Bất đẳng Thức Cô Si - Chuyên đề Toán Lớp 9 Luyện Thi Vào Lớp 10
Có thể bạn quan tâm
-
-
-
Mầm non
-
Lớp 1
-
Lớp 2
-
Lớp 3
-
Lớp 4
-
Lớp 5
-
Lớp 6
-
Lớp 7
-
Lớp 8
-
Lớp 9
-
Lớp 10
-
Lớp 11
-
Lớp 12
-
Thi vào lớp 6
-
Thi vào lớp 10
-
Thi Tốt Nghiệp THPT
-
Đánh Giá Năng Lực
-
Khóa Học Trực Tuyến
-
Hỏi bài
-
Trắc nghiệm Online
-
Tiếng Anh
-
Thư viện Học liệu
-
Bài tập Cuối tuần
-
Bài tập Hàng ngày
-
Thư viện Đề thi
-
Giáo án - Bài giảng
-
Tất cả danh mục
-
- Mầm non
- Lớp 1
- Lớp 2
- Lớp 3
- Lớp 4
- Lớp 5
- Lớp 6
- Lớp 7
- Lớp 8
- Lớp 9
- Lớp 10
- Lớp 11
- Lớp 12
- Thi Chuyển Cấp
-
- Hôm nay +3
- Ngày 2 +3
- Ngày 3 +3
- Ngày 4 +3
- Ngày 5 +3
- Ngày 6 +3
- Ngày 7 +5
Chuyên đề luyện thi vào 10: Bất đẳng thức Cauchy
- I. Bất đẳng thức Cauchy (Cô si)
- II. Bài tập bất đẳng thức Co-si lớp 9
- III. Bài tập bất đẳng thức lớp 9
Trong chương trình Toán lớp 9, bất đẳng thức là một mảng kiến thức vừa quan trọng vừa “khó nhằn” đối với nhiều học sinh, đặc biệt trong các đề thi vào lớp 10 THPT. Trong số đó, bất đẳng thức Cô si được xem là công cụ nền tảng, xuất hiện xuyên suốt từ bài tập cơ bản đến các câu hỏi vận dụng – vận dụng cao. Việc nắm vững bản chất và cách áp dụng bất đẳng thức này sẽ giúp học sinh giải nhanh, gọn và chính xác rất nhiều dạng toán thường gặp trong đề thi.
Bản quyền thuộc về VnDoc.Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép nhằm mục đích thương mại.
I. Bất đẳng thức Cauchy (Cô si)
1. Phát biểu bất đẳng thức Côsi
Bất đẳng thức Cô si của n số thực không âm được phát biểu như sau:
Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
+ Nghĩa là:
Bất đẳng thức Cô si với 2 số thực không âm:
\(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b
Bất đẳng thức Cô si với n số thực không âm:
\(\frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({x_1} = {x_2} = ... = {x_n}\)
2. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy (Cô si) với 2 số thực a và b không âm
+ Với a = 0, b = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn đúng. Với a, b > 0, ta chứng minh:
\(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \\ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \end{array}\)
Suy ra bất đẳng thức luôn đúng với mọi a, b không âm
3. Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (Cô si)
Hệ quả 1:
Nếu tổng hai số dương không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
Hệ quả 2:
Nếu tích hai số dương không đổi thì tổng của của hai số này nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau
II. Bài tập bất đẳng thức Co-si lớp 9
Bài 1: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = x + \frac{7}{x}\) với x > 0.
b) Cho \(a \geq 3\) . Tìm GTNN của biểu thức \(P = a + \frac{1}{a}\) .
c) Cho \(a \geq 2\) . Tìm GTNN của biểu thức \(P = a^{2} + \frac{1}{a}\) .
d) Cho \(a \geq 2\) . Tìm GTNN của biểu thức \(P = \frac{1}{a^{2}} + a\) .
Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0 và ta có:
\(x + \frac{7}{x} \ge 2\sqrt {x.\frac{7}{x}} = 2\sqrt 7\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{7}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 7 \Leftrightarrow x = \sqrt 7\)(do x > 0)
Vậy min\(A = 2\sqrt 7 \Leftrightarrow x = \sqrt 7\).
b) Phân tích
Sai lầm: Nếu vội vàng, ta dẫn đến lời giải sau:
Sử dụng đẳng thức AM-GM cho 2 số dương, ta được:
\(P = a + \frac{1}{a} \geq 2\sqrt{a.\frac{1}{a}} = 2\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a = \frac{1}{a} \Leftrightarrow a = 1 < 3\)
Vậy không có a thỏa nãm nên lời giải trên là sai.
Từ đó việc dự đoán dấu =” xảy ra (tức chọn điểm rơi) là vô cùng quan trọng.
Lời giải đúng: Chọn điểm rơi tại \(a = 3\) .
Với \(a = 3 \Rightarrow a \neq \frac{1}{a}\) nên để sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta phải thêm hệ số \(k > 0\) như sau: \(P = \left( \frac{1}{a} + ka \right) + (a - ka)\)
Tìm k dựa trên dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{a} = ka \\ a = 3 \end{matrix} \right.\ \Rightarrow 3k = \frac{1}{3} \Leftrightarrow k = \frac{1}{9}\) .
