Bằng Một Hằng Số E. Toán Học Mà Tôi Thích

Mọi người đều biết ý nghĩa hình học con số π là chu vi của hình tròn có đường kính đơn vị:

Và đây là ý nghĩa của một hằng số quan trọng khác, e, có xu hướng nhanh chóng bị lãng quên. Đó là, tôi không biết về bạn, nhưng tôi cần cố gắng để nhớ tại sao con số bằng 2,7182818284590 này lại đáng chú ý đến vậy ... (tuy nhiên, tôi đã ghi lại giá trị từ bộ nhớ). Vì vậy, tôi quyết định viết một ghi chú để nhiều hơn nữa không bay ra khỏi bộ nhớ.

Con số e theo định nghĩa - giới hạn của một hàm y = (1 + 1 / x) x tại x → ∞:

x	y
1	(1 + 1 / 1) 1	= 2
2	(1 + 1 / 2) 2	= 2,25
3	(1 + 1 / 3) 3	= 2,3703703702...
10	(1 + 1 / 10) 10	= 2,5937424601...
100	(1 + 1 / 100) 100	= 2,7048138294...
1000	(1 + 1 / 1000) 1000	= 2,7169239322...
∞	lim × → ∞	= 2,7182818284590...

Thật không may, định nghĩa này không rõ ràng. Không rõ tại sao giới hạn này là đáng chú ý (mặc dù thực tế là nó được gọi là "đáng chú ý thứ hai"). Chỉ nghĩ rằng, họ đã lấy một số chức năng vụng về, tính toán giới hạn. Một chức năng khác sẽ có một chức năng khác.

Nhưng số e vì một lý do nào đó xuất hiện trong một loạt các Những tình huống khác nhau Trong toán học.

Cho tôi điểm chính con số eđược tiết lộ trong hoạt động của một chức năng khác, thú vị hơn nhiều, y = k x. Tính năng này có tài sản độc nhất tại k = e, có thể được hiển thị bằng đồ thị như sau:

Tại điểm 0, hàm nhận giá trị e 0 = 1. Nếu chúng ta vẽ một tiếp tuyến tại điểm x= 0, sau đó nó sẽ truyền tới trục x một góc với tiếp tuyến 1 (trong tam giác vàng tỷ số của chân đối diện 1 với chân đối diện 1 là 1). Tại điểm 1, hàm nhận giá trị e 1 = e. Nếu chúng ta vẽ một tiếp tuyến tại một điểm x= 1, sau đó nó sẽ đi qua một góc với tiếp tuyến e(trong tam giác màu xanh lá cây tỷ lệ chân đối diện eđến liền kề 1 là bằng e). Tại điểm 2, giá trị e 2 hàm số lại trùng với tiếp tuyến của hệ số góc của tiếp tuyến với nó. Do đó, đồng thời các tiếp tuyến cắt trục x chính xác tại các điểm −1, 0, 1, 2, v.v.

Trong số tất cả các tính năng y = k x(ví dụ: 2 x , 10 x , π x vv), chức năng e x- cái duy nhất có vẻ đẹp đến mức tiếp tuyến của hệ số góc tại mỗi điểm của nó trùng với giá trị của chính hàm số. Vì vậy, theo định nghĩa, giá trị của hàm này tại mỗi điểm trùng với giá trị của đạo hàm tại điểm này: ( e x)´ = e x. Vì một số lý do số e= 2.7182818284590 ... phải được nâng lên các mức độ khác nhauđể có được bức tranh này.

Đó, theo tôi, là ý nghĩa của nó.

Con số π và eđược đưa vào công thức yêu thích của tôi - công thức của Euler, kết nối 5 hằng số quan trọng nhất - không, một, một hằng số tưởng tượng tôi và thực tế là những con số π và e:

ê-kip + 1 = 0

Tại sao số 2.7182818284590 ... trong mức độ phức tạp 3,1415926535...tôiđột ngột bằng trừ một? Câu trả lời cho câu hỏi này nằm ngoài phạm vi của một ghi chú và có thể hình thành nội dung của một cuốn sách nhỏ đòi hỏi một số hiểu biết ban đầu về lượng giác, giới hạn và chuỗi số.

