Bài Tập Xác Suất Thống Kê - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (99 trang)

Trang chủ

Giáo án - Bài giảng

Cao đẳng - Đại học

Bài tập xác suất thống kê

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (974.73 KB, 99 trang )

Bài tậpXÁC SUẤT THỐNG KÊChương 1ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤTA. BÀI TẬP MẪUBài 1. Cho A, B, C là ba biến cố. Chứng minhP(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) ++ P(ABC)GiảiTa cóP ( A ∪ B ∪ C ) = P ⎡⎣( A ∪ B ) ∪ C⎤⎦ = P(A ∪ B) + P(C) − P [ (A ∪ B)C] ,P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) ,P [ (A ∪ B)C] = P [ AC ∪ BC]= P(AC) + P(BC) − P(ABC)nênP ( A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB)− P(AC) − P(BC) + P(ABC).Bài 2. Cho P(A) =113, P(B) =và P(A + B) = .324Tính P(AB) , P(AB) , P(A + B) , P(AB) và P(AB) .GiảiDoP(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) ,ta suy raP(AB) = P(A) + P(B) − P(A + B) =1.12Do AB = A + B , nên(( ))P AB = P A + B = 1 − P ( A + B ) =1.4Tương tự, vì A + B = AB ta suy ra()P A + B = 1 − P ( AB ) =11.12Xuất phát từ đẳng thức A = AB + AB và vì AB , AB là các biến cố xung khắc, ta được( )P(A) = P ( AB ) + P AB và do đó( )P AB = P(A) − P ( AB ) =1.4Tương tự, ta có1( )P AB = P(B) − P ( AB ) =5.12Bài 3. Tỷ lệ người mắc bệnh tim trong một vùng dân cư là 9%, mắc bệnh huyết áp là 12%, mắccả hai bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng. Tính xác suất để người đóa) Bò bệnh tim hay bò bệnh huyết áp.b) Không bò bệnh tim cũng không bò bệnh huyết áp.c) Không bò bệnh tim hay không bò bệnh huyết áp.d) Bò bệnh tim nhưng không bò bệnh huyết áp.e) Không bò bệnh tim nhưng bò bệnh huyết áp.GiảiXét các biến cố A : “nhận được người mắc bệnh tim”,B : “nhận được người mắc bệnh huyết áp”,Ta có P(A) = 0.09 ; P(B) = 0.12 ; P(AB) = 0.07 .a) Biến cố “nhận được người bò bệnh tim hay bò bệnh huyết áp” là A+B, vớiP(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)= 0.09 + 0.12 − 0.07 = 0.14.b) Biến cố “nhận được người không bò bệnh tim cũng không bò bệnh huyết áp” là A.B , vớiP(A.B) = P(A + B) = 1 = P(A + B)= 1 − 0.14 = 0.86.c) Biến cố “nhận được người không bò bệnh tim hay không bò bệnh huyết áp” là A + B , vớiP(A + B) = P(AB) = 1 − P(AB)= 1 − 0.07 = 0.93.d) Biến cố “nhận được người bò bệnh tim nhưng không bò bệnh huyết áp” là A.B , vớiP(A.B) = P(A) − P(AB)= 0.09 − 0.07 = 0.02.e) Biến cố “nhận được người không bò bệnh tim nhưng bò bệnh huyết áp” là A.B , vớiP(A.B) = P(B) − P(AB)= 0.12 − 0.07 = 0.05.Bài 4. Một hộp đựng 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 10 người lần lượt rút thăm.Tính xác suất nhận được phần thưởng của mỗi người.GiảiGọi Tk (k = 1, 2, ...,10) là biến cố “người thứ k nhận được phiếu trúng thưởng”. Ta cóP(T1 ) =21= = 0.2 ,10 5( ) (P(T2 ) = P(T1 ) ⋅ P ( T2 T1 ) + P T1 ⋅ P T2 T1=)1 1 4 2 1⋅ + ⋅ = = 0.2,5 9 5 9 52( ) () (+ P (T ) P (T T ) P (T()) (P(T3 ) = P T1 P T2 T1 P T3 T1 T2 + P(T1 )P T2 T1 P T3 T1 T21=213T1 T2))4 2 1 1 8 1 4 7 2 1⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = = 0.2,5 9 8 5 9 8 5 9 8 5...P(T10 ) =1= 0.2 .5Bài 5. Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, mỗi câu có 5 câu trả lời, trong đó chỉ có một câuđúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng, thí sinh được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai, thí sinh bò trừ 1điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên các câu trả lời. Tìm xác suất đểa) thí sinh được 13 điểm,b) thí sinh bò điểm âm.GiảiGọi X là số câu trả lời đúng trong 12 câu hỏi được trả lời một cách ngẫu nhiên. Ta cóX ∼ B (12; 15 ) .Xét sự tương quan giữa số câu trả lời đúng và số điểm nhận được tương ứng, ta cóSố câu đúng (X) Số điểm0−12−712−23348513618723828933103811431248a) Biến cố “thí sinh được 13 điểm” chính là biến cố X = 5 , với xác suất5P ( X = 5 ) = C12(0.2)5 (1 − 0.2)12−5=12!57⋅ ( 0.2 ) ⋅ ( 0.8)5!× (12 − 5 ) != 0.0532b) Biến cố “thí sinh bò điểm âm” chính là biến cố X ≤ 2 , với xác suấtP ( X ≤ 2 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 )01112100= C12( 0.2) ⋅ (0.8)12 + C112 ( 0.2) ⋅ ( 0.8) + C122 ( 0.2) ⋅ ( 0.8) Bài 6. Theo dõi dự báo thời tiết= ( 0.8 ) + 12 ⋅ ( 0.2 ) ⋅ ( 0.8 ) + 66 ⋅ ( 0.2 ) ⋅ ( 0.8 )1211210= 0.558.trên đài truyền hình (nắng, sương mù, mưa) và so sánh với thời tiết thực tế xảy ra, ta có bảngthống kê sau3Dự báoNắng Sương mùMưaThực tếNắng3055Sương mù4202Mưa10420nghóa là có 30 lần dự báo nắng, trời nắng, 4 lần dự báo nắng, trời sương mù; 10 lần dự báonắng, trời mưa, v.v…a) Tính xác suất dự báo trời nắng của đài truyền hình.b) Tính xác suất dự báo của đài truyền hình là đúng thực tế.c) Được tin dự báo là trời nắng. Tính xác suất để thực tế thì trời mưa ? trời sương mù ? trờinắng ?GiảiXét các biến cố A : “Đài truyền hình dự báo trời nắng”, A1 : “Thực tế trời nắng”.B : “Đài truyền hình dự báo trời sương mù”, B1 : “Thực tế trời sương mù”.C : “Đài truyền hình dự báo trời mưa”, C1 : “Thực tế trời mưa”.a) Do trong 100 lần theo dõi dự báo đài truyền hình, ta thấy có 30 + 4 + 10 lần dự báo trờinắng