Với hướng phân tích như trên, ta có lời giải chi tiết:
\(P = \frac{1}{a} + \frac{a}{9} + \frac{8a}{9} \geq 2\sqrt{\frac{1}{a}.\frac{a}{9}} + \frac{8.3}{9} = \frac{10}{3}\)
\(\Rightarrow MinP = \frac{10}{3} \Leftrightarrow a = 3\)
Ngoài cách phân tích trên, ta còn có nhiều hướng tư duy khác:
Hướng 2:
Ta có: \(P = \left( a + \frac{9}{a} \right) - \frac{10}{3} \geq 6 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}\)
\(\Rightarrow \min P = \frac{10}{3} \Leftrightarrow a = 3\)
Hướng 3:
\(P - \frac{10}{3} = a + \frac{1}{a} - \frac{10}{3} = \frac{3a^{2} - 10a + 3}{3a}\)
\(= \frac{3(a - 3)^{2} + 8(a - 3)}{3a} \geq 0 \Rightarrow P \geq \frac{10}{3}\)
Đẳng thức xảy ra tại \(a = 3\)
c) Hướng 1: Ta dễ thấy điẻm rơi đạt tại \(a = 2\)
Khi đó: \(P = a^{2} + \frac{1}{a} = \left( a^{2} + \frac{8}{a} + \frac{8}{a} \right) - \frac{15}{a} \geq 3\sqrt[3]{64} - \frac{15}{2} = \frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow \min P = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 2\)
Hướng 2:
Ta có:
\(P = a^{2} + \frac{1}{a} = \left( \frac{1}{2a} + \frac{1}{2a} + \frac{a^{2}}{16} \right) + \frac{15}{16}a^{2}\)
\(\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{64}} + \frac{15}{16}.4 = \frac{3}{4} + \frac{15}{4} = \frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow \min P = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 2\)
Hướng 3:
\(P - \frac{9}{2} = a^{2} + \frac{1}{a} - \frac{9}{2} = \frac{2a^{3} - 9a + 2}{2a}\)
\(= \frac{(a - 2)\left( 2a^{2} + 4a - 1 \right)}{2a} \geq 0(\forall a \geq 2) \Rightarrow P \geq \frac{9}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại \(a = 2\)
Hướng 4:
\(P = (a - 2)^{2} + \left( 4a + \frac{16}{a} \right) - \frac{15}{a} - 4 \geq 0 + 2\sqrt{64} - \frac{15}{2} - 4 = \frac{9}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại \(a = 2\)
d) Hướng 1: Ta dễ thấy điẻm rơi đạt tại \(a = 2\)
Ta có: \(P = \frac{1}{a^{2}} + \frac{a}{8} + \frac{a}{8} + \frac{3a}{4} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{64}} + \frac{3}{4}.2 = \frac{9}{4}\) \(\Rightarrow \min P = \frac{9}{4} \Leftrightarrow a = 2\)
Hướng 2:
Ta có: \(P = \left( \frac{a}{2} + \frac{a}{2} + \frac{4}{a^{2}} \right) - \frac{3}{a^{2}} \geq 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}\) \(\Rightarrow MinP = \frac{9}{4} \Leftrightarrow a = 2\)
Hướng 3:
Xét hiệu:
\(P - \frac{9}{4} = \frac{1}{a^{2}} + a - \frac{9}{4} = \frac{4a^{3} - 9a^{2} + 4}{4a^{2}}\)
\(= \frac{(a - 2)\left( 4a^{2} - a - 2 \right)}{4a^{2}} \geq 0\ (\forall a \geq 2) \Rightarrow P \geq \frac{9}{4}.\)
Dấu bằng xảy ra tại \(a = 2.\)
Hướng 4:
Ta có: \(P = \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( \frac{1}{a} + \frac{a}{4} \right) + \frac{3a}{4} - \frac{1}{4} \geq 0 + \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4}.\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a = 2.\)
Bài 2: Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \sqrt x + \sqrt y\).
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt {\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ge \frac{2}{{\sqrt {xy} }} \Leftrightarrow \sqrt {xy} \ge 4\)
Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số x > 0, y > 0 ta có:
\(\sqrt x + \sqrt y \ge 2\sqrt {\sqrt {xy} } = 2\sqrt 4 = 4\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l} x = y\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 4\)
Vậy minA = 4 khi và chỉ khi x = y = 4
Bài 3: Chứng minh với ba số a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 3 thì:
\(\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}\)
Nhận xét: Bài toán đạt được dấu bằng khi và chi khi a = b = c = 1. Ta sẽ sử dụng phương pháp làm trội làm giảm như sau:
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm có:
\(\frac{a}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{1}{{2a}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{a}{{b + c}}.\frac{{b + c}}{4}.\frac{1}{{2a}}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} = \frac{3}{2}\)
Tương tự ta có \(\frac{b}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} + \frac{1}{{2b}} \ge \frac{3}{2}\) và \(\frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} + \frac{1}{{2c}} \ge \frac{3}{2}\)
Cộng vế với vế ta có:
\(\frac{a}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{1}{{2a}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} + \frac{1}{{2b}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} + \frac{1}{{2c}} \ge 3.\frac{3}{2} = \frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{4} + \frac{{ab + bc + ca}}{{2abc}} \ge \frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b + c}}{2} + \frac{{a + b + c}}{2} \ge \frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Bài 4: Cho \(x;y\) là các số thực dương và thỏa mãn \(x + y \leq 1\). Tìm GTNN của biểu thức: \(P = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)\sqrt{1 + x^{2}y^{2}}.\)