Tôi đã luôn ngạc nhiên trước vẻ đẹp của công thức này. Có lẽ trong toán học có nhiều sự thật đáng kinh ngạc, nhưng đối với cấp độ của tôi (ba trong Lyceum Vật lý và Toán học và năm cho phân tích phức tạp tại trường đại học) là phép màu quan trọng nhất.

NUMBER e Một số xấp xỉ bằng 2,718, thường được tìm thấy trong toán học và Khoa học tự nhiên. Ví dụ, khi phá vỡ chất phóng xạ sau thời gian t, lượng chất ban đầu còn lại một phần bằng e-kt, với k là số đặc trưng cho tốc độ phân rã chất đã cho. Giá trị nghịch đảo của 1 / k được gọi là thời gian sống trung bình của nguyên tử của một chất nhất định, vì trung bình một nguyên tử tồn tại trong thời gian 1 / k trước khi phân rã. Giá trị 0,693 / k được gọi là chu kỳ bán rã của chất phóng xạ, tức là thời gian để một nửa lượng chất ban đầu bị phân rã; số 0,693 gần bằng loge 2, tức là logarit của 2 đối với cơ số e. Tương tự, nếu vi khuẩn trong môi trường dinh dưỡng nhân lên với tốc độ tỷ lệ thuận với số lượng của chúng trong khoảnh khắc này, thì sau thời gian t số lượng ban đầu vi khuẩn N biến thành Nekt. sự suy giảm dòng điện Tôi trong một mạch đơn giản với kết nối nối tiếp, điện trở R và độ tự cảm L xảy ra theo định luật I = I0e-kt, trong đó k = R / L, I0 là cường độ dòng điện tại thời điểm t = 0. Các công thức tương tự mô tả sự giãn ứng suất trong chất lỏng nhớt và sự suy giảm từ trường. Số 1 / k thường được gọi là thời gian thư giãn. Trong thống kê, giá trị của e-kt xảy ra là xác suất để trong thời gian t không có sự kiện nào xảy ra ngẫu nhiên với tần suất trung bình là k sự kiện trên một đơn vị thời gian. Nếu S là số tiền được đầu tư ở mức r phần trăm với tích lũy liên tục thay vì cộng dồn theo các khoảng thời gian riêng biệt, thì đến thời điểm t, số tiền ban đầu sẽ tăng lên Setr / 100. Lý do cho sự "toàn diện" của số e là do công thức phân tích toán học, chứa các hàm số mũ hoặc logarit, được viết đơn giản hơn nếu logarit được đưa đến cơ số e, thay vì 10 hoặc một số cơ số khác. Ví dụ, đạo hàm của log10 x là (1 / x) log10 e, trong khi đạo hàm của loge x chỉ đơn giản là 1 / x. Tương tự, đạo hàm của 2x là 2xloge 2, trong khi đạo hàm của ex đơn giản là ex. Điều này có nghĩa là số e có thể được xác định là cơ sở b, mà đồ thị của hàm số y = logb x có tiếp tuyến tại điểm x = 1 với hệ số độ dốc bằng 1, hoặc mà đường cong y = bx có tiếp tuyến tại x = 0 với hệ số góc bằng 1. Logarit trong cơ sở e được gọi là "tự nhiên" và được ký hiệu là ln x. Đôi khi chúng còn được gọi là "non-Perean", điều này không chính xác, vì trong thực tế J. Napier (1550-1617) đã phát minh ra logarit với một cơ số khác: logarit phi Perian của số x là 107 log1 / e (x / 107) (xem thêm LOGARITHM). Các tổ hợp lũy thừa khác nhau của e rất phổ biến trong toán học đến nỗi chúng có những cái tên đặc biệt. Ví dụ, đây là hàm hyperbolic

Đồ thị của hàm số y = ch x được gọi là một phân giác; một sợi hoặc chuỗi nặng không thể kéo dài được treo ở hai đầu có hình dạng như vậy. Công thức Euler

trong đó i2 = -1, liên kết số e với lượng giác. trương hợp đặc biệt x = p dẫn đến quan hệ nổi tiếng eip + 1 = 0, liên kết 5 số nổi tiếng nhất trong toán học. Khi tính giá trị của e, một số công thức khác cũng có thể được sử dụng (công thức đầu tiên thường được sử dụng nhất):