nên xác suất dự báo trời nắng của đài truyền hình làP(A) =30 + 4 + 10= 0.44 .100b) Do trong 100 lần theo dõi, ta thấy có 30 + 20 + 20 dự báo của đài truyền hình đúng sovới thực tế nên xác suất dự báo của đài truyền hình đúng so với thực tế là30 + 20 + 20= 0.7.100c) Do trong 44 lần đài truyền hình dự báo là trời nắng có 30 lần thực tế trời nắng, 4 lầnthực tế trời sương mù và 10 lần thực tế trời mưa nên xác suất để thực tế thì trời mưa, trời sươngmù, trời nắng lần lượt là30= 0.682,444P ( B1 A ) == 0.091,4410P ( C1 A ) == 0.227.44P ( A1 A ) =Bài 7. Bạn quên mất số cuối cùng trong số điện thoại cần gọi (số điện thoại gồm 6 chữ số) vàbạn chọn số cuối cùng này một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để bạn gọi đúng số điện thoạinày mà không phải thử quá 3 lần. Nếu biết số cuối cùng là số lẻ thì xác suất này là bao nhiêu ?GiảiGọi A i là biến cố “gọi đúng ở lần thứ i”, i = 1, 2, 3 . Ta có A1 là biến cố “gọi đúng khi thửmột lần” , A1 A 2 là biến cố “gọi đúng khi phải thử hai lần” và A1 A 2 A 3 là biến cố “gọi đúng khiphải thử ba lần”. Do đó biến cố “gọi đúng khi không phải thử quá ba lần làA = A1 + A1 A 2 + A1 A 2 A 3 với4P(A) = P(A1 + A1 A 2 + A1 A 2 A 3 )= P(A1 ) + P(A1 ) ⋅ P(A 2 | A1 ) + P(A1 ) ⋅ P(A 2 | A1 ) ⋅ P(A 3 | A1 A 2 )=19 1 9 8 13+⋅ +⋅ ⋅ =.10 10 9 10 9 8 10Khi đã biết số cuối cùng là số lẻ thì khi đó các số để chọn quay chỉ còn giới hạn lại trong 5trường hợp (số lẻ) nên công thức trên trở thànhP(A) =1 4 1 4 3 1 3+ ⋅ + ⋅ ⋅ = = 0.6 .5 5 4 5 4 3 5Bài 8. Một người bắn bia với xác suất bắn trúng là p = 0.7 .a) Bắn liên tiếp 3 phát. Tính xác suất có ít nhất 1 lần trúng bia.b) Hỏi phải bắn ít nhất mấy lần để có xác suất ít nhất một lần trúng bia ≥ 0.9 .GiảiGọi X là số viên đạn trúng bia trong 3 phát. Ta có X ∼ B ( n; p ) , với n = 3 và p = 0.7 .a) Xác xuất có ít nhất một lần trúng bia khi bắn liên tiếp 3 phát làP ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 )= 1 − C03 (0.7)0 (1 − 0.7)3− 0= 1 − (0.3)3 = 0.973.b) Gọi n là số lần bắn để xác suất ít nhất một lần trúng bia ≥ 0.9 . Do X ∼ B ( n; p ) vớip = 0.7 , nên xác suất có ít nhất 1 lần trúng bia trong n phát làP ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 )= 1 − C0n (0.7)0 (1 − 0.7)n − 0= 1 − (0.3)n .Để P ( X ≥ 1) ≥ 0.9 , ta giải bất phương trình1 − (0.3)n ≥ 0.9 ,hay tương đương(0.3)n ≤ 0.1 .Lấy lôgarít hai vế của bất phương trình trên, ta đượcn × ln(0.3) ≤ ln(0.1) .Do ln(0.3) < 0 , ta suy ran≥ln(0.1)≈ 1.91 .ln(0.3)Vậy, cần phải bắn ít nhất 2 phát đạn để xác suất có ít nhất 1 lần trúng bia ≥ 0.9 .Bài 9. Có hai hộp đựng bi :- Hộp H1 đựng 20 bi trong đó có 5 bi đỏ và 15 bi trắng,- Hộp H2 đựng 15 bi trong đó có 6 bi đỏ và 9 bi trắng.5Lấy một bi ở hộp H1 , bỏ vào hộp H2 , trộn đều rồi lấy ra một bi. Tính xác suất nhận đượcbi đỏ ? bi trắng ?GiảiXét các biến cốA : “Bi nhận được từ hộp H2 là bi đỏ”,B : “Bi từ hộp H1 bỏ sang hộp H2 là bi đỏ”.Do giả thuyết, ta cóP ( B) =51763= .= ; P ( A B) =; P AB =20 41616 8()Từ đó, suy ra xác suất nhận được bi đỏ()P(A) = P ( A B ) P(B) + P A B P(B) =25,64và xác suất nhận được bi trắng làP(A) = 1 − P(A) =39.64Bài 10. Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khácnhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính. Các cặp sinh đôigiả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất là 0.5. Thống kê cho thấy 34% cặpsinh đôi là trai; 30% cặp sinh đôi là gái và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau.a) Tính tỷ lệ cặp sinh đôi thật.b) Tìm tỷ lệ cặp sinh đôi thật trong số các cặp sinh đôi có cùng giới tính.GiảiXét các biến cốA : “nhận được cặp sinh đôi thật”,B : “nhận được cặp sinh đôi có cùng giới tính”.Do các cặp sinh đôi thật luôn luôn có cùng giới tính nênP (B A ) = 1 ,với các cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập nhau và có xác suất là 0.5 nên()()P B A = P B A = 0.5 ,và do thống kê trên các cặp sinh đôi nhận được thì( )P ( B ) = 0.3 + 0.34 = 0.64 và P B = 0.36 .a) Do công thức xác suất toàn phần,( ) ( )= P ( B A ) P ( A ) + P ( B A ) ⎡⎣1 − P ( A ) ⎤⎦= P ( B A ) + ⎡P ( B A ) − P ( B A ) ⎤ P ( A ) ,⎣⎦P(B) = P ( B A ) P ( A ) + P B A P Ata suy ra6P (A) =(P(B) − P B A()P (B A ) − P B A)=0.64 − 0.5= 0.28 .1 − 0.5b) Do công thức Bayes,P ( A B) =P ( B A ) P(A)P(B)=0.28= 0.4375 .0.64Bài 11. Một trung tâm chẩn đoán bệnh dùng một phép kiểm đònh T. Xác suất để một người đếntrung tâm mà có bệnh là 0.8. Xác suất để người khám có bệnh khi phép kiểm đònh dương tính là0.9 và xác suất để người khám không có bệnh khi phép kiểm đònh âm tính là 0.5. Tính các xácsuấta) phép kiểm đònh là dương tính,b) phép kiểm đònh cho kết quả đúng.GiảiXét các biến cốA : “nhận được người có bệnh”,B : “nhận được người có kiểm đònh dương tính”.Do giả thiết, ta có()P ( A ) = 0.8 ; P ( A B ) = 0.9 ; P A B = 0.5 .a) Do công thức xác suất toàn phần,( ) ( )= P ( A B ) P ( B ) + P ( A B ) ⎡⎣1 − P ( B ) ⎤⎦= P ( A B ) + ⎡P ( A B ) − P ( A B ) ⎤ P ( B ) ,⎣⎦mà P ( A B ) = 1 − P ( A B ) = 0.5 , nên xác suất để phép kiểm đònh là dương tính cho bởiP ( A ) − P ( A B)0.8 − 