Bảng Hàm Số Lượng Giác Của Mọi Góc. Các Hàm Lượng ...

Bảng hàm số lượng giác cơ bản cho các góc 0, 30, 45, 60, 90, ... độ

Từ các định nghĩa lượng giác của các hàm $ \ sin $, $ \ cos $, $ \ tan $ và $ \ cot $, người ta có thể tìm giá trị của chúng cho các góc $ 0 $ và $ 90 $ độ:

$ \ sin⁡0 ° = 0 $, $ \ cos0 ° = 1 $, $ \ tan 0 ° = 0 $, $ \ cot 0 ° $ không được xác định;

$ \ sin90 ° = 1 $, $ \ cos90 ° = 0 $, $ \ cot90 ° = 0 $, $ \ tan 90 ° $ không được xác định.

TẠI khóa học ở trường hình học trong nghiên cứu về tam giác vuông tìm các hàm lượng giác của các góc $ 0 ° $, $ 30 ° $, $ 45 ° $, $ 60 ° $ và $ 90 ° $.

Các giá trị tìm được của các hàm lượng giác đối với các góc được chỉ định theo độ và radian tương ứng ($ 0 $, $ \ frac (\ pi) (6) $, $ \ frac (\ pi) (4) $, $ \ frac (\ pi) (3) $, $ \ frac (\ pi) (2) $) để dễ ghi nhớ và sử dụng được nhập vào một bảng có tên bảng lượng giác, bảng giá trị cơ bản của các hàm số lượng giác vân vân.

Khi sử dụng các công thức rút gọn, bảng lượng giác có thể được mở rộng thành một góc tương ứng là $ 360 ° $ và $ 2 \ pi $ radian:

Áp dụng tính chất tuần hoàn của các hàm lượng giác, mỗi góc khác với góc đã biết là $ 360 ° $ có thể được tính và ghi vào bảng. Ví dụ: hàm lượng giác cho góc $ 0 ° $ sẽ có cùng giá trị cho góc $ 0 ° + 360 ° $ và cho góc $ 0 ° + 2 \ cdot 360 ° $ và cho góc $ 0 ° + 3 \ cdot 360 ° $ và v.v.

Sử dụng bảng lượng giác, bạn có thể xác định giá trị của tất cả các góc của một đường tròn đơn vị.

Trong giờ học môn hình học, các em cần học thuộc các giá trị cơ bản của các hàm số lượng giác được thu thập trong bảng lượng giác, để tiện cho việc giải bài. vấn đề lượng giác.

Sử dụng một cái bàn

Trong bảng, chỉ cần tìm hàm lượng giác cần thiết và giá trị của góc hoặc radian mà hàm này cần được tính là đủ. Tại giao điểm của hàng với hàm và cột với giá trị, chúng ta nhận được giá trị mong muốn của hàm lượng giác của đối số đã cho.

Trong hình, bạn có thể thấy cách tìm giá trị $ \ cos⁡60 ° $ bằng $ \ frac (1) (2) $.

Bảng lượng giác mở rộng cũng được sử dụng tương tự. Lợi ích của việc sử dụng nó là, như đã đề cập, tính toán hàm lượng giác của hầu hết mọi góc. Ví dụ: bạn có thể dễ dàng tìm thấy giá trị $ \ tan 1 380 ° = \ tan (1 380 ° -360 °) = \ tan (1 020 ° -360 °) = \ tan (660 ° -360 °) = \ tan300 ° $:

Bảng Bradis của các hàm lượng giác cơ bản

Khả năng tính toán hàm lượng giác của hoàn toàn bất kỳ giá trị góc nào đối với một giá trị nguyên của độ và một giá trị nguyên của phút cho phép sử dụng bảng Bradis. Ví dụ: tìm giá trị $ \ cos⁡34 ° 7 "$. Các bảng được chia thành 2 phần: bảng gồm các giá trị $ \ sin $ và $ \ cos $ và bảng gồm $ \ tan $ và $ \ giá trị cot $.

Bảng Bradis giúp bạn có thể lấy giá trị gần đúng của các hàm lượng giác với độ chính xác lên đến 4 chữ số thập phân.

Sử dụng bảng Bradis

Sử dụng bảng Bradys cho sines, chúng tôi tìm thấy $ \ sin⁡17 ° 42 "$. Để thực hiện việc này, trong cột bên trái của bảng sin và cosine, chúng tôi tìm giá trị của độ - $ 17 ° $, và trong dòng trên cùng mà chúng tôi tìm thấy giá trị của phút - $ 42 "$. Tại giao điểm của chúng, chúng tôi nhận được giá trị mong muốn:

$ \ sin17 ° 42 "= 0,304 $.

Để tìm giá trị của $ \ sin17 ° 44 "$, bạn cần sử dụng hiệu chỉnh ở phía bên phải của bảng. Trong trường hợp này thành giá trị $ 42 "$ có trong bảng, bạn cần thêm một sửa đổi cho $ 2" $, bằng $ 0,0006 $. Chúng tôi nhận được:

$ \ sin17 ° 44 "= 0,304 + 0,0006 = 0,3046 $.

Để tìm giá trị của $ \ sin17 ° 47 "$, chúng tôi cũng sử dụng hiệu chỉnh ở phía bên phải của bảng, chỉ trong trường hợp này, chúng tôi lấy giá trị của $ \ sin17 ° 48" $ làm cơ sở và trừ hiệu chỉnh cho $ 1 "$:

$ \ sin17 ° 47 "= 0,3057-0,0003 = 0,3054 $.