Giá trị của e với 15 chữ số thập phân là 2,718281828459045. Năm 1953, giá trị của e được tính với 3333 chữ số thập phân. Ký hiệu e cho con số này được đưa ra vào năm 1731 bởi L. Euler (1707-1783). Khai triển thập phân của số e là không tuần hoàn (e là số vô tỉ). Ngoài ra, e, giống như p, là một số siêu việt (nó không phải là gốc của bất kỳ phương trình đại số với hệ số hữu tỉ). Điều này đã được chứng minh vào năm 1873 bởi Sh. Hermit. Lần đầu tiên người ta chỉ ra rằng một số phát sinh theo cách tự nhiên như vậy trong toán học là siêu nghiệm. Xem thêmPHÂN TÍCH TOÁN HỌC ; CÁC HÌNH THỨC TIẾP TỤC; LÝ THUYẾT SỐ; SỐ p; ĐƯỜNG LỐI.

Từ điển bách khoa Collier. - Xã hội cởi mở. 2000 .

Xem "NUMBER e" là gì trong các từ điển khác:

con số- Nguồn tiếp tân: GOST 111 90: Kính tấm. Thông số kỹ thuật tài liệu gốc Xem thêm các thuật ngữ liên quan: 109. Số dao động betatron ... Sách tham khảo từ điển về thuật ngữ của tài liệu quy chuẩn và kỹ thuật

Ví dụ:, s., Sử dụng. rất thường xuyên Hình thái: (không) gì? những con số để làm gì? số, (xem) cái gì? số hơn? số về cái gì? về số lượng; làm ơn gì? số, (không) là gì? những con số để làm gì? số, (xem) cái gì? số hơn? con số về cái gì? về toán học số 1. Số ... ... Từ điển Dmitrieva

SỐ, số, làm ơn. số, số, số, cf. 1. Khái niệm, phục vụ như một biểu thứcđại lượng mà việc đếm các đối tượng và hiện tượng được thực hiện (mat.). Số nguyên. Số phân số. số được đặt tên. Số nguyên tố. (xem giá trị simple1 trong 1).…… Từ điển giải thích của Ushakov

Một ký hiệu trừu tượng, không có nội dung đặc biệt, của bất kỳ thành viên nào của một bộ truyện nhất định, trong đó thành viên này đứng trước hoặc theo sau bởi một số thành viên xác định khác; một đặc điểm riêng lẻ trừu tượng giúp phân biệt một tập hợp với ... ... Bách khoa toàn thư triết học

Con số- Con số phạm trù ngữ pháp bày tỏ đặc điểm định lượngđối tượng của tư tưởng. số ngữ pháp một trong những biểu hiện của một thể loại ngôn ngữ số lượng (xem mục Ngôn ngữ) cùng với biểu hiện từ vựng("từ vựng ... ... Từ điển bách khoa ngôn ngữ

NHƯNG; làm ơn số, làng, đóng sầm; cf. 1. Một đơn vị tài khoản thể hiện một hoặc một số lượng khác. Số thập phân, số nguyên, giờ đơn giản. Giờ chẵn, lẻ. Đếm dưới dạng số tròn (xấp xỉ, đếm theo đơn vị nguyên hoặc hàng chục). Giờ tự nhiên (số nguyên dương ... từ điển bách khoa

Thứ Tư số lượng, đếm, cho câu hỏi: bao nhiêu? và chính dấu hiệu thể hiện số lượng, con số. Không có số; không số, không đếm, nhiều nhiều. Đặt đồ dùng theo số lượng khách. Số La Mã, Ả Rập hoặc nhà thờ. Số nguyên, tương phản. phần nhỏ. ... ... Từ điển giải thích của Dahl

SỐ, a, làm ơn số lượng, làng mạc, slam, cf. 1. Khái niệm cơ bản của toán học là giá trị, với sự trợ giúp của nó được tính toán. Số nguyên Giờ phân số Giờ thực Giờ phức Giờ tự nhiên (số nguyên số dương). Đơn giản h. ( số tự nhiên, không phải… … Từ điển giải thích của Ozhegov

