Bài Tập Xác Suất Thống Kê Và Lời Giải 2 - Tài Liệu Text - 123doc

Có thể bạn quan tâm

Tải bản đầy đủ (.pdf) (25 trang)

Trang chủ

Khoa Học Tự Nhiên

Toán học

Bài tập xác suất thống kê và lời giải 2

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (354.42 KB, 25 trang )

Câu 2.1Cho biến kxf X ( x)  03ngẫunhiên X cóhàmmậtđộlà 2 đkhi x  1khi x  1.a) Tìm hằng số k , hàm phân bố của X và P( X  2) .b) Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y  31X .a) Ta có 1đf X  x  dx  1   kx 3dx  1  k  2.11 x 3 2u du  1  2FX  x    1x0 1 1P( X  2)  1  P( X  2)  1  F (2)  1  1    4 4Hàm phân bố của X làx 1x  1..b) Với y > 0 ta có1  1FY  y   P Y  y   P  y  P X 3y  3X1 y  1/ 3, 1   1  FX     20  y  1/ 3. 3 y  9 yVới y  0 ta có F  y   0.Do đó hàm mật độ của Y là1đYCâu 2.2Cho hai biến ngẫu nhiênthời làX18 y khi 0  y  1/ 3fY  y   0 khi y   0;1/ 3vàYcó hàm phân bố đồng 2 đ(1  e2 x )(1  e y ) khi x  0, y  0F( x, y)  nÕu tr¸ i l¹ i0a) Tìm hàm phân bố của X và của Y .b) Chứng minh X và Y độc lập. Tính P( X  2, Y  2) .a)1  e2 x khi x  0FX ( x)  nÕu tr¸ i l¹ i0b)X ,Yđộc lập vì1  e y khi y  0FY ( y)  nÕu tr¸ i l¹ i0F ( x, y )  FX ( x).FY ( y ),x, y1đ1đ.P( X  2, Y  2)  F (2, 2)  (1  e 4 )(1  e 2 )  0.849Câu 2.3Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ.2đk cos2x khi   x f X ( x)  440nÕu tr¸ i l¹ i1a) Tìm hằng số k và hàm phân bố của X .b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.a) Ta cóf ( x)dx  1  k  1khi x  04 sin 2 x  1FX ( x)  khi   x 244khi x 14.b)EX  0, DX  EX 2 1đ 2 81đ16Câu 2.4Cho hai biến ngẫu nhiênthời làXvàYcó hàm mật độ đồng 2 đk(1  x) y khi 0  x  1,0  y  2f ( x, y)  nÕu ng- î c l¹ i0a) Tìm hằng số k và các hàm mật độ củaY.b) X và Y có độc lập hay không? Tính EX .a)   f ( x, y)dxdy  1  k  1 .Xvà của 1đ Ta có2(1  x) khi 0  x  1f X ( x)  nÕu ng- î cl¹ i0b)X ,YEX =  xf Xđộc1( x)dx  .3lậpy khi 0  y  2fY ( y)   20 nÕu ng- î cl¹ ivìf ( x, y )  f X ( x ). fY ( y )Câu 2.5Cho biến ngẫu nhiên hai chiều ,  ,,có hàm mật độx, y. 1đ2đ  x2k   xy  khi 0  x  1;0  y  1f , ( x)    2nÕu tr¸ i l¹ i0a) Tìm hằng số k .b) Tính xác suất P   ,    12 ; 12    12 ; 23   .1 125k12a) 1  k    x2  xy  dxdy  12k 50 0 1đ2b)12 1 u23  11 1 1 1 3  1P   ,     ;    ;    k     uv  dudv  k    2 2 2 2 2 96 64  800 11đ2Câu 2.6Cho biến ngẫu nhiênliên tục, có hàm mật độ 2 đk(1  x)  x  2 khi  2  x  1f ( x)  nÕutr¸ i l¹ i0a) Tìm hằng số k, tính P  4    0  .b) Tính kỳ vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên    3 .1đa)  f  x  dx  1  k  920220P  4    0    1  x  x  2  dx 9 227b)E  (3  x) f  x  dx 2D  E 2   E  Cách 2.2072.,E 2 127 (3  x) f  x  dx  10 .21đ.E   E  3  173 ;22D  D 920Câu 2.7Cho biến ngẫu nhiên  liên tục, có hàm mật độf  x    k .x0522đkhi x  1khi x  1a) Tìm hằng số k và hàm phân bố F  x  .b) Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên   1 và từđó tính xác suấta) f  x  dx  1  k Hàm phân bố.1đ32xF  x  b) Tìm F  y  .Khi y>0,P  0,1    0, 2 0f  t  dt  1  13 x2x 1x 11đ3111F  y   P   y   P   y   P      1  F  y yy 11 320  y 1 yKhi y < 0,F  y   0 y  0    y  10f  y    3y2Và30  y 13P  0,1    0, 2   0, 2 2  