Các Bài Tập Về định Thức Và Lời Giải - Tài Liệu Text - 123doc

Tải bản đầy đủ (.pdf) (10 trang)

1. Trang chủ
>>
2. Đại cương
>>
3. Toán cao cấp

Các bài tập về định thức và lời giải

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.29 MB, 10 trang )

Toán3NguyễnThịVânBÀI TẬP TOÁN III – BUỔI 2( Tài liệu có sai sót sẽ được chỉnh lí trên lớp bài tập)PHẦN 3:+ Khái niệm & tính chất của định thức+ Các cách tính định thức+ Ứng dụng của định thức trong giải hệ phương trình và tìm ma trận nghịch đảo1.( 1T287) Khi một ma trận cỡ 4×4 có detA =Đs: det(2A) = 8 , det(- A) =1/2, det( A2 ) =1, hãy tìm det(2A), det(−A), det(A2) và det(A−1).21, det( A−1 ) = 2.42. ( 3T287) Các khẳng định sau đúng hay sai? Hãy giải thích nếu đúng và nêu phản ví dụ nếu sai:(a)Định thức của I + A bằng 1 + detA.(b) Định thức của ABC bằng |A||B||C| với A, B, C là các ma trận vuông.(c)Định thức của 4A bằng 4|A|.(d) Định thức của AB − BA bằng không (Thử cho một ví dụ.)Đs: sai, đúng, sai, sai.a b c3. Cho d e f = 7. Tính các định thức sau dựa vào định thức đã biết.g h ia b 4ca) d e 4f ;a b c+ab) d e f + d ;g h ic) d e f ;g h 4ig h i+ga b cĐs: a) 28b) 7c) -7a b 2c + ad) d e 2f + d .g h 2i + gd) 14⎡1 2 3⎤4. ( 1T301) Tính các định thức của A bằng cách tính tổng của sáu phần tử: A = ⎢3 1 2⎥⎢⎥⎢⎣3 2 1⎥⎦Đs: 125. ( 14T288) Áp dụng các phép toán hàng hoặc cột để đưa các ma trận về dạng ma trận tam giác trên U,1Toán3⎡1⎢2rồi tính det ⎢⎢− 1⎢⎣0NguyễnThịVân2 3 0⎤6 6 1⎥⎥0 0 3⎥⎥2 0 7⎦Đs: 366. ( 19T289) Tìm định thức của U, U−1⎡1 4 6 ⎤(a) U = ⎢0 2 5⎥⎢⎥⎢⎣0 0 3⎥⎦2và U :⎡a b ⎤(b) U = ⎢⎥⎣0 d ⎦(b): ad, 1/ad, (ad)2.Đs: (a): 6, 1/6, 36⎡1 2⎢0 − 37. Tính định thức của ma trận sử dụng công thức phần phụ đại số: A = ⎢⎢3 0⎢⎣b 41 ⎤5 ⎥⎥2 6⎥⎥0 − 4⎦a0Đs: 24a + 26b -18ab – 16⎡1 1⎢ a −38. Tính định thức của ma trận A = ⎢⎢2 1⎢⎣2 73 5⎤x b ⎥⎥3 5⎥⎥0 y⎦Đs: xy + 21b – 35x + 9y9. Tính các định thứca)2 −53 −44 37 54 −98 5−3 2−5 3;b)3−3 −2 −52 5 4 65 58 74 45 6;c)5 13 02 70 21 34 52 00 310. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A bằng việc sử dụng công thức phần phụ đại số biết⎡0 1A= ⎢⎢ 2 3⎢⎣ 4 42⎤3⎥⎥ .4⎥⎦2Toán3Đs: A_1NguyễnThịVân⎛ 0 4 −3 ⎞1 ⎜⎟=4 −8 4 ⎟⎜4 ⎜⎟⎝ −4 4 −2 ⎠11. Giải các hệ sau bằng quy tắc Cramera) x + 2y + 4z = 31,b) 2x + 5y - 2z - 14 = 05x + y + 2z = 29,9x - y + 4z - 3=03x -x - 4 y + 2z +9=0y + z = 10.12. Dùng tiêu chuẩn về định thức để tìm điều kiện của tham số sao cho ma trận sau khả nghịch.⎛2 1⎜⎜3 2⎜1 1⎜⎜2 −1⎝0 0 ⎞⎟0 0 ⎟1 1⎟⎟0 a ⎟⎠Đs: a ≠ 0PHẦN 4:+ Kiểm tra một tập hợp cùng với các phép toán cộng và nhân đã cho có phải là một khônggian con hay không?+ Bốn không gian con chủ yếu của một ma trận: C(A), N(A), C(AT), N(AT).13. ( 10T146) Tập hợp con nào sau đây của R 3 cùng với các phép toán cộng và nhân thông thường33trong ! là không gian con của ! ?(a) Mặt phẳng chứa các vectơ( x, y, z ) : x = y(b) Mặt phẳng chứa các vectơ( x, y, z ) : x = 0(c) Mặt phẳng chứa các vectơ( x, y, z ) :x. y . z = 0(d) Tất cả các tổ hợp tuyến tính của v = (1, 4, 0) và w = (2, 2, 2)(e) Tất cả các vectơ( x, y, z) : x + y + z = 0(f) Tất cả các vectơ( x, y, z ) : x ≤ y ≤ z .Đs: * Các tập hợp (a), (b), (d), (e) là không gian con;* Các tập hợp (c) và (f) không phải là không gian con.3Toán3NguyễnThịVân!14. Cho W là tập tất cả các vectơ thuộc ! mà có dạng v = (x + y, x - y + 2z, y, z). Chứng minh rằng44W là không gian con của ! .315. Cho W := { ( x1, x2, x3 ) ∈ ! | x1 + x3 = m }, trong đó m là hằng số thực. Tìm m để W là mộtkhông gian con.Đs: m = 016. Tập hợp W := { ( x1, x2, x3, x4) ∈ ! 4 | x3 = x1 + x2 ,x1 = x4 } có phải là một không gian con của4không gian vectơ ! ?⎡ 1 2 3⎤17. Cho A = ⎢ 2 4 6⎥ . Mô tả không gian cột và không gian hàng của ma trận A? . Từ đó chỉ ra véc⎢⎥⎢⎣ −1 4 6⎥⎦tơ (0,0,6) ∈ C ( A) và (-2,2,3) ∈ C ( AT ) .Đs:C(A) là mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương ( 1, 2, -1) và ( 1, 2, 2) ,⎡0 ⎤! ⎢ ⎥v = ⎢0 ⎥ ∈C( A)⎢⎣6 ⎥⎦C ( AT ) là mặt phẳng trong không gianvới 2 véc tơ chỉ phương ( 1, 2, -1) và ( - 1, 4, 6)⎡ −2 ⎤! ⎢ ⎥v = ⎢ 2 ⎥ ∈C( AT )⎢⎣7 ⎥⎦18.⎡ 2 4 2⎤Mô tả hình học bốn không gian của ma trận B = ⎢0 4 4⎥⎢⎥⎢⎣0 8 8⎥⎦( )Đs: +) Không gian cột C B = ! 