Hướng dẫn giải
Ta có: \(1 \geq x + y \geq 2\sqrt{xy} \Leftrightarrow 0 < xy \leq \frac{1}{4}.\)
Từ đó: \(P = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)\sqrt{1 + x^{2}y^{2}} \geq \frac{2}{\sqrt{xy}}.\sqrt{1 + x^{2}y^{2}} = 2\sqrt{\frac{1 + x^{2}y^{2}}{xy}} = 2\sqrt{\frac{1}{xy} + xy}\)
Đặt: \(t = xy\left( 0 < t \leq \frac{1}{4} \right) \Rightarrow P \geq 2\sqrt{t + \frac{1}{t}} = 2\sqrt{\left( t + \frac{1}{16t} \right) + \frac{15}{16t}} \geq 2.\frac{\sqrt{17}}{2} = \sqrt{17}.\)
Vì: \(\left( t + \frac{1}{16t} \right) + \frac{15}{16t} \geq 2\sqrt{\frac{1}{16}} + \frac{15}{4} = \frac{17}{4} \Rightarrow \sqrt{\left( t + \frac{1}{16t} \right) + \frac{15}{16t}} \geq \frac{\sqrt{17}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi: \(t = \frac{1}{4} \Rightarrow x = y = \frac{1}{2}.\)
Vậy \(MinP = \sqrt{17} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}.\)
Bài 5: Cho \(x;y\) là các số thực dương và thỏa mãn \(\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{y} + 1 \right) \geq 4\). Tìm GTNN của biểu thức:\(P = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x}.\)
Hướng dẫn giải
Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại \(x = y = 1\)
Khi đó: \(\left\{ \begin{matrix} x + 1 \geq 2\sqrt{x} \\ y + 1 \geq 2\sqrt{y} \\ \end{matrix} \right.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} x + 3 \geq 2\left( \sqrt{x} + 1 \right) > 0 \\ y + 3 \geq 2\left( \sqrt{y} + 1 \right) > 0 \\ \end{matrix} \right.\)
\(\Rightarrow (x + 3) + (y + 3) \geq 2\left\lbrack \left( \sqrt{x} + 1 \right) + \left( \sqrt{y} + 1 \right) \right\rbrack \geq 4\sqrt{\left( \sqrt{x} + 1 \right)\left( \sqrt{y} + 1 \right)} \geq 8 \Leftrightarrow x + y \geq 2\)
Từ đó: \(P = \frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{x} \geq \frac{(x + y)^{2}}{x + y} = x + y \geq 2\). Vậy: \(MinP = 2 \Leftrightarrow x = y = 1\).
Bài 6: Cho \(a,b\) là các số thực dương và thỏa mãn \((1 + a)(1 + b) = \frac{9}{4}\). Tìm GTNN của biểu thức: \(P = \sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}}\).
Hướng dẫn giải
Ta chứng minh rằng: \(\sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}} \geq \sqrt{4 + \left( a^{2} + b^{2} \right)^{2}},\ \forall a,b\)
Thật vậy, bình phương hai vế ta được:
\(a^{4} + b^{4} + 2 + 2\sqrt{\left( 1 + a^{4} \right)\left( 1 + b^{4} \right)} \geq a^{4} + b^{4} + 2a^{2}b^{2} + 4\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{\left( 1 + a^{4} \right)\left( 1 + b^{4} \right)} \geq a^{2}b^{2} + 1 \Leftrightarrow a^{4}b^{4} + a^{4} + b^{4} + 1 \geq a^{4}b^{4} + 2a^{2}b^{2} + 1\)
\(\Leftrightarrow \left( a^{2} - b^{2} \right)^{2} \geq 0,\forall a,b\)
Mà \(\frac{9}{4} = (1 + a)(1 + b) = ab + a + b + 1 \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} + a^{2} + \frac{1}{4} + b^{2} + \frac{1}{4} + 1 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}\)
Từ đó \(\sqrt{1 + a^{4}} + \sqrt{1 + b^{4}} \geq \sqrt{4 + \left( a^{2} + b^{2} \right)^{2}} \geq \sqrt{4 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}\).
Bài 7: Cho \(a\),\(b\),\(c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \geq a + b + c\).
Hướng dẫn giải
Cách 1: Dùng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương.
Ta có: \(\left\{ \begin{matrix} \dfrac{a^{3}}{bc} + b + c \geq 3a \\ \dfrac{b^{3}}{ca} + c + a \geq 3b \\ \dfrac{c^{3}}{ab} + a + b \geq 3c. \\ \end{matrix} \right.\). Cộng vế được: \(\frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \geq a + b + c.\)
Đẳng thức xảy ra khi: \(a = b = c.\)
Cách 2: Dùng bất đẳng thức Cauchy cho 4 số dương.
Ta có: \(\frac{a^{3}}{bc} + \frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \geq 4a.\)
Tương tự ta có: \(\frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \geq 4b\), \(\frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} + \frac{c^{3}}{ab} \geq 4c\)
Cộng vế được: \(4\left( \frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \right) \geq 4(a + b + c) \Leftrightarrow \frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} \geq a + b + c\).
Cách 3:
Ta có: \(\frac{a^{3}}{bc} + \frac{b^{3}}{ca} + \frac{c^{3}}{ab} = \frac{a^{4}}{abc} + \frac{b^{4}}{abc} + \frac{c^{4}}{abc} \geq \frac{\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2}}{3abc}\).
Ta cần chứng minh:
\(\frac{\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2}}{3abc} \geq a + b + c \Leftrightarrow \left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2} \geq 3abc(a + b + c)\).
Thật vậy: \(\left( a^{2} + b^{2} + c^{2} \right)^{2} \geq (ab + bc + ca)^{2} \geq 3abc(a + b + c)\).
Cách 4: Dùng biến đổi tương đương.
Ta có: \(\frac{a^{4}}{abc} + \frac{b^{4}}{abc} + \frac{c^{4}}{abc} \geq a + b + c \Leftrightarrow a^{4} + b^{4} + c^{4} \geq abc(a + b + c)\).