0,12  0.058Câu 2.8Cho biến ngẫu nhiên  liên tục, có hàm mật độkx2  x  12 khi 0  x  1f  x  nÕu tr¸ i l¹ i01 1P    2 2a) Tìm hằng số k, tính2đ.b) Tính kỳ vọng, phương sai của  .1a) f  x  dx  1  k  30;b)E xf  x  dx 1đ2112 1P        30  x 2  x  1 dx 22 2012E 2   x 2 f  x  dx 27,;2D  E 2   E  1đ128Câu 2.9Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ2đ320 x (1  x) khi 0  x  1f ( x)  khi x  (0;1)0a) Tính kỳ vọng và phương sai của X.b) Tìm hàm phân bố của X, từ đó tínha)1EX   20 x 4 (1  x)dx 0b) Vậy23;1EX 2   20 x5 (1  x)dx 0khi x  00 45F ( x)  5 x  4 x khi 0  x  11khi x  1;1021;P  0.2  X  0.5 .263.DX  EX 2  ( EX )2 1đ1đP(0, 2  X  0,5)  F (0, 5)  F (0, 2)  0, 0181Câu 2.10Một thiết bị điện tử có tuổi thọ (năm) là biến ngẫu 2 đnhiên X có hàm mật độ dạng4k .x3e  x khi x  0f ( x)  khi x  00a) Tìm k, tính tuổi thọ trung bình của thiết bị đó vàxác suất thiết bị đó hỏng trong 2 năm đầu làmviệc.b) Nếu biết rằng sau 2 năm đầu làm việc vẫn thấythiết bị đó hoạt động tốt thì xác suất thiết bị đó bịhỏng trong 2 năm tiếp theo là bao nhiêu ?1đa) k  16 , EX  4 , P( X  2)  0.1429c) P( X  4 | X  2)  P(2P(X X 2)4)  0.4237 0.49430.8571Câu 2.11Cho biến ngẫu nhiên hai chiều 1f ( x, y )   40( X ,Y )1đcó hàm mật độ làkhi x 2  y 2  4khi x 2  y 2  4a) Tính R(X, Y) và P  X  Y  1 .b) X và Y có độc lập không?a) Do tính đối xứng giữa X và Y nên ta có1EX  EY   xf ( x, y )dxdy 4R2EXY   xyf ( x, y )dxdy R214x22đ1đxdxdy  0x 2  y 2 12xydxdy  0. Do đó ( X ,Y )  0 .Từ đó y 1suy ra X và Y không tương quan.Gọi D  ( x, y) : x  y  1 .Ta có P  X  Y  1   f ( x, y)dxdy  4S  42  21Dy2-20D12x-2b) Do tính đối xứng của x và y nên hai biến ngẫu nhiên 1 đX và Y có cùng phân bố. Hàm mật độ của X là 4  x2nÕu  2  x  2.f X ( x)   f ( x, y)dy   20nÕu ng- î c l¹i5Từ đó ta có f ( x, y)  f ( x). f ( y) . Do vậy X và Y không độclập.Câu 2.12Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng 2thời làđXY6 2 ( x  y) khi 0  x, y  1f ( x, y)   50nÕu tr¸ i l¹ ia) Tìm hàm mật độ của X và Y kiểm tra tính độclập giữa X và Y.b) Tính P( X  Y  1) .a)ví i x  (0;1) 00ví i x  (0;1) 1.f X (x)   6 6 2 12 5  (x  y)dy ví i x  (0;1)  5 (x  2 ) ví i x  (0;1) 01ví i y  (0;1) 00ví i y  (0;1) 1f Y (y)   6 612(xy)dxvíiy(0;1)5 5 (y  3) ví i y  (0;1) 0Rõ ràngb)f (x,y)  f X (x).f Y (y)P(X  Y  1) nênf (x,y)dxdy {x  y1}XvàYkhông độc lập.6 1 1x 23dx  (x  y)dxdy  .50 0101Câu 2.13Biết rằng mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạngk x ef ( x)  0xkhikhi2đx0x0a) Tìm hằng số k; Mod(X).b) Tính EX , EX , DX .2a) 1  f ( x)dx   kxe x dx  ...  k1đ k 10Xét g ( x)  xe , x  0 . g ( x)  e   x  1  0  x  1 , đổidấu..  Mod ( X )  1b) E ( X )   xf ( x)dx  x e dx ...  2; E ( X )   x f ( x)dx  x exx2 x023 x2dx ...  61đ0 D( X )  E ( X 2 )  ( E ( X ))2  6  4  2Câu 2.14Cho X là biến ngẫu nhiên có mật độ26k x e xf ( x)  0khikhix0x0a) Tìm hằng số k và tính P( X  e) .b) Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X .a) k  1 , P( X  e)  0.2454b) y  0 : F ( y)  0 ; y > 0: F ( y)  P  X  y  P  X  y   F2Y fY ( y ) YX( y2 )1đ1đ2dd( FY ( y ))  ( FX ( y 2 ))  f ( y 2 ).2 y  2 y 3e ydydyCâu 2.15Một cầu thủ ném bóng vào rổ với xác suất trúng là 0.6; 2 đkết quả các lần ném độc lập, cuộc chơi dừng lại khi anhta ném được một quả bóng vào rổ.a) Lập bảng phân bố xác suất số lần ném. Tính xácsuất phải ném ít nhất 3 lần.b) Tính kỳ vọng số lần ném.a)1đX 123 …n…0,42.P 0,6 0,4.0,6… 0,4n-1. 