3( ) {()}+) Không gian nghiệm N B = x = c1 1,−1,1 ; c1 ∈! là đường thẳng có véc tơ chỉ phương ( 1, -1, 1)trong không gian ! 3+) Không gian hàng C ( BT ) là một mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương là ( 2, 4, 2) và4Toán3NguyễnThịVân( 0, 1, 1).( ) {()+) Không gian nghiệm N BT = x = c1 0,−2,1 ; c1 ∈!}là đường thẳng có véc tơ chỉ phương ( 0, -2,1) trong không gian ! 3HƯỚNG DẪN GIẢI:1. det A =1⇒ det(2A) = 24 det A = 8214det( A2 ) = (det A) 2 =det(- A) = (−1) 4 det A =,,12det( A−1 ) = (det A)−1 = 22. (a) Sai.⎛1 2⎞⎟ ⇒ det A = 4 – 6 = - 2 và A + I =⎝3 4⎠Ví dụ: A= ⎜⎛ 2 2⎞⎜⎟ ⇒ det (A + I) = 10 – 6 = 4 ≠ det A + 1⎝3 5⎠(b) Đúng vì det(ABC) = det((AB).C) = det(AB).detC = detA .detB. detC(c) Sai⎛1 2⎞⎟ ⇒ det A = -2 và 4A =⎝3 4⎠Ví dụ: A = ⎜(d) Sai.⎛1 2⎞⎟, B =34⎝⎠Ví dụ: A = ⎜⎛1 0 ⎞⎜⎟⎝1 1 ⎠⎛4 8⎞⎜⎟ ⇒ det(4A) = 56 – 96 = - 40 ≠ 4det A⎝12 16 ⎠⎛ 3 2⎞⎟ , B.A =74⎝⎠⇒ A.B = ⎜⎛1 2⎞⎜⎟⎝4 6⎠⎛2 0 ⎞⎛2 0 ⎞⎟ ⇒ det(AB - BA) = det ⎜⎟=-4⎝ 3 −2 ⎠⎝ 3 −2 ⎠⇒ AB – BA = ⎜a b 4ca b c3. a) d e 4 f = 4 d e f = 28g h 4ig h ia b c+aa b c a b aa b cb) d e f + d = d e f + d e d = d e f = 7g h i+g g h i g h g g h i5Toán3NguyễnThịVâng h ia b cc) d e f = − d e f = −7a b cg h ia b 2c + aa b ca b aa b cd) d e 2 f + d == 2 d e f + d e d = 2 d e f = 14 .g h 2i + gg h i g h gg h i4. +) detA = 1.1.1 + 3.3.2 + 3.2.2 – 3.1.3 – 1.2.3 – 1.2.2 = 12 ≠ 0. Các hàng của A độc lập .+) detB = 1.4.7 + 3.4.6 + 5.4.2 – 5.4.3 – 7.4.2 – 1.6.4 = 0. Các hàng của B không độc lập.+) det C = 1.1.0 + 1.0.1 + 1.0.1 – 1.1.1 – 0.1.1 – 0.0.1 = -1. Các hàng của C không độc lập.⎛1⎜25. +) det ⎜⎜ −1⎜⎝02 3 0⎞⎛1⎟⎜6 6 1⎟0= det ⎜⎜00 0 3⎟⎟⎜2 0 7⎠⎝0⎛ 2 −1 0 0 ⎞⎜⎟−1 2 −1 0 ⎟+) det ⎜⎜ 0 −1 2 −1⎟⎜⎟⎝0 0 0 2⎠1.2 h2 + h12=1.4 h4 + h34=6.2 3 0⎞⎛1⎟⎜2 0 1⎟0= det ⎜⎜02 3 3⎟⎟⎜2 0 7⎠⎝02 3 0⎞⎟2 0 1⎟= 1× 2 × 3 × 6 = 360 3 2⎟⎟0 0 6⎠⎛ 2 −1 0 0 ⎞⎜⎟0 3 −2 0 ⎟1det ⎜⎜ 0 −1 2 −1⎟2⎜⎟⎝ 0 0 −1 2 ⎠1.3 h3 − h23=⎛ 2 −1 0 0 ⎞⎜⎟1 ⎜ 0 3 −2 0 ⎟det6 ⎜ 0 0 4 −3 ⎟⎜⎟⎝ 0 0 −1 2 ⎠⎛ 2 −1 0 0 ⎞⎜⎟0 3 −2 0 ⎟11det ⎜=× 2 × 3× 4 × 5 = 5⎜ 0 0 4 −3 ⎟ 2424⎜⎟⎝0 0 0 5 ⎠⎛1 4 6⎞11(a) U = ⎜ 0 2 5 ⎟ ⇒ detU = 1.2.3 = 6 ⇒ det U −1 ==⎜⎟6detU⎜ 0 0 3⎟⎝⎠⎛a b ⎞⎟ ⇒ detU = ad0d⎝⎠(b) U = ⎜⇒ det U −1 =1(a, d ≠ 0)ad⇒ det U 2 = (det U )2 = 36⇒ det U 2 = (ad )26Toán37 Khai triển Laplace dòng thứ 2 ⇒ detA = (−3).