Bổ đề Poncelet Và ứng Dụng - 123doc

Giới thiệu Để chứng minh một định lý về chùm đường tròn, nhà toán người Pháp Jean Victor Poncelet 1788 – 1867 đã sử dụng bổ đề sau: Cho tứ giác ABCDnội tiếp đường tròn O1.. 4 Trong bài

BỔ ĐỀ PONCELET, MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

Trần Minh Ngọc Sinh viên K38, Khoa Toán-Tin, Đại học sư phạm TP.HCM

I Giới thiệu

Để chứng minh một định lý về chùm đường tròn, nhà toán người Pháp Jean Victor Poncelet (1788 – 1867) đã sử dụng bổ đề sau:

Cho tứ giác ABCDnội tiếp đường tròn (O1) Đường tròn (O2)lần lượt tiếp xúc AC BD, tại

,

M N Đường thẳng MN lần lượt cắt AB CD AD BC, , , tại P Q R S, , , Khi đó tồn tại đường tròn 3

(O lần lượt tiếp xúc ) AB CD, tại P Q, và đường tròn (O4)lần lượt tiếp xúc AD BC, tại R S, sao cho (O1), (O2), (O3), (O có cùng trục đẳng phương 4)

Trong bài viết này, tác giả sẽ chứng minh và mở rộng bổ đề trên, sau đó vận dụng chúng để chứng minh lại định lý Poncelet và giải những bài toán hình học khác

II Chứng minh

O 3

Q

P

M N

O 1

A

D

O 2

Gọi (O là đường tròn qua 3) Qvà tiếp xúc ABtại P

Do BNP CMQ,PBN  QCMnên BPN ~CQM Suy ra BPN  CQM Do đó

CD tiếp xúc (O tại ) Q

Từ 2 2 2

nên đường tròn (O1)qua A B C, , có cùng trục đẳng phương với (O2), (O3)

Gọi (O4)là đường tròn qua S và tiếp xúc ADtại R Tương tự ta được BC tiếp xúc (O4)tại S và

đường tròn (O1), (O2), (O có cùng trục đẳng phương Bài toán được chứng minh 4)

III Mở rộng

Bổ đề Poncelet được mở rộng bởi thầy Trần Quang Hùng, hiện là giáo viên trường chuyên KHTN, ĐHQGHN Định lý được phát biểu như sau:

Cho tứ giác ABCDnội tiếp đường tròn (O1) Đường tròn (O2)lần lượt cắtAC BD, tại

(M N, ), ( , )P Q Đường thẳng MP NQ, lần lượt cắt AB CD AD BC, , , tại

( , ), ( , ), ( ,R S T U V W), ( , )X Y Khi đó R S T U, , , cùng thuộc đường tròn (O3), ,V W X Y cùng , , thuộc đường tròn(O4)sao cho(O1), (O2), (O3), (O có cùng trục đẳng phương 4)

Chứng minh:

O 3

U

T

R

M P

Q

O 1

O 2

A

D

Do BPR CNU,PBR NCU nên BPR~CNU Suy ra BRP CUN nên tứ giác

, , ,

R S T U cùng nằm trên đường tròn (O Tương tự ta được 3) BQS ~CMT

Từ

2 2 2

nên đường tròn (O qua 1) A B C, , có cùng trục đẳng phương với (O2), (O 3)

Tương tự V W X Y, , , cùng thuộc đường tròn(O4)và (O1), (O2), (O có cùng trục đẳng phương 4)

Bài toán được chứng minh

IV Ứng dụng

Ta bắt đầu với định lý Poncelet về chùm đường tròn

Bài toán 1 (Định lý Poncelet về chùm đường tròn): Cho các đường tròn (O1), , (O có cùng trục n)

đẳng phương ((O1) chứa các đường tròn còn lại) Từ điểm A1(O1)vẽ tiếp tuyến đến (O2)và

cắt (O tại 1) A Định nghĩa tương tự 2 A3, ,A Chứng minh n A A luôn tiếp xúc với một đường n 1

tròn cố định khi A1di động trên (O 1)