\(\Leftrightarrow \left( a^{2} - b^{2} \right)^{2} + \left( b^{2} - c^{2} \right)^{2} + \left( c^{2} - a^{2} \right)^{2} + (ab - bc)^{2} + (bc - ca)^{2} + (ca - ab)^{2} \geq 0\).
Bài 8: Cho \(a\), \(b\), \(c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{9\sqrt[3]{abc}}{a + b + c} \geq 6\)
Ta dễ dàng chứng minh được: \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}}\).
Hướng dẫn giải
Thật vậy: \(\frac{a}{b} + \frac{a}{b} + \frac{b}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{bc}} = \frac{3a}{\sqrt[3]{abc}}\).
Tương tự: \(\frac{b}{c} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{3b}{\sqrt[3]{abc}}\), \(\frac{c}{a} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} \geq \frac{3c}{\sqrt[3]{abc}}\).
Cộng vế ta được:
\(3\left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \geq 3\left( \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}} \right) \Leftrightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}}\).
Từ đó: \(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{9\sqrt[3]{abc}}{a + b + c} \geq \frac{a + b + c}{\sqrt[3]{abc}} + \frac{9\sqrt[3]{abc}}{a + b + c} \geq 2\sqrt{9} = 6\).
Đẳng thức xảy ra khi: \(a = b = c\).
Vậy: \(MinP = \frac{\sqrt{17}}{2} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}\).
Bài 8: Giải phương trình:\(\frac{2^{x}}{4^{x} + 1} + \frac{4^{x}}{2^{x} + 1} + \frac{2^{x}}{2^{x} + 4^{x}} = \frac{3}{2}\)
Hướng dẫn giải
Nếu đặt t =2x thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt \(\left\{ \begin{matrix} a = 2^{x} \\ b = 4^{x} \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ ,a,b > 0\\)
Khi đó phương trình có dạng:\(\frac{a}{b + 1} + \frac{b}{a + 1} + \frac{1}{a + b} = \frac{3}{2}\)
Vế trái của phương trình:
\(VT = \left( \frac{a}{b + 1} + 1 \right) + \left( \frac{b}{a + 1} + 1 \right) + \left( \frac{1}{a + b} + 1 \right) - 3\)
\(= \left( \frac{a + b + 1}{b + 1} \right) + \left( \frac{a + b + 1}{a + 1} \right) + \left( \frac{a + b + 1}{a + b} \right) - 3\)
\(= (a + b + 1)\left( \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{a + b} \right) - 3\)
\(= \frac{1}{2}\left\lbrack (b + 1) + (a + 1) + (a + b) \right\rbrack\left( \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{a + b} \right) - 3\)
\(\geq \frac{1}{2}3\ \sqrt[3]{(a + 1)(b + 1)(a + b)}.\frac{3}{\sqrt[3]{(a + 1)(b + 1)(a + b)}} - 3 = \frac{3}{2}\)
Vậy phương trình tương đương với:
\(a + 1 = b + 1 = a + b \Leftrightarrow a = b = 1 \Leftrightarrow 2^{x} = 4^{x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
Bài 9: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{x}{x + 1} + \frac{y}{y + 1} + \frac{z}{z + 1}\)?
Hướng dẫn giải
Ta có:
P = 3 - (\(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 1}\)) = 3 – Q.
Theo BĐT Côsi, nếu a, b, c > 0 thì
\(a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow (a + b + c)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq 9\)
\(\Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c}\)
Suy ra Q = \(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 1} \geq \frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow\) - Q\(\leq - \frac{9}{4}\) nên P = 3 – Q \(\leq\) 3-\(\frac{9}{4}\)=\(\frac{3}{4}\)
Vậy max P =\(\frac{3}{4}\) .khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\).
Bài 10: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a^{2} + bc} + \frac{1}{b^{2} + ac} + \frac{1}{c^{2} + ab} \leq \frac{a + b + c}{2abc}\)
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
\(a^{2} + + bc \geq 2a\sqrt{bc}\) \(\Rightarrow \frac{2}{a^{2} + + bc} \leq \frac{1}{a\sqrt{bc}} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} \right)\)
Tương tự:
\(\frac{2}{b^{2} + + ac} \leq \frac{1}{b\sqrt{ac}} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{1}{bc} + \frac{1}{ab} \right)\)
\(\Rightarrow \frac{2}{c^{2} + + ab} \leq \frac{1}{c\sqrt{ab}} \leq \frac{1}{2}\left( \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc} \right)\)
\(\Rightarrow \frac{2}{a^{2} + bc} + \frac{2}{b^{2} + + ac} + \frac{2}{c^{2} + + ab} \leq \frac{a + b + c}{2abc}\)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Bài 11: CMR trong tam giác ABC: \(\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{c + a - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3\) (*)
Hướng dẫn giải
Theo bất đẳng thức Côsi :
\(\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{c + a - b} + \frac{c}{a + b - c}\) \(\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)}}(1)\)
Cũng theo bất đẳng thức Côsi:
\(\sqrt{(b + c - a)(c + a - b)} \leq \frac{1}{2}(b + c - a + c + a - b) = c\ \ \ (2)\)
Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được
\((b + c - a)(c + a - b)(a + b - c) \leq abc\)
\(\rightarrow \frac{abc}{(b + c - a)(c + a - b)(a + b - c)} \geq 1\ \ \ (3)\)
Từ (1), (3) suy ra (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều.