0.5P ( B) === 0.75 .P ( A B ) − P ( A B ) 0.9 − 0.5P ( A ) = P ( A B) P ( B) + P A B P Bb) Xác suất để phép kiểm đònh cho kết quả đúng là()( )P AB + AB = P ( AB ) + P AB() ( )= P ( A B) P ( B) + P A B P B= 0.7125.Bài 12. Một thiết bò gồm 3 cụm chi tiết, mỗi cụm bò hỏng không ảnh hưởng gì đến các cụm khácvà chỉ cần một cụm bò hỏng thì thiết bò ngừng hoạt động. Xác suất để cụm thứ nhất bò hỏngtrong ngày là 0.1, cụm thứ hai là 0.05 và cụm thứ ba là 0.15. Tìm xác suất để thiết bò khôngngừng hoạt động trong ngày.GiảiXét các biến cốA i : “Cụm chi tiết thứ i bò hỏng”, với i = 1, 2, 3 ,7B : “thiết bò không ngừng hoạt động”.Do giả thiết, ta cóP ( A1 ) = 0.1 , P ( A 2 ) = 0.05 , và P ( A 3 ) = 0.15 .Do A 1 , A 2 và A 3 là họ các biến cố độc lập nên xác suất để thiết bò không ngừng hoạtđộng là()( ) ( ) ( ).P ( B ) = P A1 A 2 A 3 = P A1 P A 2 P A 3= 0.9 × 0.95 × 0.85 = 0.7267.Bài 13. Một phân xưởng có 5 máy. Xác suất để trong một ca, mỗi máy bò hỏng là 0.1. Tìm xácsuất để trong một ca, có đúng 2 máy bò hỏng.GiảiGọi X là số máy bò hỏng của phân xưởng trong một ca. Do biến cố các máy bò hỏng độc lậpnhau nên X thỏa lược đồ Bernoulli, nghóa là X ∼ B ( 5; 0.1) .Do đó, xác suất để trong một ca, có đúng 2 máy bò hỏng làP ( X = 2 ) = C52 ( 0.1) (1 − 0.1)25− 2= C52 ( 0.1)2( 0.9)3= 0.0729 .Bài 14. Tính xác suất để gieo con xúc xắc 10 lần, mặt một nút xuất hiện không quá 3 lần.GiảiGọi X là số lần mặt một nút xuất hiện trong 10 lần thảy. Ta có X ∼ B (10; 16 ) . Do đó, xácsuất để mặt một nút xuất hiện không quá 3 lần làP ( X ≤ 3 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3)01019283⎛1⎞ ⎛5⎞1 ⎛1⎞ ⎛5⎞2 ⎛1⎞ ⎛ 5⎞3 ⎛1⎞ ⎛ 5⎞= C ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + C10⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + C10 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + C10 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝6⎠ ⎝6⎠⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠70101019283⎛5⎞⎛1⎞ ⎛5⎞⎛1⎞ ⎛5⎞⎛1⎞ ⎛ 5⎞= ⎜ ⎟ + 10 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ + 45 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ + 120 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟66666⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠= 0.857.7Bài 15. Tỷ lệ phế phẩm của một lô hàng (lớn) là 1%. Từ lô hàng này, lấy ra n sản phẩm. Hỏi nít nhất phải là bao nhiêu để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm lớn hơn 0.95.GiảiGọi X là số phế phẩm nhận được trong n sản phẩm lấy ra từ lô hàng. Ta có X ∼ B ( n; 0.01) . Khiđó xác suất để nhận được ít nhất một sản phẩm hỏng làP ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 )= 1 − C0n (0.01)0 (1 − 0.01)n − 0= 1 − (0.99)n .Để tìm n sao cho xác suất nhận được ít nhất một sản phẩm hỏng lớn hơn 0.95 , nghóa làP ( X ≥ 1) > 0.95 , ta giải bất phương trình1 − (0.99)n > 0.95 .Từ đó, suy ra n > 298.073 . Vậy cần phải lấy ra ít nhất 299 sản phẩm để xác suất trong đócó ít nhất một sản phẩm hỏng lớn hơn 0.95 .8Bài 16. Một người viết n lá thư và bỏ ngẫu nhiên n lá thư này vào trong n phong bì đã viết sẵnđòa chỉ. Tìm xác suất sao cho có ít nhất một lá thư được bỏ vào đúng phong bì.GiảiGọi A j là biến cố “lá thư thứ j đến đúng người nhận”,j = 1, n và gọi A là biến cố “có ítn∪Anhất một lá thư đến đúng người nhận”. Ta có A =jvà do công thức cộng tổng quát cho nj=1biến cố⎛P(A) = P ⎜⎜⎝+∪⎞Aj ⎟ =⎟⎠∑P(A i A j A k ) − ... + ( −1)nj=1n∑ P(A ) − ∑ P(A A ) +jj=1n −1i < j< kDo P ( A j ) =1nij⎛P⎜⎜⎝ni< j⎞∩ A ⎟⎟⎠jj=1, với mọi j,()P ( AiA j ) = P Ai A j P ( A j ) =1n −1. n1 =(n − 2) !n!,với mọi i < j ,()P ( A i A jA k ) = P A i A jA k P ( A j A k ) P ( A k ) =1n −2. n1−1 . n1 =(n − 3) !n!,với mọi i < j < k , ..., ta suy raP(A) = n( n − 2) ! + C3 ( n − 3) ! − ... + −1 n −1 11− C2n( )nnn!n!n!n=∑ ( −1)k =1k −11≈ 1 − e−1k!khi n đủ lớn.Bài 17. Một dây chuyền lắp ráp nhận các chi tiết từ hai nhà máy khác nhau. Tỷ lệ chi tiết donhà máy thứ nhất cung cấp là 60%, của nhà máy thứ hai là 40%. Tỷ lệ chính phẩm của nhà máythứ nhất là 90%, của nhà máy thứ hai là 85%. Lấy ngẫu nhiên một chi tiết trên dây chuyền vàthấy rằng nó tốt. Tìm xác suất để chi tiết đó do nhà máy thứ nhất sản xuất.GiảiXét các biến cốA : “nhận được sản phẩm tốt”,Bi : “nhận được sản phẩm do nhà máy thứ i sản xuất”,với i = 1, 2 .Từ giả thuyết, ta cóP(B1 ) =6040= 0.6 ; P(B2 ) == 0.4 ;100100P ( A B1 ) = 0.9 ; P ( A B2 ) = 0.85 .Do B1 , B2 tạo thành họ đầy đủ các biến cố nên từ công thức Bayes, ta được xác suất để chitiết tốt nhận được trên dây chuyền là do nhà máy thứ nhất sản xuất9P ( B1 A ) =P ( A B1 ) P ( B1 )P ( A B1 ) P ( B1 ) + P ( A B2 ) P ( B2 )= 0.614 .Bài 18. Trong một vùng dân cư, cứ 100 người thì có 30 người hút thuốc lá. Biết tỷ lệ người bòviêm họng trong số người hút thuốc lá là 60%, trong số người không hút thuốc lá là 30%. Khámngẫu nhiên một người và thấy người đó bò viêm họng. Tìm xác suất để người đó hút thuốc lá.Nếu người đó không bò viêm họng thì xác suất để người đó hút thuốc lá là bao nhiêu.GiảiKhám ngẫu nhiên một người trong vùng dân cư, xét các biến