Bất đẳng Thức Jensen | Giải Tích

Có thể bạn quan tâm

Trong đề thi cuối kỳ môn PTĐHR lớp CH2016-2018, câu 6 là trường hợp riêng của bài tập 5.11, trong “A basic course in PDEs” của Q. Han. Cụ thể, cho $f:\mathbb R^m\to\mathbb R$ là hàm lồi, các hàm $u_j: \Omega\times[0, T]\to\mathbb R, j=1, \dots, m,$ là các nghiệm của phương trình truyền nhiệt, $\Omega$ là miền bị chặn trong $\mathbb R^n.$ Khi đó

hàm $f(u_1, \cdots, u_m)$ thỏa mãn nguyên lý cực đại, nghĩa là

$\sup\limits_{\Omega\times[0, T]}f(u_1, \cdots, u_m)\le \sup\limits_{\partial_p(\Omega\times[0, T])}f(u_1, \cdots, u_m).$

Trong trường hợp $f$ khả vi đến cấp $2,$ chẳng hạn như trong câu 6 của đề cuối kỳ CH2016-2018 có $f(u_1, u_2)=u_1^2+u_2^2,$ thì tính lồi của hàm $f$ tương đương với tính nửa xác định dương của ma trận Hessian $(\partial^2_{x_ix_j}f)_{1\le i, j\le m}.$ Từ đó nếu đặt

$\omega(x, t)=f(u_1(x, t), \cdots, u_m(x, t))$

ta có $\omega(x, t)$ là nghiệm dưới của phương trình truyền nhiệt, nghĩa là

$\omega_t-\Delta\omega\le 0.$

Từ đó ta có nguyên lý cực đại cho $f(u_1, \cdots, u_m).$ Với trường hợp $f$ không khả vi đến cấp $2$ , chẳng hạn $f(u)=|u|$ , thì tiếp cận như trên chưa ổn. Ta cần cách tiếp cận khác:

dùng tính chất dưới trung bình dẫn đến nguyên lý cực đại.

Với cách tiếp cận này ta cần đến bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi. Trong giáo trình Giải tích có trình bày bất đẳng thức Jensen cho trường hợp hàm $1-$ biến. Trước hết ta nhắc lại khái niệm hàm lồi:

$f: (a, b)\to\mathbb R$ được gọi là hàm lồi nếu

với mọi $x_1, x_2\in (a, b), 0\le q_1, q_2\le 1$ thỏa mãn $q_1+q_2=1$

ta có $f(q_1x_1+q_2x_2)\le q_1f(x_1)+q_2f(x_2).$

Khi đó bất đẳng thức Jensen được phát biểu như sau:

Cho $f:(a, b)\to\mathbb R$ là hàm lồi, các điểm $x_1, \dots, x_n\in(a, b)$ và các số dương $q_1, \dots, q_n$ thỏa mãn $q_1+\cdots+q_n=1$ , ta có

$f\left(\sum_{j=1}^n q_jx_j\right)\le \sum_{j=1}^n q_jf(x_j).$

Trong giáo trình Giải tích ta mới dừng lại ở dạng rời rạc trên. Không khó để chuyển sang dạng liên tục như sau:

Cho $\varphi: [0, 1]\to (a, b)$ là hàm liên tục và $f$ là hàm lồi như trên. Khi đó bất đẳng thức Jensen dạng liên tục

$f\left(\int_0^1\varphi(x)dx\right)\le \int_0^1 f(\varphi(x))dx.$

Chú ý rằng hàm lồi thì liên tục.

Tiếp tục tổng quát theo hướng này: Xét không gian xác suất $(X, \mathcal B, m)$ và $\varphi: X\to (a, b)$ là hàm thuộc $L(X, \mathcal B, m).$ Khi đó với hàm lồi $f$ như trên ta có

$f\left(\int_X\varphi(x)dm(x)\right)\le \int_X f(\varphi(x))dm(x).$

Từ dạng tổng quát này của bất đẳng thức Jensen ta có thể chứng minh: nếu $u$ là nghiệm của phương trình truyền nhiệt trong $\Omega\times[0, T],$ còn $f:\mathbb R\to\mathbb R$ là hàm lồi thì $f(u)$ thỏa mãn tính chất dưới trung bình, nghĩa là

$f(u(x_0, t_0))\le \int_{E_r(x_0, t_0)}f(u(y, s))\dfrac{|x_0-y|^2}{4r^n(t_0-s)^2}dyds,$

với $E_r(x_0, t_0)$ là hình cầu nhiệt có đỉnh $(x_0, t_0)$ với “bán kính” $r$ đủ nhỏ để $E_r(x_0, t_0)\subset \Omega\times(0, T).$

Chú ý $E_r(x_0, t_0)$ với độ đo

$\dfrac{|x_0-y|^2}{4r^n(t_0-s)^2}dyds$

là độ đo xác suất.

Ta có thể giả thiết $u$ là nghiệm dưới của phương trình truyền nhiệt nếu thêm giả thiết $f$ là hàm đơn điệu tăng.

Để chứng minh được bài 5.11 trong sách Q.Han ta cần đến dạng tổng quát hơn của bất đẳng thức Jensen. Cụ thể $f$ là hàm lồi, nhiều biến. Chú ý rằng hàm lồi, nhiều biến không nhất thiết liên tục (cho ví dụ?).

Dạng tổng quát ta cần đến:

Xét không gian xác suất $(X, \mathcal B, m)$ và $\varphi: X\to \mathbb R^d$ là hàm thuộc $L(X, \mathcal B, m).$ Cho $C$ là tập lồi trong $\mathbb R^d$ và $f: C\to\mathbb R$ là hàm nửa liên tục dưới, lồi. Giả sử rằng: