Bất Phương Trình Lượng Giác - 123doc

VẤN ĐỀ 8 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC... TÓM TẮT LÝ THUYẾT • Biến đổi lượng giác là kỹ năng không thể thiếu được khi bắt đầu vào các bpt lượng giác.. • Từng bước đưa về dạng uv hoặc v u

VẤN ĐỀ 8

BẤT PHƯƠNG TRÌNH

LƯỢNG GIÁC

Vấn đề 8

Bất PhươngTrình Lượng Giác

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

• Biến đổi lượng giác là kỹ năng không thể thiếu được khi bắt đầu vào các bpt lượng giác

• Từng bước đưa về dạng uv hoặc

v

u sau đó xét dấu của các hàm số lượng giác tương ứng trên đường tròn lượng giác , ta sẽ suy được trực tiếp

• Có thể đưa về các dạng cơ bản như bpt bậc 1, bậc 2, bậc cao … hoặc có thể đặt ẩn phụ để đưa về các dạng quen thuộc …

• Có thể đưa về dạng đối lập

• Có thể dùng đồ thị hoặc bảng biến thiên để can thiệp vào

• Có thể đưa về dùng các tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của các hàm số thông dụng …

• Có thể dùng MAX , MIN để can thiệp vào một số bài toán tìm

m để bpt có nghiệm trên tập xác định của nó , vô nghiệm ,hoặc có ít nhất nghiệm, ……

• Có thể đánh giá các biểu thức tham gia vào bài toán

• Có thể áp dụng các bất đẳng thức quan biết như Côsi , Bunhia – cốp xki và các bấtđẳng thức khác Nhờ đó các bài toán được giải quyết gọn gành và nhanh chóng

• Có thể dùng phương pháp đổi biến số

Để giải bất phương trình ta có thể thực hiện các bước sau :

- Đặt ẩn số ban đầu x = α(t) (hay t = α(x) , trong đó t được coi là ẩn số mới , α là hàm số liên tục theo t sao cho khi t biến thiên trên tập xác định D1 thì x biến thiên trên toàn bộ tập xác định D của bất phương trình đã cho

- Kết hợp tập xác định D và các điều kiện ràng buộc khác để đua

ra kết luận về nghiệm theo ẩn số ban đầu

Sau đây là một số ví dụ từ đơn giản đến phức tạp để các bạn có thể tham khảo …

B BÀI TẬP CÓ HƯỚNGÏ DẪN GIẢI

Bài 1

Giải bất phương trình : sin x ( cos x -

2

1) > 0 Giải

Ta có :

sin 0

(1)1cos

2sin 0

(2)1cos

2

x x x x

π

<

<

+ π

π +

5 x ) 1 k (

2 k 3 x 2 k

Bài 2

Giải bất phương trình : sinx < sin2x(*)

Giải (*) ⇔ 2sinxcosx – sinx > 0 ⇔ sinx(2cosx –1 ) > 0

0 sin

x x

π

π

π π

2 3

2 2

2 3 2

l x

l

k x

k

(k,l ∈ Z)

Bài 3

Giải bất phương trình : cos3x - 3sin3x ≥ 1 (1)

Giải (1) ⇔

2

1 3 sin 2

3 3

x ≥

2

1 (1) Dựa vào đường tròn lượng giác :

2 9

k x

k ≤ ≤ +

−

Bài 4

Giải bất phương trình : 2x2 sinx – 1 ≤ 2sinx(sinx – 1) + cos2x (*)

Giải (*) ⇔ 2x2sinx – 1 ≤ 2sin2x – 2sinx + 2 – 2sin2x

⇔ sin

2

1 6

5

k x

k < + < + +

5(*) Giải

cos

1 cos 2

5 cos2

≥

+

−

x x

⇔ ( )( )

x

x x

cos

1 cos 2 2

2

1 cos

x

x

⇔ 0 < cosx ≤

2 1

π

π

π π

π

2 2

5 2

2

3

2 3

2

2

k x

k

k x

k

Bài 7

Giải bất phương trình :

x 2 cos 1

x sin

− ≤ 0 (1)

Giải (1) ⇔

x sin 2

x 2 sin

2 ≤ 0 (điều kiện : x ≠ kπ) ⇔ cotg x ≤ 0 (điều kiện : x ≠ kπ)

Chú ý :