cốA : “nhận được người hút thuốc lá”,B : “nhận được người bò viêm họng”.Giả thiết cho()P ( A ) = 0.3 ; P ( B A ) = 0.6 và P B A = 0.3 .Do người đó đã bò viêm họng nên từ công thức Bayes, ta suy ra xác suất để người đó hútthuốc lá làP ( A B) ==P (B A ) P ( A )() ( )P (B A ) P ( A ) + P B A P A0.6 × 0.3= 0.4615.0.6 × 0.3 + 0.3 × 0.7Khi người đó không bò viêm họng thì xác suất để anh ta hút thuốc lá là()P AB ==()P B A P (A)()() ( )P B A P (A) + P B A P A0.4 × 0.3= 0.1967.0.4 × 0.3 + 0.7 × 0.7Bài 19. a) Cho A, B là hai biến cố độc lập. Chứng minh rằng A, B ; A, B và A, B cũng là các cặpbiến cố độc lập.b) Cho A1 , A 2 , ..., A n là n biến cố độc lập. Chứng minh rằng A1 , A 2 , ..., A n cũng là n biến cố độclập. Suy ra rằng nếu xét n biến cố B1 , B2 , ..., Bn , với Bi = A i hay Bi = A i , thì B1 , B2 , ..., Bn , cũnglà n biến cố độc lập.GiảiVì B = AB + AB , AB và AB là các biến cố xung khắc nên công thức cộng cho( )P AB = P ( B ) − P ( AB )= P ( B ) − P ( A ) P ( B ) = ⎡⎣1 − P ( A ) ⎤⎦ P ( B )( )= P A P ( B) ,và do đó A và B là hai biến cố độc lập. Tương tự10( )P AB = P ( A ) − P ( AB )= P ( A ) − P ( A ) P ( B ) = ⎡⎣1 − P ( B ) ⎤⎦ P ( A )( )= P (A) P B ,và( )( ) ( )= P ( A ) − P ( A ) P ( B ) = ⎡⎣1 − P ( B ) ⎤⎦ P ( A )= P ( A ) P ( B) .P AB = P A − P ABDo đó, A, B và A, B cũng là các cặp biến cố độc lập.b) Để chứng minh rằng họ các biến cố A1 , A 2 , ..., A n là độc lập, ta lấy một họ con bất kỳgồm k biến cố khác nhau của nó. Nếu họ con này không chứa biến cố A1 , ta có thể viết nó dướidạng A i1 , A i2 , …, A ik , với 2 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n , và do đó nó là họ con của họ các biến cố độclập A1 , A 2 , ..., A n . Suy ra⎛P⎜⎜⎝k∩j=1⎞A ij ⎟ =⎟⎠k∏ P (A ) .ijj=1Nếu họ này chứa biến cố A 1 , nghóa là nó có dạng A i1 , A i2 , …, A ik , với i1 = 1 ,2 ≤ i2 < ... < ik ≤ n . Do giả thiết A 1 vàk∩Aijlà hai biến cố độc lập nên từ câu a), ta được A1 vàj= 2k∩Aijcũng độc lập. Do đój= 2⎛⎛P ⎜ A1 ∩ ⎜⎜⎜⎝⎝k∩j= 2⎞⎞⎛A i j ⎟ ⎟ = P A1 P ⎜⎟⎟⎜⎠⎠⎝k( ) ∩j= 2⎞A i j ⎟ = P A1⎟⎠k( ) ∏ P (A )ijj= 2k=∏ P ( A ).ijj=1Tóm lại họ các biến cố A1 , A 2 , ..., A n là độc lập.Để chứng minh rằng họ các biến cố B1 , B2 , ..., Bn , với Bi = A i hay Bi = A i , cũng là n biếncố độc lập, ta dùng quy nạp trên số k các biến cố Bi = A i , với k ≤ n .Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử Bi = A i với i thay đổi từ 1 đến k và Bi = A i khii>k.Trường hợp k = 1 đã được khảo sát trong phần đầu câu b).Giả sử họ B1 , B2 , ..., Bn , với Bi = A i trong đó i thay đổi từ 1 đến k là họ các biến cố độclập.Xét họ C1 , C2 , ..., Cn các biến cố với Ci = A i khi i thay đổi từ 1 đến k + 1 , và Ci = A i vớii > k + 1 . Do Ci = Bi với i ≠ k + 1 , hai họ C1 , C2 , ..., Cn và B1 , B2 , ..., Bn chỉ khác nhau đúng mộtphần tử là Ck +1 = A i ≠ Bk +1 = A i , và do đó, như trong trường hợp k = 1 , C1 , C2 , ..., Cn cũng là họcác biến cố độc lập.11Do đó, ta kết luận rằng họ các biến cố B1 , B2 , ..., Bn , với Bi = A i hay Bi = A i cũng là nbiến cố độc lập.Bài 20. Hai nhà máy X, Y cùng sản xuất một loại sản phẩm. Xác suất nhận được sản phẩmhỏng ở nhà máy X là p X = 0.03 và ở nhà máy Y là p Y = 0.05.a) Một người mua 3 sản phẩm ở nhà máy X. Tính xác suất có ít nhất một sản phẩm hỏng .b) Nếu mua 3 sản phẩm ở nhà máy X và 2 sản phẩm ở nhà máy Y. Tính xác suất có ít nhất mộtsản phẩm hỏng .GiảiXét các biến cốA : “nhận được sản phẩm hỏng của nhà máy X”,B : “nhận được sản phẩm hỏng của nhà máy Y”.Dựa theo giả thiết, ta cóP ( A ) = 0.03 và P ( B ) = 0.05 .a) Gọi X là số sản phẩm hỏng trong 3 sản phẩm lấy ra từ nhà máy X. Ta cóX ∼ B ( n; p ) với n = 3 và p = P ( A ) = 0.03 .Do đó, xác suất có ít nhất một sản phẩm hỏng làP ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 )= 1 − C03 (0.03)0 (1 − 0.03)3 = 0.087327..b) Gọi X là số sản phẩm hỏng trong 3 sản phẩm lấy ra từ nhà máy X và Y là số sản phẩmhỏng trong 2 sản phẩm lấy ra từ nhà máy Y, thìX ∼ B ( n; p ) với n = 3 , p = P ( A ) = 0.03 ,vàY ∼ B ( n; p ) với n = 2 , p = P ( B ) = 0.05 .Do “số sản phẩm hỏng nhận được từ nhà máy X” và “số sản phẩm hỏng nhận được từ nhàmáy Y” là các biến cố độc lập và biến cố “nhận được ít nhất một sản phẩm hỏng trong 5 sảnphẩm, 3 sản phẩm từ nhà máy X và 2 sản phẩm từ nhà máy Y”, X + Y ≥ 1 , có biến cố đối lập làbiến cố “ X = 0 và Y = 0 ” nên xác suất để nhận ít nhất 1 sản phẩm hỏng khi mua 3 sản phẩmcủa nhà máy X và 2 sản phẩm của nhà máy Y làP ( X + Y ≥ 1) = 1 − P ( X = 0; Y = 0 ) = 1 − P ( X = 0 ) P ( Y = 0 )= 1 − (0.97)3 (0.95)2 = 0.1763..Bài 21. Trong một lô thuốc (rất nhiều) với xác suất nhận được thuốc hỏng là p = 0.1 . Lấy ngẫunhiên 3 lọ để kiểm tra. Tính xác suất đểa) cả 3 lọ đều hỏng,b) có 2 lọ hỏng và 1 lọ tốt,c) có 1 lọ hỏng và 2 lọ tốt,d) cả 3 lọ đều tốt.12GiảiGọi X là số lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra để kiểm tra. Ta có X ∼ B ( 3; 0.1) . Do đó xác suất đểa) cả 3 lọ đều hỏngP ( X = 3) = C33 (0.1)3 (1 − 0.1)0 = (0.1)3 = 0.001 ,b) có hai lọ hỏng và một lọ tốtP ( X = 2 ) = C23 (0.1)2 (0.9)3− 2 = 3 × 0.01 × 0.9 = 0.027 ,c) có một lọ hỏng và hai lọ tốtP ( X = 1) = C13 (0.1)1 (0.9)3−1 = 3 × 0.1 × 0.81 = 0.243 ,d) cả 3 lọ đều tốtP ( X = 0 ) = C03 (0.1)0 (1 − 0.1)3 = (0.9)3 = 0.729 .B. BÀI TẬPBài toán về biểu diễn các biến cố.Bài 1. Kiểm tra 3 sản phẩm. Gọi A k là biến cố sản phẩm thứ k tốt. Hãy trình bày các cách biểudiễn qua A k và qua giản đồ Venn các biến cố sau đây :A : tất cả đều xấu,B : có ít nhất một sản phẩm xấu,C : có ít nhất một sản phẩm tốt,D : không phải tất cả sản phẩm đều tốt,E : có đúng một sản phẩm xấu,F : có ít nhất 2 sản phẩm tốt.Bài 2. Ba người, mỗi người bắn một phát. Gọi A i là biến cố người thứ i bắn trúng. Hãy biểu diễnqua A i các biến cố sau :A : chỉ có người thứ nhất bắn trúng,B : người thứ nhất bắn trúng còn người thứ hai bắn trật,C : có ít nhất 1 người bắn trúng,D : cả 3 người đều bắn trúng,E : có ít nhất 2 người bắn trúng,F : chỉ có 2 người bắn trúng,G : không ai bắn trúng,H : không có hơn 2 người bắn trúng,I : người thứ nhất bắn trúng, hoặc người thứ hai và người thứ ba cùng bắn trúng,K : người thứ nhất bắn trúng hay người thứ hai bắn trúng.Bài 3. Quan sát 4 sinh viên làm bài thi. Kí hiệu B j (j = 1, 2, 3, 4) là biến cố sinh viên j làm bàithi đạt yêu cầu. Hãy biểu diễn các biến cố sau đâya) có đúng một sinh viên đạt yêu cầu,13b) có đúng 3 sinh viên đạt yêu cầu,c) có ít nhất 1 sinh viên đạt yêu cầu,d) không có sinh viên nào đạt yêu cầu.Xác suất bằng đònh nghóa.Bài 4. Một hộp có 7 bi đỏ và 3 bi đen.a) Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp ra để kiểm tra, tính xác suất nhận được bi đen.b) Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại 2 bi. Tính xác suất để lấy được 2 bi đen.c) Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi từ hộp. Tính xác suất để lấy được 2 bi đen.Đáp số : a) 0.3 .b) 0.09 .c) 0.067 .Bài 5. Một công ty liên doanh cần tuyển một kế toán trưởng, một trưởng phòng tiếp thò, có 40người dự tuyển trong đó có 15 nữ. Tính xác suất trong 2 người được tuyển có:a) ít nhất 1 nữ,b) 1 nữ,c) kế toán trưởng là nữ.Đáp số : a) 0.616 .b) 0.481 .c) 0.75 .Bài 6. Mỗi sinh viên được thi tối đa 2 lần một môn thi. Xác suất để một sinh viên đậu môn xácsuất thống kê ở lần thi thứ 1 là P 1 , lần thi thứ 2 là P 2 . Tính xác suất để sinh viên này vượt quađược môn xác suất thống kê.Đáp số : P1 + (1 − P1 ) P2 .Bài 7. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số nút xuất hiệnlà 6.Đáp số :5= 0.13936Bài 8. Trước cổng trường đại học có 3 quán cơn bình dân chất lượng ngang nhau. Ba sinh viênA, B, C độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một quán cơm để ăn trưa. Tính xác suất đểa) 3 sinh viên vào cùng một quán.b) 2 sinh viên vào cùng một quán, còn người kia thì vào quán khác.1.92b) .3Bài 9. Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫunhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để 4 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt.Đáp số : a)Đáp số : 0.5 .Bài 10. Trong hộp có 4 bi trắng, 6 bi đỏ cùng kích cỡ. Rút hú họa 2 bi. Tính xác suất để trongđó cóa) hai viên bi trắng,14b) ít nhất một viên bi đỏ,c) viên thứ 2 đỏ.Đáp số : a) 0.133 .b) 0.867 .c) 0.867Bài 11. Chọn lần lượt không hoàn lại 2 con domino từ bộ 28 con. Tính xác suất chọn được 2 condomino có thể sắp nối tiếp nhau.Đáp số : 0.238 .Bài 12. Rút ngẫu nhiên từ bộ bài (gồm 52 lá) ra 9 quân bài. Tính xác suất sao cho trong 9 quầnbài rút ra cóa) 3 con Át, 2 con 10, 2 con 2, 1 con K, 1 con J,b) 3 con cơ, 1 con rô, 2 con bích, 3 con chuồn,c) 5 con màu đỏ, 4 con màu đen,d) 4 con chủ bài (4 con đồng chất nào đó; chất đó đã được xác đònh trước, chẳng hạn 4 concơ).Đáp số : a) 6.262 × 10−7 .b) 0.02254 .c) 0.2673 .d) 0.448 .Công thức cộng – nhân – xác suất có điều kiện.Bài 13. Trong 100 người phỏng vấn có 40 người thích dùng nước hoa A, 28 người thích dùngnước hoa B, 10 người thích dùng cả 2 loại A, B. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong số 100 ngườitrên. Tính xác suất người này :a) thích dùng ít nhất 1 loại nước hoa trên,b) không dùng loại nào cả.Đáp số : a) 0.58 .b) 0.42 .Bài 14. Một cơ quan có 210 người, trong đó có 100 người ở gần cơ quan, 60 người trong 100người là nữ, biết rằng số nữ chiếm gấp đôi số nam trong cơ quan.Chọn ngẫu nhiên 1 người trong cơ quan. Tính xác suất :a) người này là nam,b) người này ở gần cơ quan,c) người này phải trực đêm (người trực đêm phải ở gần cơ quan hoặc là nam).1.3b) 0.4762 .c) 0.619 .Bài 15. Có 3 loại súng bề ngoài hoàn toàn giống nhau, với xác suất bắn trúng bia tương ứng là0.6, 0.7, 0.8. Loại thứ I có 5 khẩu, loại thứ II có 3 khẩu, loại thứ III có 2 khẩu. Chọn ngẫu nhiên1 khẩu và bắn vào bia. Tính xác suất bắn trúng bia.Đáp số : a)Đáp số : 0.67 .15Bài 16. Cho 3 biến cố A, B, C sao choP(A) = 0,5; P(B) = 0,7; P(C) = 0,6;P(AB) = 0,3; P(BC) = 0,4; P(AC) = 0,2và P(ABC) = 0,1.a) Tìm xác suất để cả 3 biến cố A, B, C đều không xảy ra.b) Tìm xác suất để có đúng 2 trong 3 biến cố đó xảy ra.c) Tìm xác suất để chỉ có đúng 1 biến cố trong 3 biến cố đó xảy ra.