Chứng minh Trường hợp n 3

O I

C 3

C 2

C 1

B 3

H

E

D

B 2 G

O 4

F

A 3

A 2

O 1

O 3

A 1

O 2

B 1

Lấy B1 (O1),B1 A1 Từ điểm B vẽ một tiếp tuyến đến 1 (O2)và cắt (O tại 1) B , từ điểm 2 B vẽ 2

một tiếp tuyến đến (O và cắt 3) (O tại 1) B sao cho khi 3 B1 A1thì B2 A B2, 3 A3

Gọi D G E H, , , lần lượt là tiếp điểm của A A B B1 2, 1 2với (O2), A A B B2 3, 2 3với (O3)

'

C C C C lần lượt là giao điểm DG với A B A B, , EH với A B A B,

Do A A B B1 2, 1 2 tiếp xúc (O2)nằm trong (O1)và khi B1 A1thì B2 A2 nên C1nằm giữa A B1, 1, 2

C nằm giữa A B2, 2 Tương tự ta được '

2

C nằm giữa A B2, 2, C3nằm giữa A B3, 3 Theo bổ đề Poncelet: tồn tại đường tròn ( )O lần lượt tiếp xúcA B A B1 1, 2 2 tại C C1, 2và đường tròn

( ')O lần lượt tiếp xúcA B A B2 2, 3 3 tại C C2', 3, hơn nữa ( ), ( ')O O có cùng trục đẳng phương

với(O1), (O2), (O3) Mà chỉ vẽ được duy nhất một đường tròn tiếp xúc A B2 2 tại một điểm nằm giữa A B2, 2và có cùng trục đẳng phương với (O1), (O2), (O3)nên ( )O ( ')O Suy ra C2 C2' Gọi F I, lần lượt là giao điểm C C1 3với A A B B1 3, 1 3

Theo bổ đề Poncelet thì tồn tại đường tròn (O4)lần lượt tiếp xúcA A B B1 3, 1 3tại F I, và (O4)có cùng trục đẳng phương với (O1), (O2), (O3) Mặt khác tương tự trên, ta được F nằm giữa

1, 3

A A , I nằm giữa B B1, 3 Suy ra (O4)nằm trong (O1)

Vậy A A1 3 luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi A1 di động trên (O1)

B 4

A 4

B 3

B 2

A 2

O 3 O 1

A 1

O 2

B 1

O 4

Giả sử bài toán đúng với n k Ta chứng minh bài toán đúng với n k 1

Lấy B1 (O1),B1 A1 Từ điểm B vẽ một tiếp tuyến đến 1 (O2)và cắt (O2)tại B2, định nghĩa tương tự B3, ,B n sao cho khi B1 A1thì B i A i, i 2,k 1

Theo giả thiết quy nạp thìA A B B k 1, k 1cùng tiếp xúc với đường tròn ( )O có cùng trục đẳng phương với (O1), , (O k)và nằm trong (O1) Mà A A k k 1,B B k k 1cùng tiếp xúc với (O k 1)có cùng trục đẳng phương với (O1), , (O k)và nằm trong (O1) nên theo trường hợp n 3,A A1 k 1,B B1 k 1cũng tiếp xúc đường tròn (O )có trục đẳng phương với (O), , (O )

Vậy A A1 k 1luôn tiếp xúc với đường tròn cố định khi A1 di động trên (O1)

Bài toán được chứng minh

Ta tiếp tục với bài toán từng là đề thi của cuộc thi Mathley

Bài toán 2 (Trần Minh Ngọc): Cho tứ giác ABCD nội tiếp ( )O Đường tròn ( )I lần lượt tiếp xúc

,

AC BDtại M N, Đường thẳng MN lần lượt cắt AB CD, tại P Q, Gọi Hlà giao điểm của

,

AC BD Đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN lần lượt cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác

,

HAB HCDtại K L, khác H Chứng minhPK QL OI, , đồng quy

Chứng minh

Y

Z X

O 2

O 1

S

K

L

P

Q

N

M

H

O

A

B

C D

I

Theo bổ đề Poncelet: tồn tại đường tròn (O lần lượt tiếp xúc 1) AB CD, tại P Q, và

