Baitap_giai_c1_OK - PDFCOFFEE.COM

1. Home
2. baitap_giai_c1_OK

baitap_giai_c1_OK

• Author / Uploaded
• sakhet

Chương 1 Không gian affine và phẳng Bài tập 1.1. Chứng minh rằng có thể xem trường số phức C là một không gian affine th

Views 590 Downloads 36 File size 325KB

Report DMCA / Copyright

DOWNLOAD FILE

Citation preview

Chương 1 Không gian affine và phẳng Bài tập 1.1. Chứng minh rằng có thể xem trường số phức C là một không gian affine thực 2 chiều. Bài tập 1.1. Ta có C với phép cộng hai số phức và phép nhân số phức với một số thực là một không gian vector thực hai chiều với cơ sở là {1, i}. Do đó C là không gian affine thực hai chiều với cấu trúc affine chính tắc. → − Bài tập 1.2. Cho không gian affine n chiều (A, A , Φ) và một tập hợp B 6= ∅ tùy ý. Chứng minh rằng nếu có song ánh f : A −→ B thì có thể xây dựng B trở thành một không gian affine n chiều (chuyển cấu trúc affine từ A sang B nhờ song ánh f ). Bài tập 1.2. Xét ánh xạ → − ψ : B × B −→ A , −−−−−−−−−−→ (M, N ) 7−→ f −1 (M )f −1 (N ). Kiểm tra ψ thoả mãn hai điều kiện trong định nghĩa không gian affine. → − → − Bài tập 1.3. Cho (A, A , Φ) và (A0 , A0 , Φ0 ) là hai không gian affine và ánh xạ − → − → Φ × Φ0 : (A × A0 ) × (A × A0 ) −→ A × A0 −−→ −−−→ ((M, M 0 ), (N, N 0 )) 7−→ (M N , M 0 N 0 ). − → − → Chứng minh rằng (A × A0 , A × A0 , Φ × Φ0 ) là một không gian affine. Bài tập 1.3. − → − → Ta chứng minh (A × A0 , A × A0 , Φ × Φ0 ) thỏa mãn hai điều kiện trong định nghĩa không gian affine. → − − → − → −−→ − − 1. ∀(M, M 0 ) ∈ A × A0 , ∀(→ v , v 0 ) ∈ A × A0 ta có ∃!N ∈ A sao cho → v = M N ; ∃!N 0 ∈ A0 sao cho → −0 −−− → → − −−→ −−−→ − v = M 0 N 0 . Nói cách khác, ∃!(N, N 0 ) ∈ A × A0 sao cho (→ v , v 0 ) = (M N , M 0 N 0 ). 1 Bài tập Hình học affine và Euclid 2. ∀(M, M 0 ), (N, N 0 ), (P, P 0 ) ∈ A × A0 , ta có: −−→ −−−→ −−→ −−−→ Φ × Φ0 ((M, M 0 ), (N, N 0 )) + Φ × Φ0 ((N, N 0 ), (P, P 0 )) = (M N , M 0 N 0 ) + (N P , N 0 P 0 ) −−→ −−→ −−−→ −−−→ = (M N + N P , M 0 N 0 + N 0 P 0 ) −−→ −−−→ = (M P , M 0 P 0 ) = Φ × Φ0 ((M, M 0 ), (P, P 0 )). − → − → Vậy (A × A0 , A × A0 , Φ × Φ0 ) là một không gian affine. → − → − − Bài tập 1.4. Cho (A, A , Φ) là một không gian affine và → α là một không gian vector con của A . −−→ − − Hai điểm M, N ∈ A gọi là → α -tương đương nếu M N ∈ → α. 1. Chứng minh rằng quan hệ trong định nghĩa trên là một quan hệ tương đương. → 2. Ký hiệu tập các lớp tương đương là A/− α và lớp tương đương chứa M là [M ]. Xét ánh xạ → − → → → → Φ− α α −→ A /− α × A/− α : A/− −−→ ([M ], [N ]) 7−→ [M N ]. → − → → → Chứng minh rằng (A/− α ) là một không gian affine. α , Φ− α , A /− Bài tập 1.4. − 1. Chứng minh quan hệ → α -tương đương có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu. (a) Tính phản xạ: −−→ → − − − Rõ ràng ∀M ∈ A ta luôn có M, M là → α -tương đương vì M M = 0 ∈ → α. (b) Tính đối xứng: −−→ − −−→ − − Giả sử M, N là → α -tương đương, tức là M N ∈ → α , ta suy ra N M ∈ → α , tức là N, M → − cũng α -tương đương. (c) Tính bắc cầu: −−→ − −−→ − − Giả sử M, N và N, P là các cặp điểm → α -tương đương, tức là M N ∈ → α và N P ∈ → α . Do −−→ −−→ −−→ → → − − → − α là một không gian con nên M N + N P = M P ∈ α , tức là M, P cũng α -tương đương. → − → → → 2. Chứng minh (A/− α , A /− α , Φ− α ) là một không gian affine. → − → − −−→ → − → − → − → → (a) ∀[M ] ∈ A/− α , ∀[ v ] ∈ A /− α ta có M ∈ A, v ∈ A , do đó ∃!N ∈ A sao cho v = M N . −−−−→ −−→ → − → Vậy ∃![N ] ∈ A/− α sao cho [ v ] = [M ][N ] = [M N ]. 2 Bài tập Hình học affine và Euclid → (b) ∀[M ], [N ], [P ] ∈ A/− α ta có: −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ [M N ] + [N P ] = [M N + N P ] = [M P ]. → − → → → Vậy theo định nghĩa (A/− α , A /− α , Φ− α ) là một không gian affine. Bài tập 1.5. Cho A là không gian affine và O là một điểm của A. Khi đó ánh xạ biến điểm M ∈ A − −−→ → thành vector OM ∈ A là một song ánh. Nhờ song ánh này có thể chuyển cấu trúc không gian → − vector từ A lên A. Hãy xây dựng các phép toán cụ thể trên A để A là một không gian vector. Bài tập 1.5. Ta có thể định nghĩa các phép toán trên A như sau để A trở thành một không gian vector −→ −−→ −→ A + B = C sao cho OA + OB = OC, −−→ −→ λ.A = B sao cho OB = λ.OA. Bạn đọc kiểm chứng rằng A là một không gian vector với các phép toán trên. Bài tập 1.6. Trong An cho α và α0 là hai siêu phẳng song song phân biệt, β là m-phẳng không chứa trong α (β 6⊂ α). Chứng minh rằng nếu β cắt α thì β cũng cắt α0 . Trong trường hợp α và α0 là các phẳng song song phân biệt tuỳ ý thì kết quả trên có còn đúng không? Tìm các kết quả đã biết ở PTTH để minh họa. Bài tập 1.6. → − → − − 1. Giả sử ngược lại, β không cắt α0 thì theo Định lí 1.3.3, β song song với α0 . Suy ra β ⊂ α0 = → α. Mà β ∩ α 6= ∅, do đó β ⊂ α (mâu thuẩn). 2. Nếu α, α0 là các phẳng tùy ý thì kết quả trên không còn đúng. Ví dụ α và α0 là hai đường thẳng song song trong E3 . Một đường thẳng β có thể cắt α nhưng không cắt α0 . Bạn đọc có thể tìm thêm các ví dụ khác. Trong chương trình PTTH ta có một số kết quả tương tự. 1. Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng song song (phân biệt). Nếu một đường thẳng thứ ba cắt một trong hai đường thẳng đó thì cũng cắt đường thẳng kia. 2. Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt α và α0 song song với nhau. Nếu một đường thẳng không chứa trong (hay một mặt phẳng không trùng với) mặt phẳng α và cắt mặt phẳng α thì cũng cắt mặt phẳng α0 . → − Bài tập 1.7. Xét không gian vector A với cấu trúc affine chính tắc. Chứng minh mỗi không gian → − vector con của A là một cái phẳng. Điều ngược lại có đúng không? Cho ví dụ. → − Bài tập 1.7. Mỗi không gian vector con là một cái phẳng đi qua 0 với không gian chỉ phương là → − − chính nó. Tuy nhiên mỗi một → a 6= 0 là một 0-phẳng nhưng không phải là không gian vector con. 3 Bài tập Hình học affine và Euclid Bài tập 1.8. Cho một điểm A và một m-phẳng α không chứa điểm đó. Chứng minh rằng có một và chỉ một (m + 1)-phẳng đi qua A và chứa α. Tìm các kết quả đã biết ở PTTH để minh họa. Bài tập 1.8. Xét phẳng tổng α + A. Áp dụng định lý về số chiều của phẳng tổng ta chứng minh được dim(α + A) = m + 1. Để chứng minh tính duy nhất, ta giả sử β cũng là một (m + 1)-phẳng đi qua A và chứa α. Khi đó ta có A + α ⊂ β. Nhưng do dim β = dim(α + A) = m + 1, nên β = α. Các kết quả đã biết ở THPT. 1. Tồn tại một và chỉ một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt. 2. Tồn tại một và chỉ một mặt phẳng đi qua 1 điểm và 1 đường thẳng không chứa điểm đó. Bài tập 1.9. Chứng minh rằng nếu các phẳng α và β song song với phẳng γ thì α ∩ β, nếu khác rỗng, là một phẳng song song với γ. Tìm các kết quả đã biết ở PTTH để minh họa. → − → − − − − − − − Bài tập 1.9. Theo giả thiết ta có → α ⊂→ γ hoặc → γ ⊂→ α; β ⊂ → γ hoặc → γ ⊂ β. Ta có các trường hợp sau đây: → − → − − − − − − 1. Nếu → α ⊂→ γ hoặc β ⊂ → γ thì → α ∩ β ⊂→ γ , do đó α ∩ β k γ. → − → − − − − − − 2. Nếu → γ ⊂→ α và → γ ⊂ β thì → γ ⊂→ α ∩ β , do đó γ k α ∩ β. Ta có kết quả quen thuộc ở THPT: “Trong E3 hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến nếu có của hai mặt phẳng đó cũng song song với đường thẳng đã cho.” Bài tập 1.10. Chứng tỏ nếu hai siêu phẳng phân biệt α và β cắt nhau, siêu phẳng γ song song với α ∩ β sao cho các giao α ∩ γ và β ∩ γ đều khác rỗng thì α ∩ γ song song với β ∩ γ. Tìm các kết quả đã biết ở PTTH để minh họa. → − − Bài tập 1.10. Từ giả thiết α ∩ β 6= ∅, suy ra dim(→ α ∩ β ) = n − 2. Nếu α ≡ γ hoặc β ≡ γ ta suy ra được điều cần chứng minh. → − − − Nếu α 6≡ γ và β 6≡ γ, ta suy ra dim(α ∩ γ) = dim(β ∩ γ) = n − 2. Chú ý rằng → α ∩ β ⊂→ γ . Từ đó → − → → − − → − → − → − suy ra β ∩ γ = α ∩ β = α ∩ γ . Ta có kết quả quen thuộc ở THPT: “Trong E3 hai mặt phẳng phân biệt α và β cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng d. Nếu mặt phẳng γ song song với đường thẳng d cắt hai mặt phẳng đã cho theo hai giao tuyến là hai đường thẳng d1 và d2 thì d1 k d2 (cùng song song với d). Bài tập 1.11. Trong An , hãy xét vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một m-phẳng. Xét cụ thể các trường hợp n = 2, 3, 4. Bài tập 1.11. Gọi d, α lần lượt là đường thẳng và m-phẳng đã cho. 4 Bài tập Hình học affine và Euclid 1. Nếu d ∩ α 6= ∅, ta chia ra 2 trường hợp như sau: (a) Nếu d ⊂ α thì d ∩ α = d, do đó dim(d ∩ α) = dim d = 1, suy ra d và α cắt nhau cấp 1 (giao tuyến chính là d). (b) Nếu d 6⊂ α thì dim(d ∩ α) < dim d = 1, do đó dim(d ∩ α) = 0, suy ra d và α cắt nhau cấp 0 (cắt nhau tại 1 điểm). −−−→ → − 2. Nếu d ∩ α = ∅ thì dim(d ∩ α) = dim(d ∩ α) ≤ dim d = 1. → − − (a) Nếu dim(d ∩ α) = 1 = dim d thì d ⊂ → α , do đó d k α. (b) Nếu dim(d ∩ α) = 0 < dim d = min{dim d, dim α} thì d và α chéo nhau cấp 0. Trường hợp n = 2. Hai đường thẳng có thể cắt nhau, song song hoặc trùng nhau. Trường hợp n = 3. 1. m = 1 ta có 4 khả năng: cắt nhau, song song, chéo nhau hoặc trùng nhau. 2. m = 2 ta có 3 khả năng: cắt nhau, song song hoặc chứa nhau. Trường hợp n = 4. 1. m = 1 ta có 4 khả năng: cắt nhau, song song, chéo nhau hoặc chứa nhau. 2. m = 2 ta có 4 khả năng: cắt nhau, song song, chéo nhau hoặc chứa nhau. 3. m = 3 ta có 3 khả năng: cắt nhau, song song hoặc chứa nhau. Bài tập 1.12. Cho α là một m-phẳng, A là một điểm không thuộc α. 1. Có bao nhiêu l-phẳng β, l ≤ m, qua A và song song với α. Hãy nhận xét về α ∩ β. 2. Có bao nhiêu l-phẳng β, l > m, qua A và song song với α. Hãy nhận xét về α ∩ β. Bài tập 1.12. 1. Nếu m > 1 thì có vô số l-phẳng β, l < m, qua A và song song với α và có duy nhất một m-phẳng β qua A song song với α. Trong tất cả các trường hợp này α ∩ β = ∅. Nếu m ≤ 1 thì chỉ có duy nhất một l-phẳng β, l ≤ m, qua A và song song với α. 2. Nếu m < n − 1 thì có vô số l-phẳng β, l > m, qua A và song song với α. Trong trường hợp này, α ∩ β = ∅ hoặc α ∩ β = α. Nếu m = n − 1 thì có duy nhất một l-phẳng β, l = n > m, qua A và song song với α, đó là toàn bộ không gian An . Bài tập 1.13. Cho α và β là hai cái phẳng có số chiều lần lượt là p và q. Chứng minh rằng α và β song song khi và chỉ khi chúng cắt nhau cấp r hoặc chéo nhau cấp r với r = min{p, q}. 5 Bài tập Hình học affine và Euclid Bài tập 1.13. Giả sử dim α = p, dim β = q. Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử p ≤ q. → − − − 1. Nếu α ∩ β 6= ∅ thì → α ∩ β =→ α . Do đó α cắt β cấp p. −−−→ → − − 2. Nếu α ∩ β = ∅, ta có dim α ∩ β = dim(→ α ∩ β ) = p. Do đó α và β chéo nhau cấp p. Ngược lại, → − → − − − 1. nếu α cắt β cấp p thì ta có dim(→ α ∩ β ) = p và do đó → α ⊂ β; → − → − − − 2. nếu α và β chéo nhau cấp p, ta cũng có dim → α ∩ β = p và do đó ta cũng có → α ⊂ β. Bài tập 1.14. Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình và n ẩn trên trường số thực R với m ≤ n.  a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = a1     a x + a x + ··· + a x = a 21 1 22 2 2n n 2 .  ······    am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = am Giả sử rank(aij ) = m, chứng minh rằng: 1. tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng là một không gian vector − con (n − m)-chiều của Rn , ký hiệu là → α; 2. tập nghiệm của hệ phương trình trên là một (n − m)-phẳng của không gian affine Rn (cấu − trúc affine chính tắc) với phương là → α. Bài tập 1.14. Xét ánh xạ tuyến tính f : Rn −→ Rm có ma trận đối với cặp cơ sở chính tắc là A. Khi đó tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng chính là không gian con ker f. Do rank A = m, nên dim(kerf ) = n − m. Gọi a = (a1 , a2 , . . . , am ) ∈ Rm . Do rankA = m nên f là một toàn cấu. Do đó tồn tại p = (p1 , p2 , . . . , pn ) ∈ Rn , f (p) = a. Khi đó dễ thấy − α = {q ∈ Rn : → pq = q − p ∈ ker f } là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính đã cho. Theo định nghĩa α là (n − m)-phẳng của Rn . Bài tập 1.15. Cho hệ gồm p + 1 điểm {M0 , M1 , . . . , Mp } trong không gian affine An . Chứng minh rằng 1. dim(M0 + M1 + . . . + Mp ) ≤ p; 2. hệ {M0 , M1 , . . . , Mp } độc lập affine khi và chỉ khi dim(M0 + M1 + . . . + Mp ) = p; 6 Bài tập Hình học affine và Euclid 3. nếu hệ {M0 , M1 , . . . , Mp } độc lập affine thì M0 + M1 + . . . + Mp = (M0 + M1 + . . . + Mk ) + (Mk+1 + Mk+2 + . . . + Mp ) và (M0 + M1 + . . . + Mk ) ∩ (Mk+1 + Mk+2 + . . . + Mp ) = ∅. Bài tập 1.15. −−−−→ −−−−→ −−−−→ 1. Dễ thấy M0 + M1 + · · · + Mp là phẳng có phương hM0 M1 , M0 M2 , . . . , M0 Mp i là không gian −−−−→ −−−−→ −−−−→ vector con sinh bởi {M0 M1 , M0 M2 , . . . , M0 Mp }. Do đó −−−−→ −−−−→ −−−−→ dimhM0 M1 , M0 M2 , . . . , M0 Mp i ≤ p. −−−−→ −−−−→ −−−−→ −−−−→ 2. dimhM0 M1 , . . . , M0 Mp i = p ⇔ {M0 M1 , . . . , M0 Mp } độc lập tuyến tính. 3. Đặt: α = M0 + M1 + . . . + Mk , β = Mk+1 + Mk+2 + . . . + Mp . Ta chứng tỏ α + β là phẳng nhỏ nhất chứa Mi , i = 0, 1, 2, . . . , p và α ∩ β = ∅. Thật vậy, gọi γ là phẳng bất kì chứa p + 1 điểm M0 , M1 , . . . , Mp . Suy ra α ⊂ γ, β ⊂ γ, do đó α + β ⊂ γ, hay α+β là phẳng nhỏ nhất chứa p+1 điểm Mi , i = 0, 1, 2, . . . , p. Vậy α+β = M0 +M1 +. . .+Mp . Giả sử α ∩ β 6= ∅. Theo định lý về số chiều của phẳng tổng ta có: dim(α + β) = p = dim α + dim β − dim(α ∩ β) = k + p − k − 1 − dim(α ∩ β), suy ra dim(α ∩ β) = −1. Điều này vô lý, vậy α ∩ β = ∅. Bài tập 1.16. Biết phương trình tham số của một m-phẳng α đối với một mục tiêu affine cho trước trong An . Hãy cho nhận xét về phương trình tham số của m-phẳng β song song với α. → − → − − − Bài tập 1.16. Theo giả thiết ta có α k β, dim → α = dim β = m do đó → α = β . Giả sử phương trình của m-phẳng α có dạng: [x] = A[t] + [b], − trong đó A là ma trận cột tọa độ của các vector cơ sở của → α , [b] là tọa độ cột của điểm P nào đó thuộc α. Do đó m-phẳng β có một phương trình tham số dạng [x] = A[t] + [b0 ], trong đó [b0 ] là tọa độ cột của điểm P 0 nào đó thuộc β. Nói cách khác m-phẳng β có một phương trình tham số khác với phương trình tham số của mphẳng α chỉ ở cột hệ số tự do [b] và [b0 ], tương ứng với tọa độ của hai điểm P và P 0 mà chúng đi qua. Bài tập 1.17. Cho phương trình tổng quát của m-phẳng α. Chứng minh rằng tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng xác định phương của α. 7 Bài tập Hình học affine và Euclid Bài tập 1.17. Xem bài tập 1.14. Bài tập 1.18. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của m-phẳng E0 +E1 +. . .+Em −−−→ và của siêu phẳng E1 + E2 + . . . + En trong đó {E0 ; E0 Ei } là một mục tiêu affine cho trước của An . Bài tập 1.18. Phương trình tham số và phương trình tổng quát của m-phẳng E0 + E1 + · · · + Em là  x1      ...    x m  xm+1      ...    xn = t1 = tm =0 ti ∈ R; và   xm+1 ...   xn =0 . =0 =0 Phương trình tham số và phương trình tổng quát của siêu phẳng E1 + E2 + · · · + En là   x1      x 2    xn−1    x n = t1 = t2 ti ∈ R; ... = tn−1 = −t1 − · · · − tn−1 + 1 và x1 + x2 + · · · + xn − 1 = 0. − Bài tập 1.19. Trong An cho mục tiêu affine {O; → ei }. Lấy điểm E ∈ An sao cho −−→ → − − OE = − e1 + → e2 + . . . + → en . Tìm công thức đổi toạ độ từ mục tiêu đã cho đến mục tiêu − − − − − − {E; → e1 + → e2 , → e2 + → e3 , . . . , → en + → e1 }. Bài tập 1.19. Công thức đổi mục tiêu là    1 0 x1 1 1  x2     0 1  ..  =   .   .. .. . . xn 0 0  ... 0 1  0    x1 1 . . . 0 0   x0  1  2   . . . 0 0   ..  +  ..  . . .  .  . . . . .. ..  x0n 1 0 ... 1 1 0 0 1 .. . 8 Bài tập Hình học affine và Euclid − − − Bài tập 1.20. Trong A3 cho các điểm có toạ độ đối với mục tiêu affine {O; → e1 , → e2 , → e3 } (mục tiêu (1)) A0 (1, 1, 1), A1 (2, 0, 0), A2 (1, 0, 0), A3 (1, 1, 0); A00 (0, 0, 0), A01 (1, 1, 0), A02 (2, 0, 1), A03 (1, 0, 1). −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ 1. Chứng minh rằng {A0 ; A0 A1 , A0 A2 , A0 A3 } và {A00 ; A00 A01 , A00 A02 , A00 A03 } là các mục tiêu affine của A3 (mục tiêu (2) và mục tiêu (3)). 2. Tìm các công thức đổi toạ độ từ mục tiêu (1) sang mục tiêu (2) và từ mục tiêu (2) sang mục tiêu (3). Bài tập 1.20. −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ 1. Ta có A0 A1 = (1, −1,n−1), A0 A2 = (0, −1,o−1), A0 A3 = (0, 0, −1). Do det(A0 A1 , A0 A2 , A0 A3 ) = −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ 1 6= 0 nên các vector A0 A1 , A0 A2 , A0 A3 độc lập tuyến tính, suy ra {A0 ; A0 A1 , A0 A2 , A0 A3 } là một mục tiêu của A3 . −−−→ −−−→ −−−→ Tương tự, ta chứng minh được {A00 ; A00 A01 , A00 A02 , A00 A03 } là một mục tiêu của A3 . 2. Công thức đổi mục tiêu từ (1) sang mục tiêu (2) Ma trận chuyển từ mục tiêu (1) sang mục tiêu (2)  1 0  A = −1 −1 −1 −1 là  0 0 . −1 Công thức đổi mục tiêu [x] = A[x0 ] + [A0 ] hay  0   x1 = x1 + 1 x2 = −x01 − x02 + 1 .   x = −x0 − x0 − x0 + 1 3 1 2 3 Tương tự công thức đổi mục tiêu từ (1) sang mục tiêu (3) là [x] = B[x”] + [A00 ], trong đó   1 2 1 B = 1 0 0 . 0 1 1 Vậy công thức đổi mục tiêu từ (2) sang mục tiêu (3) là [x0 ] = D[x”] + [C], trong đó D = A−1 B, [C] = A−1 ([A00 ] − [A0 ]). 9 Bài tập Hình học affine và Euclid Ta có   1 2 1 D = −2 −2 −1 , [C] = (−1, 2, 0). 1 −1 −1 Vậy công thức đổi mục tiêu từ (2) sang mục tiêu (3) là  0 00 00 00   x1 = x1 + 2x2 + x3 − 1 x02 = −2x001 − 2x002 − x003 + 2 .   0 x3 = x001 − x002 − x003 Chú ý: Có thể tìm ma trận chuyển trực tiếp rồi viết công thức chuyển mục tiêu. Bài tập 1.21. Trong không gian affine An với một mục tiêu affine cho trước, hãy xét giao của đường thẳng và siêu phẳng cho bởi các phương trình x 1 − b1 x 2 − b2 xn − b n = = ... = a1 a2 an và n X ci xi + d = 0. i=1 Bài tập 1.21. Dễ thấy đường thẳng đi qua điểm B(b1 , b2 , . . . , bn ) và có vector chỉ Pn phương → − a (a1 , a2 , . . . , an ). Theo Bài 1.17, phương của siêu phẳng được xác định bởi phương trình i=1 ci xi = 0. Do đó, ta có các trường hợp sau. − − = 0, tức là → a ∈→ α . Đường thẳng song với siêu phẳng. Hơn nữa Pn (i) Nếu i=1 ci bi + d = 0, tức là B ∈ α, thì thì đường thẳng chứa trong siêu phẳng (cắt cấp 1). P (ii) Nếu ni=1 ci bi + d 6= 0, tức là B 6∈ α, thì đường thẳng không chứa trong siêu phẳng (chéo cấp 1). Pn → − → − 2. i=1 ci ai 6= 0, tức là a 6∈ α . Theo Định lý 1.3.3, thì đường thẳng và siêu phẳng cắt nhau tại một điểm (cắt cấp 0). 1. Pn i=1 ci ai Bài tập 1.22. Trong A4 viết phương trình tổng quát của phẳng có số chiều bé nhất → − − 1. đi qua điểm A(1, 2, 1, 1) và có phương chứa hai vector → a (0, 1, 2, 0), b (1, 1, 0, 0); → − − −c (4, 1, 4, 1); 2. đi qua điểm M (1, 0, 1, 0) và có phương chứa ba vector → a (1, 0, 1, 0), b (2, 1, 2, 1), → → − − 3. đi qua hai điểm A(1, 1, 1, 1), B(2, 3, 1, 0) và có phương chứa các vector → a (0, 1, 1, 1), b (1, 2, 0, 0); → − − 4. đi qua hai điểm A(1, 1, 1, 1), B(2, 3, 1, 0) và có phương chứa các vector → a (3, 4, 2, 1), b (2, 2, −2, 2); − 5. đi qua ba điểm A(2, 1, 2, 1), B(1, 1, 1, 1), C(2, 0, 2, 0) và có phương chứa các vector → a (2, 3, 1, 4), → − b (0, 0, 0, 1). 10 Bài tập Hình học affine và Euclid Viết phương trình các phẳng (cùng số chiều) đi qua O(0, 0, 0, 0) và lần lượt song song với các phẳng trong các câu trên. Bài tập 1.22. → − → − → − − − − 1. Phẳng có phương là h→ a , b i. Do {→ a , b } độc lập nên phẳng có số chiều 2 và → a , b là cặp vector chỉ phương của phẳng. Phương trình của phẳng là  x1    x2 x3    x4 = +t2 +1 = t1 +t2 +2 , = 2t1 +1 = 1 t1 , t2 ∈ R hay  2x1 −2x2 +x3 x4 +1 = 0 . −1 = 0 → − − → − → − − − − − 2. Phẳng có phương là h→ a , b ,→ c i. Do {→ a , b } là một hệ sinh của h→ a , b ,→ c i nên phẳng có số → − → − chiều 2 với cặp vector chỉ phương là a , b . Phương trình của phẳng   x 1  x2 x3    x4 = t1 +2t2 +1 = t2 , = t1 +2t2 +1 = t2 t1 , t2 ∈ R hay  x1 − x3 = 0 . x2 − x4 = 0 → − −→ → − −→ − − 3. Phẳng có phương h→ a , b , ABi. Do {→ a , b , AB} độc lập tuyến tính nên phẳng có số chiều 3 → − −→ − và nhận {→ a , b , AB} làm hệ vector chỉ phương. Phẳng có phương trình tham số  x1    x2 x3    x4 = t2 t3 = t1 +2t2 +2t3 = t1 = t1 −t3 Phương trình tổng quát của phẳng: 2x1 − x2 + x3 − 2 = 0. 11 +1 +1 . +1 +1 Bài tập Hình học affine và Euclid 4. Phương trình tham số của phẳng:  x1 = 3t1    x2 = 4t1 x3 = 2t1    x4 = t1 +2t2 +t3 +2t2 +2t3 −2t2 +2t2 −t3 +1 +1 . +1 +1 Phương trình tổng quát của phẳng: 3x1 − 2x2 − x4 = 0. 5. Gọi α là phẳng bé nhất đi qua 3 điểm A(2, 1, 2, 1), B(1, 1, 1, 1), C(2, 0, 2, 0) và có phương → − −→ −→ − − chứa 2 vector → a (2, 3, 1, 4) và b (0, 0, 0, 1). Ta có BA(1, 0, 1, 0), CA(0, 1, 0, 1) ∈ → α . Do hệ → − − → − → → − n { a , b , BA, CA} độc lập tuyến tính nên dim α = 4 do đó α ≡ A . Phần còn lại dành cho bạn đọc hoàn thành. Bài tập 1.23. Trong không gian A4 viết phương trình tham số của mặt phẳng có phương trình tổng quát  x1 +x2 +2x3 +x4 −1 = 0 . −x1 +2x2 −x4 +2 = 0 Bài tập 1.23. Phương của mặt phẳng được xác định bởi tập nghiệm của hệ phương trình  x1 +x2 +2x3 +x4 = 0 . −x1 +2x2 −x4 = 0 Giải hệ trên ta được hệ nghiệm cơ bản là → − − u = (−1, 0, 0, 1), → v = (−4, −2, 3, 0). Chọn A(0, 0, − 12 , 2) thuộc mặt phẳng. Từ đó ta viết phương trình tham số của phẳng là  x1 = −t1 −4t2    x2 = −t2 , t1 , t2 ∈ R. x3 = +3t2 − 12    x4 = t1 +2 Bài tập 1.24. Trong không gian A4 cho 4 điểm A(3, 1, 1, 2), B(0, 1, 0, 0), C(3, 2, 3, 2), D(1, 0, 0, 1). 1. Tìm giao điểm của đường thẳng AB với các siêu phẳng tọa độ. 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và CD. Bài tập 1.24. 