Đáp số :a) 0 .b) 0.6 .c) 0.3 .Bài 17. Cho A và B là 2 biến cố sao cho P(A) =1) P(A ∪ B) ,8) P(A B) ,2) P(A ∪ B) ,9) P(A B) ,3) P(A ∪ B) ,10) P(AB B) ,4) P(AB) ,11) P(AB B) ,5) P(AB) ,12) P(AB B) ,6) P(AB) ,13) P(A ∪ B AB) ,7) P(A ∪ B) ,14) P(AB A ∪ B) .2.352) .613) .354) .6111, P(B) = , P(AB) =. Hãy tính :23611.14) .24110) .211) 0 .112) .213) 1 .Bài 18. Đội tuyển bóng bàn của Khoa Kinh Tế có 3 vận động viên, mỗi vận động viên thi đấumột trận. Xác suất thắng trận của các vận viên A, B, C lần lượt là : 0.7; 0.8; 0.9. Tính xác suất :Đáp số : 1)1.316) .627) .318) .25)9)a) đội tuyển thắng ít nhất 1 trận,b) đội tuyển thắng 2 trận,c) C thua, biết rằng đội tuyển thắng 2 trận.Đáp số : a) 0.994 .b) 0.398 .c) 0.0621 .Bài 19. Trong 1 khu phố, tỷ lệ người mắc bệnh tim là 6%; mắc bệnh phổi là 8% và mắc cả haibệnh là 5%. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong khu phố đó. Tính xác suất để người đó không mắccả 2 bệnh tim và bệnh phổi.Đáp số : 0.91 .16Bài 20. Một người có 5 con gà mái, 2 con gà trống nhốt chung trong một cái lồng. Một ngườiđến mua, người bán gà bắt ngẫu nhiên 1 con. Người mua chấp nhận con đó.a) Tính xác suất để người đó mua được con gà mái.Người thứ hai lại đến mua, người bán gà lại bắt ngẫu nhiên ra 1 con.b) Tìm xác suất để người thứ hai mua được con gà trống.c) Xác suất này sẽ bằng bao nhiêu nếu người bán gà quên mất rằng con gà bán cho ngườithứ nhất là gà trống hay gà mái.Đáp số : a) 0.7143 .1b) = 0.33 .32= 0.2857c)7Bài 21. Hai công ty A, B cùng kinh doanh một mặt hàng. Xác suất để công ty A thua lỗ là 0,2;xác suất để công ty B thua lỗ là 0,4. Tuy nhiên trên thực tế, khả năng cả 2 công ty cùng thua lỗlà 0,1. Tìm xác suất đểa) có ít nhất một công ty làm ăn không thua lỗ,b) chỉ có một công ty thua lỗ.Đáp số : a) 0.9 .b) 0.4 .Bài 22. Một thủ quỹ có một chùm chìa khóa gồm 12 chiếc bề ngoài giống hệt nhau, trong đó có4 chiếc mở được cửa chính của thư viện. Cô ta thử từng chìa một một cách ngẫu nhiên, chìa nàokhông trúng thì bỏ ra. Tìm xác suất để cô ta mở được cửa chính của thư viện ở lần mở thứ 5.Đáp số : 0.0707 .Bài 23. Một chàng trai viết 4 lá thư cho 4 cô gái; nhưng vì đãng trí nên anh ta bỏ 4 lá thư vào 4phong bì một cách ngẫu nhiên, dán kín rồi mới ghi đòa chỉ gửi,a) tính xác suất để không có cô nào nhận đúng thư viết cho mình,b) tính xác suất để có ít nhất 1 cô nhận đúng thư của mình,c) tổng quát hóa với n cô gái. Tính xác suất có ít nhất 1 cô nhận đúng thư. Xấp xỉ giá tròxác suất này khi cho n → ∞ .Bài 24. Trong 1 lô hàng 10 sản phẩm có 2 sản phẩm xấu, chọn không hoàn lại để phát hiện ra2 sản phẩm xấu, khi nào chọn được sản phẩm xấu thứ 2 thì dừng lại.a) Tính xác suất dừng lại ở lần chọn thứ 4.b) Biết rằng đã chọn được sản phẩm xấu ở lần chọn thứ nhất, tính xác suất dừng lại ở lầnchọn thứ 4.c) Nếu việc kiểm tra dừng lại ở lần chọn thứ 3, tính xác suất lần chọn đầu được sản phẩmxấu.Đáp số : a) 0.067 .1b) = 0.143 .7c) 0.044 .Bài 25. Đội tuyển bóng bàn Thành phố có 4 vận động viên A, B, C, D . Mỗi vận động viên thiđấu 1 trận, với xác suất thắng trận lần lượt la ø: 0.6, 0.7, 0.8, 0.9. Tính17a) xác suất đội tuyển thắng ít nhất 1 trận,b) xác suất đội tuyển thắng 2 trận,c) xác suất đội tuyển thắng 3 trận,d) xác suất D thua, trong trường hợp đội tuyển thắng 3 trận.Đáp số : a) 0.9976 .b) 0.2144 .Bài 26. Trong một hộp có 12 bóng đèn trong đó có 3 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên có thứ tựkhông hoàn lại 3 bóng để dùng. Tìm xác suất đểa) cả 3 bóng đều hỏng,b) cả 3 bóng đều không hỏng,c) có ít nhất 1 bóng không hỏng,d) chỉ có bóng thứ 2 hỏng.Đáp số : a) 0.004545 .b) 0.3818 .c) 0.9954 .d) 0.1636 .Bài 27. Ở một cơ quan nọ có 3 chiếc ôtô. Khả năng có sự cố của mỗi xe ôtô lần lượt là 0.15 ;0.20 ; 0.10.a) Tìm khả năng 3 ôtô cùng bò hỏng.b) Tìm khả năng có ít nhất 1 ôtô hoạt động tốt.c) Tìm khả năng cả 3 ôtô cùng hoạt động được.d) Tìm xác suất có không quá 2 ôtô bò hỏng.Đáp số : a) 0.003 , b) 0.997 .c) 0.612 , d) 0.997 .Công thức xác suất đầy đủ – Công thức Bayès.Bài 28. Một hộp có 15 quả bóng bàn, trong đó có 9 mới 6 cũ, lần đầu chọn ra 3 quả để sử dụng,sau đó bỏ vào lại, lần hai chọn ra 3 quả.a) Tính xác suất 3 quả bóng chọn lần hai là 3 bóng mới.b) Biết rằng lần hai chọn được 3 bóng mới, tính xác suất lần đầu chọn được 2 bóng mới.Đáp số : a) 0.0025 .b) 0.4091 .Bài 29. Một nhà máy sản xuất bóng đèn, máy A sản xuất 25%, máy B: 35%, máy C: 40% sốbóng đèn. Tỉ lệ sản phẩm hỏng của mỗi máy trên số sản phẩm do máy đó sản xuất lần lượt là3%, 2%, 1%. Một người mua 1 bóng đèn do nhà máy sản xuất.a) Tính xác suất để sản phẩm này do máy A sản xuất.b) Tính xác suất để sản phẩm này tốt.c) Biết rằng sản phẩm này là xấu. Tính xác suất để sản phẩm do máy C sản xuất.Đáp số : a) 0.25 .b) 0.9815 .c) 0.22 .18Bài 30. Có 8 bình đựng bi, trong đó có :2 bình loại 1: mỗi bình đựng 6 bi trắng 3 bi đỏ,3 bình loại 2: mỗi bình đựng 5 bi trắng 4 bi đỏ,3 bình loại 3: mỗi bình đựng 2 bi trắng 7 bi đỏ.Lấy ngẫu nhiên một bình và từ bình đó lấy ngẫu nhiên 1 bi.a) Tính xác suất để bi lấy ra là bi trắng.b) Biết rằng bi lấy ra là bi trắng. Tính xác suất để bình lấy ra là bình loại 3.