BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT CÁCH ĐỀU ...

Tr­êng TiÓu häc Hîp Thanh B

C¸c bµi to¸n vÒ d·y sè. N¨m 2014 - 2015

BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT CÁCH ĐỀU.

Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:

Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy - số hạng bé nhất của dãy) : khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Bước 2: Tính tổng của dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2

Trong quá trình BDHSG ta thấy các dạng bài liên quan đến bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều rất đa dạng và phong phú, đòi hỏi học sinh phải vận dụng một cách linh hoạt 2 bước giải trên. Sau đây tôi xin giới thiệu một vài ví dụ cho thấy sự vận dụng kiến thức cơ bản của dạng toán một cách linh hoạt trong từng bài toán cụ thể.        Ví dụ 1: Tính giá trị của A biết:

        A = 1 + 2 + 3 + 4 + ........................... + 2014.

       Phân tích: Đây là dạng bài cơ bản trong dạng bài tính tổng của dãy có quy luật cách đều, chúng ta hướng dẫn học sinh tính giá trị của A theo 2 bước cơ bản ở trên.

Bài giải

Dãy số trên có số số hạng là:

(2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng)

Giá trị của A là:

(2014 + 1) x 2014 : 2 = 2029105

Đáp số:   2029105

        Ví dụ 2: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ...............

        Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên ?

       Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng lớn nhất trong dãy là:  Số hạng lớn nhất = (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp+ số hạng bé nhất trong dãy.

Bài giải

Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là:

(2014 – 1) x 2 + 2 = 4028

Đáp số:4028

       Ví dụ 3: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2013 ?

         Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng bé nhất trong dãy là:  Số hạng bé  nhất = Số hạng lớn nhất - (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp. Từ đó học sinh sẽ dễ dàng tính được tổng theo yêu cầu của bài toán.

Bài giải

Số hạng bé nhất trong dãy số đó là:

2013 - (50 – 1) x 2 = 1915

Tổng của 50 số lẻ cần tìm là

(2013 + 1915) x 50 : 2 = 98200

Đáp số: 98200

      Ví dụ 4: Một dãy phố có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào ?

       Phân tích: Bài toán cho chúng ta biết số số hạng là15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ bước 1 và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối. Từ đó ta hướng dẫn học sinh chuyển bài toán về dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đó.

Bài giải

Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là:

(15 - 1) x 2 = 28

Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là:

915     x 2 : 15 = 122

Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là:

(122 - 28) : 2 = 47

Đáp số: 47

Một số bài tự luyện:

Bài 1: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ............................; 2014.

 a, Tính tổng của dãy số trên ?

 b, Tìm số hạng thứ 99 của dãy ?

 c, Số hạng 1995 có thuộc dãy số trên không ? Vì sao ?

Bài 2: Tìm TBC các số chẵn có 3 chữ số ?

Bài 3: Tính tổng 60 số chẵn liên tiếp biết số chẵn lớn nhất trong dãy đó là 2010 ?

Bài 4: Tính tổng 2014 số lẻ liên tiếp bắt đầu bằng số 1 ?

Bài 5:Tính tổng: 1 + 5+ 9 + 13 +....................... biết tổng trên có 100 số hạng ?

Bài 6: Một dãy phố có 20 nhà. Số nhà của 20 nhà đó được đánh là các số chẵn liên tiếp, biết tổng của 20 số nhà của dãy phố đó bằng 2000. Hãy cho biết số nhà cuối cùng trong dãy phố đó là số nào ?

       Các bạn ạ ! Theo tôi trong quá trình dạy học chúng ta không nên cho học sinh một con đường mòn duy nhất mà hãy cho các em một định hướng về con đường đó để các em có thể tự hình thành và tìm cho mình con đường đi đúng và phù hợp nhất. Hãy giúp các em lấy cái bất biến để ứng cái vạn biến. Đó là điều mà chúng ta nên làm trong quá trình dạy học. Mong các đ/c đồng nghiệp thường xuyên trao đổi kinh nghiệm dạy học của mình trên diễn đàn này để chúng ta có nhiều cơ hội giao lưu, học hỏi lẫn nhau nhiều hơn và ngày một tiến bộ hơn về trình độ cũng như năng lực BDHSG.

