Bài Toán đạo Hàm Hàm Số Căn Bậc N | Đỗ Cao Long's Blog.

Trang chủ » đạo Hàm Căn U Ví Dụ » Bài Toán đạo Hàm Hàm Số Căn Bậc N | Đỗ Cao Long's Blog.

Có thể bạn quan tâm

Sai lầm thường gặp khi tính đạo hàm của hàm số căn bậc n (n \in \mathbb{N}, n \geq 1

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y= \sqrt[5]{x-3} \\[4pt] trên tập xác định của nó ?

Lời giải (sai):

* Tập xác định: D= \mathbb{R}

* Ta có: y= (x-3)^{\frac{1}{5}}.

Do đó: y' = \dfrac{1}{5} (x-3)^{\frac{-4}{5}} = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}} với mọi x \ne 3.

Lời Bình:

Lời giải trên mắc sai lầm ở chỗ đó là, khi viết y= \sqrt[5]{x-3} = (x-3)^{\frac{1}{5}} thì phép biến đổi này chỉ đúng trong trường hợp x-3>0 \Leftrightarrow x>3, không phải đúng với mọi x \in \mathbb{R}.

Như vậy, nếu chú ý đến điều đó thì chúng ta cần xét hai trường hợp: x>3 và x \leq 3.

Lời giải cụ thể cho hai trường hợp trên như sau:

TH1: Với mọi x>3, ta có y' = \dfrac{1}{5} (x-3)^{\frac{-4}{5}} = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}}.

TH2: Với mọi x<3, ta viết lại y= \sqrt[5]{x-3} = \sqrt[5]{-(3-x)} = - \sqrt[5]{3-x}. Khi đó do x<3 nên 3-x>0, vì vậy ta viết được y= \sqrt[5]{x-3} = -(3-x)^{\frac{1}{5}}.

Suy ra: y' = -\dfrac{1}{5} (3-x)^{\frac{-4}{5}}(3-x)' = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(3-x)^4}} = \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}}. Vậy kết quả trường hợp này như kết quả trường hợp 1.

Lưu ý: Chúng ta chỉ mới xét x<3 để có được 3-x>0 khi đó mới viết từ dạng căn sang lũy thừa.

TH3: Do đó chúng ta cần xét thêm trường hợp x=3. Trường hợp này phải tính đạo hàm sao đây ?

Oh. Chỉ còn cách dùng định nghĩa đạo hàm thôi. Tính đạo hàm tại một điểm ! (Xem lại lý thuyết và thử làm xem nhé) Vấn đề này tỏ ra phức tạp rồi, phải không ? Vậy còn có cách nào để giải quyết bài toán này nhẹ nhàng hơn không ?

———————–

Cách 2: Một cách khác để khắc phục nhược điểm của cách tính trên (chưa tính được đạo hàm hàm số tại x=3).

Với mọi x \in \mathbb{R}, ta có: y = \sqrt[5]{x-3} \Leftrightarrow y^5 = x-3.

Xem y là hàm số hợp (theo biến x), lấy đạo hàm hai vế, ta được: (y^5)' = (x-3)' \Leftrightarrow 5y^4.y' = 1. (*)

Trường hợp y= 0 \Leftrightarrow x-3 = 0 \Leftrightarrow x=3 thì (*) vô nghiệm.

Trường hợp x \ne 3 \Leftrightarrow y \ne 0, ta có: y' = \dfrac{1}{5y^4}.

Kết luận: y'= \dfrac{1}{5 \sqrt[5]{(x-3)^4}} với mọi x \ne 3.  Tại x=3 hàm số không có đạo hàm.

Nhận xét: Qua Ví dụ này các em học sinh cần lưu ý khi viết một biểu thức dạng căn thức (bậc n) sang dạng lũy thừa cần lưu ý đến điều kiện của biểu thức (dương).

Chia sẻ:

  • Reddit
  • Thêm
  • Facebook
Thích Đang tải...

Từ khóa » đạo Hàm Căn U Ví Dụ