SỐ "E" (EXP), một số vô tỉ dùng làm cơ sở của các THUẬT TOÁN tự nhiên. Nó hợp lệ số thập phân, một phân số vô hạn bằng 2,7182818284590 ...., là giới hạn của biểu thức (1 /) khi n có xu hướng đến vô cùng. Trên thực tế,… … Từ điển bách khoa khoa học và kỹ thuật

Số lượng, tiền mặt, thành phần, sức mạnh, dự phòng, số lượng, con số; ngày .. T4. . Xem ngày, số lượng. không phải con số lớn, không có số lượng, phát triển trong số lượng ... Từ điển các từ đồng nghĩa của Nga và các biểu thức tương tự về nghĩa. Dưới. ed. N. Abramova, M .: Người Nga ... ... Từ điển đồng nghĩa

Sách

• Tên số. Bí mật về số học. Thoát khỏi cơ thể cho kẻ lười biếng. Sách giáo khoa về nhận thức ngoại cảm (số tập: 3)
• Tên số. Một cái nhìn mới về các con số. Numerology - con đường của tri thức (số tập: 3), Lawrence Shirley. Tên số. Bí mật về số học. Cuốn sách của Shirley B. Lawrence là một nghiên cứu toàn diện về hệ thống bí truyền cổ đại - thuật số học. Để tìm hiểu cách sử dụng rung số để…

Mô tả e là “một hằng số xấp xỉ bằng 2,71828…” giống như cách gọi số pi “ số vô tỉ, xấp xỉ bằng 3,1415 ... ”. Không nghi ngờ gì nữa, nhưng bản chất vẫn lẩn tránh chúng ta.

Số pi là tỷ số giữa chu vi hình tròn và đường kính của nó, giống nhau đối với tất cả các hình tròn.. Đây là một tỷ lệ cơ bản chung cho tất cả các hình tròn, và do đó, nó liên quan đến việc tính chu vi, diện tích, thể tích và diện tích bề mặt cho các hình tròn, hình cầu, hình trụ, v.v. Pi cho thấy rằng tất cả các vòng kết nối đều được kết nối, chưa kể hàm lượng giác xuất phát từ các đường tròn (sin, côsin, tiếp tuyến).

Số e là tỷ lệ tăng trưởng cơ bản cho tất cả các quá trình tăng trưởng liên tục. Số e cho phép bạn lấy một tỷ lệ tăng trưởng đơn giản (trong đó sự khác biệt chỉ hiển thị vào cuối năm) và tính toán các thành phần của chỉ số này, mức tăng trưởng bình thường, trong đó mỗi nano giây (hoặc thậm chí nhanh hơn) mọi thứ đều tăng lên một chút hơn.

Số e tham gia vào cả hệ thống tăng trưởng theo cấp số nhân và không đổi: dân số, phân rã phóng xạ, tính toán lãi suất, và nhiều, nhiều thứ khác. Ngay cả các hệ thống bậc không phát triển đồng đều có thể được tính gần đúng bằng số e.

Cũng giống như bất kỳ số nào có thể được coi là phiên bản "được chia tỷ lệ" của 1 (đơn vị cơ sở), bất kỳ vòng tròn nào cũng có thể được coi là phiên bản "được chia tỷ lệ" của vòng tròn đơn vị(có bán kính 1). Và bất kỳ yếu tố tăng trưởng nào cũng có thể được coi là phiên bản "thu nhỏ" của e (một yếu tố tăng trưởng "đơn").

Vậy số e không phải là số ngẫu nhiên được lấy ngẫu nhiên. Số e thể hiện ý tưởng rằng tất cả các hệ thống đang phát triển liên tục đều là các phiên bản được chia tỷ lệ của cùng một số liệu.

Khái niệm về tăng trưởng theo cấp số nhân

Hãy bắt đầu bằng cách xem xét hệ thống cơ bản nhân đôi phía sau Thời kỳ nhất định thời gian. Ví dụ:

• Vi khuẩn phân chia và "nhân đôi" với số lượng sau mỗi 24 giờ
• Chúng ta sẽ thu được gấp đôi số mì nếu bẻ đôi
• Số tiền của bạn tăng gấp đôi mỗi năm nếu bạn nhận được 100% lợi nhuận (thật may mắn!)