12 Bài tập Hình học affine và Euclid −→ 1. Ta có: AB = (−3, 0, −1, −2). Phương trình  x1    x2 x3    x4 Phương trình tổng quát của AB là  x 1 tham số của AB là = 3t = 1 . =t = 2t −3x3 x2 2x3  −x4 =0 =1. =0 (a) AB ∩ {x1 = 0} = {P (0, 1, 0, 0)}. (b) AB ∩ {x2 = 0} = ∅. (c) AB ∩ {x3 = 0} = {P (0, 1, 0, 0)}. (d) AB ∩ {x3 = 0} = {P (0, 1, 0, 0)}. 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và CD. −−→ −→ −−→ Ta có CD = (−2, −2, −3, −1). Dễ thấy hệ {AB, CD} độc lập tuyến tính. Phương trình tham số của đường thẳng CD:  x1 = 2t +1    x2 = 2t . x3 = 3t    x4 = t +1 Thế x1 , x2 , x3 , x4 vào phương trình tổng quát của AB ta có hệ phương trình vô nghiệm do −→ −−→ đó AB ∩ CD = ∅. Mặt khác, do hệ {AB, CD} độc lập tuyến tính nên hai đường thẳng AB và CD chéo nhau cấp 0. Bài tập 1.25. Trong A4 xét vị trí tương đối của hai cái phẳng α và β, biết phương trình của chúng lần lượt như sau: 1.  α:  β: 2. α: β: 2x1 +x2 +x3 +x4 −1 = 0 , −x1 +x2 −x4 +2 = 0 x1 −x2 −x4 +1 = 0 . −2x1 +x2 +2x3 +x4 +3 = 0 2x1 − x2 − x3 + x4 − 2 = 0,  x1 = 1    x2 = t +1 , t ∈ R. x t +1  3 =   x4 = 2t +1 13 Bài tập Hình học affine và Euclid 3.  α: β: +x2 +x3 +2x4 −6 = 0 , +x4 +1 = 0 3x1 x1   x 1  x2 x3    x4 = t +2 = −t +1 , = −t +1 = 2t −1 t ∈ R. Bài tập 1.25. 1. Xét hệ phương trình giao điểm của  2x1    −x1 x1    −2x1 hai phẳng α và β +x2 +x3 +x2 −x2 +x2 +2x3 −1 +2 +1 +3 +x4 −x4 −x4 +x4 =0 =0 , =0 =0 1 1 , − 12 , 3 ). Do đó α và β cắt nhau tại M ( 47 , 14 , − 12 , 3 ). ta có nghiệm của hệ phương trình là ( 47 , 14 7 2 7 2 2. Thay x1 , x2 , x3 , x4 từ phương trình của đường thẳng β vào siêu phẳng α ta được phương trình đúng với mọi t nên β chứa trong α. 3. Giải tương tự như câu 2. Bài tập 1.26. Cho hệ điểm {Pi : i ∈ I}, với I 6= ∅, trong không gian affine An . Gọi α là bao affine của hệ điểm đó. 1. Chứng minh rằng α chính là tập các tâm tỉ cự của các hệ con hữu hạn không rỗng của hệ điểm đã cho. 2. Giả sử I là tập hợp hữu hạn. Chứng minh rằng hệ điểm {Pi : i ∈ I} là độc lập affine khi và chỉ khi với mọi M ∈ α, tồn tại duy nhất (sai khác một hằng số khác không) một họ hệ số {λi : i ∈ I} để M là tâm tỉ cự của hệ điểm {Pi : i ∈ I} gắn với họ hệ số đó. Họ hệ số {λi : i ∈ I} như thế gọi là tọa độ tỉ cự của M đối với hệ điểm {Pi : i ∈ I}. Bài tập 1.26. 1. Từ hệ điểm {Pi : i ∈ I} ta luôn tìm được m + 1 điểm độc lập affine, m ≤ n, sao cho −−→ dim W = dimh{P0 Pi : i ∈ I}i = m. Ta có α = P0 + P1 + . . . + Pm là cái phẳng đi qua điểm P có phương W. Ta có −−→ G ∈ α ⇐⇒ P0 G ∈ W m m −−→ X −−→ X −−→ −−−→ ⇐⇒ P0 G = λi P0 Pi = λi (GPi − GP0 ) i=1 ⇐⇒ (1 − m X −−→ λi )GP0 + i=1 i=1 m X i=1 14 −−→ → − λi GPi = 0 . Bài tập Hình học affine và Euclid Tức là G là tâm tỉ cự của hệ điểm {P0 , P1 , . . . , Pm } gắn với họ hệ số (1− Pm i=1 λi , λ1 , . . . , λm ). Ngược lại, giả sử G là tâm tỉ cự của hệ điểm {Pi0 , Pi2 , . . . , Pir } gắn với họ hệ số (λ0 , . . . , λr ), Pr Pr −−→ → −−→ − k=0 λk 6= 0, tức là k=0 λk GPik = 0 . Do các vector GPik , ik 6∈ {0, 1, 2, . . . , m}, được biểu −−→ −−→ −−→ thị tuyến tính qua các GP0 , GP1 , . . . , GPm nên r X m −−→ X −−→ → − λk GPik = µi GPi = 0 . i=0 k=0 Từ đây suy ra được G ∈ α. 2. Theo câu 1., chúng ta chỉ cần chứng minh tính duy nhất. Tính duy nhất được suy ra từ tính độc lập của hệ điểm {Pi : i = 0, 1, 2, . . . , m} (dành cho bạn đọc). Bài tập 1.27 (Định lý Thales). Trong An cho ba m-phẳng song song phân biệt. Hai đường thẳng d và d0 cắt ba m-phẳng đó lần lượt tại bộ ba điểm A, B, C và A0 , B 0 , C 0 . Chứng minh rằng (ABC) = (A0 B 0 C 0 ). Bài tập 1.27. Giả sử α, β, γ là ba m-phẳng phân biệt song song với nhau và α, β, γ cắt d theo thứ tự tại các điểm A, B, C và cắt d0 theo thứ tự tại các điểm A0 , B 0 , C 0 d’ d A A’  M B B’  N  C C’ −−→ −→ −→ −−→ 1. Nếu d k d0 thì ta chứng minh CA = C 0 A0 . Thật vậy, lấy điểm D sao cho C 0 D = CA. Khi đó, −−→ −→ −−→ −−→ do d k d0 nên D ∈ d0 . Mặt khác, C 0 D = CA nên AD = CC 0 . Suy ra D ∈ α. Do đó A0 ≡ D, −→ −−→ hay CA = CA0 . −−→ −−→ Tương tự ta chứng minh được CB = C 0 B 0 . Do đó (ABC) = (A0 B 0 C 0 ). 2. Nếu d ∦ d0 thì gọi l là đường thẳng qua A và song song với d0 , l cắt α, β, γ theo thứ tự tại A, M, N. Theo chứng minh câu 1. ta có (A0 B 0 C 0 ) = (AM N ). Do vậy ta chỉ cần chứng −−→ −−→ −−→ −−→ minh (AM N ) = (ABC). Thật vậy, do BM và CN cùng phương nên BM = xCN và 15 Bài tập Hình học affine và Euclid −→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −→ AB = y AC, AM = z AN . Ta có BM = AM − AB, hay xCN = z AN − y AC, suy ra −−→ −→ −−→ −→ → −−→ −→ → − − xAN − xAC − z AN + y AC = 0 . Do đó (x − z)AN + (y − x)AC = 0 , suy ra x = y = z. Vậy (AM N ) = (ABC) và ta suy ra điều cần chứng minh. Bài tập 1.28. Trong An cho ba siêu phẳng cùng đi qua một (n − 2)-phẳng γ. Hai đường thẳng song song d và d0 cắt ba siêu phẳng đó lần lượt tại bộ ba điểm A, B, C và A0 , B 0 , C 0 (các điểm A, B, C, A0 , B 0 , C 0 6∈ γ). Chứng minh (ABC) = (A0 B 0 C 0 ). Bài tập 1.28. Gọi α = d1 + d2 . Do các điểm A, B, C và A0 , B 0 , C 0 phân biệt nên các đường thẳng d1 , d2 không cắt (n − 2)-phẳng giao của hai siêu phẳng đã cho. Mặt phẳng α cắt các siêu phẳng P, Q, R lần lượt theo các đường thẳng AA0 , BB 0 , CC 0 . Ta có hai trường hợp sau: 1. Nếu hai trong ba đường thẳng AA0 , BB 0 , CC 0 cắt nhau, chẳng hạn AA0 cắt BB 0 tại M thì tất nhiên M thuộc (n − 2)-phẳng giao. Do đó M thuộc siêu phẳng R. Mặt khác, M ∈ α nên M ∈ α ∩ R. Vậy M ∈ CC 0 , hay 3 đường thẳng AA0 , BB 0 , CC 0 đồng qui tại M. Theo Định lý Thales ta có (A0 AM ) = (C 0 CM ) = (B 0 BM ) = k. Ta có −−→ −−→ M A = k M A0 , −−→ −−→ M B = kM B 0, −−−→ −−→ M C = kM C 0. −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ Giả sử (A0 B 0 C 0 ) = t, tức là C 0 A0 = tC 0 B 0 . Khi đó CA = M A − M C = k M A0 − k M C 0 = −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ k(M A0 − M C 0 ) = k C 0 A0 = ktC 0 B 0 = tCB. Vậy (ABC) = t = (A0 B 0 C 0 ). 2. Trường hợp còn lại là ba đường thẳng AA0 , BB 0 , CC 0 song song nhau. Khi đó theo Định lý Thales ta có ngay điều cần chứng minh. Bài tập 1.29 (Định lý Menela¨ us, Định lý Ceva ). Trong không gian affine A2 cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và ba điểm P, Q, R theo thứ tự thuộc các đường thẳng BC, CA, AB không trùng với các điểm A, B, C. Chứng minh rằng: 1. Điều kiện cần và đủ để ba điểm P, Q, R thẳng hàng là (BCP ).(CAQ).(ABR) = 1. 2. Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng AP, BQ, CR đồng qui hay song song là (BCP ).(CAQ).(ABR) = −1. Bài tập 1.29. 1. Giả sử P, Q, R thẳng hàng. Từ A dựng đường thẳng d song song với đường thẳng P Q. Gọi D là giao điểm của d với BC. Khi đó, ta có (CAQ) = (DP C), (ABR) = (DBP ). Suy ra (CAQ)(ABR) = (CDP )(DBP ) = (CBP ) = 16 1 . (BCP ) Bài tập Hình học affine và Euclid Tức là, (CAQ)(ABR)(BCP ) = 1. Ngược lại, giả sử có (CAQ)(ABR)(BCP ) = 1. Gọi R1 là giao điểm của P Q và AB. Từ giả thiết ta có (ABR) = (ABR1 ), tức là R ≡ R1 . 2. Giả sử AP, BQ, CR đồng qui tại O. Theo định lý Menela¨ us ta có (ABR)(BP C)(P AO) = 1, (AP O)(P CB)(CAQ) = 1. Suy ra (ABR)(BP C)(P AO)(AP O)(P CB)(CAQ) = 1. Mặt khác, (P AO)(AP O) = 1, (BP C) = 1 − (BCP ) và (P CB) = 1 1 (BCP ) = =− . 