1

( ), ( ), (O I O có cùng trục đẳng phương )

Qua phép nghịch đảo f cực H, phương tích k 0, các điểmA B C D M N K L, , , , , , , lần lượt biến

thành A B C D M N K L', ', ', ', ', ', ', ' Khi đó:

Các đường thẳng AC BD, qua Hbiến thành chính nó nên A C', 'AC B D; ', 'BD

( )O biến thành đường tròn ( ')O qua A B C D', ', ', '

( )I biến thành đường tròn ( ')I tiếp xúc với AC BD, tại M N', '

(HAB), (HCD), (HMN)lần lượt biến thành các đường thẳng A B C D M N' ', ' ', ' '

', '

K L lần lượt là giao điểm M N với ' ' A B C D' ', ' '

Theo bổ đề Poncelet: tồn tại đường tròn '

2 (O )lần lượttiếp xúc A B C D' ', ' 'tại K L', 'và

'

2

( '), ( '), (O I O )có cùng trục đẳng phương

Do f bảo tồn góc và chùm đường tròn nên đường tròn '

(O ) f O( )lần lượt tiếp xúc với(HAB), (HCD)tại K L, và ( ), ( ), (O I O có cùng trục đẳng phương 2)

Gọi d là trục đẳng phương của ( ), ( ), O I Slà giao điểm của PK QL,

Do MN là trục đẳng phương của ( ), (I HMN KL), là trục đẳng phương của (O2), (HMN và d là ) trục đẳng phương của ( ), (I O2)nên MN KL d, , đồng quy tại X

Do (O2)lần lượt tiếp xúc với(HAB), (HCD)tại K L, nên tiếp tuyến tại K L, của đường tròn 2

(O )lần lượt là trục đẳng phương của (O2), (HAB và ) (O2), (HCD Tương tự ta được tiếp tuyến )

tại K của,(O2), ,d ABđồng quy tại Y và tiếp tuyến tại L của (O2), ,d CDđồng quy tại Z

Từ YP YK, lần lượt là tiếp tuyến của (O1), (O và 2) O P O K là tiếp tuyến của 1 , 2 ( ,Y YP)suy ra đường tròn ( ,Y YP)trực giao với (O1), (O2).Tương tự, ta được đường tròn ( ,Z ZQ)trực giao với

(O), (O Do đó ) O O1 2 OIlà trục đẳng phương của ( ,X XP), ( ,Y YQ) Mặt khác từ

XP XQ    XK XLsuy ra PQKLnội tiếp, nên

P SK SPSL SQP Vậy , ,S O I thẳng hàng

Bài toán 3 (Trần Minh Ngọc): Cho ba đường tròn (O1), (O2), (O có cùng trục đẳng phương d 3) Hai đường thẳng d d lần lượt cắt 1, 2 (O1), (O2)tại ( , ), ( ,A B C D), ( , ), ( , )P Q R S Gọi(1), (2)lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác tạo bởi các bộ đường thẳng ( ,d AP DS, ), ( ,d BQ CR, ) Giả sử (O3)đều cắt (1), (2) Chứng minh góc tạo bởi (O3), (1)bằng với góc tạo bởi

(O ), ( )

Chứng minh

L

J N

M

O 4

W V

H U

I

T

Ω 2 Y Z

Ω 1

G F

X B

E

D

Q

S

C R P

A

Gọi E F G X Y Z M N, , , , , , , lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng

(AP DS, ), (AP d, ), (DS d, ), (BQ CR, ), (BQ d, ), (CR d, ), (AP CR, ), (BQ DS, )

Theo mở rộng bổ đề Poncelet: M X E N, , , cùng nằm trên đường tròn (O4)có cùng trục đẳng phương với (O1), (O2), (O 3)

Gọi T U, là giao điểm của (O với 3) (1),H I J K, , , lần lượt là các giao điểm khác U T, của 3

