Biểu Thức Tọa độ Của Phép Biến Hình Lớp 11 - Trường THPT Đoàn Kết

Lượt xem: 15246

PHẦN I: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH

I)PHÉP TỊNH TIẾN

Ngoài các điều đã trình bày trong sách giáo khoa, tôi xin nêu ra một số ý tưởng như sau:

Ta đã biết biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến: với M(x;y), , và .

II) PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC:

SGK đã nêu biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục với trục đối xứng là các trục Ox, Oy. Tuy nhiên, trong trường hợp trục đối xứng là đường thẳng có phương trình bất kì thì SGK không nêu ra. Ta có thể hướng dẫn học sinh theo cách như sau:

Bài toán: cho điểm M(x0;y0) và đường thẳng d có phương trình ax+by+c= 0. Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục d.

Hướng dẫn:

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với d

+ Tìm toạ độ H=

+ Tìm toạ độ M’ sao cho H là trung điểm của MM’.

M’ chính là điểm cần tìm.

III) PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM:

Biểu thức toạ độ của phép quay trong trường hợp tổng quát là phức tạp. Trong trường hợp phép quay có tâm O, góc quay là các góc đặc biệt ta hướng dẫn học sinh tìm ra biểu thức toạ độ.

Biểu thức toạ độ của phép quay tâm O, góc quay :

Dựa vào hình vẽ, học sinh có thể nhận ra biểu thức toạ độ của phép trên: , và ta dùng lượng giác để chứng minh công thức trên. Chứng minh như sau:

gọi

toạ độ điểm M toạ độ M’ (đpcm)

Tương tự ta tìm được biểu thức toạ độ của phép quay tâm O với góc quay đặc biệt khác.

Trường hợp tâm của phép quay là bất kì, ta tìm biểu thức toạ độ của phép quay bằng cách kết hợp với phép tịnh tiến vectơ:

Bài toán: Tìm biểu thức toạ độ của phép quay tâm I(a;b) , góc quay .

Ý tưởng giải quyết bài toán:

+ Tịnh tiến điểm M và I theo vectơ , khi đó O trùng I, M1 là ảnh của M.

+ Tìm ảnh M2 của M1 qua phép quay tâm O, góc quay .

+ Tịnh tiến M2 theo vectơ , ta được M’

M’ chính là ảnh của M qua phép quay tâm I góc quay .

Từ cách tiếp cận để tìm biểu thức toạ độ của phép quay như trên, ta có thể đặt vấn đề để những học sinh khá, giỏi tìm biểu thức toạ độ của phép quay tâm O với góc quay bất kì, và phép quay có tâm bất kì và góc quay tuỳ ý.

Phép đối xứng tâm là trường hợp riêng của phép quay, chính vì vậy ta dùng biểu thức toạ độ của phép quay để nghiên cứu tính chất của phép đối xứng tâm.

IV) PHÉP VỊ TỰ:

Biểu thức toạ đô của phép vị tự:

Trong mặt phẳng Oxy, cho phép vị tự tâm I(a;b), tỉ số k. Phép vị tự trên biến điểm M(x;y) thành M’(x’;y’). Ta có:

biểu thức trên chính là biểu thức toạ độ của phép vị tự tâm I tỉ số k.

*******************************************************

PHẦN II: BÀI TOÁN TỌA ĐỘ CỦA PHÉP BIẾN HÌNH

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(3;-1). Tìm ảnh của M qua các phép biến hình sau:

a) với

b) Đ ox , Đoy

c) ĐI với I(2;-3)

d) Đd với d là đường thẳng có phương trình x + 3y – 4 = 0

e) Phép vị tự tâm S(1;2), tỉ số k = 3.

Hướng dẫn:

Áp dụng biểu thức toạ độ của các phép biến hình ta có:

1. ảnh của M qua phép tịnh tiến theo là điểm M1(5;4)

2. ảnh của M qua Đox là M2(3;1)

ảnh của M qua Đoy là M3(-3;-1)

3. ảnh của M qua ĐI là M4(1;-5)

4. phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc d là: - 3x + y + 10 = 0.

gọi H = => H => ảnh của M qua Đd là điểm M5

5. ảnh của M qua phép vị tự tâm S tỉ số k=3 là M6(7;-7)

Bài 2: Cho đường thẳng d có phương trình x + 2y – 3 = 0. Tìm ảnh của d qua các phép biến hình trong bài 1.