(−1)NguyễnThịVân2+ 2⎛1 a 1 ⎞⎛1 2 a⎞⎜⎟⎟2+ 4 ⎜⎜ 3 2 6 ⎟ + 5.(−1) ⎜ 3 0 2 ⎟⎜ b 0 −4 ⎟⎜b 4 0⎟⎝⎠⎝⎠= 24a + 26b – 18ab – 31.⎡1 1⎢ a −38. det A = det ⎢⎢2 1⎢⎣2 73 5⎤1⎡ 1⎥⎢x b⎥a −3= det ⎢⎢1 + 1 13 5⎥⎥⎢0 y⎦7⎣ 23 5⎤⎡1 1⎥⎢ a −3x b⎥= det ⎢⎢1 13 5⎥⎥⎢0 y⎦⎣2 73 5⎤⎡0 1⎥⎢0 −3x b⎥+ det ⎢⎢1 13 5⎥⎥⎢0 y⎦⎣0 73 5⎤x b ⎥⎥3 5⎥⎥0 y⎦⎡1 3 5 ⎤= det ⎢ −3 x b ⎥ = xy + 21b – 35x + 9y⎢⎥⎢⎣7 0 y ⎥⎦10. Công thức: A−1 =⎛ C11 C12⎜C = ⎜ C21 C22⎜C⎝ 31 C321 Ti+ jC ; Cij = ( −1) M ijAC13 ⎞⎟C23 ⎟ =C33 ⎟⎠⎛ 0 4 −4 ⎞⎜⎟⎜ 4 −8 4 ⎟⎜ −3 4 −2 ⎟⎝⎠detA = 2. C21 + 4. C31 = − 4.4 −3 ⎞4 −3 ⎞⎛ 0⎛ 01 ⎜⎜⎟⎟_1C = ⎜ 4 −8 4 ⎟ → A =4 −8 4 ⎟⎜4 ⎜⎜ −4 4 −2 ⎟⎟⎝⎠⎝ −4 4 −2 ⎠T11. Cho hệ phương trình tuyến tính n × n : Ax = b .Nếu det A ≠ 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất: xi =det Bidet A(1 ≤ i ≤ n ) .Bi nhận được từA khi thay véc tơ b vào cột thứ i.12. Nếu A có det A ≠ 0 thì tồn tại ma trận A khả nghịch hay A có ma trận nghịch đảo.7Toán3⎛2 1⎜3 2det ⎜⎜1 1⎜⎝ 2 −10 0 ⎞⎟ 1 . 2 h −h0 0 ⎟2 1 2 1=det1 1 ⎟2⎟0 a⎠⎛⎛1 0 01⎜3+ 4⎜= ⎜1. ( −1) det ⎜ 3 2 02⎜⎜ 2 −1 0⎝⎝⎛1 0⎜⎜3 2⎜1 1⎜⎝ 2 −1NguyễnThịVân0 0 ⎞⎟0 0 ⎟1 1 ⎟⎟0 a⎠⎞⎛14+ 4⎟⎜⎟ + a ( −1) det ⎜ 3⎟⎜1⎠⎝⎞⎞⎟⎟ 1⎟ ⎟ = 2 .a.2 = a⎟⎟⎠⎠0 02 01 1det A ≠ 0 ⇔ a ≠ 013. * Các tập hợp (a), (b), (d), (e) cùng với các phép toán thỏa mãn hai yêu cầu của một không gian con* Các tập hợp (c) và (f) không phải là không gian con vì:+ Nếu lấy hai vectơ (1, 2, 0) và (0, 1, 2) tập hợp (c) thì tổng của chúng là (1, 3, 2) không còn thuộc (c).+ Nếu lấy vectơ (1, 2, 3) thuộc tập hợp (f) thì -1(1, 2, 3) = (-1, -2, -3) không còn thuộc vào (f).15. W ⊂ ! . Để W là không gian con thì3!"!∀ x = ( x1 , x2 , x3 ) ∈W : x1 + x3 = m, y = ( y1 , y2 , y3 ) ∈W: y1 + y3 = m thỏa mãn:! "!x + y ∈W!c x ∈W(1);( 2)! "!Từ (1) x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 ): x1 + y1 + x3 + y3 = m → 2m = m → m = 0!