Và nó trông giống như thế này:

Chia đôi hoặc nhân đôi là một tiến trình rất đơn giản. Tất nhiên, chúng ta có thể tăng gấp ba hoặc gấp bốn lần, nhưng nhân đôi sẽ thuận tiện hơn cho việc giải thích.

Về mặt toán học, nếu chúng ta có x phép chia, chúng ta nhận được số tốt gấp 2 ^ x lần chúng ta có lúc đầu. Nếu chỉ tạo 1 phân vùng, chúng ta nhận được gấp 2 ^ 1 lần. Nếu có 4 phân vùng, chúng ta nhận được 2 ^ 4 = 16 phần. Công thức chung trông giống như vậy:

sự phát triển= 2 x

Nói cách khác, tăng gấp đôi là tăng 100%. Chúng ta có thể viết lại công thức này như sau:

sự phát triển= (1 + 100%) x

Đây là cùng một đẳng thức, chúng tôi chỉ chia "2" thành các phần cấu thành của nó, về bản chất con số này là: giá trị ban đầu(1) cộng thêm 100%. Thông minh, phải không?

Tất nhiên, chúng ta có thể thay thế bất kỳ số nào khác (50%, 25%, 200%) thay vì 100% và lấy công thức tăng trưởng cho tỷ lệ mới này. Công thức chung cho x khoảng thời gian của chuỗi thời gian sẽ như sau:

sự phát triển = (1+sự phát triển) x

Điều này đơn giản có nghĩa là chúng tôi sử dụng tỷ lệ hoàn vốn, (1 + tăng trưởng), "x" lần liên tiếp.

Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn

Công thức của chúng tôi giả định rằng sự tăng trưởng xảy ra theo các bước rời rạc. Vi khuẩn của chúng ta chờ đợi, chờ đợi, và sau đó hoạt động !, và trong phút trước chúng tăng gấp đôi về số lượng. Lợi nhuận từ tiền gửi của chúng tôi xuất hiện một cách kỳ diệu chính xác sau 1 năm. Dựa trên công thức được viết ở trên, lợi nhuận tăng theo từng bước. Chấm xanh xuất hiện đột ngột.

Nhưng thế giới không phải lúc nào cũng như thế này. Nếu chúng ta phóng to, chúng ta có thể thấy rằng những người bạn vi khuẩn của chúng ta đang phân chia không ngừng:

Đứa trẻ màu xanh lá cây không từ không có gì cả: nó từ từ lớn lên từ bố mẹ màu xanh lam. Sau 1 khoảng thời gian (trong trường hợp của chúng tôi là 24 giờ), bạn xanh đã chín hoàn toàn. Sau khi trưởng thành, nó trở thành một thành viên chính thức màu xanh lam của đàn và có thể tự tạo ra các tế bào màu xanh lá cây mới.

Thông tin này bằng cách nào đó sẽ thay đổi phương trình của chúng ta?

Không. Trong trường hợp của vi khuẩn, các tế bào màu xanh lục được hình thành một nửa vẫn không thể làm gì cho đến khi chúng lớn lên và tách biệt hoàn toàn khỏi bố mẹ màu xanh lam của chúng. Vì vậy, phương trình là đúng.

CON SỐ e. Một con số gần bằng 2,718, thường được tìm thấy trong toán học và khoa học. Ví dụ, trong quá trình phân rã của một chất phóng xạ sau một thời gian t từ lượng ban đầu của chất còn lại một phần bằng e – kt, ở đâu k- con số đặc trưng cho tốc độ phân rã của một chất đã cho. Đối ứng 1 / kđược gọi là thời gian tồn tại trung bình của một nguyên tử của một chất nhất định, vì trung bình một nguyên tử tồn tại trong thời gian 1 / k. Giá trị 0,693 / kđược gọi là chu kỳ bán rã của chất phóng xạ, tức là thời gian để một nửa lượng chất ban đầu bị phân rã; số 0,693 xấp xỉ bằng log e 2, tức là logarit cơ số 2 e. Tương tự, nếu vi khuẩn trong môi trường dinh dưỡng nhân lên với tốc độ tỷ lệ thuận với số lượng của chúng tại thời điểm này, thì sau thời gian t số lượng vi khuẩn ban đầu N trở thành Ne kt. Sự suy giảm của dòng điện Tôi trong một đoạn mạch đơn giản mắc nối tiếp, điện trở R và điện cảm L diễn ra theo luật I = tôi 0 e – kt, ở đâu k = R / L, Tôi 0 - cường độ hiện tại tại thời điểm t= 0. Các công thức tương tự mô tả sự giãn ứng suất trong chất lỏng nhớt và sự tắt dần của từ trường. Số 1/ k thường được gọi là thời gian thư giãn. Trong thống kê, giá trị e – kt xảy ra như một xác suất mà theo thời gian t không có sự kiện nào xảy ra ngẫu nhiên với tần suất trung bình k sự kiện trên một đơn vị thời gian. Nếu một S- số tiền đã đầu tư r tiền lãi được cộng dồn liên tục thay vì được cộng dồn theo các khoảng thời gian riêng biệt, sau đó theo thời gian t số tiền ban đầu sẽ tăng lên Setr/100.