1 (CP B) 1 − (BCP ) 1 − (BCP ) Từ đó suy ra (BCP )(CAQ)(ABR) = −1. Trường hợp AP, BQ, CR song song ta cũng chứng minh được (BCP )(CAQ)(ABR) = −1. Phần đảo lại xin dành cho bạn đọc tự chứng minh. R A A R Q Q B B P P C C Bài tập 1.30. Chứng minh rằng đơn hình chính là bao lồi của tập các đỉnh và chứa trong bao affine của tập các đỉnh. Bài tập 1.30. m m P −−→ P −−→ a) Gọi S = {M ∈ An : OM = ti OAi , ti ≥ 0, ti = 1} là đơn hình m-chiều qua m + 1 điểm i=0 i=0 độc lập A0 , . . . , Am . Ta chứng minh S là một tập lồi. Thật vậy, lấy P, Q ∈ S, ta có m m X −→ X −−→ OP = ti OAi , ti ≥ 0, ti = 1, i=0 i=0 17 Bài tập Hình học affine và Euclid m m X −→ X −−→ OQ = xi OAi , xi ≥ 0, xi = 1. i=0 i=0 Với mọi M thuộc đoạn P Q, ta có −−→ −→ −→ OM = (1 − t)OP + tOQ, 0 ≤ t ≤ 1. Khi đó n n i=0 i=0 −−→ X −−→ X −−→ OM = ((1 − t)ti + txi )OAi = yi OAi , trong đó yi = (1 − t)ti + txi ≥ 0, n P yi = 1. Vậy M ∈ S. i=0 Tương tự, ta chứng minh được m-hộp cũng là một tập lồi. b) Ta có S là một tập lồi chứa các điểm Ai , ta chứng minh S là tập lồi bé nhất. Thật vậy, giả sử L là một tập lồi chứa các điểm Ai . Ta sẽ chứng minh S ⊂ L. (1.1) Ta chứng minh qui nạp theo m. Với m = 1 ta có (1.1) đúng. Giả sử khẳng định (1.1) đúng với m = k ≥ 2, ta chứng minh khẳng định (1.1) cũng đúng với m m m P P −−→ P −−→ m = k + 1. Với điểm M ∈ S, OM = ti OAi , ti ≥ 0, ti = 1. Do ti = 1, ti ≥ 0 nên ti < 1, i=0 i=0 i=0 chẳng hạn, tm < 1. Theo giả thiết qui nạp điểm M1 được xác định bởi m−1 −−−→ X OM1 = i=0 m−1 X ti ti −−→ OAi , ti ≥ 0, =1 1 − tm 1 − t m i=0 thuộc L. −−→ −−−→ −−−→ Mặt khác, ta có OM = tm OAm + (1 − tm )OM1 nên M ∈ L. Vậy ta có khẳng định (∗) đúng với mọi m. Do bao affine của tập các đỉnh cũng là tập lồi nên bao lồi chứa trong bao affine. Bài tập 1.31. Cho m-đơn hình với các đỉnh {P0 , P1 , . . . , Pm }. 1. Chứng minh rằng bao affine của hai mặt đối diện là chéo nhau. 2. Xét các đường thẳng nối một đỉnh với trọng tâm (m − 1)-mặt bên đối diện. Chứng minh rằng các đường thẳng này đồng qui tại một điểm G. Xét các trường hợp đặc biệt m = 2, 3. 3. Gọi G0 và G00 là trọng tâm của một cặp mặt bên đối diện, hãy tính (G0 G00 G). Xét các trường hợp đặc biệt m = 2, 3. 18 Bài tập Hình học affine và Euclid Bài tập 1.31. 1. Gọi {P0 , . . . , Pm } là m + 1 đỉnh của m-đơn hình C, C1 là k−mặt bên lập bởi k + 1 đỉnh {Pi0 , . . . , Pik } và C2 là (m−k−1)-mặt bên đối diện lập bởi m−k đỉnh còn lại {Pik+1 , . . . , Pim }. Chú ý rằng {P0 , . . . , Pm } = {Pi0 , . . . , Pik , Pik+1 , . . . , Pim }. Gọi α và β lần lượt là bao affine của C1 và C2 . Ta có α = Pi0 + . . . + Pik ; β = Pik+1 + . . . + Pim . Do hệ điểm {P0 , P1 , P2 , . . . , Pm } độc lập affine nên α ∩ β = ∅. 2. Gọi Gi là trọng tâm của (m−1)-đơn hình và là mặt bên đối diện của đỉnh Pi , i = 0, 1, 2, . . . , m. Ta có X −−→ −−→ −−→ 1 X −−→ OGi = OPj ⇐⇒ OPj = mOGi . m j6=i j6=i G là trọng tâm của m-đơn hình nên ta có −→ OG = Do đó hay m m X −−→ −→ 1 X −−→ OPi ⇐⇒ OPi = (m + 1)OG. m + 1 i=0 i=0 −−→ −−→ −→ mOGi + OPi = (m + 1)OG, −−→ −−→ mGGi = Pi G. Suy ra G, Gi , Pi thẳng hàng ∀i = 0, 1, 2, . . . , m. Nói cách khác đường thẳng nối một đỉnh với trọng tâm của (m − 1)-mặt bên đối diện đồng quy tại điểm G là trọng tâm của đơn hình. Ta có kết quả quen thuộc:“ Trong một tam giác ba đường trung tuyến đồng qui.” Bạn đọc phát biểu kết quả cho trường hợp tứ diện. 3. Ta có: 1 X −−→ OPi ; k + 1 i=0 −−→00 OG = m X −−→ 1 OPi ; m − k i=k+1 −→ OG = Từ đó ta suy ra k −−→0 OG = m 1 X −−→ OPi . m + 1 i=0 −−→0 −−→ GG = (k − m)GG00 ⇐⇒ (G0 G00 G) = k − m. Bài tập 1.32. 1. Chứng minh rằng bao lồi của một hệ hữu hạn điểm {P1 , . . . , Pm } trong không gian affine thực An là tập các tâm tỉ cự của hệ điểm đó gắn với họ hệ số {λ1 , . . . , λm } cùng dấu. 19 Bài tập Hình học affine và Euclid 2. Chứng minh rằng bao lồi của một tập S trong không gian affine thực An là tập các tâm tỉ cự của của các hệ hữu hạn điểm {P1 , . . . , Pm } ⊂ S gắn với họ hệ số {λ1 , . . . , λm } cùng dấu. Bài tập 1.32. 1. Đặt: m m −→ X −−→ X α(P0 , P1 , . . . , Pm ) = {G ∈ An : OG = λi OPi , λi = 1, λi ≥ 0}. i=0 i=0 Ta chứng minh α(P0 , P1 , . . . , Pm ) là tập lồi bé nhất chứa Pi . (a) α(P0 , P1 , . . . , Pm ) là tập lồi. Thật vậy, với mọi P, Q ∈ α(P0 , P1 , . . . , Pm ), ta có m m −→ X −−→ X OP = λi OPi , λi = 1, λi ≥ 0; i=0 i=0 m m −→ X −−→ X µi = 1, µi ≥ 0. OQ = µi OPi , i=0 i=0 −−→ −→ −→ M ∈ [P Q] ⇔ OM = (1 − t)OP + tOQ m m X X −−→ −−→ = (1 − t) λi OPi + t µi OPi i=0 m X " = (1 − t) i=0 λi + t i=0 Pm Dễ thấy (1−t) là một tập lồi. i=0 λi +t Pm i=0 m X # −−→ µi OPi , , 0 ≤ t ≤ 1. i=0 µi = 1. Do đó M ∈ α(P0 , P1 , . . . , Pm ). Vậy α(P0 , P1 , . . . , Pm ) (b) α(P0 , P1 , . . . , Pm ) là tập lồi bé nhất chứa hệ điểm {Pi }. Gọi C là tập lồi bất kì chứa Pi , i = 0, 1, 2, . . . , m. Ta chứng minh α(P0 , P1 , . . . , Pm ) ⊂ C bằng quy nạp theo số điểm Pi . Rõ ràng α(P0 , P1 ) ⊂ C, giả sử α(P0 , . . . , Pk ) ⊂ C ta chứng minh α(P0 , . . . , Pk+1 ) ⊂ C. Thật vậy, k+1 k i=0 i=0 −−→ X −−→ X −−→ −−−−→ M ∈ α(P0 , . . . , Pk+1 ) ⇔ OM = λi OPi = λi OPi + λk+1 OPk+1 , với k X λi + λk+1 = 1, i=0 k X λi ≥ 0, λk+1 ≥ 0. i=0 P – Nếu ki=0 λi = 0 thì λk+1 = 1, lúc đó M ≡ Pk+1 ∈ C. P – Nếu λ = ki=0 λi 6= 0 thì ta có thể viết lại như sau: ! k X −−−−→ −−→ λi −−→ OPi + λk+1 OPk+1 . OM = λ λ i=0 20 Bài tập Hình học affine và Euclid Do k X λi i=0 λ = 1, λi ≥ 0, λ −−→ P −−→ nên tồn tại điểm N sao cho ON = ki=0 λλi OPi . Điều này chứng tỏ N ∈ α(P0 , . . . , Pk ) ⊂ C. P −−→ −−→ −−−−→ Ta có OM = λON + λk+1 OPk+1 , trong đó λ + λk+1 = k+1 i=0 λi = 1, λ, λk+1 ≥ 0, nên suy ra M ∈ [N Pk+1 ] ⊂ C. Vậy α ⊂ C hay α là tập lồi bé nhất chứa Pi . 2. Gọi α là tập các tâm tỉ cự của các hệ hữu hạn điểm {P1 , . . . , Pm } ⊂ S gắn với họ hệ số {λ1 , . . . , λm } cùng dấu. Tương tự như trên ta chứng minh được α là tập lồi chứa S. Hơn nữa, nếu β cũng là tập lồi chứa S thì cũng chứa các hệ hữu hạn điểm {P1 , . . . , Pm } ⊂ S. Theo kết quả của chứng minh trên tập các tâm tỉ cự của hệ điểm {P1 , . . . , Pm } ⊂ S gắn với họ hệ số {λ1 , . . . , λm } cùng dấu là bao lồi của hệ hữu hạn điểm {P1 , . . . , Pm } ⊂ S, nói cách khác α ⊂ β. Vậy α là bao lồi của tập S. BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I. Bài tập 1.33. Chứng minh rằng định nghĩa sau tương đương với định nghĩa đã biết của không gian affine. → − Cho A là một không gian vector trên trường K và A là một tập hợp khác rỗng. Giả sử có ánh xạ → − + : A × A −→ A (p, v) 7−→ p + v, thoả mãn các điều kiện sau: 1. p + 0 = p, ∀p ∈ A; → − 2. (p + v) + u = p + (v + u), ∀p ∈ A, v, u ∈ A ; → − 3. với p ∈ A và q ∈ A, tồn tại duy nhất v ∈ A sao cho q = p + v. → − Khi đó ta nói rằng A là một không gian affine trên trường K liên kết với không gian vector A . Bài tập 1.33. Bạn đọc tự chứng minh. Bài tập 1.34. Trong không gian affine An , chứng minh rằng hệ m + 1 điểm {A0 , A1 , . . . , Am } độc lập affine khi và chỉ khi với mọi điểm O, từ hai đẳng thức m X −−→ → − λi OAi = 0 và i=0 m X i=0 ta suy ra λ0 = λ1 = · · · = λm = 0. 