0,6 …0,6P=1- (0,6 + 0,24) = 0,16b) E ( X )   n(0, 4) 0, 6  0, 6 n(0, 4) . Chuỗi hàm f ( x)   x  1 1 x , 1 đn 1n 1n 1nn 1n0bán kính hội tụ là r = 1. f ( x)   nx n 1 n 0 E ( x)  0,6. f (0, 4) 0, 6 1, 667(0, 6)21(1  x) 2.Câu 2.16Véc tơ ngẫu nhiên (X, Y) có mật độ( x y)ef ( x, y)  0khi x  0, y  0;nÕu tr¸ i l¹ i.a) Tìm các mật độ biên f ( x);2 biến ngẫu nhiên độc lập.b) Tìm mật độ của Z  X  Y .XfY ( y )2đ; suy ra rằng X, Y là7a )  x  0: f x ( x) 1đf ( x, y )dy  0 x  0 : f x ( x) f ( x, y )dy   e  ( x  y ) dy  ...  e  x0x00 f X ( x)    xex0Tương0fY ( x )    yetự,f ( x, y )  f X ( x). fY ( y ) x, yXY* x  0:f Z ( x)  0y0.Dođó.Vậy X, Y độc lậpb) f ( x)  f ( x)  f ( x)   fZy0;1đX ( x  t ) fY (t ) dt   f X ( x  t ) f Y (t ) dt0xx  0 : f Z ( x)   e  ( x t ) e t dt  xe  x.00,f Z ( x)    x xe ,x  0;x0Câu 2.17Cho X là biến ngẫu nhiên cók x e xf ( x)  0x0x0khikhi.2đa) Tìm hằng số k và mật độ của biến ngẫu nhiênX .b) Tính P( X  1) .22a)1k 1y  0 : FY ( y )  0y > 0:FY ( y )  P  X 2  y  P X y  FX ( y )dd1( FY ( y ))  ( FX ( y ))  f ( y ). ye dydy2 ykhi y  00fY ( y )   1  ykhi y  0 2 e fY ( y ) vậy;y11 e2 y 2y1b) P( X  1)  P( X  1)  0.264Câu 2.18Tầm bắn của một loại pháo là biến ngẫu nhiên có phân 2 đbố chuẩn với trung bình 16.7km và độ lệch chuẩn0.3km.a) Tính xác suất một phát bắn đạt xa hơn 16.7km28b) Tính xác suất một phát bắn đạt từ 15.8km đến17.6kmCho (0)  0, 5000; (3)  0,9987; (1.96)  0,9750ZX  16.7 N  0,10.31đa) P( X  16.7)  P  Z  0   12  50%1đb) P 15.8  X  17.6  P  3  Z  3  0.997  99.7%Câu 2.19Tuổi thọ X của một loại thiết bị điện tử là biến ngẫu 2 đnhiên có phân bố với hàm mật độ1 x 2 xe khi x  0f  x   40khi x  0.a) Tính P  X  4  và P  X  4 X  2  .b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.a) P  X  4    4x ex 21đdx  3e 2 .4P  X  4 X  2 P  X  4  3e 2 3 1 e .P  X  2  2e 1 2b) E (X)  4, EX  24, Var  X   8.Câu 2.20Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ2cx 2 .e2 x khi x  0f  x  khi x  001P x  21đ2đa Tìm c và tính.a) Tìm EX.a)c  4;b)3EX  .21P  X    0.080321đ1đCâu 2.21Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ 2 đ4 x(1  x 2 ) khi x  (0;1)f ( x)  khi x  (0;1)0a) Tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X.9b) Tìm medX và tínha)b)18EX  4 x (1  x )dx 15022;1P0  X  2.12EX  4 x3 (1  x 2 )dx 013;DX 11225;X1115với a là nghiệm của 2a  4a  1  0 . Do đó1/22 217 0.541 . P  0  X    4  x(1  x 2 )dx  .22164medX  a  (0;1)medX 21đ1đ0Câu 2.22Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ2đ12 x3 (1  x 2 ) khi x  (0;1)f ( x)  khi x  (0;1)0a) Tính kỳ vọng và phương sai của X.b) Tìm modX và tính P  0  X  12  .1124a) EX  12 x (1  x )dx  35;42EX 2  12 x 5 (1  x 2 )dx 03 0.7755b) modX ;012;DX 7324501/ 21đ1đ15P  0  X    12  x3 (1  x 2 )dx  0.156252320Câu 2.23Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ2đ12 x 2 (1  x) khi x  (0;1)f ( x)  khi x  (0;1)0a) Tìm kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X.b) Tiến hành quan sát giá trị của X. Tính xác suấttrong 5 lần quan sát có đúng hai lần X nhận giá trịnhỏ hơn 12 .1a) EX  12 x (1  x)dx  35 ;31EX 2  12 x 4 (1  x )dx 001/2b) P  0  X  12   12  x (1  x)dx  165 . Do đó2025;DX  5p  C52   16 Câu 2.24Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ3kx (1  x )f ( x)  01252;X 315 11 .    