(O với ) GU FT GT FU V W, , , , , lần lượt là giao điểm khácI H, của (O với 3) ZI YH,

Từ

/( ) /( )

GE GN P P GJ GTsuy ra tứ giác ENTJ nội tiếp nên

       Do đó N J H, , thẳng hàng

Gọi L là giao điểm của NJ FG,

Từ ENL ENJ  ETJ ETG EFG EFLsuy ra NFLE nội tiếp Do đó

     Suy ra tứ giác NXZL nội tiếp

Do GF GL GE GN GJ GT nên tứ giác FLJT nội tiếp suy ra ZLJ  FTJ  JVI Do đó

LJVZ nội tiếp

Gọi J là giao điểm khác V của YV với ' (O )

Từ

/( ) /( )

YZ YLYX YN P P YV YJ suy ra tứ giác LJ VZ nội tiếp Do đó ' JJ'hay

, ,

Y V Jthẳng hàng Suy ra YXZ  NLZ JVZ nên tứ giác VYXZ nội tiếp hay V ( 2)

Tương tự ta được W ( 2)

Với kí hiệu ( ),( ')O O là góc tạo bởi hai đường tròn ( ), ( ')O O , ta có biến đổi góc sau:

3

( )

O O

Tương tự: ( 3 )

2

O

sd HJ

O Mặt khác từ

         suy ra HI/ /d Tương tự ta được JK/ /d Do đó

HIKJ là hình thang cân nên sd IK(O3 ) sd HJ(O3 ) Vì vậy (O3),( 1) (O3),( 2)

Ta kết thúc bài viết với kết quả về tam giác hình chiếu

Bài toán 4 (Trần Minh Ngọc): Cho tam giác A A A nội tiếp đường tròn 1 2 3 ( )O Xlà một điểm nằm

trong tam giác A A A Gọi 1 2 3 D E F, , lần lượt hình chiếu của Xlên A A A A A A Từ điểm 1 2, 2 3, 3 1

1 ( ), 1 1

B O B A vẽ đường tròn đường kính XB cắt đường tròn 1 (DEF)tại một điểm M Đường

thẳng B M cắt 1 ( )O tại B2 B Từ điểm 1 B vẽ đường tròn đường kính 2 XB cắt2 (DEF)tại điểm

N M Đường thẳng B N cắt 2 ( )O tại B3 B Chứng minh hình chiếu của X lên 2 B B1 3 nằm

trên (DEF)

Chứng minh

Ta phát biểu và chứng minh hai bổ đề sau:

Bổ đề 1 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )O Trên đường thẳng qua A vuông góc AD

và đường thẳng qua D vuông góc AD lần lượt lấy hai điểm X Y, sao cho X Y O, , thẳng hàng

Gọi E là giao điểm AB CD, Khi đó BC vuông góc XC YB, X Y E, , đồng quy

Chứng minh:

A'

B

C

A

D

( ) Gọi A C', 'lần lượt là giao điểm của XA XC, với ( )O

Do ADA' 90 nên D O A, , 'thẳng hàng Tương tự ta đượcB O C, , 'thẳng hàng

Áp dụng định lý Pascal cho lục giác nội tiếp BAA DCC ta được ' ' E X O, , thẳng hàng hay

, ,

X Y Ethẳng hàng

( )Từ X Y E, , thẳng hàng suy ra E X O, , thẳng hàng

Áp dụng định lý Pascal cho lục giác nội tiếp BAA DCC suy ra ' ' EX DA BC, ', 'đồng quy hay

B O C thẳng hàng Suy ra BC XC Tương tự ta được BC YB

Bổ đề 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn ( )O X là một điểm bất kì Đường thẳng vuông góc XA tại A cắt ( )O tại điểm A' A Định nghĩa tương tự B C D', ', ' Khi đó giao điểm các cặp đường thẳng (AC DB', '), (AD CB', '), (BC DA', '), (BD CA', ')thẳng hàng

Chứng minh:

V

U

S R M Q

P

N

D' C

A'