Bài 12: Cho \(\left\{ \begin{matrix} 0 < a \leq b \leq c \\ 0 < x,y,z \\ \end{matrix} \right.\). Chứng minh rằng:
\((ax + by + cz)\left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right) \leq \frac{(a + c)^{2}}{4ac}(x + y + z)^{2}\)
Giải:
Đặt \(f(x) = x^{2} - (a + c)x + ac = 0\) có 2 nghiệm a, c
Mà: \(a \leq b \leq c \Rightarrow f(b) \leq 0 \Leftrightarrow b^{2} - (a + c)b + ac \leq 0\)
\(\Leftrightarrow b + \frac{ac}{b} \leq a + c\) \(\Leftrightarrow yb + ac\frac{y}{b} \leq (a + c)y\)
\(\Rightarrow \left( xa + ac\frac{x}{a} \right) + (yb + ac\frac{y}{b}) + (zc + ac\frac{z}{c})\) \(\leq (a + c)x + (a + c)y + (a + c)z\)
\(\Rightarrow xa + yb + zc + ac\left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right) \leq (a + c)(x + y + z)\)
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(\Rightarrow 2\sqrt{(xa + yb + zc)ac\left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right)} \leq (a + c)(x + y + z)\)
\(\Leftrightarrow 4(xa + yb + zc)ac\left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right) \leq (a + c)^{2}(x + y + z)^{2}\)
\(\Leftrightarrow (xa + yb + zc)ac\left( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} \right) \leq \frac{(a + c)^{2}}{4ac}(x + y + z)^{2}(đpcm)\)
Bài 13: Cho x, y, z > 0 và \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 4\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P = \frac{1}{2x + y + z} + \frac{1}{x + 2y + z} + \frac{1}{x + y + 2z}\)
Hướng dẫn giải
Ta có
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y};\frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{4}{y + z}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{4}{x + y} + \frac{4}{y + z} \geq \frac{16}{x + 2y + z}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x + 2y + z} \leq \frac{1}{16}\left( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{1}{z} \right)\); \(\frac{1}{2x + y + z} \leq \frac{1}{16}\left( \frac{2}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right)\); \(\frac{1}{x + y + 2z} \leq \frac{1}{16}\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{2}{z} \right)\)
\(S \leq \frac{1}{16}\left( \frac{4}{x} + \frac{4}{y} + \frac{4}{z} \right) = 1\)
Bài 14: Chứng minh rằng với mọi \(x \in R\), ta có \(\left( \frac{12}{5} \right)^{x} + \left( \frac{15}{4} \right)^{x} + \left( \frac{20}{3} \right)^{x} \geq 3^{x} + 4^{x} + 5^{x}\)
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\left( \frac{12}{5} \right)^{x} + \left( \frac{15}{4} \right)^{x} \geq 2\sqrt{\left( \frac{12}{5} \right)^{x}.\left( \frac{15}{4} \right)^{x}} = 2.3^{x}\)
Tương tự: \(\left( \frac{20}{3} \right)^{x} + \left( \frac{15}{4} \right)^{x} \geq 2.5^{x}\); \(\left( \frac{20}{3} \right)^{x} + \left( \frac{12}{5} \right)^{x} \geq 2.4^{x}\)
Cộng các vế tương ứng => điều phải chứng minh.
Bài 15: Cho \(x,y > 0\)và thỏa mãn \(x + y \leq 1.\) Tìm GTNN của \(P = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{xy} + 4xy.\)
Hướng dẫn giải
Ta dễ thấy điểm rơi đạt tại: \(x = y = \frac{1}{2}.\)
\(P = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{xy} + 4xy\)
\(= \left( \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{2xy} \right) + \left( 4xy + \frac{1}{4xy} \right) + \frac{1}{4xy}\)
\(\geq \frac{4}{(x + y)^{2}} + 2 + \frac{1}{(x + y)^{2}} \geq 7.\)
Vậy: \(MinP = 7 \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{2}.\)
III. Bài tập bất đẳng thức lớp 9
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a, \(B = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 9} \right)}}{x}\)với x > 0
(gợi ý: biến đổi \(B = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 9} \right)}}{x} = \frac{{{x^2} + 13x + 36}}{x} = x + 13 + \frac{{36}}{x}\) rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)
b, \(C = \frac{{{{\left( {x + 10} \right)}^2}}}{x}\) với x > 0
c, \(D = \frac{x}{3} + \frac{3}{{x - 2}}\)với x > 2
(gợi ý: biến đổi rồi áp dụng bất đẳng thức Cô si)
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + \frac{1}{y} + \frac{4}{{x - y}}\) với x > y > 0
(gợi ý: biến đổi \(P = x - y + \frac{4}{{x - y}} + y + \frac{1}{y}\))
Bài 3: Với a, b, c là các số thực không âm, chứng minh:
\(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\)
(gợi ý áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số a, b, c không âm)
Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
\(\frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} + \frac{{a + b}}{c} \ge 6\)
(gợi ý sử dụng phương pháp làm trội)
Bài 5. Cho \(x,y > 0\)và thỏa mãn \(x + y \leq 1.\) Tìm GTNN của \(P = \frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{2xy}.\)
Bài 6. Cho \(x,\ y > 0\) và thỏa mãn \(x + y \leq 4\). Tìm GTNN của biểu thức \(P = \frac{2}{x^{2} + y^{2}} + \frac{35}{xy} + 2xy\).
Bài 7. Cho \(a,\ b > 0\) và thỏa mãn \(a + b \leq 4\). Tìm GTNN của biểu thức \(S = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{25}{ab} + ab\).