0.3173 16 1đ1đ2đkhi x  [0;1]khi x  [0;1].101) Tìm hằng số k, tính kỳ vọng và phương sai củaX.2) Tìm hàm phân bố của X và tính P(0.5 < X< 1).1đk  201EX   20 x 4 (1  x)dx 0F ( x)  x23DX  EX 2  ( EX ) 2 263.P(0.5  X  1)  F (1)  F (0.5) 1316.1EX 2   20 x 5 (1  x)dx 0khi x  00 4f (t )dt  5 x  4 x 5 khi 0  x  11khi x  1và10211đCâu 2.25Qua nghiên cứu ở một vùng trồng cam, người ta thấy 2 đsố quả cam trên một cây là biến ngẫu nhiên có phân bốchuẩn. Người ta đếm thử 600 cây thì thấy 15 cây có íthơn 20 quả, 30 cây có ít hơn 25 quả.a) Hãy ước lượng số quả cam trung bình trên mộtcây.b) Ước lượng tỷ lệ cây cam có từ 60 quả trở lên.Biết rằng: u (0.05)  1.65; u (0.302)  0.52; u (0.025)  1.96; u (0.10)  1.28 .a) Gọi X là số quả cam trên một cây. Ta có X  N ( , ) . 1 đ2 20   P( X  20)     0.025   (1.96)   25   P( X  25)     0.05   (1.65)  . Do đó ta có hệ phươngtrình 20     1.96 25    1.65 . Giải hệ ta có  51.61và   16.13 . Do đótrung bình một cây cam có 51.61 quả.b) P( X  60)  1    60    1  (0.52)  0.302 . Do đó tỷ lệ cây có1đtừ 60 quả trở lên chiếm khoảng 30.2%.Câu 2.26Một cơ quan mua về 15 cái máy tính, trong đó có 4 cái 2đmáy không đạt chất lượng. Phòng kinh doanh đượcphân cho 6 chiếc và họ đã nhận một cách ngẫu nhiên 611chiếc đem về. Gọi  là số chiếc máy tính đạt chấtlượng mà phòng kinh doanh nhận được.a) Lập bảng phân phối xác suất của b) Tính xác suất để phòng kinh doanh nhận được 3 máykhông đạt chất lượng biết rằng có ít nhất 1 máykhông đạt chất lượng.P(  2) C112 .C44 0.011C156411a) P(  4)  CC.C61524P(  3) C113 .C43 0.132C156P(  5) C115 .C41 0.369C156 0.3961đC116P(  6)  6  0.092C1520.011P30.13240.39650.36960.092b) P(  3 |   5)  P( P(3  5) 5)  0.132 0.1450.9081đCâu 2.27Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độkxf ( x)  k02đkhi 0  x  1khi 1  x  2khi x  [1;2]a) Xác định giá trị của k. Tính41P  X  32.b) Tính kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiênY  3X  2 .a) k  23 , P  12  X  34   321đb)1đ115EX   EY  3EX  2 93DX  0.228  DY  9 DX  2.052Câu 2.28Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm phân bố xác suất00.25 x  0.5F ( x)  0.5 x  0.251a) Tính2đkhi x  2khi  2  x  1khi 1  x  1.5khi 1.5  xP({X  1}  { X  1.6}). Tìm hàm mật độ của X.12b) Tính kì vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên Y | X | .a) P( X  1  X  1, 6)  P( X  1)  P( X  1, 6)  F (1)  1  F (1.6)  0.251đ0.25,  2  x  1f ( x)  0.5, 1  x  1.50,x  [-2;1.5]b) EY  0.875, DY  0.38Câu 2.29Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xácsuấtX 1234567 89 10P 0.05 0.19 0.20 0.25 0.12 0.10 x 0.08 y 0.01a) Tìm giá trị của x, y. Từ đó tính P( X  6) .b) Quan sát biến ngẫu nhiên