Bài Toán Mặt Cầu, Khối Cầu Và Hình Chóp Bất Kì (bài Toán Tổng Quát

Bài toán mặt cầu, khối cầu và Hình chóp bất kì (bài toán Tổng quát – Nâng cao)

Công thức tìm nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

 $R=\sqrt{{{x}^{2}}+{{r}^{2}}}$ với

r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

$x=\frac{S{{O}^{2}}-{{r}^{2}}}{2h}:S$ là đỉnh hình chóp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, h là chiều cao khối chóp.

Bài tập trắc nghiệm mặt cầu, khối cầu và hình chóp bất kì có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp đều $S.ABC$ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng $\frac{2a\sqrt{3}}{3}.$ Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$bằng A. $\frac{a\sqrt{37}}{6}.$  B. $\frac{a\sqrt{35}}{7}.$ C. $\frac{a\sqrt{36}}{7}.$              D. $\frac{a\sqrt{39}}{7}.$

Lời giải chi tiết

Hình vẽ tham khảo

Vì C là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABD$ nên $r=BC=a$

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng $\left( ABC \right)\Rightarrow H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

Tam giác SHC vuông tại H, có $SC=\frac{2a\sqrt{3}}{3};HC=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=\sqrt{S{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}}=a$

Vậy $r=h=a$ và $SC=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ nên $R=\frac{a\sqrt{37}}{6}.$ Chọn A.

Bài tập 2: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại A và $D,AB=AD=a$ và $CD=2a.$ Cạnh bên SD vuông góc với đáy, $SD=a.$ Gọi E là trung điểm của CD. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.BCE$bằng A. $\frac{a\sqrt{11}}{8}.$  B. $\frac{a\sqrt{11}}{4}.$ C. $\frac{a\sqrt{11}}{6}.$              D. $\frac{a\sqrt{11}}{2}.$

Lời giải chi tiết

Vì E là trung điểm $DC\Rightarrow \Delta EBC$ vuông tại E

Gọi M là trung điểm của BC

$\Rightarrow M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC

Xét hình chóp $S.BCE$ có S là đỉnh, M là tâm đáy, chiều cao $h=SD$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $r=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Delta BCD$ vuông cân tại $B\Rightarrow DM=\sqrt{B{{D}^{2}}+B{{M}^{2}}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}$

$\Delta SDM$ vuông tại $D\Rightarrow SM=\sqrt{S{{D}^{2}}+D{{M}^{2}}}=\frac{a\sqrt{14}}{2}$

Áp dụng công thức, ta được $R=\sqrt{{{\left( \frac{S{{M}^{2}}-{{r}^{2}}}{2.SD} \right)}^{2}}+{{r}^{2}}}=\frac{a\sqrt{11}}{2}.$ Chọn D.

Bài tập 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a,SAD$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CD$. Tính bán kính $R$ mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.CMN.$ A. $R=\frac{a\sqrt{37}}{6}.$  B. $R=\frac{a\sqrt{29}}{8}.$ C. $R=\frac{5a\sqrt{3}}{12}.$              D. $R=\frac{a\sqrt{93}}{12}.$

Lời giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của $AD\Rightarrow SH\bot AD$

$\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$ Gọi E là trung điểm của MN, dựng đường thẳng d qua E song song với SH, trên d lấy điểm I sao cho $IS=IC\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.CMN\Rightarrow IS=IC=IM=IN=R.$

Ta có: $CE=\frac{MN}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}\Rightarrow IE=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{8}};SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$H{{E}^{2}}={{\left( \frac{3}{4}CD \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{4}AD \right)}^{2}}=\frac{5{{a}^{2}}}{8}$

Lại có ${{R}^{2}}-H{{E}^{2}}={{\left( SH-IE \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{R}^{2}}-\frac{5{{a}^{2}}}{8}={{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2}-\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{8}} \right)}^{2}}\Rightarrow R=\frac{a\sqrt{93}}{12}.$ Chọn D.

