Bất Phương Trình, Hệ Bất Phương Trình Một ẩn Bài Tập Và Cách Giải

Ở bài viết này chúng ta cùng ôn lại kiến thức về bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn, khi đã nắm vững nội dung lý thuyết chúng ta sẽ giải các bài tập vận dụng để rèn kỹ năng giải toán của bản thân.

I. Khái niệm phương trình một ẩn

1. Bất phương trình một ẩn

° Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến có một trong các dạng: f(x)>g(x), f(x)<g(x), f(x)≥g(x), f(x)≤g(x). Trong đó: f(x), g(x) là các biểu thức cùng một biến x.

° Giá trị x0 thỏa mãn điều kiện xác định làm cho f(x0)<g(x0) là một mệnh đề đúng thì x0 là một nghiệm của bất phương trình f(x)<g(x)

2. Điều kiện xác định của bất phương trình

° Điều kiện xác định của bất phương trình là điều kiện biến số x để các biểu thức f(x), g(x) có nghĩa.

* Ví dụ: Bất phương trình:  có điều kiện xác định là: 5 - x ≥ 0 và x + 3 ≥ 0.

3. Bất phương trình chứa tham số

° Trong bất phương trình, ngoài ẩn số còn có thể có tham số được xem như hằng số. Giải biện luận phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số để bất phương trình vô nghiệm hoặc có nghiệm, tìm các nghiệm đó.

* Ví dụ: (2m-5)x + 8 > 0; x2 -mx + 2m - 1 ≤ 0. là các bất phương trình ẩn x tham số m.

II. Hệ bất phương trình một ẩn

° Việc tìm tập hợp các nghiệm chung của một tập hợp các bất phương trình một ẩn, ký hiệu:

  là xét một hệ bất phương trình một ẩn.

° Giải hệ bất phương trình bằng cách tìm giao các tập hơp nghiệm của bất phương trình của hệ.

III. Bất phương trình tương đương

° Hai bất phương trình f1(x) < g1(x) và f2(x) < g2(x) được gọi là tương đương, ký hiệu:

 f1(x) < g1(x) ⇔ f2(x) < g2(x) nếu chúng có cùng một tập hợp nghiệm.

° Định lý: Gọi D là điều kiện xác định của bất phương trình f(x) < g(x), h(x) là biể thức xác định với mọi x ∈ D thì:

i) f(x) + h(x) < g(x) + h(x) ⇔ f(x) < g(x).

 Hệ quả:

 f(x) < g(x) + p(x) ⇔ f(x) - g(x) < p(x)

ii) f(x).h(x) < g(x).h(x) ⇔ f(x) < g(x) nếu h(x)>0 với mọi x ∈ D.

  f(x).h(x) < g(x).h(x) ⇔ f(x) > g(x) nếu h(x)<0 với mọi x ∈ D.