Hướng dẫn:

1. Cách 1:

Gọi M(x;y) là điểm thuộc d, M’(x’;y’) là ảnh của M qua

• M’ thuộc đường thẳng d’ là ảnh của d qua . Ta có:

, thay vào phương trình của d ta có:

x’ – 2 + 2(y’ - 5) – 3 = 0 <=> x’ + 2y’ – 15 = 0

Vậy phương trình của d’ là ảnh của d là: x + 2y - 15 = 0

Cách 2:

Ta có: M(3;0) là điểm thuộc d. Ảnh của M qua là M’(5;5). Ảnh của d qua phép tịnh tiến là đường thẳng d’ đi qua M’ và song song d

Phương trình d’: x – 5 + 2(y-5) = 0 <=> x + 2y – 15 = 0

Các câu còn lại ta làm tương tự như trên.

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x - 2)2+ (y + 3)2 = 4. Tìm ảnh của (C) qua các phép biến hình nói trong bài 1.

Hướng dẫn:

1. Cách 1: làm tương tự bài 2

Cách 2: Vì phép tịnh tiến là phép dời hình, tìm ảnh của (C) ta làm như sau:

+ Tìm ảnh của I(2;-3) là tâm của (C) qua phép tịnh tiến ta được I’

+ Viết phương trình đường tròn (C’) nhận I’ làm tâm và bán kính R=2. (C’) là ảnh của (C)

Các câu b,c,d làm tương tự câu a.

5. Cách 1: làm tương tự Câu a

Cách 2: Phép vị tự không là phép dời hình, ảnh của (C) qua phép vị tự là đường tròn có tâm là ảnh của tâm I đường tròn (C), bán kính R’=3R. Ta có:

+ ảnh của I(2;-3) qua phép vị tự tâm S, tỉ số k là I’(4;-13)

+ phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm S tỉ số k là: (x - 4)2 + (y + 13)2 = 36.

Bài 4: Cho 2 đường thẳng d: x + 2y – 3 = 0, d’: x – 2y – 5 = 0.

1. Tìm phép đối xứng trục biến d thành d’.

2. Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’.

3. Tìm phép tịnh tiến biến d thành d’

4. Tìm phép vị tự biến d thành d’.

Hướng dẫn:

a) d và d’ là 2 đường thẳng không song song nên các phép đối xứng trục với trục là các đường phân giác các góc tạo bởi d và d’ thoả đề bài. Vậy các phép đối xứng trục biến d thành d’ là các phép đối xứng qua các đường thẳng có phương trình:

Phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép vị tự biến d thành d’ không tồn tại vì d, d’ là 2 đường thẳng không song song.

Bài 5: Cho 3 đường thẳng d: 3x + 4y – 5 = 0 , d’ : 3x + 4y + 7 = 0 và

1. Tìm phép đối xứng trục biến d thành d’.

2. Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ với tâm nằm trên

3. Tìm phép tịnh tiến biến d thành d’, vectơ tịnh tiến cùng phương

4. Tìm phép vị tự biến d thành d’ biết tâm vị tự nằm trên và tỉ số vị tự là k = 3.

Hướng dẫn:

a) Nhận xét rằng d và d’ là 2 đường thẳng song song với nhau. Phép đối xứng qua đường thẳng d” cách đều d và d’ là phép đối xứng cần tìm. Ta áp dụng câu a) bài 4 ta có phương trình d”: 3x + 4y + 1 = 0.

2. Đường thẳng cắt d và d’ lần lượt tại A và B. Gọi I là trung điểm của AB. Phép đối xứng tâm I sẽ biến d thành d’.

3. Phép tịnh tiến theo biến d thành d’.

4. Gọi phép vị tự tâm S , tỉ số k=3 là phép vị tự cần tìm. Phép vị tự trên sẽ biến A thành B. Khi đó ta có: , từ hệ thức này ta tìm được toạ độ của S.

Bài 6: trong mặt phẳng Oxy cho 2 đường tròn:

(C1): (x-3)2 + (y-1)2 = 4

(C2): (x+4)2 + (y-5)2 = 16

Tìm các phép vị tự biến (C1) thành (C2)

Hướng dẫn:

Ta có R1= 2, R2=4 => phép vị tự biến (C1) thành (C2) có tâm nằm trên đường nối tâm của 2 đường tròn và tỉ số vị tự là k = 2 hoặc k = -2.

K = 2 ứng với tâm vị tự ngoài, k= -2 ứng với tâm vi tự trong.