Bài tập 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a,SA=2a$ và vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CD$. Tính bán kính $R$ mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.CMN.$ A. $R=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$ B. $R=\frac{3a\sqrt{2}}{4}.$ C. $R=\frac{3a\sqrt{3}}{4}.$              D. $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Lời giải chi tiết

Gọi E là trung điểm của MN, dựng đường thẳng d qua E song song với SA, trên d lấy điểm I sao cho $IS=IC\Rightarrow I$  là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp$S.CMN\Rightarrow IS=IC=IM=IN=R.$

Ta có: $CE=\frac{MN}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{4}\Rightarrow IE=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{8}};SA=2a$

$A{{E}^{2}}={{\left( \frac{3}{4}CD \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3}{4}AD \right)}^{2}}=\frac{9{{a}^{2}}}{8}$

Lại có ${{R}^{2}}-A{{E}^{2}}={{\left( SA-IE \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow {{R}^{2}}-\frac{9{{a}^{2}}}{8}={{\left( 2a-\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{8}} \right)}^{2}}\Rightarrow R=\frac{3a\sqrt{3}}{4}.$

Chọn C.

Bài tập 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình chữ nhật với $AB=a,AD=2a$. Mặt bên $\left( SAD \right)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CD$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.CMN.$ A. $R=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.$  B. $R=\frac{2a\sqrt{6}}{3}.$ C. $R=\frac{a\sqrt{13}}{4}.$              D. $R=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$

Lời giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của $AD\Rightarrow SH\bot AD$

$\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$. Gọi E là trung điểm của MN, dựng đường thẳng d qua E song song với SH, trên d lấy điểm I sao cho $IS=IC\Rightarrow I$  là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp$S.CMN\Rightarrow IS=IC=IM=IN=R.$

Ta có: $CE=\frac{MN}{2}=\frac{a\sqrt{5}}{4}\Rightarrow IE=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{5{{a}^{2}}}{16}};SH=a\sqrt{3}$

$H{{E}^{2}}={{\left( \frac{3}{4}CD \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{4}AD \right)}^{2}}=\frac{13{{a}^{2}}}{16}$

Lại có ${{R}^{2}}-H{{E}^{2}}={{\left( SH-IE \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{R}^{2}}-\frac{13{{a}^{2}}}{16}={{\left( a\sqrt{3}-\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{5{{a}^{2}}}{16}} \right)}^{2}}\Rightarrow R=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.$

Chọn A.

Bài tập 6: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy ABC là tam giác đều cạnh $a,$ hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là điểm đối xứng của C qua AB và mặt bên $\left( SAB \right)$ tạo với đáy góc ${{60}^{0}}.$ Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. A. $R=\frac{a\sqrt{91}}{12}.$  B. $R=\frac{a\sqrt{217}}{12}.$ C. $R=\frac{a\sqrt{91}}{15}.$              D. $R=\frac{a\sqrt{273}}{12}.$

Lời giải chi tiết

Gọi H là đối xứng của C qua$AB\Rightarrow CH\bot AB.$

O là trung điểm của $CH$

$\Rightarrow OH=CO=\frac{a\sqrt{3}}{2};\widehat{SOH}={{60}^{0}}$

Suy ra $SH=OH\tan {{60}^{0}}=\frac{3a}{2}$

Gọi E là trọng tâm tam giác ABC, dựng đường thẳng d qua E song song với SH, trên d lấy điểm I sao cho $IS=IC\Rightarrow I$  là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp$S.CMN$

$\Rightarrow IS=IC=IM=IN=R.$

có: $CE=\frac{2CO}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow IE=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{a}^{3}}}{3}};HE=2CE=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$z

Lại có ${{R}^{2}}-H{{E}^{2}}={{\left( SH-IE \right)}^{2}}$ $\Leftrightarrow {{R}^{2}}-\frac{4{{a}^{2}}}{3}={{\left( \frac{3a}{2}-\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}} \right)}^{2}}\Rightarrow R=\frac{a\sqrt{217}}{12}.$

Chọn B.