Khi tính toán cosin, chúng ta thực hiện các thao tác tương tự, nhưng chúng ta nhìn vào độ ở cột bên phải và phút ở cột dưới cùng của bảng. Ví dụ: $ \ cos20 ° = 0,9397 $.

Không có hiệu chỉnh nào cho các giá trị tiếp tuyến lên đến $ 90 ° $ và cotang góc nhỏ. Ví dụ: hãy tìm $ \ tan 78 ° 37 "$, theo bảng là $ 4,967 $.

Chọn một danh mục Sách Toán học Vật lý Kiểm soát và quản lý truy cập An toàn cháy nổ Các nhà cung cấp thiết bị hữu ích Thiết bị đo lường (CMI) Đo độ ẩm - các nhà cung cấp ở Liên bang Nga. Đo áp suất. Đo lường chi phí. Lưu lượng kế. Đo nhiệt độ Đo mức. Đồng hồ đo mức. Công nghệ thông cống Hệ thống cống rãnh. Các nhà cung cấp máy bơm ở Liên bang Nga. Sửa chữa máy bơm. Phụ kiện đường ống. Van bướm (van đĩa). Kiểm tra van. Điều khiển phần ứng. Bộ lọc lưới, bộ thu bùn, bộ lọc cơ-từ. Van bi. Đường ống và các phần tử của đường ống. Phớt cho ren, mặt bích, v.v. Động cơ điện, truyền động điện… Bảng chữ cái thủ công, mệnh giá, đơn vị, mã số… Bảng chữ cái, incl. Tiếng Hy Lạp và tiếng Latinh. Các ký hiệu. Các mã. Alpha, beta, gamma, delta, epsilon… Các mệnh giá của mạng điện. Chuyển đổi đơn vị Decibel. Mơ ước. Lý lịch. Đơn vị của cái gì? Đơn vị đo áp suất và chân không. Chuyển đổi đơn vị áp suất và chân không. Đơn vị độ dài. Dịch đơn vị độ dài (kích thước tuyến tính, khoảng cách). Đơn vị khối lượng. Chuyển đổi các đơn vị thể tích. Đơn vị mật độ. Chuyển đổi đơn vị mật độ. Đơn vị diện tích. Chuyển đổi đơn vị diện tích. Đơn vị đo độ cứng. Chuyển đổi đơn vị độ cứng. Đơn vị nhiệt độ. Chuyển đổi các đơn vị nhiệt độ theo Kelvin / Celsius / Fahrenheit / Rankine / Delisle / Newton / Reamure các đơn vị đo góc ("kích thước góc"). Chuyển đổi đơn vị vận tốc góc và gia tốc góc. Lỗi tiêu chuẩn phép đo Các chất khí khác nhau như môi trường làm việc. Nitơ N2 (môi chất lạnh R728) Amoniac (môi chất lạnh R717). Chất chống đông. Hiđro H ^ 2 (chất làm lạnh R702) Hơi nước. Air (Khí quyển) Natural gas - khí tự nhiên. Biogas là khí thải. Khí hóa lỏng. NGL. LNG. Propan-butan. Oxy O2 (chất làm lạnh R732) Dầu và chất bôi trơn Methane CH4 (chất làm lạnh R50) Tính chất của nước. Khí CO. cacbon monoxit. Cạc-bon đi-ô-xít CO2. (Môi chất lạnh R744). Clo Cl2 Hiđro clorua HCl, hay còn gọi là axit clohydric. Chất làm lạnh (chất làm lạnh). Môi chất lạnh (Môi chất lạnh) R11 - Fluorotrichlorometan (CFCI3) Chất làm lạnh (Chất làm lạnh) R12 - Difluorodichloromethane (CF2CCl2) Chất làm lạnh (Chất làm lạnh) R125 - Pentafluoroethane (CF2HCF3). Môi chất lạnh (Lạnh) R134a - 1,1,1,2-Tetrafluoroethane (CF3CFH2). Môi chất lạnh (Môi chất lạnh) R22 - Difluorochloromethane (CF2ClH) Chất làm lạnh (Coldrant) R32 - Difluoromethane (CH2F2). Môi chất lạnh (Môi chất lạnh) R407C - R-32 (23%) / R-125 (25%) / R-134a (52%) / Phần trăm theo khối lượng. vật liệu khác - tính chất nhiệt Chất mài mòn - sạn, độ mịn, thiết bị mài. Đất, đất, cát và các loại đá khác. Các chỉ tiêu về độ tơi xốp, co ngót và tỷ trọng của đất, đá. Co ngót và nới lỏng, tải trọng. Các góc nghiêng. Độ cao của gờ, bãi chứa. Gỗ. Gỗ xẻ. Gỗ. Nhật ký. Củi… Gốm sứ. Chất kết dính và mối nối keo Băng và tuyết (nước đá) Kim loại Hợp kim nhôm và nhôm Đồng, đồng và đồng thau Đồng Đồng thau (và phân loại hợp kim đồng) Niken và hợp kim Tuân theo cấp hợp kim Thép và hợp kim Bảng tham khảo về trọng lượng của các sản phẩm kim loại cán và đường ống. +/- 5% Trọng lượng ống. trọng lượng kim loại. Tính chất cơ học thép. Khoáng sản Gang. Amiăng. Sản phẩm thực phẩm và nguyên liệu thực phẩm. Thuộc tính, v.v. Liên kết đến một phần khác của dự án. Cao su, chất dẻo, chất đàn hồi, polyme. Miêu tả cụ thể Chất đàn hồi PU, TPU, X-PU, H-PU, XH-PU, S-PU, XS-PU, T-PU, G-PU (CPU), NBR, H-NBR, FPM, EPDM, MVQ, TFE / P, POM, PA-6, TPFE-1, TPFE-2, TPFE-3, TPFE-4, TPFE-5 (PTFE sửa đổi), Độ bền của vật liệu. Sopromat. Vật liệu xây dựng. Tính chất vật lý, cơ học và nhiệt học. Bê tông. Giải pháp bê tông. Sự hòa tan. Phụ kiện xây dựng. Thép và những thứ khác. Bảng tính ứng dụng của vật liệu. Kháng hóa chất. Nhiệt độ áp dụng. Chống ăn mòn. Vật liệu làm kín - chất trám khe. PTFE (fluoroplast-4) và các vật liệu dẫn xuất. Băng FUM. Chất kết dính kỵ khí Chất bịt kín không khô (không cứng). Chất trám silicone (organosilicon). Graphit, amiăng, paronit và các vật liệu có nguồn gốc Paronit. Graphit giãn nở nhiệt (TRG, TMG), các chế phẩm. Tính chất. Ứng dụng. Sản lượng. Vệ sinh bằng lanh Con dấu của chất đàn hồi cao su Vật liệu cách