Bài Tập Xét Vị Trí Tương đối Của Hai đường Thẳng Có đáp án Chi Tiết

Bài tập xét Vị trí tương đối của hai đường thẳng có đáp án chi tiết

Phương pháp giải vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian oxyz

Cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}$ (đi qua điểm ${{M}_{1}}$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$) và đường thẳng ${{d}_{2}}$ (đi qua điểm ${{M}_{2}}$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$). Khi đó:

•        ${{d}_{1}}\equiv {{d}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{M}_{1}}\in {{d}_{2}} \\  {} \overrightarrow{{{u}_{1}}}//\overrightarrow{{{u}_{2}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}=k.\overrightarrow{{{u}_{2}}} \\ \end{array} \right.$
•        ${{d}_{1}}//{{d}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} {{M}_{1}}\notin {{d}_{2}} \\  {} \overrightarrow{{{u}_{1}}}//\overrightarrow{{{u}_{2}}}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}=k.\overrightarrow{{{u}_{2}}} \\ \end{array} \right.$
•        ${{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}}=0.$
•        ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ cắt nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}         {} \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\ne 0 \\  {} \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=0 \\ \end{array} \right.$
•        ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right].\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}\ne 0$

Chú ý: Khi giải bài tập, nếu biết phương trình của 2 đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ ta có thể xét vị trí tương đối của chúng bằng cách giải hệ phương trình để tìm giao điểm.

- Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ cắt nhau.

- Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì ${{d}_{1}}//{{d}_{2}}$ hoặc ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ chéo nhau, lúc đó cần xét thêm vecto chỉ phương của chúng (hai đường thẳng chéo nhau khi 2 vecto chỉ phương của chúng không cùng phương).

- Nếu ${{d}_{1}}//{{d}_{2}}$ hoặc ${{d}_{1}}\equiv {{d}_{2}}$ thì vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$ của đường thẳng ${{d}_{1}}$ cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng ${{d}_{2}}$ và ngược lại vecto chỉ phương của $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ của đường thẳng ${{d}_{2}}$ cũng là vecto chỉ phương của đường thẳng ${{d}_{1}}$.

Bài tập vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian có Lời giải chi tiết

Bài tập 1:  Xác định vị tí tương đối của các cặp đường thẳng ${{d}_{1}}$và ${{d}_{2}}$ dưới đây: a) ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{4}$, ${{d}_{2}}:\frac{x-6}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+2}{1}$ b) ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z}{1},$ ${{d}_{2}}:\frac{x}{-2}=\frac{y+8}{3}=\frac{z-4}{1}$ c)${{d}_{1}}:\frac{x-2}{4}=\frac{y}{-6}=\frac{z+1}{-6},{{d}_{2}}:\frac{x-7}{-6}=\frac{y-2}{-9}=\frac{z}{12}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(2;1;4);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(3;-2;1)$ và $\overrightarrow{{{u}_{1}}}\ne k.\overrightarrow{{{u}_{2}}}\Rightarrow {{d}_{1}};{{d}_{2}}$ cắt nhau hoặc chéo nhau.

${{d}_{1}}$ đi qua điểm ${{M}_{1}}(1;7;3);{{d}_{2}}$ đi qua điểm ${{M}_{2}}(6;-1;-2)\Rightarrow \overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=(5;-8;-5)$

Xét $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=0\Rightarrow {{d}_{1}};{{d}_{2}}$ cắt nhau.

b) Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua ${{M}_{1}}(1;2;0)$ và có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(2;-2;1)$

Đường thẳng ${{d}_{2}}$ qua ${{M}_{2}}(0;-8;4)$ và có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(-2;3;1)$

Ta có: $\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=(-1;-10;4)$ và $\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}=(-5;-4;2).(-1;-10;4)\ne 0\Rightarrow {{d}_{1}};{{d}_{2}}$ chéo nhau.

c) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ và điểm $\overrightarrow{{{M}_{1}}}(2;0;-1)\in {{d}_{1}}$ và ${{M}_{1}}(2;0;-1)\notin {{d}_{2}}$ nên ${{d}_{1}}//{{d}_{2}}$

Bài tập 2: Xác định vị trí tương đối của các cặp đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ dưới đây: a) ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{9}=\frac{y-6}{6}=\frac{z-3}{3};{{d}_{2}}=\frac{x-7}{6}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{2}$ b) ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{array}  {} x=1+t \\  {} y=2+2t \\  {} z=-2t \\ \end{array} \right.;{{d}_{2}}:\left\{ \begin{array}  {} x=3+2u \\  {} y=6+4u \\  {} z=-4-4u \\ \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ và điểm ${{M}_{1}}(1;6;3)\in {{d}_{1}}$ và ${{M}_{1}}(1;6;3)\notin {{d}_{2}}$ nên ${{d}_{1}}//{{d}_{2}}$

b) Ta có: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=(1;2;-2);\overrightarrow{{{u}_{2}}}=(2;4;-4)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{2}}}=2\overrightarrow{{{u}_{1}}}$

Mặt khác điểm ${{M}_{1}}(1;2;0)\in {{d}_{1}}$ và ${{M}_{1}}(1;2;0)\in {{d}_{2}}$ nên ${{d}_{1}}$ trùng ${{d}_{2}}$

Bài tập 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x+2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z+4}{3}$ và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{array}  {} x=2t \\  {} y=1+4t \\  {} z=2+6t \\ \end{array} \right.$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$cắt nhau.                                          B. ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ trùng nhau. C. ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ chéo nhau.                                          D. ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ song song với nhau.

Lời giải chi tiết

Đáp án: Chọn B

Ta có: $(2;4;6)=2(1;2;3)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{1}}}=2\overrightarrow{{{u}_{2}}}\Rightarrow $ ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$ song song hoặc trùng nhau.

Mà điểm $A(0;1;2)\in {{d}_{2}},$ thay đổi tọa độ điểm A vào ${{d}_{1}}$ thì $A\in {{d}_{1}}$ nên ${{d}_{1}}\equiv {{d}_{2}}$