BÍ Kíp Tổng Hợp Cho Sinh Viên Năm Nhất - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.docx) (201 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Giáo Dục - Đào Tạo
>>
3. Cao đẳng - Đại học

BÍ kíp tổng hợp cho sinh viên năm nhất

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (6.18 MB, 201 trang )

Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnMỤC LỤC1Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnTOÁNCAO CẤP2Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnMA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC1. Ma trận1.1. Định nghĩa:- Ma trận cấp là một bảng hình chữ nhật với dòng và cột; phần tử.1.2. Các phép toán trong ma trận:a. Hai ma trận bằng nhau:- Là 2 ma trận cùng cấp và các phần tử của nó ở các vị trí tương ứngbằng nhau.VD:b. Cộng (trừ) 2 ma trận:Lưu ý:- Phép cộng & phép trừ ma trận chỉ áp dụng được khi 2 ma trận là 2 matrận cùng cấp (số dòng và số cột của 2 ma trận tương ứng bằng nhau).VD:- Ma trận .c. Phép nhân ma trận- Nhân ma trận với một số:VD:- Tích của 2 ma trận: chỉ có thể nhân 2 ma trận khi số cột của ma trậnthứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ 2.Với: .VD:3Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnDo ma trận có 3 dòng và ma trận có 3 cột nên tồn tại ma trậnTa có:2. Định thứcKý hiệu: hoặc2.1. Định thức cấp 2, cấp 3:2.2. Cách tính định thức tổng quát:- Phần bù đại số của một phần tử trong ma trận: Xét:Có thể khai triển theo dòng hoặc theo cột:+ Khai triển theo dòng thứ : ( cố định, chạy)+ Khai triển theo cột thứ : ( cố định, chạy)VD: Tìm phần bù của ma trận sau:3. Ma trận nghịch đảo3.1. Khái niệm:- Ma trận nghịch đảo của 1 ma trận vuông là 1 ma trận vuông (cùng cấpvới ) thỏa mãn điều kiện:Trong đó được gọi là ma trận đơn vị:4Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnMa trận nghịch đảo chỉ áp dụng cho ma trận vuông.được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận vuông :- Ma trận phụ hợp của ma trận A là ma trận:Các vị trí trong ma trận phụ hợp đã được đổi vị trí dòng và cột cho nhau.3.2. Công thức tính ma trận nghịch đảo:VD: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:Ta có:Ma trận có ma trận nghịch đảo:Trong đó:;;;;;;Ma trận nghịch đảo của ma trận đã cho là:;;.4. Hạng của ma trận:Hạng của ma trận A (kí hiệu r(A)) là cấp cao nhất của định thức conkhác 0 của ma trận đó.Cách tìm hạng của ma trận:Cách 1: Sử dụng định nghĩa (không phổ biến)Cố định 1 phần tử khác 0, tính các định thức cấp 2 chứa phần tử đó. Nếutất cả các định thức cấp 2 bằng 0 thì. Nếu tồn tại ít nhất 1 định thứccấp 2 khác 0 thì xét tiếp các định thức cấp 3 chứa định thức cấp 2 đó.Nếu tất cả các định thức cấp 3 bằng 0 thì. Nếu tồn tại ít nhất 1 địnhthức cấp 3 khác 0 thì lại xét tiếp định thức cấp 4, cứ như thế đến khi tínhđược r(A).5Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnVí dụ: Tính hạng của ma trậnĐầu tiên ta xétXét tiếp các định thức cấp 3 chứa định thức trên. Ta có:Cách 2: Biến đổi ma trận về dạng bậc thang?Thế nào là ma trận bậc thang? Là ma trận tính từ bên trái sang phải thìdòng trên bao giờ cũng gặp phần tử khác 0 trước dòng dưới.VD :? Biến đổi như thế nào? Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp. (ôn lại)Ví dụ: Hạng của ma trận(3D1+D2 ; D1+D3) Biến đổi tiếp ta cóSuy ra r(A)=2(-1)D2+D3.6Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnBÀI TẬP MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨCDạng 1: Tính định thứcPhương pháp chung: Đưa về ma trận đường chéo (phổ biến nhất)i.ii.iii.iv.Ngoài ra có một số trường hợp đặc biệt:Ma trận A có 1 dòng (cột) bằng 0 thì det(A)=0Ma trận A có 2 dòng (cột) tỉ lệ với nhau thì det(A)=0Ma trận A có 1 dòng (cột) là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác thìdet(A)=0Ma trận A có 1 dòng (cột) có nhiều số 0 thì sử dụng phương phápkhai triển theo phần bù đại số.VD1: Tính D= = = (a+b+c)=0VD 2: TínhVD3: Tính;VD4: Tínhcộng các dòng vào dòng 1)(với x≠0)(gợi ý:nhân cột 1 dòng 1 với x,Dạng 2: giải phương trình định thứcPhương pháp chung: Tính det(A) biến đổi về biểu thức của ẩn x rồi giảiphương trìnhChú ý: Nếu tất cả phần tử chứa x đều nằm trên 1 hàng (cột) thì nên tínhđịnh thức theo cách khai triển theo hàng (cột) đó.7Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnVD1: Giải phương trình:Khai triển theo dòng 1 ta được:VD2: Giải phương trìnhDạng 3: mối liên hệ giữa các định thức đặc biệtÔn lại:•••••det(AT) = det(A)det(A.B) = det(A).det(B) suy ra det(An) = [det(A)]ndet(A-1) =det(A*) = [det(A)]n-1det(kAn) = kn. detAnVD1: Nếu A là ma trận vuông cấp 4 có detA = -2. Tính det(2AT)Det (2AT)= 24 det(AT) = 24det A = 16 .(-2) = -32VD2 : nếu A là MT vuông cấp 3 có det(2A) = -24. Tinh det(3A-1)Det (2A) = -24  23 detA = -24  detA = -3detA-1 = -1/3 => det (3A-1) = 33 det A-1 = 27. (-1/3) = -9VD3: Tìm cấp của MT vuông A biết:Giả sử A có cấp là nTừ pt 1 => det A = 3 => detAT = 3Từ pt2 => 2ndetAT = 48 => n = 68Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnVD4: Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa mãn det(A)=100. Tính :a, det(A2), det(A-1), det(AT.A)b, det(B) biết B2=A.VD5 : Cho A=. Tính det[(3A)-1]TDạng 4: Tìm ma trận nghịch đảoPhương pháp chung : Sử dụng ma trận phụ hợp (hay dùng, chỉ cần tínhtoán cẩn thận) ; hoặc khử Gauss-JordanVD 1: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận••det(A) = 22 # 0Ta có:A11= (-1)1+1 = -8A21 = 6A31=-2• Suy ra: A* =A12 = (-1)1+2 = 3A22 = -5A32= 9và A-1= =A13 =(-1)1+3 = 7A23 = 3A33= -1Chú ý: Tính chất của A-1(A-1)-1 = A(AT)-1 = (A-1)T(AB)-1 = B-1 x A-1VD 2 : Tìm A-1 nếu MT A tman A2 + 3A – 2E = (0)A2 + 3A – 2E = (0)  A2 +3A = A2 + 3A = 2E A.A + 3 E.A = A.A + 3 A.E = 2E (A + 3E)A = A(A + 3E) = 2E 1/2(A + 3E)A = 1/2A(A + 3E) = I => A-1 = ½(A +3E)VD3: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:VD4: Cho ma trận A vuông thỏa mãn điều kiện: A2-2013A + E = 0Tìm ma trận nghịch đảo A-1 của A( nếu tồn tại)9Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnDạng 5: tìm điều kiện để ma trận khả nghịchTương đương với tìm điều kiện để det(A) ≠ 0VD: Tìm m để A khả nghịchA=A=B.Cdet A= detB.detCNhận thấy ma trận B có 2 cột tỷ lệ => det B = 0 => det A = 0A không khả nghịch.Dạng 6: Giải phương trình ma trậnPhương pháp chung: dùng ma trận nghịch đảo ( chú ý không đổi thứ tựcác ma trận vì không có tính chất giao hoán trong phép nhân ma trận )AX = B A-1 A X = A-1BX= A-1BXA = B  X A A-1 = B A-1X= B A-1Ngoài ra ta có cách đặt ẩn trong ma trận rồi giải hệ phương trìnhChú ý: nếu A, B là ma trận vuôngDet A=0, det B # 0 thì pt AX = B vô nghiệmVD 1: Tìm X để AX = BA=;B=Det A= 0, det B = 20 # 0=> Pt vô nghiệmVD 2: Tìm X để AX = BA=; B=Cách 1: Ta có: det A = 5A-1 = =X = A-1B =Cách 2: X là ma trận vuông bậc 2. Giả sử X =Ta có:=> => X =VD3: Tìm X thỏa mãn:Đặt X = Vậy ta có: =>với A= [ 1 2]; B= [23];C==> => X =10Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnVD4 : Giải phương trình sau: (2 cách)VD5: Giải phương trình ma trận sau:a,b,VD6: Giải phương trình ma trận sau:Dạng 7: Bài toán liên quan đến hạng của ma trậnPhương pháp chung: Biến đổi về ma trận bậc thangVD1: Tính hạng của ma trận sau:VD2: Cho A=Tìm x để r(A) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhấtr(A)=r(A) = 2  x2 – 2x = 0  x=0 hoặc x=2 (nhỏ nhất)r(A) lớn nhất bằng 3 khi x khác 0 và 2.Dạng 8: tìm ma trận giao hoánMa trận B gọi là giao hoán với A nếu A.B=B.APhương pháp chung: Đặt ẩn trong ma trận và giải hệ phương trìnhVD1: Tìm tất cả các ma trận giao hoán với ma trậnGiả sử là ma trận giao hoán với A.Ta có11Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnVD2 : tìm ma trận giao hoán với các ma trận sau :A= ; B=12Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnKHÔNG GIAN VÉC-TƠTrong sách có trình bày trường hợp tổng quát, không gian véc-tơ (vt)trong tập hợp V bất kì, nhưng chủ yếu chỉ cần quan tâm đến không gianvt , hiểu đơn giản là tập hợp tất cả các bộ sốthực bất kì1.vớilà các sốđó làm 1 cơ sở và biểu diễn vtthìtagiảiphươngtheotrình:Kiến thức cơ bảnCác phép tính trong không gian vtrất đơn giản:Tổng 2 vt:Tích 1 vt với 1 sốVí dụ: Xét 3 vtthì vtNgược lại, cho hệ 3 vthệvttrên, tương ứng với giải hệphương trình 3 ẩn:( giải bằng máy tính )2. Hệ độc lập tuyến tính và hệ phụ thuộc tuyến tínhXét một hệgồmvt trong không gian vt:là hệ độc lập tuyến tính (đltt) nếulà hệ phụ thuộc tuyến tính (pttt) nếuChứng minh một hệ là đltt hoặc pttt bằng cách giải phương trình trên,hay thực ra là giải một hệ phương trình vớithì hệđltt, ngược lại thìẩn, nếu chỉ có 1 nghiệmpttt13Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnXét hệ vt. Tập conđại, hay một cơ sở củanếuqua. Số vt trongcủađược gọi là một hệ đltt tốiđltt và mọi vt củalà hạng củađều có thể biểu diễn, kí hiệu là3. Hạng của hệ vtChỉ tập trung vào hệ vt trongTrong không gian