nhiệt và vật liệu cách nhiệt. (liên kết đến phần dự án) Các kỹ thuật và khái niệm kỹ thuật Bảo vệ chống cháy nổ. Bảo vệ tác động môi trường. Ăn mòn. Điều chỉnh khí hậu (Bảng tương thích vật liệu) Phân loại áp suất, nhiệt độ, độ kín Giảm (mất) áp suất. - Khái niệm kỹ thuật. Phòng cháy chữa cháy. Hỏa hoạn. Lý thuyết về điều khiển tự động (điều tiết). Sổ tay Toán học TAU Số học, cấp số nhân và tổng của một số chuỗi số. Hình học không gian. Tính chất, công thức: chu vi, diện tích, thể tích, độ dài. Hình tam giác, hình chữ nhật, v.v. Độ sang radian. số liệu phẳng. Thuộc tính, cạnh, góc, dấu hiệu, chu vi, bằng nhau, tương tự, hợp âm, cung, diện tích, v.v. hình vuông số liệu bất thường, tập sai cơ quan. giá trị trung bình dấu hiệu. Công thức và phương pháp tính diện tích. Đồ thị. Xây dựng đồ thị. Đọc biểu đồ. Tích phân và phép tính vi phân. Đạo hàm và tích phân dạng bảng. Bảng đạo hàm. Bảng tích phân. Bảng nguyên hàm. Tìm đạo hàm. Tìm tích phân. Chênh lệch. Số phức. đơn vị tưởng tượng. Đại số tuyến tính. (Vectơ, ma trận) Toán học cho những đứa trẻ nhỏ. Mẫu giáo- Lớp 7. Lôgic toán học. Nghiệm của phương trình. Hình vuông và phương trình bậc hai. Các công thức. Các phương pháp. Quyết định phương trình vi phân Ví dụ về các giải pháp cho phương trình vi phân thông thường bậc cao hơn bậc nhất. Ví dụ về các giải pháp cho phương trình vi phân thông thường đơn giản nhất = có thể giải tích được của bậc một. Hệ thống tọa độ. Descartes hình chữ nhật, cực, hình trụ và hình cầu. Hai chiều và ba chiều. Hệ thống số. Số và chữ số (thực, phức, ....). Các bảng của hệ thống số. Dòng điện Taylor, Maclaurin (= McLaren) và chuỗi tuần hoàn Fourier. Phân rã các chức năng thành chuỗi. Bảng logarit và công thức cơ bản Bảng giá trị số Bảng của Bradys. Lý thuyết xác suất và thống kê Hàm số lượng giác, công thức và đồ thị. sin, cos, tg, ctg… .Giá trị của hàm số lượng giác. Các công thức rút gọn hàm số lượng giác. Các nhận dạng lượng giác. Phương pháp số Thiết bị - tiêu chuẩn, kích thước Thiết bị gia dụng, thiết bị gia đình. Hệ thống thoát nước và thoát nước. Dung tích, bể chứa, bể chứa, bể chứa. Thiết bị đo lường và điều khiển Thiết bị đo đạc và tự động hóa. Đo nhiệt độ. Băng tải, băng tải. Vùng chứa (liên kết) Thiết bị phòng thí nghiệm. Máy bơm và trạm bơm Bơm chất lỏng và bột giấy. Biệt ngữ kỹ thuật. Từ điển. Sàng lọc. Lọc. Tách các hạt qua lưới và sàng. Độ bền gần đúng của dây thừng, dây cáp, dây điện, dây thừng làm bằng các loại nhựa khác nhau. Sản phẩm cao su. Mối nối và phần đính kèm. Đường kính có điều kiện, danh nghĩa, Du, DN, NPS và NB. Đường kính hệ mét và inch. SDR. Chìa khóa và chìa khóa. Các tiêu chuẩn giao tiếp. Tín hiệu trong hệ thống tự động hóa (I&C) Tín hiệu đầu vào và đầu ra tương tự của các thiết bị, cảm biến, đồng hồ đo lưu lượng và các thiết bị tự động hóa. các giao diện kết nối. Các giao thức truyền thông (liên lạc) Điện thoại. Phụ kiện đường ống. Cầu trục, van, cổng van…. Chiều dài tòa nhà. Mặt bích và ren. Tiêu chuẩn. Kết nối các chiều. chủ đề. Kiểu dáng, kích thước, công dụng, chủng loại… (liên kết tham khảo) Kết nối ("vệ sinh", "vô trùng") của đường ống trong ngành thực phẩm, sữa và dược phẩm. Đường ống, đường ống dẫn. Đường kính ống và các đặc điểm khác. Lựa chọn đường kính đường ống. Tốc độ dòng chảy. Chi phí. Sức mạnh. Các bảng lựa chọn, Độ giảm áp suất. Ống đồng. Đường kính ống và các đặc điểm khác. Ống polyvinyl clorua (PVC). Đường kính ống và các đặc điểm khác. Đường ống là polyetylen. Đường kính ống và các đặc điểm khác. Ống polyetylen PND. Đường kính ống và các đặc điểm khác. Ống thép (kể cả thép không gỉ). Đường kính ống và các đặc điểm khác. Đường ống là thép. Đường ống không gỉ. Ống thép không gỉ. Đường kính ống và các đặc điểm khác. Đường ống không gỉ. Ống thép carbon. Đường kính ống và các đặc điểm khác. Đường ống là thép. Vừa vặn. Mặt bích theo GOST, DIN (EN 1092-1) và ANSI (ASME). Kết nối mặt bích. Các kết nối mặt bích. Kết nối mặt bích. Các yếu tố của đường ống. Đèn điện Đầu nối điện và dây dẫn (dây cáp) Động cơ điện. Xe máy điện. Các thiết bị đóng cắt điện. (Liên kết đến phần) Đời sống riêng tư kỹ sư Địa lý cho kỹ sư. Khoảng cách, tuyến đường, bản đồ… .. Kỹ sư trong cuộc sống hàng ngày. Gia đình, trẻ em, vui chơi giải trí, quần áo và nhà ở. Con của các kỹ sư. Kỹ sư tại các văn phòng. Kỹ sư và những người khác. Xã hội hóa kỹ sư. Sự tò mò. Kỹ sư nghỉ ngơi. Điều này khiến chúng tôi bị