• f(x) ≥ m có nghiệm khi m ≤ max f(x) , x ∈ D

• f(x) ≥ m vô nghiệm khi m > max f(x) , x ∈ D

Bất phương trình vô nghiệm ⇔ m -

2

3 > 1 ⇔ m > 1 +

2 3

x sin t

Xét f(t) = t2 – t ; f’(t) = 2t – 1

t 0

2

1

2 2 f’(t) 1 _ 0 + 1 f(t) 0

2 , 0

Bất phương trình có nghiệm ⇔ m2 – 2m ≤ maxf(x) ,

⇔ m2 – 2m ≤ 0 ⇔ m(m – 2) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 2

Bài 10

Giải bất phương trình :

cos3x.cos3x – sin3x.sinx ≤

8

5 (1) Giải

(1) ⇔ cos3x(4cos3x – 3cosx) – sin3x(3sinx – 4sin3x) ≤

8 5

⇔ 4(cos6 + sin6) – 3(sin4x + cos4x) ≤

8 5

⇔ 4(1 – 3sin2x.cos2x) – 3(1 – 2sin2x.cos2x) ≤

8 5

⇔ 1 – 6sin2x.cos2x ≤

8

5 ⇔ sin22x ≥

4 1

π

π π

π

π

π π

π

2 3

2 2 2

3

2 3

5 2 2

3

4

k x

k

k x

+

≤

≤ +

π

π π

π

π

π π

π

k x

k

k x

k

3 6

6

5 3

2

Bài 11

1-\ Tìm tất cả các nghiệm của phương trình :

sinxcos4x + 2sin22x = 1 – 4 sin2 ⎟

3 1 x

2-\ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :

f(x) = 5cosx – cos5x trên đoạn

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ − π π 4

; 4(Đại học An ninh 2001) Giải

x 4

1 x sin

( vô nghiệm)

3 1 x

3 1 x

4 x

⇔ -2 < x < 4

Điều kiện của bài toán được thoả mãn ⇔ k = 0

Khi đó nghiệm của phương trình : x =

2 π

2-\ Ta có : f(x) = 5cosx – cos5x x∈ ⎢⎣ ⎡ − π 4 ; π 4 ⎥⎦ ⎤

; 3

k 6 x 2 k x

Vì x ∈ ⎢⎣ ⎡ − π 4 ; π 4 ⎥⎦ ⎤ , ta thấy x = 0 ; x =

6

π ; x =

6 π

Lại có : f”(x) = -5cosx + 25cos5x

Bài 12

Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm :

m x

x + sin 2 ≥ 2

1 sin

Giải (*) ⇔ 3(1 – cos2x) + sin2x ≥ 2m ⇔ sin ⎟

Giải bất phương trình

2cos2x + sin2xcosx + sinxcos2x > 2(sinx + cosx)(1)

Giải (1) ⇔ (sinx + cosx)[2(-sinx + cosx) + sinxcosx – 2] > 0

Đặt f(x) = (sinx + cosx)[2(-sinx + cosx) + sinxcosx – 2]

= +

2

0 2 2

1 2

0 cos sin

2

t

t t

x x

với t = cosx – sinx

1 sin

cos

0 cos

sin

x x

x x

4

7 4

3

π

π π

x x

x x

Do x là hàm số tuần hoàn nên ta chỉ cần xét dấu của f(x) trên [0 ; 2π]

Trong 1 chu kỳ [0 ; 2π] nghiệm là :

π π

2 4

7

2

3 4

3

x x

Vậy nghiệm của bất phương trình là :

π

π π

π

2 2 2

4 7

2 2

3 2

4 3

k x

k

k x

≤ +

(BCS) 4 cot

(Cauchy)

2 cos

sin

2 2

gx tgx

x x

Do vế trái và vế phải hoàn toàn đối lập

Vậy (1) vô nghiệm

Bạn đọc có thể dựa vào các bất đẳng thức cơ bản với 2 chiều đối lập nhau để dẫn đến 1 sự đối lập hoàn toàn và cho ra bất phương trình vô nghiệm dể dàng

Bài 15

Giải bất phương trình :

4sin3sin62cossin

4

10cos

x x

x x

(*) Giải

5sin4sin2

9sinsin

++

x x

x x

x x

(1) Đặt t = sinx (-1 ≤ t ≤ 1)