B

B' A

C' D

Gọi M N P Q R S T U V, , , , , , , , lần lượt là giao điểm các cặp đường thẳng

(AC DB', '), (AD CB', '), (BC DA', '), (BD CA', '), (AC A C', ' ), (BD B D', ' ), (CD C D', ' ), (AC B C', ' ), (AD B D', ' )

Theo bổ đề 1: X Y R S T, , , , thẳng hàng

Áp dụng định lý Pascal cho lục giác D CB DC A ta được: ' ' ' U V T, , thẳng hàng

Áp dụng đính lý Desargues cho hai tam giác MRS và NCD có giao điểm các cặp cạnh đối là '

, ,

U V Tthẳng hàng ta được MN RC SD, , 'đồng quy hay M N Q, , thẳng hàng Tương tự ta được:

, ,

M P Qthẳng hàng Vậy M N P Q, , , thẳng hàng

Quay lại bài toán

N H

C 2

V

J Y

U

W

D 1

R

C 3

D 3

D 2

C 1

S

B 3

M Q

B 2

I G

D

E

X

A 3

A 1

B 1

A 2

Gọi Y là điểm đẳng giác của X đối với tam giác A A A1 2 3

G H I Q R lần lượt là hình chiếu của Y lên A A A A A A B B B B1 2, 2 3, 3 1, 1 2, 2 3

Khi đó:D E F G H I M N Q R, , , , , , , , , cùng nằm trên đường tròn tâm J là trung điểm XY

Gọi C D D C C D1, 2, 1, 2, 3, 3lần lượt là giao điểm của GM với A B ER1 1, ; DQvới A B HN1 1, ;

3 3

A B với ER HN,

Theo bổ đề 2: A B C D2, 2, 2, 2thẳng hàng

Theo mở rộng bổ đề Poncelet: C D C D C D1, 1, 2, 2, 3, 3cùng nằm trên đường tròn

1

(O),C D C D2, 2, 3, 3cùng nằm trên đường tròn (O2)và có cùng trục đẳng phương với ( ), ( )O J

Mà qua C2chỉ vẽ được duy nhất một đường tròn có cùng trục đẳng phương với ( ), ( )O J nên

(O) (O )

Gọi U V W, , lần lượt là giao điểm các cặp đường thẳng (C D D C1 2, 1 2), (C D D C2 3, 2 3), (C D D C3 1, 3 1)

Do C D C D C D1, 1, 2, 2, 3, 3cùng nằm trên đường tròn (O1)nên theo định lý Pascal: U V W, , thẳng hàng

Mặt khác theo chiều thuận bổ đề 1 thì U V X Y, , , thẳng hàng nên U V W X Y, , , , thẳng hàng Gọi P S, lần lượt là giao điểm khác I F, của C I D F3 , 3 với ( )J

Do X Y W, , thẳng hàng nên theo chiều đảo bổ đề 1: PS vuông góc XP YS,

Gọi B3là giao điểm NR PS,

Theo bổ đề 2: A B C D3, 3', 3, 3thẳng hàng nênB3' B3 Do đó P S B, , 3thẳng hàng Tương tự 1

, ,

P S Bthẳng hàng Bài toán được chứng minh

Bài viết xin được dừng lại ở đây nhưng còn rất nhiều thú vị đằng sau bổ đề Poncelet và mở rộng của nó đang chờ bạn đọc khám phá

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Văn Linh, Ứng dụng của tỉ số phương tích, Euclidean Geometry Blog

http://nguyenvanlinh.wordpress.com

2 Nguyễn Văn Linh, Một số vấn đề về đa giác lưỡng tâm, Euclidean Geometry Blog http://nguyenvanlinh.wordpress.com

3 Poncelet’s porism, Wolfram Mathworld

http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html

4 Lachlan, "Coaxal Circles", Ch 13 in An Elementary Treatise on Modern Pure

Geometry London: Macmillian, pp 199-217, 1893

5 Mathley No 2, 2014

http://www.hexagon.edu.vn/mathley.html

6 Mathley No 3, 2014

http://www.hexagon.edu.vn/mathley.html