Bài 8. Cho \(x,\ y > 0\) và thỏa mãn \((x + y - 1)^{2} = xy\). Tìm GTNN của biểu thức \(P = \frac{1}{x^{2} + y^{2}} + \frac{1}{xy} + \frac{\sqrt{xy}}{x + y}\).
Bài 9. Cho \(x,\ y > 0\) và thỏa mãn \(xy + 4 \leq 2y\). Tìm GTNN của biểu thức \(A = \frac{x^{2} + 2y^{2}}{xy}\).
Bài 10. Cho \(a,\ b > 0\) và thỏa mãn \(ab + 4 \leq 2b\). Tìm GTLN của biểu thức \(B = \frac{ab}{a^{2} + 2b^{2}}\).
Bài 11. Cho \(x,\ y > 0\) và thỏa mãn \(xy + 1 \leq x\). Tìm GTLN của biểu thức \(Q = \frac{x + y}{\sqrt{3x^{2} - xy + y^{2}}}\).
Tài liệu quá dài để hiển thị hết — hãy nhấn Tải về để xem trọn bộ!
========================
Có thể khẳng định rằng, bất đẳng thức Cô si là một trong những kiến thức trọng tâm của Toán lớp 9, giữ vai trò then chốt trong quá trình ôn luyện và chinh phục các bài toán khó trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Khi hiểu rõ bản chất và áp dụng đúng phương pháp, học sinh hoàn toàn có thể biến những bài toán tưởng chừng phức tạp trở nên đơn giản và dễ tiếp cận hơn.
Thông qua chuyên đề này, việc luyện tập thường xuyên các dạng bài liên quan đến bất đẳng thức Cô si sẽ giúp học sinh:
-
Nâng cao tư duy lập luận và khả năng chứng minh
-
Tránh những lỗi sai phổ biến khi làm bài thi
-
Tăng tốc độ giải toán và tối ưu điểm số
Để đạt hiệu quả cao nhất, học sinh nên kết hợp học lý thuyết, phân tích ví dụ mẫu và thực hành nhiều bài tập đa dạng theo mức độ. Khi đã làm chủ bất đẳng thức Cô si, bạn sẽ có thêm một “vũ khí” quan trọng trong hành trình chinh phục kỳ thi vào lớp 10 một cách tự tin và vững vàng.
Tải về Chọn file muốn tải về:Bất đẳng thức Cô si
607,6 KB-
Tải tài liệu định dạng .doc
139 KB
- Chia sẻ bởi:
Lê Hằng Anh
Có thể bạn quan tâm
Xác thực tài khoản!Theo Nghị định 147/2024/ND-CP, bạn cần xác thực tài khoản trước khi sử dụng tính năng này. Chúng tôi sẽ gửi mã xác thực qua SMS hoặc Zalo tới số điện thoại mà bạn nhập dưới đây:
Số điện thoại chưa đúng định dạng! Xác thực ngay Số điện thoại này đã được xác thực! Bạn có thể dùng Sđt này đăng nhập tại đây! Lỗi gửi SMS, liên hệ Admin Sắp xếp theo Mặc định Mới nhất Cũ nhất
Xóa Đăng nhập để Gửi Tìm bài trong mục này -
Bộ chuyên đề Toán 9 ôn thi vào lớp 10 đầy đủ các dạng bài
-
Chuyên đề Toán 9 Kết nối tri thức
- Chuyên đề Căn bậc hai - Căn bậc ba lớp 9
- Căn thức bậc hai của một bình phương Toán 9
- Tìm căn bậc hai Toán 9: Lý thuyết, ví dụ và bài tập có đáp án
- Tìm điều kiện xác định của căn thức bậc hai Toán 9
- Tổng hợp bài tập khai căn bậc hai với phép chia có đáp án
- So sánh căn bậc hai Toán 9 – Hướng dẫn và đáp án chi tiết
- Khai căn bậc hai với phép nhân không chứa biến Toán 9
- Khai căn bậc hai với phép nhân chứa biến Toán 9 Có đáp án
- Hướng dẫn khai căn bậc hai với phép chia không chứa biến Toán 9
- Khai căn bậc hai với phép chia chứa biến Toán 9 – Hướng dẫn và đáp án chi tiết
- Cách trục căn thức ở mẫu Toán 9 Có đáp án
- Rút gọn biểu thức căn bậc hai - có đáp án chi tiết
- 50 Bài toán rút gọn biểu thức căn bậc hai dạng tổng hợp có đáp án
- Phương pháp giải bài Toán Min Max và phương trình chứa căn thức
- Tìm x để biểu thức A > m, A < m hoặc A = m
- Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên
- Tìm x hoặc x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên có đáp án
- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn
- Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đánh giá
- Giải phương trình chứa căn
- Các dạng toán căn bậc ba
- Bài tập Căn thức bậc ba lớp 9 hướng dẫn giải chi tiết
- Chuyên đề Phương trình
- Bài tập Toán 9 Phương trình tích có đáp án
- Giải biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu
- Bài tập Toán 9 Phương trình chứa ẩn ở mẫu có đáp án
- Chuyên đề Giải phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
- Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn chứa tham số
- Cách giải phương trình bậc 4 chi tiết
- Chuyên đề Hệ phương trình
- Các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
- Cách giải hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1
- Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2
- Cách giải hệ phương trình đẳng cấp
- Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
- Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trước
- Bài toán tương giao đồ thị hàm số bậc nhất với bậc nhất
- Ứng dụng giải hệ phương trình trong bài toán tìm hệ số của hàm số
- Hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Không dùng máy tính sắp xếp các tỉ số lượng giác theo yêu cầu
- Tính các tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn, tính cạnh, tính góc của tam giác vuông
- Chứng minh biểu thức lượng giác Toán 9
- Hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Tính giá trị biểu thức lượng giác
- Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Tính các yếu tố còn lại của tam giác vuông khi biết một số yếu tố
- Bài tập áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
- Bài toán thực tế tam giác vuông – Hệ thức cạnh và góc có lời giải chi tiết
- Chuyên đề Hàm số và đồ thị của hàm số y = ax2 (a khác 0)
- Hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
- Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
- Chuyên đề Đường tròn
- Tính độ dài cung tròn và độ dài đường tròn
- Tính số đo cung và số đo góc trong đường tròn
- Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
- Xác định vị trí tương đối của đường thå̉ng và đường tròn
- Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
- Vị trí tương đối của hai đường tròn
- Chứng minh 3 điểm thẳng hàng trong đường tròn
- Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong đường tròn
- Tìm vị trí điểm M trên đường tròn để biểu thức nhỏ nhất
- Chứng minh một đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động
- Bài toán về điểm cố định trong đường tròn
- Góc nội tiếp
- Xác định tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác và đường tròn ngoại tiếp tứ giác
- Chứng minh các tứ giác đặc biệt trong đường tròn
- Chứng minh các tam giác đặc biệt trong đường tròn
- Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn
- Chuyên đề Thống kê
- Tìm tần số và tần số tương đối của mẫu số liệu
- Chuyên đề Phương trình bậc hai và Hệ thức Vi-ét
- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
- Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2
- Các dạng Toán Vi-ét
- Giải và biện luận phương trình bậc 2
- Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai
- Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà không giải phương trình
- Cách xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Toán lớp 9
- Làm thế nào để lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích hai nghiệm
- Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 x2
- Chứng minh hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
- Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ thức không đối xứng giữa hai nghiệm
- Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn hệ thức đối xứng giữa hai nghiệm
- So sánh các nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước Toán 9
- Phương trình bậc hai chứa tham số Toán 9 (Có đáp án)
- Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 x2 không phụ thuộc vào m
- Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện cho trước
- Tính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu
- Tìm m để phương trình sau có nghiệm
- Tìm m để phương trình vô nghiệm
- Phương trình trùng phương là gì? Cách giải phương trình trùng phương?
- Chuyên đề Giải toán bằng cách lập Phương trình, Hệ phương trình
- 83 bài Toán giải bằng cách lập hệ phương trình
- Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng năng suất
- Giải bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình, chủ đề Sinh học
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hệ phương trình chủ đề Hóa học
- Giải bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình, chủ đề Vật lí
- Giải bài toán lập phương trình, hệ phương trình tính số tuổi
- Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng chuyển động
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình dạng di chuyển trên sông
- Giải bài toán bằng cách lập phương trình dạng hình học
- Ứng dụng giải hệ phương trình trong cân bằng phương trình hóa học
- Chuyên đề Bất phương trình, Bất đẳng thức
- Hướng dẫn giải bài tập toán 9 Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng Có đáp án
- Bài tập toán 9 Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân
- Tổng hợp Bài tập Toán 9 So sánh hai số
- Cách biến đổi bất phương trình bậc nhất một ẩn dạng đặc biệt
- Giải bài toán bằng cách lập bất phương trình
- Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình
- Cách chứng minh bất đẳng thức bằng PP biến đổi tương đương
- Bất đẳng thức Cô si
- Bất đẳng thức Bunhiacopxki
- Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN
- Dùng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm chứng minh bất đẳng thức
- Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp hình học
- Bất đẳng thức tam giác
- Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy)
- Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
- 19 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức
- 150 bài tập về bất đẳng thức có đáp án
- Chuyên đề: Các bài toán thực tế
- Cách tính tiền điện sinh hoạt
- Cách tính tiền nước sinh hoạt
- Cách tính Can Chi
- Bài toán thực tế tính lãi suất
- Hướng dẫn giải các bài toán thực tế về Tỉ lệ Toán 9: Ví dụ và phương pháp
- Bài toán thực tế tính tiền cước điện thoại
- Tìm điều kiện độ dài cạnh để hình khối đạt diện tích và thể tích lớn nhất