sốc. Kỹ sư và thực phẩm. Công thức nấu ăn, công dụng. Thủ thuật cho nhà hàng. Thương mại quốc tế dành cho kỹ sư. Chúng ta học cách suy nghĩ theo cách hẹp hòi. Giao thông vận tải và du lịch. Ô tô cá nhân, xe đạp…. Vật lý và hóa học của con người. Kinh tế học cho kỹ sư. Bormotologiya nhà tài chính - ngôn ngữ loài người. Các khái niệm và bản vẽ công nghệ Viết, vẽ, giấy văn phòng và phong bì. Kích thước tiêu chuẩn hình ảnh. Thông gió và điều hòa không khí. Cấp thoát nước Cấp nước nóng (DHW). cung cấp nước uống nước thải. Cấp nước lạnh Ngành công nghiệp điện lạnh Đường / hệ thống hơi nước. Dây chuyền / hệ thống ngưng tụ. Đường hơi. Đường ống dẫn nước ngưng. công nghiệp thực phẩm Cung cấp khí tự nhiên Kim loại hàn Các ký hiệu và ký hiệu của thiết bị trên bản vẽ và sơ đồ. Có điều kiện Hình ảnh đồ hoạ trong các dự án sưởi ấm, thông gió, điều hòa không khí và cung cấp nhiệt và lạnh, theo Tiêu chuẩn ANSI / ASHRAE 134-2005. Tiệt trùng thiết bị và vật liệu Cung cấp nhiệt Công nghiệp điện tử Cung cấp điện Vật lý tham chiếu Bảng chữ cái. Các chỉ định được chấp nhận. Hằng số vật lý cơ bản. Độ ẩm là tuyệt đối, tương đối và cụ thể. Độ ẩm không khí. Bảng đo Psychrometric. Các sơ đồ Ramzin. Độ nhớt thời gian, số Reynolds (Re). Đơn vị độ nhớt. Các chất khí. Tính chất của các chất khí. Các hằng số khí riêng. Áp suất và chân không Độ dài chân không, khoảng cách, chiều tuyến tính Âm thanh. Siêu âm. Hệ số hấp thụ âm thanh (liên kết đến phần khác) Khí hậu. dữ liệu khí hậu. dữ liệu tự nhiên. SNiP 23-01-99. Khí hậu xây dựng. (Thống kê dữ liệu khí hậu) SNIP 23-01-99 Bảng 3 - Nhiệt độ không khí trung bình hàng tháng và hàng năm, ° С. Liên Xô cũ. SNIP 23-01-99 Bảng 1. Các thông số khí hậu thời kỳ lạnh giá trong năm. RF. SNIP 23-01-99 Bảng 2. Các thông số khí hậu của mùa ấm. Liên Xô cũ. SNIP 23-01-99 Bảng 2. Các thông số khí hậu của mùa ấm. RF. SNIP 23-01-99 Bảng 3. Nhiệt độ không khí trung bình hàng tháng và hàng năm, ° C. RF. SNiP 23-01-99. Bảng 5a * - Trung bình hàng tháng và hàng năm áp lực bán phần hơi nước, hPa = 10 ^ 2 Pa. RF. SNiP 23-01-99. Bảng 1. Các thông số khí hậu mùa lạnh. Liên Xô cũ. Tỉ trọng. Cân nặng. Trọng lượng riêng. Mật độ hàng loạt. Sức căng bề mặt. Độ hòa tan. Tính tan của chất khí và chất rắn. Ánh sáng và màu sắc. Hệ số phản xạ, hấp thụ và khúc xạ Bảng chữ cái màu sắc :) - Các ký hiệu (mã hóa) của màu sắc (màu sắc). Tính chất của vật liệu và môi trường đông lạnh. Những cái bàn. Hệ số ma sát cho các vật liệu khác nhau. Các đại lượng nhiệt bao gồm sôi, nóng chảy, ngọn lửa, v.v. …… thông tin thêm xem: Hệ số (chỉ số) của adiabat. Đối lưu và trao đổi nhiệt toàn phần. Hệ số giãn nở tuyến tính nhiệt, giãn nở thể tích nhiệt. Nhiệt độ, độ sôi, độ nóng chảy, khác… Chuyển đổi các đơn vị nhiệt độ. Tính dễ cháy. nhiệt độ hóa mềm. Điểm sôi Điểm nóng chảy Tính dẫn nhiệt. Hệ số dẫn nhiệt. Nhiệt động lực học. Nhiệt dung riêng hóa hơi (ngưng tụ). Entanpi của quá trình hóa hơi. Nhiệt dung riêng của quá trình cháy (nhiệt trị). Sự cần thiết của oxy. Điện và đại lượng từ tính Mômen lưỡng cực là điện. Hằng số điện môi. Hằng số điện. Độ dài sóng điện từ(thư mục của phần khác) từ trường Các khái niệm và công thức về điện và từ. Chất tĩnh điện. Môđun áp điện. Độ bền điện của vật liệu Điện Điện trở và độ dẫn điện. Điện thế điện tử Sách tham khảo hóa học "Bảng chữ cái hóa học (từ điển)" - tên, chữ viết tắt, tiền tố, tên gọi của các chất và hợp chất. Dung dịch nước và hỗn hợp để gia công kim loại. Dung dịch nước để thi công và loại bỏ lớp phủ kim loại đốt trong…) Dung dịch nước cho sự thụ động. Dung dịch nước để ăn mòn - loại bỏ oxit khỏi bề mặt Dung dịch nước để photphat Dung dịch nước và hỗn hợp để oxy hóa hóa học và tạo màu cho kim loại. Dung dịch nước và hỗn hợp để đánh bóng bằng hóa chất dung dịch nước và dung môi hữu cơ Chỉ thị hydrođộ pH. các bảng pH. Cháy và nổ. Sự oxi hóa và sự khử. Phân loại, danh mục, ký hiệu nguy cơ (độc tính) chất hóa học Hệ thống định kỳ nguyên tố hóa học D.I. Mendeleev. Bảng tuần hoàn. Tỷ trọng của dung môi hữu cơ (g / cm3) tùy thuộc vào nhiệt độ. 0-100 ° С. Tính chất của dung dịch. Hằng số phân li, tính axit, tính bazơ. Độ hòa tan. Hỗn hợp. Hằng số nhiệt của các chất. Entanpi. Sự hỗn loạn. Năng lượng Gibbs… (liên kết đến sách tham khảo hóa học của dự án) Kỹ thuật điện Bộ điều chỉnh Hệ thống cung cấp điện liên tục. Hệ thống điều phối và điều khiển Hệ thống cáp có cấu trúc Trung tâm dữ liệu