Lý do cho sự "toàn năng" của con số e là các công thức phân tích toán học có chứa hàm số mũ hoặc logarit được viết dễ dàng hơn nếu logarit được lấy ở dạng cơ số e, không phải 10 hoặc một số cơ sở khác. Ví dụ, đạo hàm của log 10 x bằng (1 / x) log 10 e, trong khi đạo hàm của log Ví dụ chỉ là 1 / x. Tương tự, đạo hàm của 2 x bằng 2 x khúc gỗ e 2, trong khi đạo hàm của Ví dụ chỉ bằng Ví dụ. Điều này có nghĩa là số e có thể được định nghĩa là cơ sở b, mà đồ thị của hàm y = khúc gỗ b x có ở điểm x= 1 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 hoặc tại đó đường cong y = bx có trong x= 0 Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1. Lôgarit cơ sở eđược gọi là "tự nhiên" và được ký hiệu là ln x. Đôi khi chúng còn được gọi là "non-Perian", điều này không đúng, vì trong thực tế J. Napier (1550–1617) đã phát minh ra logarit với một cơ số khác: logarit phi Perian của một số x bằng 10 7 log 1 / e (x/10 7) .

Nhiều mức độ kết hợp e rất phổ biến trong toán học đến nỗi chúng có những cái tên đặc biệt. Ví dụ, đây là các hàm hyperbolic

Đồ thị hàm số y= ch xđược gọi là một dây xích; một sợi hoặc chuỗi nặng không thể kéo dài được treo ở hai đầu có hình dạng như vậy. Công thức Euler

ở đâu tôi 2 = -1, số ràng buộc e với lượng giác. trương hợp đặc biệt x = p dẫn đến mối quan hệ nổi tiếng ip+ 1 = 0, liên kết 5 số nổi tiếng nhất trong toán học.

| Số Euler (E)

e - cơ số của lôgarit tự nhiên, hằng số toán học, số vô tỉ và siêu việt. Khoảng bằng 2,71828. Đôi khi số được gọi là Số Euler hoặc Số Napier. Được biểu thị bằng chữ thường Chữ cái la tinh « e».

Câu chuyện

Con số e lần đầu tiên xuất hiện trong toán học như một cái gì đó không đáng kể. Điều này xảy ra vào năm 1618. Trong phần phụ lục cho công trình của John Napier về logarit, một bảng logarit tự nhiên đã được đưa ra những con số khác nhau. Tuy nhiên, không ai hiểu rằng đây là logarit cơ số e , vì một thứ như một cơ số không được bao gồm trong khái niệm lôgarit của thời đó. Đây là cái mà chúng ta gọi là logarit là lũy thừa mà cơ số phải được nâng lên để có được số cần thiết. Chúng ta sẽ quay lại vấn đề này sau. Bảng trong phần phụ lục rất có thể do Ougthred thực hiện, mặc dù tác giả không được ghi công. Một vài năm sau, vào năm 1624, tài liệu toán học xuất hiện trở lại e , nhưng lại bị che đậy. Năm nay, Briggs đã đưa ra một giá trị xấp xỉ bằng số của lôgarit cơ số 10 e , nhưng chính con số e không được đề cập trong công việc của mình.

