X = 1! = 0.315

[Y = 15] = “Bán được 1 sản phẩm loại thường tại một trong 2

nơi và nơi còn lại bán sản phẩm loại thượng hạng”

1 điểm, mỗi thẻ đen trừ 1 điểm, mỗi thẻ trắng là 0 điểm Tìm

phân phổi xác suất của số điểm có được

Giải Gọi X là tổng số điểm nhận được khi rút 3 thẻ