Các khái niệm sin (), cosine (), tangent (), cotangent () gắn bó chặt chẽ với khái niệm góc. Để hiểu rõ về những khái niệm phức tạp này, thoạt nhìn, những khái niệm phức tạp (gây ra trạng thái kinh hãi ở nhiều học sinh) và chắc chắn rằng “ma quỷ không đáng sợ như vẽ”, chúng ta hãy bắt đầu từ đầu và hiểu khái niệm về một góc.

Khái niệm về góc: radian, độ

Hãy nhìn vào bức tranh. Vectơ "quay" so với điểm một lượng nhất định. Vì vậy, số đo của vòng quay này so với vị trí ban đầu sẽ là mũi tiêm.

Bạn cần biết gì khác về khái niệm góc? Tất nhiên là đơn vị đo góc!

Góc, cả trong hình học và lượng giác, có thể được đo bằng độ và radian.

Một góc (một độ) được gọi là góc trung tâm trong một đường tròn, dựa trên một cung tròn bằng một phần của đường tròn. Do đó, toàn bộ hình tròn bao gồm các "mảnh" của cung tròn, hoặc góc được mô tả bởi hình tròn là bằng nhau.

Tức là, hình trên cho thấy một góc bằng, tức là góc này dựa trên một cung tròn có kích thước bằng chu vi.

Một góc tính bằng radian được gọi là góc ở tâm trong một đường tròn, dựa trên một cung tròn, độ dài của nó bằng bán kính của đường tròn. Chà, bạn đã hiểu chưa? Nếu không, sau đó chúng ta hãy nhìn vào hình ảnh.

Vì vậy, hình bên cho thấy một góc bằng radian, nghĩa là, góc này dựa trên một cung tròn, độ dài của nó bằng bán kính của hình tròn (độ dài bằng độ dài hoặc bán kính bằng chiều dài vòng cung). Do đó, độ dài của cung được tính theo công thức:

Góc trung tâm tính bằng radian ở đâu.

Vâng, biết điều này, bạn có thể trả lời có bao nhiêu radian chứa một góc được mô tả bởi một đường tròn? Vâng, đối với điều này, bạn cần phải nhớ công thức tính chu vi của một hình tròn. Cô ấy đây rồi:

Bây giờ, chúng ta hãy so sánh hai công thức này và nhận được rằng góc được mô tả bởi đường tròn là bằng nhau. Tức là, so sánh giá trị theo độ và radian, chúng ta nhận được điều đó. Tương ứng, . Như bạn có thể thấy, không giống như "độ", từ "radian" bị bỏ qua, vì đơn vị đo lường thường rõ ràng so với ngữ cảnh.

Là bao nhiêu radian? Đúng rồi!

Hiểu rồi? Sau đó, vặn nhanh về phía trước:

Có khó khăn gì không? Sau đó nhìn câu trả lời:

Tam giác vuông: sin, cosin, tiếp tuyến, cotang của một góc

Như vậy, với khái niệm về góc đã hình. Nhưng sin, cosin, tiếp tuyến, cotang của một góc là gì? Hãy tìm ra nó. Để làm được điều này, chúng tôi sẽ giúp tam giác vuông.

Các cạnh của tam giác vuông được gọi là gì? Đúng vậy, cạnh huyền và chân: cạnh huyền là cạnh nằm đối diện với góc vuông (trong ví dụ của chúng ta, đây là cạnh bên); chân là hai mặt còn lại và (những mặt tiếp giáp với góc phải), hơn nữa, nếu chúng ta coi hai chân so với góc, thì chân đó là chân liền kề, và chân ngược lại. Vì vậy, bây giờ chúng ta hãy trả lời câu hỏi: sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc là gì?

Sin của một góc là tỷ số của chân đối diện (xa) với cạnh huyền.

trong tam giác của chúng ta.

Cosine của một góc- đây là tỷ số của chân liền kề (gần) với cạnh huyền.

trong tam giác của chúng ta.

Góc tiếp tuyến- đây là tỷ lệ của chân đối diện (xa) với chân liền kề (gần).

trong tam giác của chúng ta.

Đường đồng mức của một góc- đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) và đối diện (xa).

trong tam giác của chúng ta.

Những định nghĩa này là cần thiết nhớ! Để giúp bạn dễ dàng nhớ chân nào để chia cho cái nào, bạn cần hiểu rõ ràng rằng trong đường tiếp tuyến và cotangent chỉ có chân ngồi và cạnh huyền chỉ xuất hiện trong xoang và cô sin. Và sau đó bạn có thể nghĩ ra một chuỗi liên kết. Ví dụ, cái này:

cosin → chạm → chạm → kề;

Cotangent → chạm → chạm → liền kề.

Trước hết, cần nhớ rằng sin, cosin, tiếp tuyến và cotang là tỉ số các cạnh của tam giác không phụ thuộc vào độ dài của các cạnh này (ở một góc). Đừng tin? Sau đó, hãy chắc chắn bằng cách nhìn vào hình ảnh:

Ví dụ, hãy xem xét cosin của một góc. Theo định nghĩa, từ một tam giác :, nhưng chúng ta có thể tính cosin của một góc từ một tam giác:. Bạn thấy đó, độ dài của các cạnh là khác nhau, nhưng giá trị của cosin của một góc là như nhau. Do đó, các giá trị của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc.

Nếu bạn hiểu các định nghĩa, hãy tiếp tục và sửa chúng!

Đối với tam giác được hiển thị trong hình dưới đây, chúng tôi tìm thấy.

Chà, bạn đã hiểu chưa? Sau đó, hãy tự mình thử: tính toán tương tự cho góc.

Vòng tròn đơn vị (lượng giác)

Hiểu được các khái niệm về độ và rađian, chúng ta đã coi một đường tròn có bán kính bằng. Một vòng tròn như vậy được gọi là Độc thân. Nó rất hữu ích trong việc nghiên cứu lượng giác. Do đó, chúng tôi đi sâu vào nó chi tiết hơn một chút.

Như bạn có thể thấy, vòng kết nối này được xây dựng trong Hệ thống Descartes tọa độ. Bán kính vòng tròn bằng một, trong khi tâm của đường tròn nằm tại điểm gốc, vị trí ban đầu của vectơ bán kính được cố định dọc theo chiều dương của trục (trong ví dụ của chúng ta, đây là bán kính).

Mỗi điểm của đường tròn tương ứng với hai số: tọa độ dọc theo trục và tọa độ dọc theo trục. Những số tọa độ này là gì? Và nói chung, họ phải làm gì với chủ đề đang bàn? Để làm điều này, hãy nhớ về tam giác vuông cân. Trong hình trên, bạn có thể thấy hai tam giác vuông. Xét một tam giác. Nó là hình chữ nhật vì nó vuông góc với trục.

Bằng gì từ một tam giác? Đúng rồi. Ngoài ra, chúng ta biết rằng đó là bán kính của hình tròn đơn vị, và do đó,. Thay giá trị này vào công thức cosine của chúng tôi. Đây là những gì sẽ xảy ra:

Và những gì bằng từ một tam giác? Tất nhiên, ! Thay giá trị của bán kính vào công thức này và nhận được:

Vì vậy, bạn có thể cho tôi biết tọa độ của một điểm thuộc đường tròn là gì? Chà, không có cách nào? Và nếu bạn nhận ra điều đó và chỉ là những con số? Nó tương ứng với tọa độ nào? Vâng, tất nhiên, sự phối hợp! Nó tương ứng với tọa độ nào? Đúng vậy, phối hợp! Như vậy, điểm.

Và những gì sau đó là bằng nhau và? Đúng vậy, chúng ta hãy sử dụng các định nghĩa thích hợp của tiếp tuyến và cotang và nhận được điều đó, a.

Nếu góc lớn hơn thì sao? Đây, ví dụ, như trong hình này:

Điều gì đã thay đổi trong ví dụ này? Hãy tìm ra nó. Để làm điều này, chúng tôi một lần nữa chuyển sang một tam giác vuông. Xét một tam giác vuông: một góc (như kề với một góc). Giá trị của sin, côsin, tiếp tuyến và cotang của một góc là? Đúng vậy, chúng ta tuân theo các định nghĩa tương ứng của các hàm lượng giác:

Như bạn thấy, giá trị sin của góc vẫn tương ứng với tọa độ; giá trị của côsin của góc - tọa độ; và các giá trị của tiếp tuyến và phương của các tỷ số tương ứng. Do đó, các quan hệ này có thể áp dụng cho bất kỳ phép quay nào của vectơ bán kính.