X 20 lần độc lập nhautrong cùng một điều kiện. Tính xác suất để trong 20lần có đúng 17 lần X  6 . Trung bình có bao nhiêu lầnX 6 ?a) x  y  0, P( X  6)  0.09b) Gọi Y là số lần X  6 trong 20 lần quan sát.1đ2đ1đ1đP( X  6)  0.91175P(Y  17)  C200.9117 0.093  0.167;EY  20  0.91  18.2lầnCâu 2.30Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với2đnhau, xác suất trong khoảng thời gian t các bộ phận bịhỏng tương ứng là 0.2; 0.3 và 0.25. Gọi  là số bộ phậnbị hỏng trong khoảng thời gian t.a) Tìm bảng phân phối xác suất của  .b) Tính kì vọng, phương sai của  và xác suất để trongkhoảng thời gian t có đúng 2 bộ phận bị hỏng biếtrằng có ít nhất 1 bộ phận bị hỏng.a) Gọi Ai: bộ phận thứ i bị hỏng, i = 1, 2, 3.1đ13P(  0)  P( A1 A2 A3 )  0.8  0.7  0.75  0.42P(  1)  P( A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 )  0.2  0.7  0.75  0.8  0.3  0.75  0.8  0.7  0.25  0.425P(  2)  P ( A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 )  0.2  0.3  0.75  0.2  0.7  0.25  0.8  0.3  0.25  0.14P(  3)  P ( A1 A2 A3 )  0.2  0.3  0.25  0.015Bảng phân phối xác suất của 0123P0.420.4250.140.0151đb) E  0.75, D  0.5575 ; P(  2 |   1)  P( P(2  1)  1)  0.14 0.240.58Câu 2.31Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập  , có bảng phân phốixác suất-1 0 2 4-1 1 3 5 7P 0,2 0,3 0,1 0,4P 0,1 0,1 0,2 0,4 0,2a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời cho  , .b) Cho X    2 . Tính EX , DX và P( X  2) .a) Bảng phân phối xác suất đồng thời của  ,-113572đ1đ-10.020.020.0400.030.030.0620.010.010.0240.040.040.08 E  2 E  1.6  2  4  6.4b) EXDX  D  4 D  4.44  4  5.8  27.640.040.120.041.60.020.060.020.081đCâu 2.32Câu hỏi: Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật động 2đ0  x  3, x  y  x  2đồng thời f ( x, y)  c0( x  y) khinÕu tr¸ i l¹ ia) Tìm c. Tính các xác suấtb) Tính EX , DX .ca)P  X  1, Y  2  , P 1  X  2 .1,241đ1 2P( X  1, Y  2)   0 x2 x 21( x  y )dxdy  0.104; P(1  X  2)  241x1( x  y )dxdy  0.3324143 x2b)EX  xx03 x2EX 2  01đ1( x  y )dxdy  1.87524x2x1( x  y )dxdy  4.125  DX EX 2  (EX)2  0.60924Câu 2.33Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độngđồng thời f ( x, y)  ce khi 0  x, x  y2đ2 x  3 y0nÕu tr¸ i l¹ ia) Tìm c. Tính các xác suất P  X  2, Y  2  , P Y  3 .b) Tính kì vọng, phương sai của X.c  15a)1đ2 235P( X  2, Y  2)    15e 2 x 3 y dxdy  1  e 10  e6  0.994220 x2 P(Y  3)    15e 2 x 3 y dxdy  0.000121 3 EX b)  x15e2 x  3 ydxdy x0 EX 2 2  x 15e02 x  3 y1đ1 0.25dxdy x2 0.08  DX=EX 2  (EX)2  0.0425Câu 2.34Tuổi thọ (năm) của một bóng đèn là biến ngẫu nhiên X 2đcó hàm mật độkx (4  x) khi x  [0; 4].f ( x)  0khi x  [0; 4]2a) Tìm hằng số k và tính tuổi thọ trung bình của bóngđèn.b) Tính xác suất tuổi thọ của bóng đèn không quá 1năm.a) Do  f ( x)dx  1 nên 1   kx (4  x)dx  k. 643  k  643 . Tuổi thọ 1đ420trung bình của bóng đèn12là EX   xf ( x)dx  643  x (4  x)dx  643 . 