Đáp số : a) 0.458 .b) 0.182 .Bài 31. Một bộ đề thi có 20 câu hỏi. Sinh viên giỏi sẽû trả lời đúng hết cả 20 câu. Sinh viên khátrả lời đúng 15 câu. Sinh viên trung bình trả lời đúng 10 câu. Sinh viên kém trả lời đúng 5 câu.Tỷ lệ sinh viên giỏi, khá, trung bình và kém lần lượt là 10%, 20%, 30%, 40%.Một sinh viên lên bắt thăm 3 câu từ 20 câu trên. Giám khảo thấy anh trả lời đúng cả 3câu. Tính xác suất anh ta là sinh viên khá hoặc trung bình.Đáp số : 0.5184 .Bài 32. Có 2 lô hàng cũ. Lô I có 10 cái tốt, 2 cái hỏng. Lô II có 12 cái tốt, 3 cái hỏng. Từ mỗi lôlấy ngẫu nhiên ra 1 cái. Tìm xác suất để :a) nhận được 2 cái tốt,b) nhận được 2 cái cùng chất lượng,c) nếu lấy từ cùng 1 lô ra 2 cái thì nên lấy từ lô nào để được 2 cái tốt với khả năng cao hơn.Đáp số : a) 0.67 .b) 0.7 .c) Lấy từ lô I.Bài 33. Có 3 hộp bi; hộp một có 10 bi trong đó có 3 bi đỏ; hộp hai có 15 bi trong đó có 4 bi đỏ;hộp ba có 12 bi trong đó có 5 bi đỏ. Gieo một con xúc xắc. Nếu xuất hiện mặt 1 thì chọn hộpmột, xuất hiện mặt hai thì chọn hộp 2, xuất hiện các mặt còn lại thì chọn hộp ba. Từ hộp đượcchọn, lấy ngẫu nhiên 1 bia) tính xác suất để được bi đỏ,b) giả sử lấy được bi đỏ. Tính xác suất để bi đỏ này thuộc hộp hai.Đáp số : a) 0.372 .b) 0.1194 .Bài 34. Có 2 hộp áo; hộp một có 10 áo trong đó có 1 phế phẩm; hộp hai có 8 áo trong đó có 2phế phẩm. Lấy hú họa 1 áo từ hộp một bỏ sang hộp hai; sau đó từ hộp này chọn hú họa ra 2 áo.Tìm xác suất để cả 2 áo này đều là phế phẩm.Đáp số : 0.033 .Bài 35. Có 3 xạ thủ cùng bắn vào một con mồi, mỗi người bắn 1 viên đạn, với xác suất bắntrúng lần lượt là 0,6; 0,7; 0,8. Biết rằng nếu trúng 1 phát đạn thì xác suất để con thú bò tiêu diệtlà 0,5; trúng 2 phát thì xác suất để con thú bò tiêu diệt là 0,8; còn nếu trúng 3 phát đạn thì chắcchắn con thú bò tiêu diệt.a) Tính xác suất con thú bò tiêu diệt.b) Hãy tính xác suất con thú bò tiêu diệt do trúng 2 phát đạn.19Đáp số : a) 0.7916 .b) 0.3616 .Bài 36. Có 2 chuồng thỏ. Chuồng thứ nhất có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng thứ haicó 3 con thỏ trắng và 7 con thỏ đen. Từ chuồng thứ hai, bắt ngẫu nhiên 1 con thỏ cho vàochuồng một và sau đó lại bắt ngẫu nhiên một con thỏ ở chuồng một ra thì được 1 con thỏ trắng.Tính xác suất để con thỏ trắng này là của chuồng một.Đáp số : 0.973 .Bài 37. Một chuồng gà có 9 con gà mái và 1 con gà trống. Chuồng gà kia có 1 con mái và 5 contrống. Từ mỗi chuồng lấy ngẫu nhiên 1 con đem bán. Các con gà còn lại được dồn vào chuồngthứ ba. Nếu ta lại bắt ngẫu nhiên 1 con gà nữa từ chuồng này ra thì xác suất để bắt được con gàtrống là bao nhiêu ?Đáp số : 0.362 .Bài 38. Hai nhà máy cùng xản suất 1 loại linh kiện điện tử. Năng suất nhà máy hai gấp 3 lầnnăng suất nhà máy một. Tỷ lệ hỏng của nhà máy một và hai lần lượt là 0,1% và 0,2%. Giả sửlinh kiện bán ở Trung tâm chỉ do hai nhà máy này sản xuất. Mua 1 linh kiện ở Trung tâm.a) Tính xác suất để linh kiện ấy hỏng.b) Giả sử mua linh kiện và thấy linh kiện bò hỏng. Theo ý bạn thì linh kiện đó do nhà máynào sản xuất.Đáp số : a) 0.00025 .b) 0.857 , linh kiện do nhà máy 2 sản xuất.Bài 39. Biết rằng p1 = 0, 04 là xác suất để mỗi sản phẩm được sản xuất ra từ dây chuyền 1 làphế phẩm. Tương tự, đối với dây chuyền 2 thì xác suất đó là p2 = 0, 03 , với dây chuyền 3 làp3 = 0, 05 và với dây chuyền 4 là p4 = 0, 058 . Từ một lô gồm 8 sản phẩm của dây chuyền 1; 12sản phẩm của dây chuyền 2; 10 sản phẩm của dây chuyền 3 và 5 sản phẩm của dây chuyền 4,lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tính xác suất để nhận được sản phẩm xấu ? nhận được sảnphẩm tốt ?Đáp số : 0.042 , 0.958 .Bài 40. Trên mặt bàn có 5 đồng xu, trong đó có 3 đồng xu xấp và 2 đồng xu ngửa. Gieo tiếp lênmặt bàn 2 đồng xu và sau đó khoanh ngẫu nhiên 4 đồng xu. Tính xác suất để trong 4 đồng xunày có 3 đồng xu xấp.Đáp số : 0.343 .Bài 41. Có 3 cái thùng. Thùng 1 có 6 bi trắng, 4 bi đỏ; thùng 2 có 5 bi trắng, 5 bi đỏ và thùng 3có 10 bi trắng. Giả sử người ta lấy ngẫu nhiên 2 bi từ thùng 1 bỏ vào thùng 2. Sau đó, lại lấyngẫu nhiên 1 bi từ thùng 2 bỏ vào thùng 3 rồi từ thùng 3 lấy ngẫu nhiên ra 1 bi. Tìm xác suấtđể bi lấy ra là đỏ.Đáp số : 0.4833 .Công thức BernoulliBài 42. Một bác só chữa khỏi bệnh A cho một người với xác suất là 95%. Giả sử có 10 người bòbệnh A đến chữa một cách độc lập nhau. Tính xác suất đểa) có 8 người khỏi bệnh,b) có nhiều nhất 9 người khỏi bệnh.Đáp số : a) 0.0746 .b) 0.4013 .20Bài 43. Một cầu thủ đá thành công quả phạt 11m với xác suất 80%.- Đá 4 thành công 2.- Đá 6 thành công 3.Công việc nào dễ thực hiện ?Đáp số : Đá 4 quả dễ hơn.Bài 44. Trong một thành phố có 70% dân cư thích xem bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 10 người, tínhxác suất có :a) 5 người thích xem bóng đá,b) ít nhất 2 người thích xem bóng đá.Đáp số : a) 0.103 .b) 0.999856 .Bài 45. Một nhà toán học có xác suất giải được một bài toán khó là 0,9. Cho nhà toán học này 5bài toán khó được chọn một cách ngẫu nhiên.a) Tính xác suất để nhà toán học này giải được 3 bài.b) Tính xác suất để nhà toán học này giải được ít nhất 1 bài.c) Tính số bài có khả năng nhất mà nhà toán học này giải được.