Người ta đã đề cập rằng vị trí ban đầu của vectơ bán kính là dọc theo chiều dương của trục. Cho đến nay chúng ta đã quay vectơ này ngược chiều kim đồng hồ, nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xoay nó theo chiều kim đồng hồ? Không có gì phi thường, bạn cũng sẽ nhận được một góc có kích thước nhất định, nhưng chỉ nó sẽ là tiêu cực. Do đó, khi quay vectơ bán kính ngược chiều kim đồng hồ, chúng ta nhận được góc tích cực và khi xoay theo chiều kim đồng hồ - từ chối.

Vì vậy, chúng ta biết rằng toàn bộ vòng quay của vectơ bán kính xung quanh đường tròn là hoặc. Có thể quay vectơ bán kính bằng hay không? Vâng, tất nhiên bạn có thể! Do đó, trong trường hợp đầu tiên, vectơ bán kính sẽ thực hiện một vòng quay hoàn toàn và dừng lại ở vị trí hoặc.

Trong trường hợp thứ hai, nghĩa là, vectơ bán kính sẽ thực hiện ba vòng quay hoàn toàn và dừng lại ở vị trí hoặc.

Do đó, từ các ví dụ trên, chúng ta có thể kết luận rằng các góc khác nhau bằng hoặc (với bất kỳ số nguyên nào) tương ứng với cùng một vị trí của vectơ bán kính.

Hình dưới đây cho thấy một góc. Cùng một hình ảnh tương ứng với góc, v.v. Danh sách này có thể được tiếp tục vô thời hạn. Tất cả các góc này có thể được viết bằng công thức chung hoặc (ở đâu là bất kỳ số nguyên nào)

Bây giờ, biết định nghĩa của các hàm lượng giác cơ bản và sử dụng vòng tròn đơn vị, hãy thử trả lời giá trị \ u200b \ u200b bằng:

Đây là một vòng tròn đơn vị để giúp bạn:

Có khó khăn gì không? Sau đó, chúng ta hãy tìm ra nó. Vì vậy, chúng tôi biết rằng:

Từ đây ta xác định được toạ độ của các điểm ứng với các số đo của góc nào đó. Vâng, hãy bắt đầu theo thứ tự: góc tại tương ứng với một điểm có tọa độ, do đó:

Không tồn tại;

Hơn nữa, tuân theo cùng một logic, chúng tôi phát hiện ra rằng các góc tương ứng với các điểm có tọa độ, tương ứng. Biết được điều này, ta dễ dàng xác định được giá trị của các hàm số lượng giác tại các điểm tương ứng. Hãy tự mình thử trước, sau đó kiểm tra câu trả lời.

Câu trả lời:

Không tồn tại

Không tồn tại

Không tồn tại

Không tồn tại

Do đó, chúng ta có thể lập bảng sau:

Không cần thiết phải nhớ tất cả các giá trị này. Chỉ cần nhớ sự tương ứng giữa tọa độ của các điểm trên đường tròn đơn vị và giá trị của các hàm lượng giác là đủ:

Nhưng các giá trị \ u200b \ u200 của hàm lượng giác của các góc trong và, được cho trong bảng dưới đây, phải được ghi nhớ:

Đừng sợ, bây giờ chúng tôi sẽ đưa ra một trong những ví dụ đầy đủ sự ghi nhớ giá trị tương ứng:

Để sử dụng phương pháp này, điều quan trọng là phải nhớ các giá trị của sin cho cả ba số đo của góc (), cũng như giá trị của tiếp tuyến của góc trong. Biết các giá trị này, khá dễ dàng để khôi phục toàn bộ bảng - các giá trị cosin được chuyển theo các mũi tên, nghĩa là:

Biết được điều này, bạn có thể khôi phục các giá trị cho. Tử số "" sẽ khớp và mẫu số "" sẽ khớp. Các giá trị Cotangent được chuyển theo các mũi tên được hiển thị trong hình. Nếu bạn hiểu điều này và nhớ sơ đồ với các mũi tên, thì sẽ đủ để nhớ toàn bộ giá trị từ bảng.

Tọa độ của một điểm trên đường tròn

Có thể tìm thấy một điểm (tọa độ của nó) trên một đường tròn không, biết tọa độ tâm đường tròn, bán kính và góc quay?

Vâng, tất nhiên bạn có thể! Hãy mang ra ngoài công thức chungđể tìm tọa độ của một điểm.

Ví dụ ở đây, chúng ta có một vòng kết nối như vậy:

Chúng ta đã cho rằng điểm là tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn bằng nhau. Cần tìm tọa độ của điểm thu được bằng cách quay điểm theo độ.

Như hình vẽ, tọa độ của điểm tương ứng với độ dài của đoạn thẳng. Độ dài của đoạn thẳng tương ứng với tọa độ của tâm đường tròn, nghĩa là nó bằng. Độ dài của một đoạn có thể được biểu thị bằng cách sử dụng định nghĩa của cosin:

Sau đó, chúng tôi có điều đó cho điểm tọa độ.

Theo logic tương tự, chúng ta tìm giá trị của tọa độ y cho điểm. Vì vậy,

Vì vậy, trong nhìn chung tọa độ điểm được xác định theo công thức:

Tọa độ tâm đường tròn,

bán kính vòng tròn,

Góc quay của vectơ bán kính.