Các bài toàn về dãy số rất hay

Bài 1:        S = 1,2 + 2,3 + 3,4 +.......+ 28,29 + 29,30. Vậy S =?                                                                Trần Lê Thái AnhA= 1,2 + 2,3……... 7,8 +8,9    (có 8 số hạng, hơn kém nhau 1,1)B= 9,10+10,11+…….. 28,29 + 29,30 (có 29-9+1=21 số hạng,  hơn kém nhau 1,01)            A= (1,2+8,9) x 8 : 2 =40,4            B= (9,10+29,30) x21 : 2 =403,2    S = A + B = 40,4 + 403,2 =443,6Bài 2:         Mỗi chiếc xe được gắn một biển số gồm 4 chữ số. Hỏi từ số 0009 đến số 9999 có bao nhiêu số mà tổng các chữ số chia hết cho .              (ndphithanh)Số chia hết cho 9 khi tổng các chữ số chia hết cho 9.Các số chia hết cho 9 gồm:0009; 0018; 0027; ……; 9990; 9999Đây là dãy số cách đều nhau 9 đơn vị.Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 có:(9999 – 0009) : 9 +1 = 1111 (số)Đáp số:  1111 số.Bài 3:         Tổng của một dãy số tự nhiên liên tiếp bằng 2012. Tìm số bé nhất trong dãy số đó.                                                                       Nguyễn Thị Kim Tiền      Từ công thứ tính tổng dãy số cách đều (số tự nhiên liên tiếp cũng là dãy số cách đều nhau 1 đơn vị)Tổng=(số đầu+số cuối)x số số hạng : 22 tổng = (số đầu + số cuối) x số số hạngHai tổng của dãy số: 2012 x 2 = 40244024 chia hết cho: 2; 4; 8; 503; 1006; 2012Ta có các cặp: Nếu tổng số đầu và số cuối là 2012 thì có 2 số hạng; là 1006 thì có 4 số hạng; là 503 thì có 8 số hạng.Trong dãy số tự nhiên liên tiếp có số số hạng là một số chẵn thì tổng số đầu và số cuối là một số lẻ.*.Tổng số đầu số cuối cũng là tổng 2 số ở giữa bằng 503. Ta được 2 số ở giữa là (503-1) : 2 = 251 và 251+1=252Dãy số:  248; 249; 250; 251; 252; 253; 254; 255Số bé nhất là:  248

Bài 4:         Cho dãy số tự nhiên liên tiếp 1 ; 2 ; 3 ; 4 ... n. Tìm n biết số chữ số của dãy số đó bằng 3.n

                                                                                       Nguyễn Thị Kim Tiền

    Trong mỗi số có 3 chữ số thì số chữ số gấp 3 lần mỗi số ấy. Mỗi số số có 2 chữ số thiếu 1 chữ số nữa mới có số chữ số gấp 3 lần mỗi số đó. Mỗi số số có 1 chữ số thiếu 2 chữ số nữa mới có số chữ số gấp 3 lần mỗi số đó.

Ta xem có bao nhiêu số có 2 chữ số: Từ 10 đến 99 có  99-10+1= 90 (số). Như vậy còn thiếu 1x90=90 (chữ số)

Số có 1 chữ số: Từ 1 đến 9 có  9 số. Như vậy còn thiếu 2x9=18 (chữ số)

Mỗi số có 4 chữ số thì dư 1 chữ số khi số chữ số gấp 3 lần mỗi số đó.

Vậy số 4 chữ số cần có là: 90+18=108 (số)

Số n là: 1000+(108-1)=1107

 Giống dạng bài tìm số trang sách, biết tổng các chữ số để dùng đánh số trang gấp 2 lần (3 lần) số trang.

Bài 5:        Tính tổng tất cả các số có hai chữ số mà mỗi số đó chia cho 5 dư 2?

Số có 2 chức ố chia cho 5 dư 2 đó là:

12; 17; 22; …………………; 92; 97.