256 =2,4 (năm).55430b) Xác suất tuổi thọ của bóng đèn không quá 1 năm 1đ13 0, 051 .là P(0  X  1)   f ( x)dx  643  x (4  x)dx  25611200Câu 2.35 3 ý15Một thùng hàng có 5 sản phẩm cũ và 10 sản phẩm mới. 2đLấy ngẫu nhiên đồng thời ra 2 sản phẩm. Gọi X là sốsản phẩm mới trong 2 sản phẩm được lấy ra.a) Lập bảng phân bố xác suất của X.b) Tính giá trị trung bình của X và xác suất có ít nhất1 sản phẩm mới được lấy ra.a) Ta có bảng phân bố1đX 0 1 2105045P 105 105 105105045 140 495 191đb) EX   x p  0.105 . 1. 2. ; P( X  1) 105105 105 3105 212iii 0Câu 2.36Tuổi thọ (năm) của một thiết bị là biến ngẫu nhiên X có 2đhàm mật độkx (4  x) khi x  [0; 4]f ( x)  .0khi x  [0; 4]32a) Tìm k. Tính tuổi thọ trung bình của thiết bị đó.b) Nhà sản xuất bảo hành thiết bị đó trong vòng 1năm. Tính tỷ lệ số thiết bị bị hỏng trong thời giancòn được bảo hành.15a) Do  f ( x)dx  1 nên 1   kx (4  x)  1024. Tuổi thọ.k  k 1510244321đ0trung bình của thiết bị là41516 2, 286EX   xf ( x)dx x 4 (4  x)2 71024 0(năm).b) Thiết bị bị hỏng trong thời gian còn được bảo hành 1đnghĩa là tuổi thọ không quá 1 năm. Ta có1577P( X  1)   f ( x)dx x (4  x) dx  0, 0376  3, 76% .10242048113020Câu 2.37Độ bền (vạn km) của một loại lốp ô tô là biến ngẫunhiên X có hàm mật độkx (6  x ) khi x  [0;6].f ( x)  0khi x  [0; 6]32đ216a) Tìm k. Tính tỷ lệ số lốp có độ bền trên 4 vạn km.b) Tính độ bền trung bình của loại lốp đó.5a) Do  f ( x)dx  1 nên 1   kx (6  x) dx  3888. Tỷ lệ.k  k 53888631đ20lốp có độ bền trên 4 vạn km là66P( X  4)   f ( x)dx 45233x 3 (6  x)2 dx  0,3196  31,96%3888 4729.b) Độ bền trung bình của lốp làEX 56 xf ( x)dx  3888  x4(6  x) 2 dx 01đ24 3, 437(vạn km).Câu 2.38Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạngax (2  x) khi x  [0; 2].f ( x)  0khi x  [0; 2]2đ3a) Tìm hằng số a và tính P(0  X  1) .b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.a) Do  f ( x)dx  1 nên 1   ax (2  x)dx  85 .a  a  85 .21đ3011P(0  X  1)   f ( x)dx 0b)5 33x (2  x)dx 8016254EX   xf ( x)dx   x 4 (2  x)dx 803240  4 8VX  EX  ( EX )   21  3 6322..2540EX   x f ( x)dx   x 5 (2  x)dx 802122. 1đ.Câu 2.39Khả năng chịu tải phân bố (tấn/m) của một loại dầm bê 2đtông đúc sẵn là biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ k( x  4)(8  x) khi x  [4;8].f ( x)  khi x  [4;8]0a) Tìm hằng số k và tính khả năng chịu tải phân bốtrung bình của loại dầm bê tông kể trên.b) Tính tỷ lệ số dầm bê tông có khả năng chịu tảiphân bố lớn hơn 5 tấn/m. Người ta mua 3 cái dầmbê tông thuộc loại trên. Tính xác suất ít nhất 2 cái17có khả năng chịu tải phân bố lớn hơn 5 tấn/m.841đa) Do  f ( x)dx  1 nên 1   k( x  4)(8  x)dx  k. 32  k  3 .332Khả năng chịu tải phân bố trung bình của loại dầmbê tông đó là EX   xf ( x)dx  3  x( x  4)(8  x)dx  6 (tấn/m).832 4b) Tỷ lệ dầm bê tông có khả năng chịu tải phân bố lớn 1đhơn 5 tấn/m là327P( X  5)   f ( x)dx   ( x  4)(8  x)dx  84.375% .5832 532Xác suất ít nhất 2 dầm có khả năng chịu tải phânbố lớn hơn 5 tấn/m là 3  27   1  27    27   0.9344 .2 32  332   32 Câu 2.40Tuổi thọ X của một loại đèn điện tử do nhà máy sản 2xuất ra là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với đtrung bình   1500 và   150 giờ. Nếu thời gian sử dụngthực tế chỉ đạt dưới 1200 giờ thì nhà máy phải bảohành miễn phí.a) Tính tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành miễn phíb) Nếu muốn tỷ lệ bảo hành miễn phí chỉ còn 1% thìnhà máy phải quy định thời gian bảo hành là baonhiêu giờ.Cho biết:a)0  2   0, 4772; 0  2,33  0,49; 0     0,51đ 1200  1500 P ( X  1200)   0    0      0  2   0,5  0, 4772  0,5  0,0228150b)Gọi t là thời gian quy định bảo hành để tỷ lệ bảo 1hành là 1%.