Biết Nguyên Hàm Của Xe^2xdx=axe^2x+be^2x+C, Với A,b∈Q . Tính ...

× Đăng nhập Facebook Google ×

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Hãy chọn chính xác nhé!

Trang chủ Lớp 12 Toán

Câu hỏi:

21/07/2024 2,859

Biết ∫xe2xdx=axe2x+be2x+C, với a,b∈ℚ . Tính tích a.b.

A. a.b=-14

B. a.b=14

C. a.b=-18

Đáp án chính xác

D. a.b=18

Xem lời giải Xem lý thuyết Câu hỏi trong đề: 150 câu trắc nghiệm Nguyên hàm - Tích phân cơ bản (có đáp án) Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Câu trả lời này có hữu ích không?

0 1

Gói VIP thi online tại VietJack (chỉ 400k/1 năm học), luyện tập gần 1 triệu câu hỏi có đáp án chi tiết

ĐĂNG KÝ VIP

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tính tích phân sau: ∫0π22cos x-sin 2xdx

Xem đáp án » 05/03/2022 375

Câu 2:

Tính tích phân I=∫-22x2-1dx ta được kết quả :

Xem đáp án » 05/03/2022 217

Câu 3:

Biết ∫03-x+8x2+5x+4dx=alnb-blna với a,b>0 thì ba2 bằng:

Xem đáp án » 05/03/2022 214

Câu 4:

Tính tích phân sau C=∫12exex-1dx

Xem đáp án » 05/03/2022 212

Câu 5:

Biết I=∫01x4-x2dx=-12lnab với ab là phân số tối giản và a,b>0 thì a2-b bằng

Xem đáp án » 05/03/2022 210

Câu 6:

Tính tích phân sau I=∫012x+9x+3dx

Xem đáp án » 05/03/2022 205

Câu 7:

Tính tích phân sau B=∫01x3x4-15dx

Xem đáp án » 05/03/2022 197

Câu 8:

Tính tích phân sau ∫01(x3-1)dx

Xem đáp án » 05/03/2022 196

Câu 9:

Tính tích phân sau A=∫01x1+x2dx

Xem đáp án » 05/03/2022 193

Câu 10:

Tính tích phân sau: I=∫0π2sin5xdx

Xem đáp án » 05/03/2022 192

Câu 11:

Tính tích phân sau E=∫14exxdx

Xem đáp án » 05/03/2022 190

Câu 12:

Tính tích phân sau D=∫024-x2xdx

Xem đáp án » 05/03/2022 189

Câu 13:

Tính tích phân sau: I=∫01dx1+x2

Xem đáp án » 05/03/2022 189

Câu 14:

Tính tích phân I=∫02x2-3x+2dx ta được kết quả:

Xem đáp án » 05/03/2022 186

Câu 15:

Tính tích phân sau ∫12x2+4xxdx

Xem đáp án » 05/03/2022 180 Xem thêm các câu hỏi khác »

LÝ THUYẾT

Mục lục nội dung

Xem thêm

1. Nguyên hàm và tính chất

1.1 Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng của R.

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x∈K.

Ví dụ.

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng (-∞;+∞) vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx với ∀x∈(-∞;+∞).

- Hàm số F⁢(x)=x+ 2x-3 là một nguyên hàm của hàm số f⁢(x)=-5(x-3)2 trên khoảng (-∞;  3)∪(3;+∞)

Vì F'⁢(x)=(x+ 2x-3)'=-5(x-3)2=f⁢(x) với ∀x∈(-∞;  3)∪(3;+∞).

- Định lí 1.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F⁢(x)+C;C∈⁢R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K.

Kí hiệu: ∫f⁢(x)⁢𝑑x=F⁢(x)+C .

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ.

a) Với x∈(-∞;+∞) ta có: ∫x3⁢𝑑x=x44+C;

b) Với x∈(-∞;+∞) ta có: ∫ex⁢𝑑x=ex+C;

c) Với x∈(0;+∞) ta có: ∫12⁢x⁢𝑑x=x+C.

1.2 Tính chất của nguyên hàm

- Tính chất 1.

∫f'⁢(x)⁢𝑑x=f⁢(x)+C

Ví dụ.

∫(4x)'⁢𝑑x=∫4x.ln⁡4.d⁢x=  4x+C

- Tính chất 2.

∫k⁢f⁢(x)⁢𝑑x=k.∫f⁢(x)⁢𝑑x (k là hằng số khác 0).

- Tính chất 3.

∫[f⁢(x)±g⁢(x)]⁢𝑑x=∫f⁢(x)⁢𝑑x±∫g⁢(x)⁢𝑑x.

Ví dụ. Tìm nguyên hàm của hàm số f⁢(x)=  3⁢x2+  2⁢sin⁡x trên khoảng (-∞;+∞).

Lời giải:

Với x∈(-∞;+∞) ta có:

∫(3⁢x2+ 2⁢sin⁡x)⁢𝑑x=∫3⁢x2⁢𝑑x+  2⁢∫sin⁡x⁢d⁢x=x3+ 2.(-c⁢osx)⁢ +C⁢ = ⁢x3-2⁢c⁢osx⁢ +C

1.3 Sự tồn tại nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Ví dụ.

a) Hàm số y=x có nguyên hàm trên khoảng (0;+∞).