- Chuyên đề Một số hình khối trong thực tiễn
- Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ
- Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón
- Diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu
- Chuyên đề Toán 9 Phép quay
- Các dạng bài toán Hình Trụ
- Chuyên đề Căn bậc hai - Căn bậc ba lớp 9
-
Chuyên đề Toán 9 Chân trời sáng tạo
- Chuyên đề đường tròn Toán 9
- Chuyên đề căn thức
- Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Chuyên đề bất đẳng thức, bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Chuyên đề phương trình và hệ phương trình
-
Chuyên đề Toán 9 ôn thi vào 10
- 13 chuyên đề ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán
- Ôn Thi Vào 10: Bộ Bài Tập Chứa Căn Có Đáp Án
- Chuyên đề Toán 9 Biến đổi biểu thức chứa căn thức (Nâng cao)
- Bài tập Toán nâng cao lớp 9 ôn thi vào 10 có đáp án chi tiết
- Bài tập Toán cổ lớp 9 có đáp án chi tiết – Tài liệu ôn thi vào 10
- Tổng hợp các bài toán thực tế kết hợp bất đẳng thức trong các đề thi môn Toán THCS
- Tổng hợp các bài toán thực tế Lãi suất lớp 9: Cách giải nhanh và chính xác
- Tổng hợp các bài toán thực tế về tỉ số phần trăm Toán 9
- Các bài toán thực tế lập hàm số lớp 9
- Cách xác định vị trí tương đối của hai đường tròn trong Toán 9 có đáp án
- Phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
- Bài Toán Xác Suất Thống Kê Ôn Thi Vào 10 Có Đáp Án – Tổng Hợp Các Dạng Hay Gặp
- Tổng hợp bài tập hình học ôn thi vào 10 có đáp án – Bộ đề trọng tâm giải chi tiết
-
Lớp 9 - Toán 9
- Chuyên đề Toán 9
- Thi vào lớp 10
- Đề thi vào 10 môn Toán
- Đề thi vào 10 môn Văn
- Đề thi vào 10 môn tiếng Anh
- Đề thi vào 10 môn Lịch sử
- Đề thi vào 10 môn Sinh học
- Đề thi vào 10 môn Hóa học
- Đề thi vào 10 môn Vật lý
- Đề thi vào 10 môn Địa
- Đề thi vào 10 môn GDCD
- Xem Điểm thi vào 10
- Thông tin Tuyển sinh lớp 10
Tham khảo thêm
-
Đề thi vào lớp 10 môn tiếng Anh sở GD&ĐT Hà Nội số 16
-
Bất đẳng thức Bunhiacopxki
-
Các dạng Toán Vi ét thi vào lớp 10
-
Đề ôn thi vào lớp 10 môn tiếng Anh năm 2022 số 20
-
Đề luyện thi vào lớp 10 môn tiếng Anh năm 2022 số 20
-
Tìm m để phương trình sau có nghiệm
-
Đề ôn thi vào lớp 10 môn tiếng Anh Sở GD&ĐT Thành phố Hà Nội số 16
-
Chuyên đề Toán 9: Góc nội tiếp
-
Bộ 20 đề tham khảo Toán 9 tuyển sinh 10 TP HCM 2026-2027, có đáp án
-
Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề Ngữ âm Tiếng Anh
Đề thi vào 10 môn Toán
-
Bất đẳng thức Bunhiacopxki
-
Bộ 20 đề tham khảo Toán 9 tuyển sinh 10 TP HCM 2026-2027, có đáp án
-
Chuyên đề Toán 9: Góc nội tiếp
-
Các dạng Toán Vi ét thi vào lớp 10
-
150 bài tập về bất đẳng thức có đáp án
-
Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Gợi ý cho bạn
-
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán
-
Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán thành phố Hà Nội năm học 2015-2016
-
Các dạng Toán cơ bản lớp 9 ôn thi vào lớp 10
-
Tổng hợp đề thi vào lớp 10 được tải nhiều nhất
-
Bài tập cuối tuần Tiếng Việt lớp 4 Kết nối tri thức Tuần 20 Nâng cao
-
Bài tập tiếng Anh 7 i-Learn Smart World Unit 1
-
Bộ đề kiểm tra cuối tuần Tiếng Việt lớp 4 Kết nối tri thức Tuần 20
-
Bộ đề thi vào lớp 10 môn Toán
-
Các bài toán Hình học ôn thi vào lớp 10
-
Bài tập Tiếng Anh 9 i-Learn Smart World Unit 1
Bất đẳng thức Cô si
Bất đẳng thức Cô si
Chỉ mua tài liệu trên 35.000đ Ưu đãi kèm thêmMua gói VnDoc Pro chỉ với giá
79.000đ 59.000đ- 30 lượt tải tài liệu thường
- 10.000+ bài luyện Trắc nghiệm trực tuyến
- Không quảng cáo
Thông tin thanh toán nhanh
Tên tài liệu:Bất đẳng thức Cô si
35.000đ
Số điện thoại/emailVui lòng nhập số điện thoại hoặc email hợp lệ.
Tải nhanh tài liệu này 35.000đ Hỗ trợ Zalo × ← Thanh toán 35.000đ để tải tài liệu- Tên tài khoản:CÔNG TY CỔ PHẦN MẠNG TRỰC TUYẾN META
- Số tài khoản:1038633514Copy
- Ngân hàng:Vietcombank
- Số tiền:35.000đ
- Nội dung*: Copy
Vui lòng giữ đúng nội dung KH khi chuyển khoản và giữ nguyên cửa sổ này để tải tài liệu tự động.
Hỗ trợ Zalo Hóa đơn có thông tin VATTừ khóa » Bài Toán Bất đẳng Thức Cosi
-
Bất đẳng Thức Côsi (Cauchy) Và Bài Tập áp Dụng - Gia Sư Tiến Bộ
-
Bất Đẳng Thức Cosi Và Bài Tập Vận Dụng Có Đáp Án Chi Tiết
-
Bất đẳng Thức Cosi Và Các Dạng Bài Tập Có Lời Giải Chi Tiết Từ A - Z
-
Bất đẳng Thức Cosi – Công Thức, Bài Tập Cơ Bản Và Nâng Cao
-
Bất đẳng Thức Cosi Lớp 9 - Tổng Hợp 50 Bài Toán Mẫu Mực
-
Bất đẳng Thức Cô-si: Lý Thuyết Cần Ghi Nhớ Và Các Dạng Bài Tập ...
-
Tham Khảo Các Bài Tập Bất đẳng Thức Cosi Có Lời Giải
-
Bất đẳng Thức Cosi Lớp 9
-
Bất đẳng Thức Cosi
-
Bài Tập Bất đẳng Thức Cosi đơn Giản - 123doc
-
Bất đẳng Thức Côsi ( Cauchy )
-
Bài Tập Về Bất đẳng Thức Cauchy - Toán 10 - Hocmai
-
BẤT ĐẲNG THỨC COSI
-
Bất Đẳng Thức Cosi Và Các Dạng Bài Tập Có Lời Giải Chi Tiết Từ A