542

9log 2 2

++

t t t

t

t t

0loglog5 5

b a

b a

⇒ (1) vô nghiệm

• Với a < b ⇔ 2t2 + 4t + 5 < t2 + t + 9 ⇔ -4 < t < 1

log5 5

b

a

a b

⇔ 4sin2x – 4sinx + 1 + cosx + 1 ≤ 0 ⇔ (2sinx – 1)2 + cosx + 1 ≤ 0 (1) mà (2sinx – 1)2 ≥ 0 ; (cosx + 1) ≥ 0 ⇒ vế trái ≥ 0

(1) có nghiệm khi và chỉ khi dấu “=” xảy ra

α

α

3

3 3

2 2

sin

sin 2 8 sin

2 sin

sin

Giải Đặt x =

−

≥

2 3

3

21

112

x

x x

2

3 4

2 3 2

3

3112

1311

x x

x x

4 1 2 2

1

x x

2 − ≥ 0 ⇔ 0 < sinα ≤

3 2

Bài 18

cos

1 cos

sin

1 sin

2 2

x

Giải Điều kiện : x ≠

2 sin

1

x

x x

x

=

x x

x x

2 2

2 2

cos sin

cos sin

x

2 sin

4

Ta có : 0 < sin22x ≤ 1 ⇒ 4

2 sin

4

x ⇒ VT ≥ 9 bpt ⇔ sin22x = 1 ⇔ sin2x = ±1 ⇔ 2x =

;

0 π

Giải Đặt t =

⇔ m(t + 2) ≥ -t2 – t – 10 ∀t > 1 ⇔ m ≥

2

102

D = (1 ; +∞)

f’(t) = 2 2

) 2

(

8 4

2 2 x + x + x ≥ trên [0 ; 2π] (*)

Giải (*) ⇔ 2sin2t + cos2t + 2sin2t ≥ 1 (đặt t =

0 sin 0 sin

0 sin

2

1 sin

0 sin

x

x x

x

⇔ sinx < 0 ∨ sinx >

2

1 ⇔

π

π π π

π

2

5 2

2 2 2

k x

k

k x

k

(k ∈ Z)

Bài 22

Định a để bất phương trình sau cóâ nghiệm :

sin2x – (a + 2)sinx + a – 3 > 0(*)

Giải (*) ⇔ (sinx – 1)a < sinx – 2sinx – 3

Đặt f(t) =

1

3 22

với –1 ≤ t ≤ 1 f’(t) =

( )2

2

1

5 2

Bài 23

Giải bất phương trình sau :

2 cos

1 2 2 cos 1

2 cos 1

2 −

≥ +

−

x x

x (*) Giải

cos

1 2 cos

sin

2 2

2

−

≥

x x

x

cos

1

1

2

x x

−

≥ +

−

2cos

1 2 2 cos 1

2 cos 1

(*) Giải

Theo trên ta có :

cos

1 2 cos

1 ≤ 0 : vô nghiệm Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ 2

Bài 25

Giải bất phương trình : cosx > cotgx(*)

Giải (*) ⇔ cosx >

0 cos 1

Bài 26

Định m để bất phương trình có nghiệm :

2cos2x + sin2x

4 + 5 – m ≤ 0 (*) Giải

2 cos 1 2

Bài 27

Giải bất phương trình :

x

x x

x

sin 1

sin 1 sin 1

sin 1

+

− +

−

Giải Điều kiện x ≠ nπ , n nguyên

Ta có :

(*) ⇔

x

x x

x

sin 1

sin 1 sin

2cos 1

cos sin 2 2

−

−

≤ a

3 2

gx a

Vậy kπ + α và kπ + β (k ∈ Z) với

1 + a − và cotgβ =

2

3 2

Bài 28

Giải bất phương trình :

2cos2x + sin2xcosx + sinxcos2x > 2(sinx + cosx) (1)

Giải

Ta có :

(1) ⇔ 2(sinx + cosx) < 2(cos2x – sin2x) + sinxcosx(sinx + cosx)

⇔ (sinx + cosx)[2(cosx – sinx) + sinxcosx – 2] > 0

Đặt t = cosx – sinx ⇒

1sin 2

t

x t

t x

0 4 cos

0 4 cos

π

π

x x

Giải a) : Xét 1 chu kỳ 2π ta có :