Lần xuất hiện tiếp theo của số e một lần nữa nghi ngờ. Năm 1647, Saint-Vincent tính diện tích của một cung hyperbol. Cho dù anh ta có hiểu mối liên hệ với logarit hay không, người ta chỉ có thể đoán, nhưng ngay cả khi anh ta hiểu, không chắc anh ta có thể đi đến chính con số e . Mãi đến năm 1661, Huygens mới hiểu được mối liên hệ giữa hyperbol cân bằng và logarit. Ông đã chứng minh rằng diện tích dưới đồ thị của một hyperbol cân xy = 1 cân bằng hyperbola trên khoảng từ 1 đến e là 1. Thuộc tính này làm cho e cơ sở của logarit tự nhiên, nhưng các nhà toán học thời đó không hiểu điều này, nhưng họ đã từ từ tiếp cận sự hiểu biết này.

Huygens thực hiện bước tiếp theo vào năm 1661. Ông đã xác định một đường cong mà ông gọi là logarit (theo thuật ngữ của chúng tôi, chúng tôi sẽ gọi nó là hàm mũ). Đây là một đường cong có dạng y = ka x . Và một lần nữa có một lôgarit thập phân e , mà Huygens tìm thấy trong vòng 17 chữ số thập phân. Tuy nhiên, nó xuất hiện trong Huygens như một loại hằng số và không liên quan đến logarit của một số (vì vậy, một lần nữa chúng lại gần với e , nhưng chính con số e Vẫn chưa được biết).

Trong nghiên cứu sâu hơn về logarit, một lần nữa, số e không xuất hiện một cách rõ ràng. Tuy nhiên, nghiên cứu về logarit vẫn tiếp tục. Năm 1668, Nicolaus Mercator xuất bản một tác phẩm Logarithmotechnia, chứa phần mở rộng chuỗi log (1 + x) . Trong tác phẩm này, Mercator lần đầu tiên sử dụng tên “ lôgarit tự nhiên”Cho lôgarit cơ số e . Con số e rõ ràng là không xuất hiện nữa, nhưng vẫn ẩn hiện ở một nơi nào đó ở phía xa.

Đáng ngạc nhiên, con số e Lần đầu tiên phát sinh một cách rõ ràng không liên quan đến logarit, mà liên quan đến các tích vô hạn. Năm 1683, Jacob Bernoulli cố gắng tìm

Ông sử dụng định lý nhị thức để chứng minh rằng giới hạn này nằm trong khoảng từ 2 đến 3, và điều này chúng ta có thể coi đây là ước lượng gần đúng đầu tiên của số e . Mặc dù chúng tôi coi đây là một định nghĩa e , đây là lần đầu tiên một số được xác định là giới hạn. Bernoulli, tất nhiên, không hiểu mối liên hệ giữa công việc của mình và công việc về lôgarit.

Trước đây, người ta đã đề cập rằng logarit khi bắt đầu nghiên cứu của họ không được liên kết với số mũ theo bất kỳ cách nào. Tất nhiên, từ phương trình x = a t chúng tôi thấy rằng t = log x , nhưng đây là một cách nhận thức muộn hơn nhiều. Ở đây chúng tôi thực sự có nghĩa là lôgarit là một hàm, trong khi lúc đầu, lôgarit chỉ được coi là một số hỗ trợ trong tính toán. Có lẽ Jacob Bernoulli là người đầu tiên nhận ra rằng hàm logarit là cấp số nhân nghịch đảo. Mặt khác, người đầu tiên liên kết logarit và lũy thừa có thể là James Gregory. Năm 1684, ông chắc chắn nhận ra mối liên hệ giữa logarit và lũy thừa, nhưng có thể ông không phải là người đầu tiên.

Chúng tôi biết rằng số e xuất hiện ở dạng như bây giờ, vào năm 1690. Leibniz, trong một bức thư gửi cho Huygens, đã sử dụng tên gọi này b . Cuối cùng e một sự chỉ định đã xuất hiện (mặc dù nó không trùng với cái hiện đại), và sự chỉ định này đã được công nhận.

Năm 1697, Johann Bernoulli bắt đầu nghiên cứu hàm mũ và xuất bản Principia Calculi exponentialum seu percurrentium. Trong bài báo này, tổng của các chuỗi số mũ khác nhau được tính toán và một số kết quả thu được bằng cách tích phân chúng theo từng số hạng.