Đáp số : a) 0.0729 .b) 0.99999 .c) 5 .Bài 46. Tỷ lệ mắc bệnh Basedow ở một vùng rừng núi nào đó là 7%. Trong đợt khám tuyển sứckhoẻ để xuất cảnh, người ta khám cho 100 người. Tìm xác suất đểa) trong 100 người có 6 người bò Basedow,b) trong 100 người có 95 người không bò Basedow,c) trong 100 người có ít nhất một người bò Basedow.Đáp số : a) 0.153 , b) 0.1283 .c) 0.999295 .Bài 47. Một lô hàng với tỷ lệ phế phẩm là 5%. Cần phải lấy mẫu cỡ bao nhiêu sao cho xác suấtđể bò ít nhất một phế phẩm không bé hơn 0,95.Đáp số : Cỡ mẫu lớn hơn hay bằng 59.Bài 48. Hai đấu thủ A, B thi đấu cờ. Xác suất thắng của người A trong một ván là 0,6 (không cóhòa). Trận đấu bao gồm 5 ván, người nào thắng một số ván lớn hơn là người thắng cuộc. Tínhxác suất để người B thắng cuộc.Đáp số : 0.31744 .Bài 49. Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm. Xác suất sản xuất ra một phế phẩm của máylà 0,01.a) Cho máy sản xuất 10 sản phẩm. Tính xác suất để có 2 phế phẩm.b) Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một chính phẩmtrên 0,99.Đáp số : a) 0.00415 .b) Cần sản xuất ít nhất 459 sản phẩm.21Chương 2BIẾN SỐ NGẪU NHIÊNA. BÀI TẬP MẪUBài 1. Có hai thùng thuốc A và B, trong đó :- thùng A có 20 lọ gồm 2 lọ hỏng và 18 lọ tốt,- thùng B có 20 lọ gồm 3 lọ hỏng và 17 lọ tốt.a) Lấy ở mỗi thùng 1 lọ. Gọi X là số lọ hỏng trong hai lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ của X.b) Lấy ở thùng B ra 3 lọ. Gọi Y là số lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra. Tìm hàm mật độ của Y.Giảia) Xét các biến cốA : “nhận được lọ hỏng từ thùng A”,B : “nhận được lọ hỏng từ thùng B”,và gọi X là số lọ hỏng trong hai lọ lấy ra. Ta có X lấy các giá trò 0, 1 và 2. Chú ý rằng A, B làcác biến cố độc lập. Ta cóP(X = 0) = P(AB) = P(A)P(B) =18 17 306⋅== 0.765 ,20 20 400P(X = 1) = P(AB + AB) = P(A)P(B) + P(A)P(B)=2 17 18 388⋅+⋅== 0.22,20 20 20 20 400P(X = 2) = P(AB) = P(A)P(B) =2 36⋅== 0.015 .20 20 400Từ đó, ta được bảng phân phối xác suấtXP00.76510.2220.015và hàm mật độ của X⎧0.765⎪0.22⎪f (x) = ⎨⎪0.015⎪⎩0khi x = 0khi x = 1khi x = 2khi x ≠ 0, 1, 2b) Gọi Y là số lọ hỏng trong 3 lọ lấy ra từ thùng B. Ta có Y ∼ H(20, 3, 3) , nghóa làP(Y = k) =3− kC3k C17C320và ta nhận được bảng phân phối xác suấtYPcũng như hàm mật độ của Y00.59610.3582220.04530.001⎧0.596⎪0.358⎪⎪f (x) = ⎨0.045⎪0.001⎪⎪⎩0khi x = 0khi x = 1khi x = 2khi x = 3khi x ≠ 0, 1, 2, 3Bài 2. Một xạ thủ bắn bia với xác suất bắn trúng bia là p = 0.6 . Có 5 viên đạn được bắn lầnlượt và xạ thủ dừng bắn khi hết đạn hay ngay khi có một viên đạn trúng bia. Gọi X là số lầnbắn. Tìm hàm mật độ của X. Tính trung bình μ và phương sai σ2 .GiảiXét các biến cố Ti : “bắn trúng bia ở lần bắn thứ i”, với i = 1, 2, 3, 4, 5. Gọi X số lần bắn, tacó X = 1, 2, 3, 4, 5 vàP ( X = 1) = P ( T1 ) = 0.6 ,()( )P ( X = 2 ) = P T1 T2 = P T1 P ( T2 ) = 0.4 × 0.6 ,()( ) ( )P ( X = 3) = P T1 T2 T3 = P T1 P T2 P ( T3 )2= ( 0.4 ) × 0.6,()( ) ( ) ( )P ( X = 4 ) = P T1 T2 T3 T4 = P T1 P T2 P T3 P ( T4 )3= ( 0.4 ) × 0.6,()( ) ( ) ( ) ( )P ( X = 5) = P T1 T2 T3 T4 = P T1 P T2 P T3 P T44= ( 0.4 ) .Từ đó, ta được bảng phân phối xác suấtX1P0.6và hàm mật độ xác suất của X⎧ 0.6⎪ 0.24⎪⎪⎪ 0.096f (x) = ⎨⎪0.0384⎪0.0256⎪⎪⎩ 020.2430.096khix =1khix=2khix=3khix=4khix=5khi x ≠ 0, 1, 2, 3, 4, 5Ta có trung bình của XμX =∑ x f ( x ) = 1 × 0.6 + 2 × 0.24 + ... + 5 × 0.0256iii= 1.6496,và phương sai là⎛⎞σ2X = E ( X 2 ) − μ 2X = ⎜x2 f (x) ⎟ − μ 2X⎜⎟⎝ x⎠22= 1 × 0.6 + 2 × 0.24 + ... + 52 × 0.0256 − (1.6496)2= 0.95722.∑2340.038450.0256Bài 3. Một thùng đựng 10 lọ thuốc trong đó có 1 lọ hỏng. Ta kiểm tra từng lọ (không hoàn lại)cho tới khi phát hiện được lọ hỏng thì dừng. Gọi X là số lần kiểm tra. Tìm hàm mật độ của X.Tính trung bình μ và phương sai σ2 .GiảiXét các biến cố Tk : “lấy được lọ hỏng ở lần lấy thứ k”, k = 1, 2, ...,10 . Gọi X là số lần kiểmtra. Ta có, X = 1, 2, ...,10 . Hơn nữa, gọi Yk là biến cố “không lấy được lọ hỏng trong k lần lấyđầu tiên”, với k = 1, 2, ...,10 . Ta được( X = k ) = Yk −1Tkvà Yk = Yk −1 Tk .P ( X = 1) = P ( T1 ) =19; P ( Y1 ) = P T1 =;1010( )P ( X = 2 ) = P ( Y1 T2 ) = P ( T2 Y1 ) P ( Y1 ) =()()P ( Y2 ) = P Y1 T2 = P T2 Y1 P ( Y1 ) =8 98;.=9 10 10P ( X = 3) = P ( Y2 T3 ) = P ( T3 Y2 ) P ( Y2 ) =()()P ( Y3 ) = P Y2 T3 = P T3 Y2 P ( Y2 ) =1 91.=;9 10 101 81.=;8 10 107 87.=;8 10 10P ( X = 4 ) = P ( Y3 T4 ) = P ( T4 Y3 ) P ( Y3 ) =1 71;.=7 10 10...1, với mọi k = 1, 2, ...,10 .10Tương tự, ta có P ( X = k ) =Từ đó, ta được bảng phân phối xác suấtXP12345678910110110110110110110110110110110và hàm mật độ xác suất của X⎧1⎪f (x) = ⎨10⎪0⎩khi x ∈ {1, 2, 3, ...,10}khi x ∉ {1, 2, 3, ...,10}Suy ra trung bình và phương sai của Xμ X = (1 + 2 + .. + 10 )1= 5.5 .10σ2X = E(X 2 ) − μ 2X = (12 + 22 + .. + 102 )12− ( 5.5 ) = 8.25 .10Bài 4. Gọi X là tuổi thọ của con người. Một công trình nghiên cứu cho biết hàm mật độ của X là⎧cx 2 (100 − x)2f (x) = ⎨⎩0khi 0 ≤ x ≤ 100khi x < 0 hay x > 100a) Xác đònh hằng số c.24