đ t  1500  t  1500 P ( X  t )  0,01   0    0     0,01   0   0, 49 150  150 181500  t 2,33  t  1150,5150giờ.Câu 2.41Thời gian hoạt động tốt X (không phải sửa chữa) của 2một loại tivi là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn đvới trung bình là 4000 giờ và độ lệch chuẩn 350 giờ. Giảthiết mỗi ngày người ta sử dụng trung bình là 10 giờ vàthời gian bảo hành là 1 năm (365 ngày).a) Tính tỷ lệ tivi phải bảo hành trong thời hạn trên.b)Phải nâng chất lượng tivi bằng cách tăng thời gianhoạt động tốt trung bình của nó lên bao nhiêu giờ đểtỷ lệ tivi phải bảo hành vẫn như trên song thời gianbảohànhlà2năm.Chobiết:0 11,42   0,3413; 0     0,5;  0 1  0,3413a) ThờigianX  10 x365  3650hoạt động(giờ)đượcbảohànhlà: 1đTỷ lệ phải bảo hành loại tivi trên là: 3650  4000 P ( X  3650)   0    0      0  1  0,5  0,3413  0,5  0,1587350b)Thời gian hoạt động trung bình là a 7300  a  7300  a P ( X  7300)   0    0      0   0,5  0,1587 350  350 7300  a 7300  a  0  1  a  7650  0,3413   0 (1) 350 350 1đ.Câu 2.42Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất 2có phân phối chuẩn, kỳ vọng 20mm, phương sai (0,2 đmm)2. Lấy ngẫu nhiên một chi tiết máy. Tính xác suấtđể:1. a) Có đường kính trong khoảng từ 19,9mm đến1920,3mm.2. b) Có đường kính sai khác kỳ vọng không quá 0,3mm.Cho biết: 0 (1,5)  0, 4332;  0 (0,5)  0,19151. a) Gọi X là đường kính chi tiết lấy ra thì X  N(20; 0, 22 ) . 1đTa có 19, 9  20 X  20 20, 3  20 P  P(19, 9  X  20, 3)  P 0, 20, 2  0, 220, 3  2019, 9  20 0 ()  0 ()   0 (1,5)   0 ( 0,5)  0, 4332  0,1915  0, 6247.0, 20, 22. b)P  P  X  20  0,3  P 0,3  X  20  0,3 0,3 X  20 0,3  P   0 (1,5)   0 (1,5)  2 0 (1,5)  2.0, 4332  0,86640, 20, 2  0, 2Câu 2.43Một nữ công nhân phụ trách 3 máy dệt tự động. Xácsuất để các máy 1, 2, 3 cần đến sự điều chỉnh của chịtrong khoảng thời gian T tương ứng là 0,1; 0,2; 0,2. GọiX là số máy cần sự điều chỉnh trong khoảng thời gianT. Tìm phân bố xác suất của XĐặt Ai là biến cố máy thứ i cần sự điều chỉnh trongkhoảng thời gian T, i = 1, 2, 3X là số máy cần sự điều chỉnh trong khoảng thời gianT, X là BNN rời rạc nhận các giá trị 0, 1, 2, 31đ2đ2đP(X  0)  P(A1 A 2 A3 )  P(A1 )P(A 2 )P(A3 )  0,9.0,8.0,8  0,576P(X  1)  P(A1 A 2 A3  A1A 2 A3  A1 A 2 A3 )  0,352P(X  2)  P(A1A 2 A3  A1 A 2A 3  A1A 2 A3 )  0,068P(X  3)  P(A1A 2 A3 )  0,004Bảng phân bố xác suất của XX0123P0,5760,3520.0680,004Câu 2.44Cho véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ2đ20k  x  2 xy  ,f  x, y   0, x, y   D   0,3   0,1 x, y   D   0,3   0,1a) Tính hàm phân bố đồng thời của (X,Y).b) Hỏi X và Y có độc lập hay không.a) Ta có 1   f  x, y  dxdy k     x  2 xy  dy  dx  9 dẫn đến3R20x10k191đyHàm phân bố F  x, y     f  u, v  dudv- Nếu x  0 hoặc y  0 thì F  x, y   00  x  3- Nếu thì -y 1x 11x1 1x2F  x, y       u  2uv  dv  du   1  2v  dv  udu 9 009090Nếu  