Leonhard Euler đã giới thiệu rất nhiều ký hiệu toán học, không có gì đáng ngạc nhiên khi chỉ định e cũng thuộc về anh ấy. Có vẻ nực cười khi nói rằng anh ấy đã sử dụng chữ cái e bởi vì nó là chữ cái đầu tiên của tên anh ta. Nó có lẽ thậm chí không phải bởi vì e được lấy từ từ “lũy thừa”, nhưng chỉ đơn giản là nguyên âm tiếp theo sau “a”, và Euler đã sử dụng ký hiệu “a” trong tác phẩm của mình. Bất kể lý do là gì, tên gọi này lần đầu tiên xuất hiện trong một bức thư từ Euler gửi Goldbach vào năm 1731. Ông đã có nhiều khám phá bằng cách nghiên cứu e muộn hơn, nhưng chỉ vào năm 1748 ở Giới thiệu trong Analysin infinitorum anh ấy đã đưa ra lời biện minh đầy đủ cho tất cả các ý tưởng liên quan đến e . Anh ấy đã cho thấy rằng

Euler cũng tìm thấy 18 chữ số thập phân đầu tiên của một số e :

Đúng, không cần giải thích làm thế nào anh ta có được chúng. Có vẻ như anh ấy đã tự mình tính toán giá trị này. Trên thực tế, nếu bạn lấy khoảng 20 số hạng của chuỗi (1), bạn sẽ có được độ chính xác mà Euler có được. Trong so nhung nguoi khac kết quả thú vị trong công việc của mình, mối quan hệ giữa các hàm sin và côsin và phức hàm số mũ, mà Euler rút ra từ công thức của De Moivre.

Điều thú vị là Euler thậm chí còn tìm thấy sự phân hủy của số e thành các phân số tiếp tục và đưa ra các ví dụ về các khai triển đó. Đặc biệt, anh nhận được

Euler đã không cung cấp bằng chứng rằng những phân số này tiếp tục theo cùng một cách, nhưng ông biết rằng nếu có một bằng chứng như vậy, thì nó sẽ chứng minh sự không hợp lý. e . Thật vậy, nếu phân số tiếp tục cho (e - 1) / 2 , tiếp tục theo cách tương tự như trong mẫu trên, 6,10,14,18,22,26, (mỗi lần chúng ta thêm 4), sau đó nó sẽ không bao giờ bị gián đoạn, và (e-1) / 2 (và do đó e ) không thể hợp lý. Rõ ràng, đây là nỗ lực đầu tiên để chứng minh sự phi lý e .

Người đầu tiên tính toán một số lượng khá lớn các vị trí thập phân e , là Shanks vào năm 1854. Glaisher cho thấy 137 ký tự đầu tiên được Shanks tính toán là đúng, nhưng sau đó phát hiện ra lỗi. Shanks đã sửa nó và nhận được 205 chữ số thập phân e . Trên thực tế, cần khoảng 120 số hạng của khai triển (1) để có 200 chữ số chính xác của số e .

Năm 1864, Benjamin Pierce (Peirce) đứng trên chiếc bảng đen có viết

Trong các bài giảng của mình, ông có thể nói với các sinh viên của mình, "Các quý ông, chúng tôi không biết điều này có nghĩa là gì, nhưng chúng tôi có thể chắc chắn rằng nó có ý nghĩa rất quan trọng."

Hầu hết đều tin rằng Euler đã chứng minh sự phi lý của con số e . Tuy nhiên, điều này đã được Hermite thực hiện vào năm 1873. Nó vẫn còn câu hỏi mở liệu số e e đại số. Kết quả cuối cùng theo hướng này là ít nhất một trong các số e e và e e 2 là siêu việt.

Tiếp theo, các vị trí thập phân sau đây đã được tính toán e . Năm 1884, Boorman đã tính được 346 chữ số của một số e , trong đó 187 cái đầu tiên trùng với dấu hiệu của Shanks, nhưng những cái tiếp theo thì khác. Năm 1887, Adams tính được 272 chữ số lôgarit thập phân e .

J. J. Connor, E. F. Robertson. Con số e.