Đây là dãy số cách đều nhau 5 đơn vị, có:

(97-12):5+1=18 (số hạng)

Tổng các số này là:  (12+97)x18:2 = 981

Bài 6:        Số chữ số dùng để đánh số trang của một quyển sách là một số chia hết cho số trang của cuốn sách đó. Biết rằng cuốn sách đó trên 100 trang và ít hơn 500 trang. Hỏi cuốn sách đó có bao nhiêu trang ?                                                                                              Đặng Nhật TânSố chữ số chia hết cho số trang từ 100 đến 500 thương chỉ có thể là 2 (vì thương là 3 cuốn sách sẽ có số trang phải hơn 1000_ số có 4 chữ số_).Từ trang 1 đến trang 9 mỗi trang có 1 chữ số. Mỗi trang còn thiếu 1 chữ số để gấp 2 lần số trang.Từ trang 10 đến 99, mỗi trang có số chữ số gấp 2 lần số trang.Để số chữ số gấp 2 lần số trang thì từ trang 100 trở lên phải có 9 trang để bù vào số trang có 1 chữ số.Quyển sách có  100+(9-1) = 108 (trang) Bài 7:        Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số chia hết cho 9.                                                                    Nguyễn Thị Kim TiềnSố có 4 chữ số từ 1000 đến 9999Các số chia hết cho 9 gồm: 1008; 1017; 1026; ………; 9990; 9999Dãy số trên cách đều nhau 9 đơn vị có số đầu là 1008 và số cuối là 9999Các số chia hết cho 9 có:   (9999-1008):9+1 = 1000 (số)Trong đó xen kẻ 1 số chẵn thì 1 số lẻ, nên số lẻ có 4 chữ số chia hết cho 9 có:1000 : 2 = 500 (số)(hoặc ta tính số số hạng của dãy số: 1017; 1035; ……; 9981; 9999 có:(9999-1017):18+1= 500 (số))Bài 8:        Tính trung bình cộng của các số lẻ nhỏ hơn 2012.                                                                        Nguyễn Thị Kim TiềnCác số lẻ nhỏ hơn 2012, gồm:1; 3; 5; ……….; 2009; 2011Thường thì người ta tính TBC bằng cách lấy tổng các số đó chia cho số các số hạng. Nhưng với dãy số cách đều thì TBC của chúng  thì bằng trung bình cộng của số đầu và số cuối.TBC của dãy số đó là:  (1+2011) : 2 = 1006 Bài 9:        Tính tổng các số lẻ nhỏ hơn 200.                                                                Hoàng Thanh SơnCác số lẻ nhỏ hơn 120 là:  1; 3; 5; ……….; 197; 199.Đây là dãy số cách đều nhau 2 đơn vị, có số đầu là 1 và số cuối là 199Số số hạng:  (199 – 1) : 2 + 1 = 100 (số)Tổng chúng là:  (1+199) x 100 : 2 =  10 000Bài 10:        Hãy cho biết trong dãy số tự nhiên liên tiếp 1 ; 2 ; 3 ... 2009, có tất cả bao nhiêu chữ số 1.                                                                Hoàng Thanh Sơn-Ta xét các số từ 000 đến 999, có 1000 số có 3 chữ số chia đều cho 10 chữ số.Số 1 có trong 1000 số này là:  1000 x 3 : 10 = 300 (số 1)-Từ 1000 đến 1999, ta lại có thêm 1000 số 1 ở hàng nghìn.Số 1 có trong 1000 số này là:  1000 + 300 = 1300 (số 1)-Từ 2000 đến 2009 chỉ có 1 chữ số 1 ở 2001.Số chữ số 1 có trong dãy số là:  300 + 1300 + 1 = 1601 (chữ số 1) Bài 11:        Có bao nhiêu số có 4 chữ số mà các chữ số có 1 chữ số 2                                                                     Phạm Thu Thảo-Hàng nghìn: có 1 lựa chọn, 9 ở hàng trăm, 9 ở hàng chục, 9 ở hàng đơn vị.Có    1x9x9x9= 729-Hàng trăm, chục và đơn vị: Tương tự có có 8 lựa chọn hàng nghìn, 1 hàng trăm. 9 hàng chục, 9 hàng đơn vị.       Có 8x1x9x9x3= 1944Tất cả:  729 + 1944 = 2673 (số) Bài 12:        Hỏi có bao nhiêu số có 4 chữ số mà trong đó có ít nhất một chữ số 2                                                                    Phạm Thu ThảoTừ 1000 đến 9999 có 9000 số-Không có chữ số 2: có 8 lựa chọn ở hàng nghìn (trừ 0 và 2), 9 lựa chọn ở hàng trăm, 9 lựa chọn ở hàng chục và 9 lựa chọn ở hàng đơn vị.Vậy có: 8x9x9x9 =  5832 (số không có chữ số 2)-Còn lại có chữ số 2:  9000 – 5832 = 3168 (số)Số chữ số:     3 x 3168 = 9504 (chữ số) Bài 13:        Cho dãy số : 2, 5, 8, 11, 14 , 17 , …98 , 101 , 104 , 107 , 110 ,1.Tính tổng dãy số.2.Tìm số hạng thứ 25 của dãy .3.Xét xem số 56 , 75 , 113 có thuộc dãy số trên không , nếu có thì nó là thứ bao nhiêu của dãy?                                                                                        Huỳnh Thị Thanh1/.Đây là dãy số cách đều nhau 3 đơn vị, số hạng đầu là 2, số hạng cuối là 110.Số số hạng:   (110 – 2 ) : 3 + 1 = 37 (số hạng)Tổng dãy số là:  (2+110)x37:2 = 20722/.Số hạng thứ 25:   2+(25-1)x3= 743/.Ta thấy các số hạng của dãy đều chia 3 dư 2 (hay bớt đi 2 sẽ chia hết cho 3) và thương bé hơn thứ tự 1 đơn vị.56 : 3 = 18 (dư 2) . Là số hạng thứ 18+1=19 của dãy số.75 : 3 = 25 (không dư)   Loại.113 : 3 = 37 (dư 2). Là số hạng thứ 37+1=38 của dãy số. 

