Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Một ẩn

1. Giải và biện luận bất phương trình dạng \(ax + b < 0\)

Cho bất phương trình \(ax + b < 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

a) Nếu \(a > 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x < - \dfrac{b}{a}\).

Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - \dfrac{b}{a}} \right)\).

b) Nếu \(a < 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x > - \dfrac{b}{a}\).

Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \dfrac{b}{a}; + \infty } \right)\).

c) Nếu \(a = 0\) thì . Do đó:

- Bất phương trình \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm nếu \(b \ge 0\).

- Bất phương trình \(\left( 1 \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\) nếu \(b < 0\).

Ví dụ: Giải và biện luận: \(mx + 1 < 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

- Nếu \(m > 0\) thì $\left( 1 \right) \Leftrightarrow x > - \dfrac{1}{m}$ nên tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{m}} \right)\).

- Nếu \(m < 0\) thì $\left( 1 \right) \Leftrightarrow x < - \dfrac{1}{m}$ nên tập nghiệm \(S = \left( { - \dfrac{1}{m}; + \infty } \right)\).

- Nếu \(m = 0\) thì \(\left( 1 \right)\) trở thành \(1 < 0\) (sai) nên bất phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

+) Nếu \(m > 0\) thì bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{m}} \right)\)

+) Nếu \(m < 0\) thì bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left( { - \dfrac{1}{m}; + \infty } \right)\)

+) Nếu \(m = 0\) thì bất phương trình vô nghiệm.

2. Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Quy tắc: Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm thu được.

Ví dụ: Giải hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 < 0\\3 - 2x > - 3\end{array} \right.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 < 0\\3 - 2x > - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x < 4\\ - 2x > - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x < 2$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;2} \right)\)

Bài viết gợi ý:

1. Đại cương về bất phương trình

2. Bất đẳng thức

3. Hệ phương trình có cấu trúc đặc biệt

4. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

5. Phương trình chứa căn

6. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

7. Phương pháp giải một số phương trình bậc ba, bậc bốn quy về bậc nhất, bậc hai