vt, xét hệvtvới()Ta lập ma trậnnhận các vtliên kết với hệ vt.nhận các vtlần lượt là các dòng hoặclần lượt là các cột, các ma trận đó gọi là ma trậnVí dụ: Xét hệ vtthì có ma trận liên kết làvàHạng của hệ vt chính là hạng của ma trận liên kết với nóMột hệ vt là cơ sở của không gian vtvà là hệ đlttkhi và chỉ khi hệ đó cóvtÁp dụng làm bài: Một hệ n vt là cơ sở của không gian vtkhi vàchỉ khi ma trận liên kết với hệ vt đó có định thức khác 0, hoặc cóhạng là n.4. Không gian vt con:Quan trọng: Xét L là một bộ phận khác rỗng của không gian vtlà không gian vt con của.Lkhi và chỉ khi:14Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnVí dụ: Xét không gian vtcủavì với.thìXét không gian vtcon củaXét hệ vttính củakhông là không gian vt convì với.thìgồm hữu hạn các vt trongkhông là không gian vtcó. Tất cả những tổ hợp tuyến( cộng, trừ các vt hoặc nhân 1 vt tronggọi là bao tuyến tính củaVí dụ: Xét hệ vtvới một số), kí hiệuthì bao tuyến tính củalàQuan trọng: Số chiều của bao tuyến tính, kí hiệu:( số chiều của bao tuyến tính bằng hạng của hệ vt cơ sở, hạng đótính như phần 3 )15Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnCÁC DẠNG BÀI TẬPDạng 1 : Bài toán về sự phụ thuộc tuyến tính & độc lập tuyến tính*Phương pháp:- PP1: Hệ vectơ v1, v2,…, vk thuộc không gian vectơ V được gọi là độclập tuyến tính nếu phương trình()Chỉ có nghiệm duy nhất làMột hệ vectơ v1, v2,…, vk được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó khôngphải là hệ độc lập tuyến tính.-PP2: sử dụng ma trận liên kết ANếu r(A)= số vectơ thì hệ đlttNếu r(A) < số vecto thì hệ ptttVD1: Cho các hệ vectơ trong R3. Hãy xác định sự độc lập tuyến tính hayphụ thuộc tuyến tính của các hệ nàya) u1=(2,1,-3)u2=(3,1,2)u3=(5,2,-1)b) v1=(3,2,-2)v2=(-2,1,2)v3=(2,2,-1)Giảia)Xét phương trình(1)(1)Hệ vô số nghiệmĐây là hệ phụ thuộc tuyến tính16Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnb)Xét phương trình(2)(2)Hệ đlttCách 2 : sử dụng ma trận liên kếta, A==>r(A) =r(U) = 2 => hệ ptttb, A=r(A)= r(U)= 3 => hệ đlttVD2: Trong R3 (không gian các đa thức hệ số thực bậc không quá 3),xét các hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?Hướng dẫn:a)Xét tổ hợp tuyến tínhta có17Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnVậy hệ vector trên độc lập tuyến tínhd) Ta cónên hệ vector này phụ thuộc tuyến tính.Dạng 2: Xác định tọa độ của vectơ đổi với 1 cơ sở, biểu diễn tuyếntính 1 vecto qua hệ vecto đã choĐể vector x biểu thị tuyến tính qua các vectornếu tồn tại các sốkhông đồng thời bằng 0 sao cho:VD3: Trong không gian R3 cho hệ cơ sởu1=(1,-1,1) u2=(-1,1,0) u3=(1,0,0)Hãy xác định tọa độ của vectơ u=(1,1,0) đối với cơ sở đã cho.GiảiTọa độ (α1,α2,α3) của u đối với cơ sở đã cho chính là nghiệm của phươngtrìnhU= α1.u1 + α2.u2 + α3.u3 (1)(1) α1. (1,-1,1) + α2. (-1,1,0) + α3. (1,0,0)=(1,1,0)(α1,-α1,α1) + (-α2,α2,0) + (α3,0,0)=(1,1,0)(α1-α2+α3,-α1+α2,α1)=(1,1,0) Tọa độ của u đối với cơ sở