Bài 14:            Cho dãy số : 1 ,   3 , 5 , 7 , 9,….,17 , 19 …a.      Xác định quy luật của dãy số .b.     Viết tiếp 4 số hạng cuối cùng của dãy .c.     Tính các số hạng của dãy.                                                                                    Trang Công Thịnha).Dãy số trên là dãy số cách đều nhau 2 đơn vị, có số đầu là 1 (dãy số lẻ bắt đầu từ 1).b).Bốn số hạng tiếp theo 19 là:  21 ; 23 ; 25 ; 27c).Số số hạng của dãy số:   (27 – 1) : 2 + 1 =  14 (số hạng) 

Bài 15:        Một dãy phố có 50 nhà. Số nhà của 50 nhà đó được đánh là cá số chẵn liên tiếp. Biết tổng của 50 số nhà của dãy phố đó bằng 4950. Hãy cho biết số nhà đầu tiên và số nhà cuối cùng trong dãy phố đó?                                                                                                      Hoàng Thanh SơnCách 1:Tổng của số nhà đầu tiên và cuối cùng:4950 : (50:2) =  198Hiệu của số nhà cuối cùng và số nhà đầu tiên:2 x(50 – 1) = 98Số nhà đầu tiên:(198 – 98) : 2 = 50Số nhà cuối cùng:198 – 50 = 148Cách 2:Vì dãy nhà có 50 số (chẵn) nên trung bình cộng 2 số nhà ở giữa:4950 : 50 = 99Vậy 2 số nhà ở giữa đó là: 98 và 100Ta tìm được dãy số:  50; 52; 54; ……; 98; 100; …….; 146; 148 

Bài 16: Tìm số có 4 chữ số        Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số mà số tạo bởi 2 chữ số đầu lớn hơn số tạo bởi 2 chữ số cuối ?                                                                                                             HYPERLINK "http://toantieuhocpl.violet.vn/user/show/id/6871290" Toán Tiểu Học PlTìm các số abcd mà ab > cd  (a khác 0)Nếu ab=10 thì cd có 10 giá trị từ 00 đến 09Nếu ab=11 thì cd có 11 giá trị từ 00 đến 10Nếu ab=12 thì cd có 12 giá trị từ 00 đến 11…………………Nếu ab=98 thì cd có 98 giá trị từ 00 đến 97Nếu ab=99 thì cd có 99 giá trị từ 00 đến 98Số cần tìm có:  10+11+12+…….+98+99 =             (10+99) x 90 : 2 = 4905 (số) 

Bài 17: Tìm số bị xóa         Trên bảng ghi các số : 15 ; 18 ; 21 ; 24 ; 27 ; 30 ; 33 ; 36. Bạn Hà xoá đi một số thì trung bình cộng của các số còn lại trên bảng là  *4 (số có 2 chữ số). Hãy cho biết Hà  đã xoá đi số nào?                                                    Huỳnh Thị ThanhCách 1:TBC của dãy số còn lại là   15 < *4 n x (n + 1) = 780 x 2

=> n x (n + 1) = 39 x 40

=> n = 39

Vậy: Số 11703 là số hạng thứ 40 của dãy.