21 λi = 0 (λi ∈ K) Bài tập Hình học affine và Euclid Bài tập 1.34. Giả sử m P m P −−→ → − λi OAi = 0 và λi = 0. Ta có i=0 i=0 m X m m X −−−→ −−→ X −−→ → − λi A0 Ai = ( λi )A0 O + λi OAi = 0 . i=1 i=0 i=0 Do hệ điểm {A0 , A1 , . . . , Am } độc lập affine, ta suy ra λi = i = 0, 1, 2, . . . , m. Do m P λi = 0 ta suy i=0 ra λ0 cũng bằng 0. Ngược lại giả sử m P m P −−−→ → − µi A0 Ai = 0 , ta chọn O = A0 và λ0 = − µj , λi = µi , i = 1, 2, . . . , m. Ta có i=1 j=1 m P −−−→ → − λi A0 Ai = 0 và λi = 0, nên λ0 = λ1 = · · · , λm = 0. Do đó µi = 0, i = 1, 2, . . . , m. Vậy hệ m P i=0 i=0 {A0 , A1 , . . . , Am } độc lập affine. Bài tập 1.35. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để m + 1 điểm A0 , A1 , . . . , Am trong không gian affine n chiều (n ≥ m) cùng thuộc một (m − 1)-phẳng là với điểm O tùy ý ta luôn có m X −−→ λi OAi = 0 i=0 với Pm i=0 λi = 0 và Pm i=0 λ2i 6= 0. Bài tập 1.35. Hệ m + 1 điểm A0 , A1 , . . . , Am cùng thuộc (m − 1)-phẳng α khi và chỉ khi hệ m −−−→ vector {A0 Ai } phụ thuộc tuyến tính. Điều này tương đương với tồn tại các số µi , i = 1, 2, . . . , m không đồng thời bằng không sao cho m X −−−→ → − µi A0 Ai = 0 . i=1 Nhưng Pm −−−→ −−→ Pm −−→ µ A A = − µ OA0 + i=1 µi OAi . Đặt: i 0 i i i=1 i=1 Pm λ0 = − m X µi ; λi = µi , i = 1, 2, . . . , m i=1 ta có điều cần phải chứng minh. Bài tập 1.36. Cho α là p-phẳng, β là q-phẳng trong không gian affine n chiều An . 1. Chứng minh rằng nếu α và β cắt nhau cấp r thì 0 ≤ r ≤ min(p, q) và p + q − r ≤ n. Ngược lại nếu cho các số nguyên không âm r, p, q không lớn hơn n thỏa điều kiện trên thì có thể tìm được các p-phẳng α và q-phẳng β để α và β cắt nhau cấp r không? 22 Bài tập Hình học affine và Euclid 2. Xét vấn đề tương tự đối với trường hợp chéo nhau cấp r. Điều kiện ở đây là 0 ≤ r ≤ min(p, q) và p + q − r + 1 ≤ n. Bài tập 1.36. 1. Điều kiện 0 ≤ min(p, q) và p + q − r ≤ n được suy ra từ định lí về số chiều của phẳng giao. Ngược lại, giả sử có các số nguyên không âm r, p, q thỏa mãn bất đẳng thức đã → − cho thì ta lấy v1 , v2 , . . . , vp+q−r vector độc lập tuyến tính trong A và điểm M ∈ A. Gọi α là p-phẳng qua M và có phương là hv1 , v2 , . . . , vr , vr+1 , . . . , vp i và β là q-phẳng qua M và có phương là hv1 , v2 , . . . , vr , vp+1 , . . . , vp+q−r i . Khi đó, α và β là các phẳng thỏa mãn yêu cầu của đề bài. 2. Chứng minh tương tự xin dành cho bạn đọc. Bài tập 1.37. Cho α và β là hai cái phẳng chéo nhau cấp 0. Xét hai hệ điểm độc lập A = {A0 , A1 , . . . , Am } ⊂ α và B = {B0 , B1 , . . . , Bl } ⊂ β. Chứng minh rằng A ∪ B độc lập. Bài tập 1.37. Cách 1. Kết luận của bài toán tương đương với khẳng định hệ vector n−−−→ −−−→ −−−→ −−−→o A0 A1 , · · · , A0 Am , A0 B0 , · · · , A0 Bl là độc lập tuyến tính. Giả sử −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ → − λ1 A0 A1 + · · · + λm A0 Am + µ0 A0 B0 + · · · + µl A0 Bl = 0 . Ta biến đổi biểu thức trên về dạng −−−→ −−−→ → −−−→ −−−→ −−−→ − λ1 A0 A1 + · · · + λm A0 Am + µ1 B0 B1 + · · · + µl B0 Bl + λA0 B0 = 0 , trong đó λ = µ0 + · · · + µl . → − −−−→ − Nếu λ 6= 0 thì A0 B0 biểu diễn được qua các vector thuộc → α ⊕ β . Điều này không thể xảy ra do α và β chéo nhau. Vậy λ = 0, từ đó suy ra n→ → − −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −o − α ∩ β = 0 . λ1 A0 A1 + · · · + λm A0 Am = −(µ1 B0 B1 + · · · + µl B0 Bl ) ∈ → Do α và β chéo nhau và các hệ điểm {A0 , A1 , · · · , Am } và {B0 , · · · , Bl } là độc lập nên ta có λ1 = · · · = λm = µ1 = · · · = µl = 0, kết hợp với λ = 0 ta suy ra µ0 = 0. Vậy ta có điều cần chứng minh. Cách 2. Theo kết quả bài tập 1.15 ta có hệ điểm {A0 , A1 , . . . , Am , B0 , B1 , . . . , Bl } độc lập affine khi và chỉ khi dim(A0 + A1 + . . . + Am + B0 + B1 + . . . + Bl ) = m + l + 1. Đặt: α0 = A0 + A1 + · · · + Am ; β0 = B0 + B1 + · · · + Bl ; γ = A0 + A1 + · · · + Am + B0 + B1 + · · · + Bl . → − → − − Dễ dàng suy ra γ = α0 + β0 . Theo giả thiết ta có α ∩ β = ∅, → α ∩ β = { 0 }, nên α0 ∩ β0 = − → − →∩→ ∅, − α β0 = { 0 }. Do đó 0 − →∩→ dim γ = dim(α0 + β0 ) = dim α0 + dim β0 − dim(− α β0 ) + 1 = m + l + 1. 0 Vậy hệ {A0 , A1 , . . . , Am , B0 , B1 , . . . , Bl } = A ∪ B độc lập affine. 23 Bài tập Hình học affine và Euclid Bài tập 1.38. Cho A = {A0 , A1 , . . . , Am } và B = {B0 , B1 , . . . , Bl } là hai hệ điểm độc lập. Giả sử A ∪ B độc lập. Chứng minh rằng tồn tại hai cái phẳng chéo nhau α và β sao cho A ⊂ α; B ⊂ β. Hãy cho các ví dụ cụ thể về các trường hợp α và β chéo nhau cấp 0, 1, 2, . . . . Bài tập 1.38. Đặt α = A0 + A1 · · · + Am và β = B0 + B1 + · · · + Bl . Khi đó α và β là các phẳng chéo nhau cấp 0 lần lượt chứa A và B cần tìm. Ví dụ. Cho bốn điểm độc lập ABCD trong A3 . Đặt A = {A, B} và B = {C, D}. 1. Gọi α là đường thẳng AB, còn β là đường thẳng CD thì α và β là ví dụ cho trường hợp chéo nhau cấp 0. −→ 2. Gọi α là đường thẳng AB, còn β là mặt phẳng đi qua điểm C với cặp vector chỉ phương AB −−→ và CD thì α và β là ví dụ cho trường hợp chéo nhau cấp 1. −→ −−→ 3. Gọi α là mặt phẳng đi qua A với cặp vector chỉ phương AB và CD; còn β là mặt phẳng đi −→ −−→ qua điểm C với cặp vector chỉ phương AB và CD thì α và β là ví dụ cho trường hợp chéo nhau cấp 2. Bài tập 1.39. Cho hai cái phẳng α và β chéo nhau, có số chiều lần lượt là p và q. Hãy tìm các điều kiện để số chiều của α + β lớn nhất, số chiều của α + β bé nhất. Trong mỗi trường hợp, xác định số chiều của α + β và cho các ví dụ cụ thể để minh họa. Bài tập 1.39. Từ định lý về số chiều của phẳng tổng, ta suy ra → − → − − − dim(α + β) = dim α + dim β + 1 − dim(→ α ∩ β ) = p + q + 1 − dim(→ α ∩ β ). → − − Do đó dim(α + β) nhỏ nhất (lớn nhất) khi và chỉ khi dim(→ α ∩ β ) lớn nhất (nhỏ nhất). Mặt khác n→ → − → − → − → − −o → − → − → − → − ta có dim( α ∩ β ) lớn nhất (nhỏ nhất) khi α ⊂ β hoặc β ⊂ α ( α ∩ β = 0 ). Vậy α+β có số chiều nhỏ nhất khi và chỉ khi α song song với β, và dim(α+β) = p+q +1−min(p, q) và α + β có số chiều lớn nhất khi và chỉ khi α và β chéo nhau cấp 0 và dim(α + β) = p + q + 1. Bài tập 1.40. Dùng định nghĩa ở bài tập 1.33, hãy trình bày lại các khái niệm và các định lý, mệnh đề, bổ đề... trong chương này. Bài tập 1.40. Dành cho bạn đọc. Bài tập 1.41. Hãy đưa ra các định nghĩa song song, chéo nhau giữa các phẳng sao cho phù hợp với cách hiểu ở PTTH. Phát biểu lại các bài tập liên quan đến tính chéo nhau và song song cho thích hợp với định nghĩa mới này. Bài tập 1.41. Dành cho bạn đọc. 24 Bài tập Hình học affine và Euclid Bài tập 1.42. Cho hệ điểm độc lập {M0 , M1 , . . . , Mp } trong không gian affine An . Giả sử Mi có − tọa độ (a1i , a2i , . . . , ani ) đối với mục tiêu {O; → ei } cho trước. Hãy viết phương trình tham số của m-phẳng M0 + M1 + . . . + Mp . D−−−−→ −−−−→E − Bài tập 1.42. Gọi → α = M0 M1 , . . . , M0 Mp , khi đó M0 + · · · + Mp là m-phẳng qua M0 và nhận → − α làm phương. Vậy phương trình tham số của M0 + · · · + Mp là  x1 = (a11 − a10 )t1 + · · · + (a1p − a10 )tp + a10     x = (a − a )t + · · · + (a − a )t + a 2 21 20 1 2p 20 p 20 , ti ∈ R.  ······    xn = (an1 − an0 )t1 + · · · + (anp − an0 )tp + an0 Bài tập 1.43. Trong không gian affine An với một mục tiêu affine cho trước, cho hai siêu phẳng phân biệt α và α0 có phương trình tổng quát theo thứ tự là n X ai xi + b = 0 và n X i=1 a0i xi + b0 = 0. i=1 − − 1. Chứng minh rằng α và α0 song song khi và chỉ khi hai vector → a (ai ) và → a 0 (a0i ) phụ thuộc tuyến tính. 2. Giả sử α ∩ α0 6= ∅. Khi đó dim α ∩ α0 = n − 2. Chứng minh rằng mọi siêu phẳng chứa α ∩ α0 đều có phương trình dạng λ( n X 0 ai xi + b) + λ ( i=1 n X a0i xi + b0 ) = 0, i=1 trong đó λ và λ0 không đồng thời triệt tiêu (phương trình của chùm siêu phẳng xác định bởi α và α0 ). Bài tập 1.43. → − − 1. P Giả sử rằng α vàP α0 song song, ta có → α = α0 . Khi đó hai phương trình sau tương đương n n 0 0 0 0 i=1 ai xi = 0 và i=1 ai xi = 0. Do đó (a1 , a2 , . . . , an ) và (a1 , a2 , . . . , an ) tỉ lệ hay hai vector → − → − a (a1 , a2 , . . . , an ) và a0 (a01 , a02 , . . . , a0n ) phụ thuộc tuyến tính. 2. Giả sử α cắt α0 theo một (n − 2)-phẳng và phương trình của siêu phẳng β đi qua α ∩ α0 có dạng n X bi xi + d = 0. i=1 25 Bài tập Hình học affine và Euclid → − → − → − − − Do → α ∩ α0 = → α ∩ α0 ∩ β , nên hai hệ phương trình sau tương đương  n X   ai x i = 0   n   X   i=1     ai x i = 0   n X  i=1 a0i xi = 0 và . n X     i=1     a0i xi = 0   n  X  i=1   bi x i = 0  i=1 → − → → − − → − − − Do đó, các vector → a , a0 , b (b1 , b2 , . . . , bn ) phụ thuộc tuyến tính. Hơn nữa, b = λ→ a + λ 0 a0 với λ và λ0 không đồng thời bằng 0. 0 Bây giờ, ta cần chứng minh P d = λb + λb0 . P Thật vậy, lấy điểm PnM (x1 , . . . , xn ) ∈ α ∩ α , ta có n n 0 0 0 M ∈ γ. Suy ra λb + λb = − i=1 λai xi − i=1 λ ai xi = − i=1 bi xi = d. Bài tập 1.44. Trong An cho m-phẳng α, 0 ≤ m ≤ n − 2, và hai điểm phân biệt M, N không thuộc α. Chứng minh rằng, tồn tại (m + 1)-phẳng chứa m-phẳng α và không chứa hai điểm M, N. Từ đó suy ra, tồn tại một siêu phẳng chứa α và không chứa hai điểm M, N. Bài tập 1.44. Xét (m + 1)-phẳng α + M. Ta có hai trường hợp xảy ra, 1. N ∈ α + M. Chọn điểm I 6∈ α + M. Ta có α + I là một (m + 1)-phẳng khác với α + M. Nếu phẳng α + I chứa M hoặc N thì α + I ≡ α + M hay I ∈ α + M. Mâu thuẩn này chứng tỏ α + I là phẳng cần tìm. 2. N 6∈ α + M. Lấy điểm I ∈ M N, I 6∈ α + M, I 6= N. Phẳng α + I là phẳng cần tìm. Thật vậy, α + I không chứa M và N vì nếu không α + I ≡ α + M và do đó I ∈ α + M. Tiếp tục, ta tìm được siêu phẳng chứa α và không chứa M và N. Bài tập 1.45. Trong không gian A4 với mục tiêu đã chọn. 1. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của cái phẳng α có số chiều bé nhất chứa hai đường thẳng d1 , d2 sau đây   x1 = t + 1   =0     x1 x2 = t + 2 x2 −x3 +1 = 0 . d1 : ; d2 :   x3 = t + 3    x4 − 3 = 0  x4 = t + 4 2. Viết phương trình của siêu phẳng đi qua M (1, 1, 1, 1) và chứa α. 3. Cho hai điểm A(1, 3, −1, 2) và B(−1, −2, 1, 3). Hãy tìm giao điểm của đường thẳng AB với các siêu phẳng tọa độ. 26 Bài tập Hình học affine và Euclid 4. Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng sau ( ( 3x1 − 5x2 − 2x3 + 2x4 − 7 = 0 4x1 − 9x2 − 3x3 + 7x4 + 14 = 0 P : ; Q: . −4x1 + 7x2 + 4x3 + 4x4 + 10 = 0 2x1 − 6x2 − 3x3 + 2x4 + 10 = 0 Bài tập 1.45. 1. Viết phương trình của d2 dưới dạng tham số  x1    x 2 d2 :  x3    x4 = 0 = t−1 . = t = 3 − Ta nhận thấy đường thẳng d1 qua A(1, 2, 3, 4) với vector chỉ phương → a = (1, 1, 1, 1) và → − đường thẳng d2 qua B(1, −1, 0, 3) với vector chỉ phương b = (0, 1, 1, 0). Lấy điểm C, D sao → − −→ −−→ − cho BD = b , AC = → a . Bài toán đã cho đưa về dạng lập phương trình cái phẳng có số −→ −−→ −→ − chiều bé nhất qua 4 điểm A, B, C, D. Ta có AC = (1, 1, 1, 1), BD = (0, 1, 1, 0), AB = → c = (−1, −3, −3, −1). − → − − → − −c = −2→ − − − Do → b −→ a nên ba vector → a , b ,→ c phụ thuộc tuyến tính, trong đó → a , b là hai vector độc lập tuyến tính. Vậy cái phẳng có số chiều bé nhất chứa d1 và d2 là mặt phẳng α → − − qua A và có phương là h→ a , b i. Do đó, phương trình tham số của α là  x1 = t1 +1     x = t + t +2 2 1 2 , ti ∈ R. α:  x3 = t1 + t2 +3    x4 = t1 +4 Từ đó suy ra phương trình tổng quát của α là ( x1 − x4 +3 = 0 . x2 −x3 +1 = 0 2. Kiểm tra được M 6∈ α do đó dim(α + M ) = 3 hay M + α là siêu phẳng qua M với hệ vector − −−→ − → chỉ phương {AM , → a , b }. 3. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB sau đó thế vào phương trình siêu phẳng tọa độ để tìm tọa độ giao điểm. 4. Ta có P cắt Q tại một điểm M (1, 2, 0, 0). Chú ý. Trong A3 thì hai mặt phẳng nếu có một điểm chung thì có ít nhất một đường thẳng chung. Tuy nhiên trong không gian có số chiều lớn hơn thì điều này không còn đúng nữa. 27 Bài tập Hình học affine và Euclid −−→ − − Bài tập 1.46. Trong không gian affine An với mục tiêu {O; → e1 , ..., → en } cho các điểm Pi với OPi = − ai → ei , ai 6= 0, i = 1, 2, . . . , n. Chứng minh rằng, hệ n điểm {P1 , ..., Pn } là độc lập và phương trình của siêu phẳng đi qua n điểm trên là x1 xn + ··· + = 1. a1 an Bài tập 1.46. Bạn đọc tự kiểm tra các điểm P1 , . . . , Pn là độc lập tuyến tính. Phương trình x1 xn + ··· + −1=0 a1 an là phương trình của một siêu phẳng. Dễ thấy tọa độ của các điểm Pi , i = 1, 2, . . . , n đều thỏa mãn phương trình của siêu phẳng. Bài tập 1.47. Trong An với mục tiêu đã chọn, hãy tìm công thức tính tọa độ trọng tâm của một hệ điểm. Tổng quát hơn, hãy tìm công thức tính tọa độ của tâm tỉ cự. Bài tập 1.47. 1. Gọi G là trọng tâm của hệ điểm {P1 , P2 , . . . , Pm }. Giả sử Pi (a1i , a2i , . . . , ani ). Theo định nghĩa m −→ 1 X −−→ OPi , OG = m i=1 do đó G ! m m m 1 X 1 X 1 X a1i , a2i , . . . , ani . m i=1 m i=1 m i=1 2. Gọi G là tâm tỉ cự của hệ điểm {P1 , P2 , . . . , Pm }. gắn với họ hệ số {λ1 , λ2 , . . . , λm }. Theo định nghĩa m m X −→ 1 X −−→ λi OPi , với λ = λi , OG = λ i=1 i=1 do đó G m m m 1X 1X 1X λi a1i , λi a2i , . . . , λi ani λ i=1 λ i=1 λ i=1 ! . Bài tập 1.48. Chứng minh rằng trong một đơn hình m-chiều các đường thẳng nối hai trọng tâm của hai mặt bên đối diện luôn luôn đi qua một điểm cố định. Hãy phát biểu bài toán cho trường hợp đơn hình hai chiều và đơn hình ba chiều. Bài tập 1.48. Cho đơn hình A0 A1 ...Ap Ap+1 ...Am và G là trọng tâm của nó. Để đơn giản trong cách trình bày ta xét hai mặt bên đối diện A0 A1 ...Ap và Ap+1 ...Am . Trường hợp tổng quát chứng minh hoàn toàn 28 Bài tập Hình học affine và Euclid tương tự. Ta gọi A và B lần lượt là trọng tâm của hai mặt bên. Ta có −→ AG = p m m X −−→ X −−→ 1 X −−→ 1 ( AAi + AAi ) AAi = m + 1 i=0 m + 1 i=0 p+1 p m 1 X −−→ X −→ −−→ = [ AAi + (AB + BAi )] m + 1 i=0 p+1 p m 1 X −−→ m − p −→ 1 X −−→ = AB + BAi . AAi + m + 1 i=0 m+1 m + 1 p+1 p − m − P −→ P −→ → −→ m − p −→ − AB, do đó A, B, G thẳng hàng. Vậy AAi = BAi = 0 nên ta suy ra AG = m+1 p+1 i=0 các đường thẳng nối trọng tâm của hai mặt đối diện luôn đi qua một điểm G chính là trọng tâm của đơn hình đó. Mặt khác Các kết quả này trong A2 , A3 được phát biểu như sau: “Trong một tam giác, ba đường trung tuyến đồng qui tại trọng tâm của tam giác đó.” “Trong một tứ diện, 7 đường thẳng sau đây đồng qui tại trọng tâm của tứ diện đó là: 3 đường thẳng nối trung điểm ba cặp cạnh đối diện, 4 đường thẳng nối các đỉnh với trọng tâm của các mặt đối diện.” Bài tập 1.49 (Định lí Pappus). Trong mặt phẳng affine A2 cho hai đường thẳng d và d0 cắt nhau tại O. Gọi A, B, C là 3 điểm phân biệt thuộc d không trùng với điểm O; A0 , B 0 , C 0 là 3 điểm phân biệt thuộc d0 không trùng với điểm O. Giả sử B 0 C cắt BC 0 tại M , CA0 cắt C 0 A tại N , A0 B cắt AB 0 tại P . Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. Bài tập 1.49. Chọn mục tiêu affine {O; A, A0 }, ta có O(0, 0); A(1, 0); A0 (0, 1); B(b, 0); C(c, 0); B 0 (0, b0 ); C 0 (0, c0 ), b, c, b0 , c0 6= 0. 0 Khi đó phương trình của đường thẳng d là x2 = (0 và phương trình của đường thẳng d là x1 = 0. x1 = −t + 1 Phương trình tham số của đường thẳng AB 0 là và phương trình tham số của đường x 2 = b0 t ( x1 = bt thẳng A0 B là . Ta xác định được tọa độ giao điểm P của AB 0 và A0 B là x2 = −t + 1  0  bb − b bb0 − b0 ; . bb0 − 1 bb0 − 1 Đổi vai trò của B cho C, B 0 cho C 0 ta thu được tọa độ giao điểm N của AC 0 với A0 C là:  0  cc − c cc0 − c0 ; . cc0 − 1 cc0 − 1 Tương tự ta tìm được tọa độ giao điểm M của BC 0 và B 0 C là   c 0 − b0 0 0 c − b bc 0 ;b c 0 . cc − bb0 cc − bb0 29 Bài tập Hình học affine và Euclid Tính toán ta được xN − xM (bb0 − 1)cc0 = ; xP − xM (cc0 − 1)bb0 và (bb0 − 1)cc0 yN − yM = . yP − yM (cc0 − 1)bb0 −−→ −−→ Vậy M N và M P phụ thuộc tuyến tính nên 3 điểm M, N, P thẳng hàng. d C B A N P M O A’ B’ C’ d’ Bài tập 1.50 (Định lí Desargues). Trong mặt phẳng affine A2 cho hai tam giác ABC và A0 B 0 C 0 . Giả sử BC và B 0 C 0 cắt nhau tại M , CA và C 0 A0 cắt nhau tại N , AB cắt A0 B 0 tại P. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi AA0 , BB 0 , CC 0 đồng qui hoặc song song Bài tập 1.50. 1. Giả sử AA0 k BB 0 k CC 0 . Chọn mục tiêu affine {A; B, A0 }, ta có tọa độ của các điểm như sau: A(0, 0); B(1, 0); A0 (0, 1); B 0 (1, b0 ); C(c, d); C 0 (c, e). Phương trình các đường thẳng: AA0 : x2 = 0; BB 0 : x1 = 0; CC 0 : x1 = c; AB : x2 = 0; A0 B 0 : (b0 − 1)x1 − x2 + 1 = 0. ( x1 = (c − 1)t + 1 BC : ; B 0 C 0 : (e − b0 )x1 + (1 − c)x2 − e + b0 c = 0; x2 = dt ( x1 = ct AC : ; A0 C 0 : (1 − e)x1 + cx2 − c = 0. x2 = dt 30 Bài tập Hình học affine và Euclid A A’ N C’ C M B B’ P Từ đây chúng ta tính được  P  1 ;0 ; 1 − b0 Tính toán ta được:     b0 (c − 1) b0 d c d M 1+ ; ; N ; . d + b0 − e d + b0 − e 1−e+d 1−e+d yM − yP b0 (1 + d − e) xM − xP = = . xN − xP yN − yP d + b0 − e Suy ra ba điểm M, N, P thẳng hàng. 2. Giả sử AA0 ∩ BB 0 ∩ CC 0 = O. Chọn mục tiêu affine {O; A, B}, ta có tọa độ của các điểm như sau: O(0, 0); A(1, 0); B(0, 1), C(c, d), A0 (a0 , 0), B 0 (0, b0 ), C 0 (ce, de), e 6= 0. Phương tình các đường thẳng ( AB : x1 + x2 = 0; A0 B 0 : ( BC : ( AC : x1 = −a0 t + a0 ; x 2 = b0 t x1 = ct ; B 0 C 0 : (b0 − de)x1 + cex2 − b0 ce = 0; x2 = (d − 1)t + 1 x1 = (c − 1)t + 1 ; A0 C 0 : (dex1 + (a0 − ce)x2 − dea0 = 0. x2 = dt 31 Bài tập Hình học affine và Euclid A B C P N I M A’ B’ C’ Từ đây chúng ta tính được  P   0  a0 b 0 − a0 b 0 − a0 b 0 ceb − ce b0 − b0 e + deb0 − de ; ; ; M ; b0 − a0 b0 − a0 b0 − e b0 − e   0 a − ec + eca0 − ea0 dea0 − de ; . N a0 − e a0 − e Tính toán ta được: yM − yP (a0 − e)(b0 − 1) xM − xP = = 0 . xN − xP yN − yP (b − e)(a0 − 1) Suy ra ba điểm M, N, P thẳng hàng. 3. Giả sử M, N, P thẳng hàng. (a) Nếu AA0 k BB 0 , ta chứng minh AA0 k BB 0 k CC 0 . Gọi C1 ∈ B 0 C 0 thỏa CC1 k BB 0 và N1 = CA ∩ C1 A0 .Theo chứng minh trên ta có ba điểm M, P, N1 thẳng hàng. Ta có N, N1 ∈ P M và N, N1 ∈ CA, suy ra N1 ≡ N hay C1 ≡ C. Do đó AA0 k BB 0 k CC 0 . (b) Nếu AA0 ∩ BB 0 = O, ta chứng minh O ∈ CC 0 . Gọi C1 = CO ∩ B 0 M ; N1 = A0 C1 ∩ AC. Theo chứng minh trên ta có ba điểm M, P, N1 thẳng hàng. Ta có N, N1 ∈ P M và N, N1 ∈ CA, suy ra N1 ≡ N hay C1 ≡ C. Do đó O ∈ CC 0 . Vậy AA0 , BB 0 , CC 0 đồng quy. 32 Bài tập Hình học affine và Euclid Bài tập 1.51. Cho tam giác ABC, P là một điểm trên BC và M là một điểm trên AP. Đường thẳng qua P và song song với CM và đường thẳng qua B song song với AP cắt nhau tại B 0 . Đường thẳng qua P song song với BM và qua C song song với AP cắt nhau tại C 0 . Lấy I, J, K là các trung điểm của các đoạn thẳng P M, BB 0 , CC 0 . Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng và M, B 0 , C 0 cũng thẳng hàng. Bài tập 1.51. HD. Gọi R, S lần lượt là giao điểm của BM với B 0 P và của CM với C 0 P . Dễ dàng chứng minh được 1. các bộ ba điểm J, R, I; R, I, S và I, S, K thẳng hàng, từ đó suy ra J, I, K thẳng hàng; 2. ba đường thẳng B 0 M, IJ và BP đồng qui. Gọi C10 là giao điểm của B 0 M với CK. Theo Bài tập 1.28 ta có (BB 0 J) = (CC10 K) = −1. Từ đây suy ra C10 ≡ C 0 hay ba điểm M, B 0 , C 0 thẳng hàng. Bài tập 1.52. Trên một tờ giấy vẽ hai đường thẳng d và d0 cắt nhau tại một điểm ở ngoài tờ giấy đó. Qua một điểm M không nằm trên d hoặc d0 , hãy dựng đường thẳng đi qua M và giao điểm của d và d0 . Bài tập 1.52. Cách dựng (xem hình vẽ). O C B A P M N A' B' C' Theo Định lý Pappus, ta có M, N, P thẳng hàng. Theo Định lý Desargues, áp dụng cho hai tam giác AB 0 C và A0 BC 0 , ta có M = AB 0 ∩ A0 B, P = B 0 C ∩ BC 0 , AC ∩ A0 C 0 thẳng hàng 33 Bài tập Hình học affine và Euclid Bài tập 1.53. Giả sử G1 là tâm tỉ cự của hệ điểm {P1 , . . . , Pk } gắn với họ hệ số {λ1 , . . . , λk }; G2 là tâm tỉ cự của hệ điểm {Pk+1 , . . . , Pm } gắn với họ hệ số {λk+1 , . . . , λm }; G3 là tâm tỉ cự của hệ điểm {P1 , . . . , Pm } gắn với họ hệ số {λ1 , . . . , λm }. Chứng minh rằng nếu G1 , G2 , G3 là 3 điểm phân biệt thì chúng thẳng hàng. Hãy tính tỉ số đơn (G1 G2 G3 ). Bài tập 1.53. Xem bài tập 1.31 Bài tập 1.54. Trong không gian affine An với mục tiêu đã chọn. Chứng minh rằng tập các điểm có tọa độ là nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính và tập các điểm có tọa độ là nghiệm của một hệ bất phương trình tuyến tính n biến là các tập lồi (xem ∅ là tập lồi). Bài tập 1.54. HD. Nghiệm của một phương trình tuyến tính là một siêu phẳng nên là một tập lồi. Nghiệm của một bất phương trình tuyến tính là một nửa không gian (đóng hoặc mở) cũng là một tập lồi. Giao của các tập lồi là một tập lồi nên ta có điều phải chứng minh. Bài tập 1.55. Hãy chứng tỏ rằng, đơn hình và hình hộp n chiều trong không gian affine thực An là giao của các nửa không gian. Bài tập 1.55. HD. Xét các mặt bên của một đơn hình (hình hộp). Bao affine của chúng là các siêu phẳng. Vì là các tập lồi nên đơn hình (hình hộp) nằm trong các nửa không gian (thích hợp) xác định bởi các siêu phẳng này. Từ đây suy ra đơn hình (hình hộp) là giao của các nửa không gian này. 34

×

Report "baitap_giai_c1_OK"

Your name Email Reason -Select Reason- Pornographic Defamatory Illegal/Unlawful Spam Other Terms Of Service Violation File a copyright complaint Description Close Submit Our partners will collect data and use cookies for ad personalization and measurement. Learn how we and our ad partner Google, collect and use data. Agree & close