Như bạn có thể thấy, đối với vòng tròn đơn vị mà chúng ta đang xem xét, các công thức này bị giảm đáng kể, vì tọa độ của tâm bằng 0 và bán kính bằng một:

Chà, chúng ta cùng thử những công thức này xem sao, tập tìm điểm trên đường tròn xem sao?

1. Tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị có được bằng cách quay một điểm.

2. Tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị có được khi quay một điểm trên.

3. Tìm tọa độ của một điểm trên một đường tròn đơn vị có được khi quay một điểm.

4. Điểm - tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn bằng nhau. Cần tìm tọa độ của điểm có được bằng cách quay vectơ bán kính ban đầu bằng.

5. Điểm - tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn bằng nhau. Cần tìm tọa độ của điểm có được bằng cách quay vectơ bán kính ban đầu bằng.

Bạn gặp khó khăn khi tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn?

Giải quyết năm ví dụ này (hoặc hiểu rõ lời giải) và bạn sẽ học cách tìm ra chúng!

1.

Có thể thấy rằng. Và chúng ta biết những gì tương ứng với một vòng quay đầy đủ của điểm xuất phát. Vì vậy, điểm mong muốn sẽ ở vị trí tương tự như khi bật. Biết được điều này, chúng ta tìm được tọa độ mong muốn của điểm:

2. Hình tròn là đơn vị với tâm tại một điểm, có nghĩa là chúng ta có thể sử dụng các công thức đơn giản hóa:

Có thể thấy rằng. Chúng tôi biết những gì tương ứng với hai hết lượtđiểm khởi đầu. Như vậy, điểm mong muốn sẽ ở cùng vị trí như khi quay sang. Biết được điều này, chúng ta tìm được tọa độ mong muốn của điểm:

Sin và côsin là bảng giá trị. Chúng tôi ghi nhớ các giá trị của họ và nhận được:

Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.

3. Hình tròn là đơn vị với tâm tại một điểm, có nghĩa là chúng ta có thể sử dụng các công thức đơn giản hóa:

Có thể thấy rằng. Hãy mô tả ví dụ được xem xét trong hình:

Bán kính tạo thành các góc với trục bằng và. Biết rằng bảng giá trị của cosin và sin bằng nhau, và xác định rằng cosin ở đây sẽ lấy câu khẳng định, và sin là dương, chúng ta có:

Hơn ví dụ tương tự hiểu rõ khi học các công thức tính quy đổi hàm số lượng giác trong chuyên đề.

Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.

4.

Góc quay của vectơ bán kính (theo điều kiện)

Để xác định các dấu hiệu tương ứng của sin và côsin, chúng ta xây dựng một đường tròn đơn vị và một góc:

Như bạn có thể thấy, giá trị, nghĩa là dương và giá trị, nghĩa là, âm. Biết các giá trị dạng bảng của các hàm lượng giác tương ứng, chúng ta thu được:

Hãy thay các giá trị thu được vào công thức của chúng tôi và tìm tọa độ:

Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.

5. Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi sử dụng các công thức ở dạng tổng quát, trong đó

Tọa độ của tâm hình tròn (trong ví dụ của chúng tôi,

Bán kính vòng tròn (theo điều kiện)

Góc quay của vectơ bán kính (theo điều kiện).

Thay thế tất cả các giá trị vào công thức và nhận được:

và - giá trị bảng. Chúng tôi ghi nhớ và thay thế chúng vào công thức:

Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.

TÓM TẮT VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN

Sin của một góc là tỷ số của chân đối diện (xa) với cạnh huyền.

Côsin của một góc là tỷ số giữa chân liền kề (gần) với cạnh huyền.

Tiếp tuyến của một góc là tỷ số của chân đối diện (xa) với chân kề (gần).

Cotang của một góc là tỷ số giữa chân liền kề (gần) và chân đối diện (xa).

Bài viết này đã sưu tầm bảng sin, cosin, tiếp tuyến và cotang. Đầu tiên, chúng ta đưa ra một bảng các giá trị cơ bản của các hàm lượng giác, tức là bảng các sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của các góc 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 độ ( 0, π / 6, π / 4, π / 3, π / 2,…, 2π rađian). Sau đó, chúng ta sẽ đưa ra một bảng sin và cosin, cũng như một bảng tiếp tuyến và cotang của V. M. Bradis, và chỉ ra cách sử dụng các bảng này khi tìm giá trị của các hàm lượng giác.

Điều hướng trang.

Bảng sin, cosin, tiếp tuyến và góc nghiêng cho các góc 0, 30, 45, 60, 90, ... độ

Thư mục.

• Đại số học: Proc. cho 9 ô. trung bình trường học / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Khai sáng, 1990.- 272 trang: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I.Đại số và sự khởi đầu của phân tích: Proc. cho 10-11 ô. trung bình trường học - Xuất bản lần thứ 3. - M.: Khai sáng, 1993. - 351 tr: ốm. - ISBN 5-09-004617-4.
• Đại số học và phần mở đầu của phân tích: Proc. cho 10-11 ô. giáo dục phổ thông các tổ chức / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn và những người khác; Ed. A. N. Kolmogorova. - Xuất bản lần thứ 14. - M.: Khai sáng, 2004. - 384 trang: bệnh. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Toán học (sách hướng dẫn cho người nộp đơn vào các trường kỹ thuật): Proc. trợ cấp.- M.; Cao hơn school, 1984.-351 p., ill.
• Bradis V. M. Bảng toán học bốn chữ số: Dành cho giáo dục phổ thông. sách giáo khoa các cơ sở. - Lần xuất bản thứ 2. - M.: Bustard, 1999. - 96 trang: bệnh. ISBN 5-7107-2667-2