                                                     Nguyễn Chí Thành

Bài 23:    BạnNamviết một dãy số gồm 60 số chẵn liên tiếp mà số hạng lớn nhất là 1994. Hãy tìm xem bạnNamviết dãy số này có số hạng bé nhất là số nào?

            Bài giảiHai số chẵn liền nhau hơn kém nhau 2 đơn vị, giữa 60 số chẵn có số khoảng cách: 60 -1 = 59 (khoảng)Số đơn vị của 59 khoảng cách:   2 x 59 = 118Số hạng bé nhất là:  1994 – 118 = 1876Đáp số:  1876

Bài 33:        Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 828 và biết giữa chúng có tất cả 15 số tự nhiên khác.Hiệu chúng là:15 + 1 = 16Số bé là:(828 – 16) : 2 = 406Số lớn là:828 – 406 = 422Đáp số:  406 và 422

Bài 34:        Cho dãy số: 2 ; 6 ; 12 ; 20 ; 30 ; 42 ; ... Số 10100 có thuộc dãy số trên không? Tại sao?Ta thấy:2=1x2 ; 6=2x3 ; 12=3x4 ; 20=4x5 ; 30=5x6 ; 42=6x7 ; …..Mỗi số hạng là tích của 2 số tự nhiên liên tiêp mà 10100 = 100x101 Nên 10100 là số hạng thứ 100 của dãy số trên. 

Bài 35:        Tính trung bình cộng các số lẻ nhỏ hơn 2012Các số lẻ nhở hơn 2012 là:  1; 3; 5; …………..; 2009; 2011Đây là dãy số cách đều nên trung bình cộng của chúng chính bằng trung bình cộng của số đầu và số cuối. Vậy trung bình cộng của chúng là  (1 + 2011) : 2 = 1006 

Bài 36:        Một dãy phố có 20 nhà. Số nhà được đánh là các số lẻ liên tiếp. Biết tống của 20 số nhà đó bằng 2000. Hãy cho biết số nhà cuối cùng.?Tổng 2 số nhà đầu tiên và cuối cùng là:   2000 : (20:2) = 200Hiệu 2 số nhà đầu tiên và cuối cùng là:   (20-1) x 2 = 38Số nhà cuối cùng là:  (200 + 38) : 2 = 119Bài 37:        Một dãy phố có 50 nhà. Số nhà được đánh là các số chẵn liên tiếp. Biết tống của 50 số nhà đó bằng 4950. Hãy cho biết số nhà đầu tiên?Tổng 2 số nhà đầu tiên và cuối cùng là:   4950 : (50:2) = 198Hiệu 2 số nhà đầu tiên và cuối cùng là:   (50-1) x 2 = 98Số nhà cuối cùng là:  (198 – 98) : 2 = 50 

Bài 38:        Thầy ơi cho em hỏi: Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 7Số có 3 chữ số chia hết cho 3 gồm: 102; 105; 108; …….; 996; 999Có:   (999-102):3+1= 300 (số)Số chia hết cho 3 và chia hết cho 7 thì chia hết cho 21 gồm:  105; 126; …… 966; 987Có:   (987-105):21+1 = 43 (số)Số có 3 chữ số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 7 có:  300 – 43 = 257 (số) 

Bài 39:Tìm số tự nhiên x biết1+2+3+...+x=500500x là số hạng thứ x của dãy số tự nhiên nên:500500 = (x+1).x : 2x . (x+1) = 1001000x và x+1 là 2 số tự nhiên liên tiếpMà 1001000 = 1000 x 1001Vậy x=1000 

Bài 40:        Cho biết aaa là tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến số n nào đó . Vậy số a = ....Ta có : aaa = a.111Tổng các số tự nhiên từ 1 đến n là: 1 + 2 + ... + n = n(n + 1):2 n.(n + 1):2 = a.111  (số có 3 chữ số giống nhau)

n.(n + 1) = a.222       (n và n+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp)Thử chọn các trường hợp a = 1 , 2 , ... 9 thì nếu:

a=1 thì không  có n.(n+1)=1x222=222

a=2 thì không  có n.(n+1)=2x222=444

a=3 thì không  có n.(n+1)=3x222=666

……….

a=6 thì n.(n+1)=6x222=1332  (=36x37)

Vậy:  a=6

 (1+2+3+……+36=666)

Bài 41:        Một bạn học sinh viết liên tiếp các số số tự nhiên m