π π

π < − <

4

3 4

π π

π π π

π π π

2 cos 1

4

2 2

x

⇔ 2sin22x + sin2x –1 > 0 ⇔ 2(sin2x + 1)(sin2x -

2

1) < 0

<

<

+

π π

π

π π

π

2 2

3 2

1 2 6 2 2 6 5

k x

k x

k

<

+

π π

π

π π

π

k x

k x

k

4

3

1 12

12

5

Bài 30

Tìm tất cả các giá trị của a để bất phương trình :

a(4 – sinx)4 – 3 + cos2x + a > 0 có tập nghiệm là R

Giải Giả sử a thoả mãn đề bài Vì bất phương trình có nghiệm là R nên

Vậy là mọi a thoả mãn đề bài đều nằm trong khoảng a >

82 3

Giả sử a >

82

3

Vì cos2x ≥ 0 Nên 4 – sinx ≥ 3 ⇔ (4 – sinx)4 ≥ 81 ∀x

Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình :

a2 + 2a – sin2x = 2acosx nghiệm đúng ∀x

−

1 a khi 2 1

1 a 1 - khi 3 2 )

(

-1 a khi 2 4 1

2 2

a y

a a

y

a a y

Đặt t = cosx với –1 ≤ t ≤ 1

(1) ⇔ 2t2 + 5t + 3 ≥ 0 ⇔ t ≤ 2 ∨ t ≥

-2 1

So sánh điều kiện ta có :

So điều kiện nhận :

2 1

t t

1 4

3 sinx + 2sin2

2

x ≥ 1 Thoả điều kiện : log2 (x2 – x +2) ≤ 2

(Đề Đại Học Tổng Hợp TP HCM ) Giải

1x

6

7xk

6+ π≤ ≤ π+ π

Mặt khác :

log2 (x2 – x +2 ) ≤ 2 ⇔ x2 – x + 2 ≤ 4 ( vì x2 – x + 2 > 0 , x∀ ) ⇔ x2 – x + 2 = 0 ⇔ 1− ≤ x ≤ 2 (2)

Bài 35

Tìm y để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x :

ysinysinycosxycos

(Đề Đại Học Tài Chính _ Kế toán ) Giải

ysinysinycos

Chứng minh rằng bất phương trình :

sinx(cos2x + sin.2x) + sin 3x < 9cos3x Được thoả mãn

(Đề Đại Học Y Dược TP HCM) Giải

Ta có : sinx(cos2x + sin.2x) + sin 3x < 9cos3x ; x∈⎢⎣⎡ π0;2⎥⎦⎤

⇔ sinxcos2x + 2sin2xcosx +3sinx – 4sin3x < 9cos3x ; x

;0

;

0 ⇒ tgx ≥ 0 hay t ≥ 0 Xét hàm số : f(t) = t3 – 2t2 –4t +9 ; t ∈ ;[0+∞]

Bài 37

Cho phương trình : 4cos5xsinx – 4sin5xcosx = sin24x + m (1)

1-\ Biết rằng x = π là 1 nghiệm của (1) Hãy giải phương trình (1) trong trường hợp đó

Ta có (1) ⇔ 4sinxcosx(cos4x−sin4 x)=sin2 x+m

⇔ 2sin x(cos2x+sin2x)(cos2 x−sin2x)=sin2 x+m

⇔ sin x−sin2 x=m (2)

1-\ x = π là nghiệm của (1) nên cũng là nghiệm của (2)

m4sin4sin π− 2 π= ⇒ m = 0

Do đó (2) : ⇔ sin x−sin2 x=0

=

∈π

π

=

∈π

=

)Z(28x

)Zk(4kx)Z(22x

)Zk(kx

AAA

2

k8x)Zk(22

=

π+

x + sin 2 ≥ 2

1 sin

(Đại học dân lập Lạc Hồng , năm 1998 – 1999)

Giải

m x

1 2

2 cos

2

3 2

cos 2

3 2

sin

2

m x x

⇔

2

3 2

2 cos 3 sin 2

cos x + 3 sin x < 2 ⇔ cos x + 3 sin x − 2 < 0

Đặt f (x) = cos x + 3 sin x − 2. ta có f xác định và liên tục trên

π và 7

12

π Ta có : f (0) = − 1 2 < 0

C BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 5

Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm :

2

2 cos x cosx 1 cosx 2

− ≤ m – 1, x ∈ [0 , π] Đáp số : m ≥ -1

Bài 6

Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

2 x cos

1 x cos x cos

1) f(x) ≤ m có nghiệm khi m ≥ min f(x) , x ∈ D

2) f(x) ≤ m vô nghiệm khi m < min f(x) , x ∈ D

1 t 8 t 2

2

14 4 t

14 4

Bài 7

Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm :

(m2 – 3m + 2)cos2x = m(m -1)