x  3 thì0  y  1F  x, y  -b)Nếuy3 y31 11u2uvdvdu12vdv   udu   y  y 2   9 009020x  3y 1thì F  x, y   1Hàm mật độ thành phầnNếu 0  x  3 , f  x   1   x  2 xy  dy  1 x  1  2 y  dy  2 x1X90990Nếux  0x  3 , fX  x  0Nếu0  y  1, fY  y  111 2y x  2 xy  dx  1  2 y   xdx 90920Nếuy  0 y  3 , fY  y   0Do đó X, Y độc lập.33Câu 2.45Cho véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độk x 2  3xy 2 ,f  x, y   0,1đ12đ x, y   D   0,2    0,1 x, y   D   0,2    0,1Tìm hệ số tương quan của X, Y.21-Tính k22đ12141  k     x 2  3xy 2 dy dx  k   x 2  x dx  k3000-dẫn đếnk314Tính EX2 123 33 20 1032 2EX      x  3x y dy dx    x3  x 2 dx  . 14 0  014 014 37-TínhEX 22 123 33 52 7843 2EX      x  3x y dy dx    x 4  x3 dx  . 14 0  014 014 5 352-Tính EYEY -Tính2 123 3  x 2 3x 3 17 1723xy3xydydx  dx  . 14 0  014 0  24 14 6 28EX 22 123 3  x 2 3x 3 43 1292 23EX      x y  3xy dy dx     dx  . 14 0  014 0  34 14 18 2522--Tính EXY2 123 3  x3 3x 2 3332 3EY      x y  3x y dy dx    dx  .7 14 0  014 0  24 1423 10 17 .2 7 28 X ,Y  0,6672278  10  129  17   35  7  252  28 Câu 2.46Véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ đồng thờik x 2  y ,f  x, y   0, x, y   D   x, y  |2đ x, y   D   x, y  | x  1, 0  y  1  x x  1,0  y  1  x 22a) Xác định hằng số k . Tính kỳ của X .b) Tính xác suất P  0  X  1  .-2Tính k1đ21 1 x 22141  k     x  y dy dx  k   x 2 1  x 2   1  x 2  dx  k251  01 1dẫn đếnk5422Tính kỳ vọng- EX  21 1 x5 f  x, y dxdy     x  x 2  y dy dx4 1  021  x2  5  32dx  x 1  x   x4 1 21dẫn đến EX=0 (hàmlẻ).122  1 x1 5P0  X    2 4 010125 21x 2  y dy dx    x 2 1  x 2  1  x 24 02 1đ2dx5 179 .  1  x 4 dx 4 20256Câu 2.47Cho biến ngẫu nhiên liên tụcXcó hàm mật độ2đ  2a cos x, x    2 , 2 f  x    0,x ,  2 2a) Tìm hệ số a , và tính xác suất để trong 3 phép thửđộc lập, có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng  0;   .4b) Tìm hàm phân bố F  x  của X .2a)Tính hệ số a:1   a cos2xdx  adẫn đếna21đ2H: “X nhận giá trị trong  0;  ” 4,PH  24cos02xdx  24Xác suất trong 3 phép thử độc lập, có 2 lần H xảyra là23  2PC  4 2232  2   2  3  21   34  4  4xb)1đHàm phân bố F  x    f  t  dt-Nếux,2Nếux:22xx22 1  cos 2t1 1F  x    cos 2 tdt  dt   x   sin 2 x   22 22-F  x  0 ;Nếux22,F  x  1Câu 2.48Cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn với kỳ 2đvọng   10 và độ lệch tiểu chuẩn   2 .a) Tính kỳ vọng, phương sai của đại lượng ngẫu nhiênY  2 X  10 .b) Tính xác suất P  1  Z  1  với Z  1 .2  X  121  23Cho biết   0, 25  0, 0987 .1đEY  2 EX  10  10 , DY  4 DX  160b) 11 11 23  1 21P  Z    P    P  X 1   23 2  X  1 21 21 2  23 221 19 21  19 21 19 P  X    P  X     P  X  222 2 2 2 1 X  10 1  0  P    2 0  0, 25   0,197424 41đCâu 2.49Trong một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 chính 2phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm. Gọi X là đsố chính phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra.1. a) Lập bảng phân bố xác suất của X.2. b) Tìm phân bố xác suất và tính kỳ vọng của X.240a) XPC242C10b)02 / 5F(X)  10 / 512151C16C142C108152C622C10515khi x  0khi 0  x  1khi 1  x  2khi x  2Kỳ vọngEX  0.1đ285 6 1.  2. 151515 31đ25