đã cho là (0,1,2)Chú ý : 1 vecto biểu diễn được qua các vecto khác thì vecto đó được gọi là tổ hợp tuyến tính của cácvecto đó. Bài toán chứng minh hay xét xem 1 vecto có phải là tổ hợp tuyến tính k, ta chỉ cần xem nó cóbiểu diễn tuyến tính qua hệ vecto đã cho được kVD4: Trong R3 cho hai vectơ.a)Vectơ u = (2, -3, 3) có biểu thị tuyến tính được quakhông?b)Tìm m để v = (1, m, -3) biểu thị tuyến tính được qua.18Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnHướng dẫn:a) Làm giống ví dụ 3, suy ra u biểu thị tuyến tính được quab)Xét hệ pt.Vd5:, ta có:TrongR4chocácvectơ. Tìm điều kiện để vectơlà tổ hợp tuyến tính củaa)b)Hướng dẫn:Để v là tổ hợp tuyến tính củathì tồn tại các sốsao choKhi đó, hệ phương trình sau có nghiệm:Suy ra,c)làm tương tự.DẠNG 3: tìm hệ con đltt tối đạiVd6: Tìm hệ vector độc lập tuyến tính tối đại của hệ vector sau:19Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnHướng dẫnXét ma trận A có các dòng là các tọa độ vector.Khi đó, thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng ta được.r(A)= 2 => hệ con đltt tối đại có 2 vectoVậy hệ độc lập tuyến tính tối đại của hệ này là:DẠNG 4: BÀI TOÁN CƠ SỞ CỦA 1 KG Rn1 hệ vecto là cơ sở của kg Rn hệ đó có n vecto và hệ là đlttVD7: Trong R3 chứng minha)là cơ sởhệ này có 3 vectoChứng minhđộc lập tuyến tính.Xét ma trậnHệSuy ra,độc lập tuyến tính.là một cơ sở của R3Vd8: Trong R3 cho hai hệ vectơvàB’ = {(2,1,-1); (3,2,-5);(1,-1,m)}.a) Chứng minh rằng B là một cơ sở của R3.b) Tìm m để B’ là một cơ sở của R3a) Kiểm tra đượcB là cơ sở củab) Để m là cơ sở của thì hệ 3 vector của B’ là hệ độc lập tuyến tính tối20Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnđại.giải:a)Kiểm tra đượcB là cơ sở củaĐể m là cơ sở của R3 thì hệ 3 vector của B’ là hệ độc lập tuyếntính tối đại.Hay hệ 3 vecto đó phải đlttb)DẠNG 5: CM KG CON, TÌM CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU1 KG W là kg con của Rn Tìm cơ sở và số chiều:Tìm cở sở: phần tích vecto nghiệm tổng quát => cơ sởVD: (x,y,z)=(x,x+3z, z) = (x,x,0)+ (0, 3z, z) = x( 1,1,0) + z(0,3,1)Cở sở gồm 2 vecto là (1,1,0) và (0,3,1)Dim= số vecto của co sở = 2DẠNG 6: KHÔNG GIAN SINH BỞI HỆ VECTOTrong không gian R3, cho W là một không gian con sinh bởi hệ vectơsau:Tìm một cơ sở và số chiều W.Lưu ý: KG con sinh bởi hệ vecto là tập hợp các vecto u biểu diễn tuyếntính được qua hệ u1, u2, u3, …, un. Vì thế để kiểm tra xem 1 vecto unào đó có thuộc KG con sinh bởi hệ vecto thfi ta kiểm tra xem nó cóbiểu diễn tuyến tính được qua u1,u2,u3,..,un khôngCòn tìm cơ sở và số chiều :Tìm cơ sở giống hệt như tìm hệ còn đltt tối đại-Lập MT lien kếtr(A) = số vecto của hệ con đltt tối đại = số vecto của cơ sở= sốchiều W(=dimW)cơ sở21Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vn22Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vnHỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHXét hệ phương trìnhẩn:ma trận hệ sốma trận bổ sungCác