∫x⁢𝑑x=∫x12⁢𝑑x=23⁢x32+C=23⁢x⁢x+C

b) Hàm số y = 1x có nguyên hàm trên khoảng (-∞;  0)∪(0;+∞)

∫1x⁢𝑑x=ln⁡|x|+C

1.4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

∫0⁢𝑑x=C	∫axdx=axln⁡a+C(a> 0;a≠1)
∫𝑑x=x+C	∫cosxdx⁢⁢ =⁢ ⁢sinx⁢⁢ +C
∫xαdx=1α⁢⁢ + 1xα⁢ +1+C(α ≠ -1)	∫sin⁡x⁢d⁢x=-c⁢osx+C
∫1x⁢𝑑x=ln⁡|x|+C	∫1cos2⁢x⁢𝑑x=tan⁡x+C
∫ex⁢𝑑x=ex+C	∫1sin2⁡x⁢𝑑x=-cot⁡x+C

Ví dụ. Tính:

a) ∫(3⁢x4+x3)⁢𝑑x

b) ∫(5⁢ex- 4x+ 2)⁢𝑑x

Lời giải:

a)

∫(3⁢x4+x3)⁢𝑑x=∫3⁢x4⁢𝑑x+∫x3⁢𝑑x=  3⁢∫x4⁢𝑑x+∫x13⁢𝑑x

=  3.x55+34.x43+C=3⁢x55+3⁢x⁢x34+C

b) ∫(5⁢ex- 4x+ 2)⁢𝑑x

= 5⁢∫ex⁢𝑑x-  16.∫ 4x⁢𝑑x=  5.ex-16.4xln⁡4+C

- Chú ý: Từ đây, yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

2. Phương pháp tính nguyên hàm.

2.1 Phương pháp đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu ∫f⁢(u)⁢𝑑u=F⁢(u)+Cvà u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

∫f⁢(u⁢(x)).u'⁢(x)⁢d⁢x=F⁢(u⁢(x))+C.

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

∫f⁢(a⁢x+b)⁢𝑑x=1a⁢F⁢(a⁢x+b)+C.

Ví dụ. Tính ∫(3⁢x+ 2)3⁢𝑑x.

Lời giải:

Ta có: ∫u3⁢𝑑u=u44+C nên theo hệ quả ta có:

∫(3⁢x+ 2)3⁢𝑑x=(3⁢x+2)44+C.

Chú ý:

Nếu tính nguyên hàm theo biến mới u (u = u(x)) thì sau khi tính nguyên hàm, ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).

Ví dụ. Tính ∫sin⁡x.c⁢os2⁢x⁢d⁢x.

Lời giải:

Đặt u = cosx. Suy ra: du = – sinx. dx

Khi đó, nguyên hàm đã cho trở thành:

∫u2.(-d⁢u)= -∫u2⁢𝑑u⁢ =-u33+C

Thay u = cosx vào kết quả ta được:

∫sin⁡x.c⁢os2⁢x⁢d⁢x=-c⁢os3⁢x3+C.

2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

∫u⁢(x).v'⁢(x).d⁢x=u⁢(x).v⁢(x)-∫u'⁢(x).v⁢(x)⁢d⁢x.

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng:

Đó là công thức nguyên hàm từng phần.

Ví dụ. Tính

a) ∫x⁢ln⁡x⁢d⁢x;

b) ∫x⁢sin⁡x⁢d⁢x;

c) ∫(5-x).ex⁢d⁢x

Lời giải:

a) ∫x⁢ln⁡x⁢d⁢x

Đặt {u=lnxdv=xdx⇒{du=1xdxv=x22

Ta có:

∫x⁢ln⁡x⁢d⁢x=x22.ln⁡x-∫x22.1x⁢d⁢x

=x22.ln⁡x-12⁢∫x⁢𝑑x=x22.ln⁡x-12.x22+C

=x22.ln⁡x-x24+C.

b) ∫x⁢sin⁡x⁢d⁢x;

Đặt {u=xdv=sinxdx⇒{du=dxv=-cosx

Khi đó:

∫x⁢sin⁡x⁢d⁢x=-x.c⁢osx⁢ +∫cosxdx= -x.c⁢osx⁢ +sinx⁢ + ⁢C

c) ∫(5-x).ex⁢d⁢x

Đặt {u=5-xdv=exdx⇒{du= -dxv=ex

Khi đó:

∫(5-x).ex⁢d⁢x=(5-x).ex-∫-ex⁢d⁢x

=(5-x).ex+∫ex⁢𝑑x

=(5-x).ex+ex+C.

3. Khái niệm tích phân

3.1 Diện tích hình thang cong

- Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được gọi là hình thang cong.

- Ta xét bài toán tìm diện tích hình thang cong bất kì:

Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng x = a;x = b (a < b); trục hoành và đường cong y = f(x),trong đó f(x) là hàm số liên tục, không âm trên đoạn [a; b].

Với mỗi x∈[a;b], kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với Ox lần lượt tại a và b.

Ta chứng minh được S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Giả sử F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) thì có một hằng số C sao cho S(x) = F(x) +C.

Vì S(a) = 0 nên F(a) +C = 0hay C =–F(a).

Vậy S(x) = F(x) – F(a).

Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang cần tìm là:

S(b) = F(b) – F(a).

3.2 Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), kí hiệu ∫abf⁢(x)⁢𝑑x.

Ta còn dùng kí hiệu F⁢(x)|ab