(!)Thay m = 0 thì c x = cx1 , cx2 ,cx3 : cx1 + cx3 = c.0 = 0 → c x ∈W!Ngoài ra, khi m = 0 thì 0 ∈W nên W ≠ ∅3Vậy m = 0 thì W là không gian con của ! .17. +) Không gian cột C(A) là tổ hợp tuyến tính của các cột:⎡a⎤⎡1 ⎤⎡2⎤⎡3 ⎤⎡1 ⎤⎡1 ⎤! ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥v = ⎢ b ⎥ ∈C( A) ⇔ v = x1 ⎢ 2 ⎥ + x2 ⎢ 4 ⎥ + x3 ⎢6 ⎥ = x1 ⎢ 2 ⎥ + (2x2 + 3x3 ) ⎢ 2 ⎥⎢⎣ c ⎥⎦⎢⎣ −1⎥⎦⎢⎣ 4 ⎥⎦⎢⎣6 ⎥⎦⎢⎣ −1⎥⎦⎢⎣ 2 ⎥⎦8Toán3NguyễnThịVânC(A) là mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương ( 1, 2, -1) và ( 1, 2, 2)⎡0 ⎤⎡1 ⎤⎡1 ⎤! ⎢ ⎥!⎢ ⎥⎢ ⎥v = ⎢0 ⎥ ∈C( A) vì v = (−2). ⎢ 2 ⎥ + 2. ⎢ 2 ⎥⎢⎣6 ⎥⎦⎢⎣ −1⎥⎦⎢⎣ 2 ⎥⎦+) Không gian C ( AT ) là tổ hợp tuyến tính của các hàng:⎡a⎤⎡1 ⎤⎡2⎤⎡ −1⎤⎡1 ⎤⎡ −1⎤! ⎢ ⎥!⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥v = ⎢ b ⎥ ∈C( AT ) ⇔ v = x1 ⎢ 2 ⎥ + x2 ⎢ 4 ⎥ + x3 ⎢ 4 ⎥ = (x1 + 2x2 ) ⎢ 2 ⎥ + x3 ⎢ 4 ⎥⎢⎣ c ⎥⎦⎢⎣3 ⎥⎦⎢⎣6 ⎥⎦⎢⎣6 ⎥⎦⎢⎣ −1⎥⎦⎢⎣6 ⎥⎦C ( AT ) là mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương ( 1, 2, -1) và ( - 1, 4, 6)⎡ −2 ⎤⎡1 ⎤ ⎡ −1⎤! ⎢ ⎥!⎢ ⎥ ⎢ ⎥Tv = ⎢ 2 ⎥ ∈C( A ) vì v = (−1). ⎢ 2 ⎥ + ⎢ 4 ⎥⎢⎣7 ⎥⎦⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣6 ⎥⎦18.+)KhônggiancộtC(B)làtổhợptuyếntínhcủacáccột:⎧⎡2 ⎤ ⎡4 ⎤ ⎡2 ⎤ ⎫⎡a ⎤⎡ 2⎤⎡ 4⎤⎡ 2⎤⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪v = ⎢⎢b ⎥⎥ ∈ C ( A) ⇔ v = x1 ⎢⎢0 ⎥⎥ + x2 ⎢⎢ 4⎥⎥ + x3 ⎢⎢ 4⎥⎥ . Bên cạnh đó, ⎨ ⎢0 ⎥ , ⎢ 4 ⎥ , ⎢ 4 ⎥ ⎬ độc lập tuyến tính⎪ ⎢ 0 ⎥ ⎢8 ⎥ ⎢8 ⎥ ⎪⎢⎣c ⎥⎦⎢⎣0 ⎥⎦⎢⎣8 ⎥⎦⎢⎣8 ⎥⎦⎩⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭→ C ( B) = !3⎡ 2 4 2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤⎢ ⎥+) Không gian nghiệm N(B) là tập nghiệm của Bx = 0: ⎢ 0 4 4 ⎥ . x2 = ⎢0 ⎥⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢⎣ 0 8 8 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦⎡2 4 2 0⎤ ⎡2 4 2 0⎤⎡ x3 ⎤⎡1 ⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢ ⎥⎢ 0 4 4 0 ⎥ → ⎢ 0 4 4 0 ⎥ . Nên x1 + 2 x2 + x3 = 0; x2 + x3 = 0 . Vậy x = ⎢ − x3 ⎥ = x3 ⎢ −1⎥ .⎢⎣ 0 8 8 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 0 ⎥⎦⎢⎣ x3 ⎥⎦⎢⎣1 ⎥⎦{}→ N ( B ) = x = c1 (1,−1,1) ; c1 ∈! là đường thẳng có véc tơ chỉ phương ( 1, -1, 1) trong không gian ! 