dạng toán về hệ phương trình tuyến tính:Hệ phương trình tuyến tínhĐịnh lý Cronecker- Capelli r(A) < r(Hệ vô nghiệm r(A) = r( < n: Hệ có VSN r(A) = r( = n: Hệ có nghiệm duy nhấtThuật toán Cramer ( số pt = số ẩn )Tính D= detA và cácD 0 : Hệ có 1 nghiệm- D 0 và = 0 : Hệ VN- D = = 0 : Hệ có VSN hoặc VNThuật toán Gauss- Đưa về C có dạng bậc thang-23Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vn-Từ C lập hpt tương đương vớiheệdđã choDựa vào hệ mới đểu xử lý hệ cũ*Đối với hệ thuần nhất:Hệ thuần nhất luôn có nghiệm, gọi là nghiệm tầm thườngHệ thuần nhất có nghiệm duy nhấtHệ thuần nhất có nghiệm không tầm thườngHệ thuần nhất vuông (DẠNG 1 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA HPT TUYẾN TÍNHoPP : Dùng Gauss và Cronecker- Capelli r(A) < r(Hệ vô nghiệmr(A) = r( < nHệ có VSNr(A) = r( = nHệ có 1 nghiệmVí dụ: BL theo m số nghiệm PTTa có:d2- 2d1d3-3d1Biện luận:•m= 6 r(A) < r(:VN24Tìm thêm tài liệu tại aaaclass.edu.vn••m= 0 r(A) = r( = 2 < 3m và m r(A) = r( = 3: VSN: 1 NoBài 1:•Giải và biện luận:•Giải:•DẠNG 2: GIẢI HPT TUYẾN TÍNH25

Tài liệu liên quan

• Quy định các môn học kỹ năng và kiến thức tổng quát cho sinh viên hệ tín chỉ
  • 4
  • 665
  • 0
• ĐỀ THI XẾP LỚP CHO SINH VIÊN NĂM I MÔN TIẾNG ANH pps
  • 5
  • 1
  • 13
• Hiệu quả của việc sử dụng viết tiếng Anh sáng tạo để tạo không khí học tập đầu buổi học cho môn thực hành tổng hợp của sinh viên năm thứ nhất chuyên ngành tiế
  • 7
  • 419
  • 0
• Designing an English syllabus for the third year students at FLD, Nghe An Teacher Training College = Thiết kế chương trình môn Văn học Anh cho sinh viên năm thứ
  • 54
  • 862
  • 0
• Hiệu quả của việc sử dụng viết tiếng Anh sáng tạo để tạo không khí học tập đầu buổi học cho môn thực hành tổng hợp của sinh viên năm thứ nhất chuyên ngành tiếng
  • 55
  • 459
  • 0
• hững khó khăn về ngôn ngữ và sư phạm trong việc dạy từ vựng tiếng Anh chuyên ngành cho sinh viên năm thứ ba chuyên ngành điện tử Trường đại học Công nghiệp thàn.PDF
  • 19
  • 805
  • 0
• hững khó khăn về ngôn ngữ và sư phạm trong việc dạy từ vựng tiếng Anh chuyên ngành cho sinh viên năm thứ ba chuyên ngành điện tử Trường đại học Công nghiệp thàn20150227.PDF
  • 61
  • 821
  • 0
• Khó khăn khi dạy và học từ vựng trong giáo trình “Tiếng Anh chuyên ngành chế biến thực phẩm” cho sinh viên năm cuối hệ trung cấp ở trường cao đẳng Du lịch Hà Nộ.PDF
  • 17
  • 818
  • 0
• Khó khăn khi dạy và học từ vựng trong giáo trình “Tiếng Anh chuyên ngành chế biến thực phẩm” cho sinh viên năm cuối hệ trung cấp ở trường cao đẳng Du lịch Hà Nộ20150227.PDF
  • 55
  • 884
  • 1
• Sử dụng tài liệu đọc bổ trợ cho giáo trình Business Basics nhằm nâng cao hiệu quả của việc dạy và học kỹ năng đọc cho sinh viên năm thứ hai trường Cao đẳng Cô
  • 51
  • 698
  • 0

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(1.74 MB - 201 trang) - BÍ kíp tổng hợp cho sinh viên năm nhất Tải bản đầy đủ ngay ×