Bộ Số Pitago - Vườn Toán

Trang chủ » Các Cặp Số Pitago » Bộ Số Pitago - Vườn Toán

Có thể bạn quan tâm

Trang

  • Trang nhà
  • Kỹ năng mềm
  • Giới thiệu

Bộ số Pitago

Trong hình học có một định lý rất quen thuộc gọi là Định lý Pitago, nói rằng trong một tam giác vuông thì bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.
Định lý Pitago: $BC^2 = AB^2 + AC^2$
Vì vậy mà phương trình $$x^2 + y^2 = z^2$$ được gọi là phương trình Pitago và nghiệm $(x,y,z)$ của phương trình này được gọi là bộ số Pitago. Lẽ dĩ nhiên chúng ta chỉ quan tâm đến nghiệm số nguyên. Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải phương trình Pitago. Chúng ta sẽ chứng minh rằng phương trình này có vô số nghiệm. Trước khi đi vào giải phương trình Pitago, chúng ta nhắc lại một chút về số nguyên tố. Ở bài viết "Số nguyên tố", chúng ta đã làm một phép liên tưởng thú vị. Đó là tập hợp các số nguyên tố có thể được xem như là một bộ gen hoàn chỉnh dùng để xây dựng toàn bộ các số tự nhiên. Giống như mỗi người chúng ta có những đặc điểm riêng biệt do chúng ta có những bộ gen khác nhau thì các con số cũng vậy, mỗi một con số khác nhau sở hữu một bộ gen khác nhau. Bởi vì $20 = 2 \times 2 \times 5$, chúng ta có thể nói con số $20$ có hai gen số $2$ và một gen số $5$, trong khi đó số $45 = 3 \times 3 \times 5$ có hai gen số $3$ và một gen số $5$. Một cách tổng quát thì khi $n$ phân tích ra thừa số nguyên tố như sau $$n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_k^{\alpha_k}$$ thì ta nói $n$ có $\alpha_1$ gen $p_1$, $\alpha_2$ gen $p_2$, ..., và $\alpha_k$ gen $p_k$. Chúng ta thấy rằng nếu $ab = n^2$ thì $a$ và $b$ phải có dạng như sau: $a = u^2 w$, $b = v^2 w$. Đó là vì số lượng mỗi gen trong $ab$ phải là một số chẵn. Cho nên nếu số lượng gen $p$ trong $a$ là một số lẻ thì số lượng gen $p$ trong $b$ cũng sẽ là số lẻ. Nếu chúng ta tập hợp các loại gen lẻ này lại thành số $w$ thì chúng ta sẽ có $a = u^2 w$ và $b = v^2 w$.
$20 \times 45 = 900 = 30^2$ cho nên gen lẻ của số $20$ phải trùng lặp với gen lẻ của số $45$
Ví dụ như chúng ta có $20 \times 45 = 900 = 30^2$. Chúng ta thấy rằng số $20$ có một gen lẻ là $5$ và số $45$ cũng có một gen lẻ là $5$, do đó chúng ta có thể viết được $20 = 2^2 \times 5$ và $45 = 3^2 \times 5$.
Định lý: nếu $ab = n^2$ thì $a = u^2 w$ và $b = v^2 w$.
Bây giờ chúng ta bắt tay vào giải phương trình Pitago $$x^2 + y^2 = z^2$$ Chúng ta có $$x^2 = z^2 - y^2 = (z-y)(z+y)$$ Do đó theo định lý mà chúng ta vừa phát biểu ở trên thì
  • $z + y = u^2 w$
  • $z - y = v^2 w$
  • $x = uvw$
Vậy nghiệm của phương trình chính là
  • $x = uvw$
  • $y = (u^2 - v^2)w/2$
  • $z = (u^2 + v^2)w/2$
Việc cuối cùng chúng ta cần làm là tìm điều kiện để $y$ và $z$ là số nguyên. Để cho $y$ và $z$ là số nguyên thì hoặc là $w$ là số chẵn, hoặc là $u$ và $v$ phải cùng tính chẵn lẻ. Chúng ta xem xét từng trường hợp. Trường hợp 1: $w$ là số chẵn. Đặt $w = 2s$. Từ đó suy ra nghiệm của phương trình Pitago là
  • $x = 2uvs$
  • $y = (u^2 - v^2)s$
  • $z = (u^2 + v^2)s$
Trường hợp 2: $u$ và $v$ cùng tính chẵn lẻ. Đặt $u = v + 2k$. Từ đó suy ra
  • $x = (v + 2k)vw = (v^2 + 2kv)w$
  • $y = [(v + 2k)^2 - v^2]w/2 = (2kv+2k^2)w$
  • $z = [(v + 2k)^2 + v^2]w/2 = (v^2 + 2kv + 2k^2)w$
Nghiệm này có thể viết lại như sau
  • $x = [(v+k)^2 - k^2]w$
  • $y = 2(v+k)kw$
  • $z = [(v+k)^2 + k^2]w$
Trong cả hai trường hợp trên, chúng ta thấy nghiệm tổng quát của phương trình Pitago có dạng
  • $\{x, y\} = \{ 2abc, (a^2 - b^2)c \}$, và
  • $z = (a^2 + b^2)c$.
Như vậy chúng ta đã giải xong phương trình Pitago.
  • Với $c=1$, $a=2$, $b=1$, chúng ta có bộ số Pitago $(3,4,5)$ và $3^2 + 4^2 = 5^2$.
  • Với $c=1$, $a=3$, $b=2$, chúng ta có bộ số Pitago $(5,12,13)$ và $5^2 + 12^2 = 13^2$.
Chúng ta thấy rằng phương trình Pitago có vô số nghiệm. Tuy nhiên, với $n \geq 3$, nhà toán học Fermat đã khẳng định rằng phương trình $$x^n + y^n = z^n$$ là không có nghiệm khác không. Phải mất hơn 300 năm các nhà toán học mới chứng minh được bài toán Fermat này. Các bạn có thể đọc thêm về bài toán Fermat ở đây. Định lý hình học Pitago có thể chứng minh bằng phương pháp tam giác đồng dạng, các bạn có thể đọc cách chứng minh định lý Pitago ở bài viết "Tam giác đồng dạng". Chúng ta tạm dừng ở đây, xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau. Bài tập về nhà. 1. Chứng minh rằng nếu $ab = n^3$ thì $a = t^3 u v^2$ và $b = s^3 u^2 v$. 2. Chứng minh rằng phương trình $x^4 + y^4 = z^4$ không có nghiệm khác không. Labels: định lý Pitago, lớp 9, number theory, prime number, Pythagorean theorem, Pythagorean triples, số học, số nguyên tố Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Facebook

Lưu trữ Blog

  • ▼  2012 (36)
    • ▼  tháng 8 (5)
      • Bộ số Pitago
      • Định lý Wilson
      • Một vài bài toán về số nguyên tố
      • Định lý Euclid về số nguyên tố
      • Số nguyên tố

English Version

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

BBC - Học tiếng Anh Du học Hoa kỳ Học Bổng Hoa Kỳ VOA - Học tiếng Anh

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive

Từ khóa » Các Cặp Số Pitago