Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki Là Gì? Công Thức Và Cách Chứng Minh

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một trong những nhánh quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bất đẳng thức này này thường được sử dụng nhiều trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức nâng cao. Các em hãy ùng Marathon Education tìm hiểu về công thức tính, cách chứng minh và bài tập bất đẳng thức Bunhiacopxki qua bài viết dưới đây.

Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?

Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi ban đầu bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz sau đó rút gọn lại gọi theo tên của nhà toán học người Nga Bunhiacopxki. Bất đẳng thức này do 3 nhà toán học nghiên cứu và phát triển. Trong lĩnh vực toán học, bất đẳng thức này được ứng dụng khá nhiều để giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị.

Công thức bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:

\begin{aligned} &(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2\\ &\text{Dấu "=” xảy ra khi }ac = bd \end{aligned}

Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng tổng quát:

Với hai bộ số (a1, a2,…,an) và (b1, b2,…,bn), ta có:

\begin{aligned} &(a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2).(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2) ≥ (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)^2\\ &\text{Dấu “=” xảy ra khi } \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} =... = \frac{a_n}{b_n}\\ \end{aligned}

Nếu một số nào đó (i = 1, 2, 3,…, n) bằng 0 thì đẳng thức tương ứng bằng 0.

Ngoài ra:

Hệ quả của bất đẳng thức Bunhiacopxki

Hệ quả 1

\small\text{Nếu }a_1x_1 +... + a_nx_n = C \text{ thì } min(x_1^2+...+x_n^2)=\frac{C}{a_1^2+...+a_n^2} \text{đạt được khi }\frac{x_1}{a_1} =... = \frac{x_n}{a_n}

Hệ quả 2

\begin{aligned} &\small \text{Nếu } x_1^2 +...+ x_n^2 = C^2 \text{ (không đổi) thì:}\\ &\small \bull Max(a_1x_1+...+a_nx_n)=C.\sqrt{a_1^2+...+a_n^2} \text{ đạt được khi } a_1x_1 =... = a_nx_n\geq0.\\ &\small \bull Min(a_1x_1+...+a_nx_n)=-C.\sqrt{a_1^2+...+a_n^2} \text{ và dấu "=" xảy ra khi } a_1x_1 =... = a_nx_n\leq0.\\ \end{aligned} Bài tập cách tính đạo hàm tanx | Marathon Education

ĐĂNG KÝ NGAY

Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki

Các em có thể chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau:

Ta có:

\begin{aligned} &(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2\\ &\Leftrightarrow(ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2 ≥ (ac)^2 + 2abcd + (bd)^2\\ &\Leftrightarrow (ad)^2 + (bc)^2 ≥ 2abcd\\ &\Leftrightarrow (ad)^2 - 2abcd + (bc)^2 ≥0\\ &\Leftrightarrow (ad - bc)^2 ≥ 0\text{ (luôn đúng)} \end{aligned}

Bài tập bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9

Bài tập 1: Cho các số a, b, c là các số thực dương bất kỳ. Chứng minh rằng:

\sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq6

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cho phân thức, ta có:

\begin{aligned} &\footnotesize \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\\ &\footnotesize \Leftrightarrow 1.\sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+1.\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+1.\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq\sqrt{(1+1+1)\left(\frac{a + b}{a + b + c}+\frac{b + c}{a + b + c}+\frac{c + a}{a + b + c}\right)}\\ &\footnotesize \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq \sqrt{3.\left[\frac{2(a + b+c)}{a + b + c}\right]}\\ &\footnotesize \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq \sqrt{3.2}=\sqrt6 \text{ (điều phải chứng minh)}\\ &\footnotesize\text{Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi các giá trị a = b = c} \end{aligned}\\

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất (max) của biểu thức sau:

P=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}

Hướng dẫn:

\begin{aligned} &\footnotesize P=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\\ &\footnotesize \text{Điều kiện: }2 ≤ x ≤ 4\\ &\footnotesize \text{Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki, ta có:}\\ &\footnotesize (1.\sqrt{x -2} + 1.\sqrt{4 -x})^2  ≤ (1^2  + 1^2).(x - 2 + 4 - x) = 2^2 = 4\\ &\footnotesize⟹ P^2 ≤ 4\\ &\footnotesize ⟺ -2 ≤ P ≤ 2\\ &\footnotesize \text{P đạt giá trị lớn nhất khi }P = 2 ⟺ \frac{1}{\sqrt{x -2}} = \frac{1}{\sqrt{4 -x}} ⟺ x - 2 = 4 - x ⟺ x = 3 (TMĐK)\\ &\footnotesize \text{Vậy }P_{max} = 2 ⟺ x = 3 \end{aligned}

Bài tập 3: Cho các số a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki.

Lý thuyết Toán 12: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Ta được:

\begin{aligned} &\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}\\ &\text{Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các số a = b = c} \end{aligned}

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Gia sư Online Học Online Toán 12 Học Online Hóa 10 Học Online Toán 11 Học Online Toán 6 Học Online Toán 10 Học Online Toán 7 Học Online Lý 10 Học Online Lý 9 Học Online Toán 8 Học Online Toán 9 Học Tiếng Anh 6 Học Tiếng Anh 7

Bất đẳng thức Bunhiacopxki thường được áp dụng nhiều trong các bài tập chứng minh bất đẳng thức và tìm cực trị. Do đó, các em cần phải nắm vững khái niệm, công thức tính, cách chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki và làm nhiều dạng bài tập khác nhau để nâng cao kỹ năng giải toán của bản thân. 

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học trực tuyến online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!

Hàm Số Lượng Giác – Lý Thuyết Và Các Công Thức Lượng Giác Đầy Đủ Nhất