3+) Không gian hàng C ( AT ) là tổ hợp tuyến tính của các hàng:9Toán3NguyễnThịVân⎡a ⎤⎡ 2⎤⎡0 ⎤⎡0⎤⎡ 2⎤⎡0⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Tv = ⎢b ⎥ ∈ C ( A ) ⇔ v = x1 ⎢ 4⎥ + x2 ⎢ 4⎥ + x3 ⎢8 ⎥ = x1 ⎢ 4⎥ + (4 x2 + 8 x3 ) ⎢⎢1 ⎥⎥⎢⎣c ⎥⎦⎢⎣ 2⎥⎦⎢⎣ 4⎥⎦⎢⎣8 ⎥⎦⎢⎣ 2⎥⎦⎢⎣1 ⎥⎦C ( AT ) là một mặt phẳng trong không gian với 2 véc tơ chỉ phương là ( 2, 4, 2) và ( 0, 1, 1).+) Không gian nghiệm N(BT) là tập nghiệm của BTy = 0:⎡ 2 0 0⎤ ⎡ y1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ 2 0 0 0 ⎤ ⎡ 2 0 0 0 ⎤ ⎡ 2 0 0 0 ⎤⎢ 4 4 8 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0 ⎥ → ⎢ 4 4 8 0 ⎥ → ⎢ 0 4 8 0 ⎥ → ⎢ 0 4 8 0 ⎥⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢⎣ 2 4 8 ⎥⎦ ⎢⎣ y3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ 2 4 8 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 4 8 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 0 ⎥⎦⎡0⎤⎡0 ⎤⎢⎥Nên x1 = 0; x2 + 2 x3 = 0 . Vậy x = −2 x3 = x3 ⎢ −2 ⎥ .⎢⎥⎢ ⎥⎢⎣ x3 ⎥⎦⎢⎣1 ⎥⎦( ) {}→ N BT = x = c1 ( 0,−2,1) ; c1 ∈! là đường thẳng có véc tơ chỉ phương ( 0, -2, 1) trong không gian!310

Tài liệu liên quan

• Một số bài tập về hàm số có lời giải
  • 4
  • 4
  • 29
• BÀI TẬP về ĐỐI TƯỢNG VÀ Ý NGHĨA CỦA LOGIC HỌC
  • 12
  • 6
  • 12
• Xây dựng hệ thống bài tập chương cân bằng và chuyển động của vật rắn trong chương trình sách giáo khoa vật lý 10 trung học phổ thông theo tiếp cận hệ thống
  • 86
  • 788
  • 4
• bài tập về phổ NMR có lời giải
  • 12
  • 3
  • 9
• bài tập về phổ NMR có lời giải
  • 35
  • 18
  • 127
• GPKH: “Phân dạng và hướng dẫn chi tiết các bài tập về lưu huỳnh và hợp chất của lưu huỳnh”.
  • 48
  • 728
  • 0
• Bài tập về dãy số có lời giải
  • 6
  • 10
  • 117
• Bài tập kim loại kiềm và hợp chất của kim loại kiềm có đáp án
  • 5
  • 877
  • 15
• BÀI TẬP VỀ ESTE – LIPIT CÓ LỜI GIẢI
  • 14
  • 3
  • 37
• bài tập về chuỗi số có lời giải chi tiết
  • 14
  • 36
  • 1,535

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(2.29 MB - 10 trang) - Các bài tập về định thức và lời giải Tải bản đầy đủ ngay ×