Các Bài Toán Cực Trị Trong Hình Học Không Gian

Dạng 1: Cho mặt phẳng $\left( P \right)$ và hai điểm A,B. Tìm $M\in \left( P \right)$ để ${{\left( MA+MB \right)}_{\min }}$ ?

Hướng dẫn giải

+ Nếu A và B trái phía so với $\left( P \right)$

$\Rightarrow M,A,B$ thẳng hàng $\Rightarrow M=AB\cap \left( P \right)$

+ Nếu A và B cùng phía so với $\left( P \right)$

Lấy B’ đối xứng với B qua mặt phẳng $\left( P \right)$

$\Rightarrow M,A,B'$ thẳng hàng$\Rightarrow M=AB'\cap \left( P \right)$

Dạng 2: Cho mặt phẳng $\left( P \right)$ và hai điểm A,B. Tìm $M\in \left( P \right)$ để ${{\left| MA-MB \right|}_{\max }}$ ?

Hướng dẫn giải

+ Nếu A và B cùng phía so với $\left( P \right)$

$\Rightarrow M,A,B$ thẳng hàng $\Rightarrow M=AB\cap \left( P \right)$

+ + Nếu A và B trái phía so với $\left( P \right)$

Lấy B’ đối xứng với B qua mặt phẳng $\left( P \right)$

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$qua điểm A và cách M một khoảng lớn nhất là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng  

Dạng 4: Cho điểm $M\left( a;b;c \right)$ không thuộc các trục và mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình $\left( P \right)$ qua M và cắt 3 tia \[\text{Ox};Oy;Oz\] lần lượt tại A,B,C sao cho ${{V}_{OABC}}$ nhỏ nhất?

Hướng dẫn giải

Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $\frac{x}{3a}+\frac{y}{3b}+\frac{z}{3c}=1$

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ $M\notin d$ đến $\left( P \right)$ là lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng 

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng d, sao cho $\left( P \right)$ tạo với ∆ (∆ không song song với d) một góc lớn nhất?

Hướng dẫn giải

Khi đó phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là 

Dạng 7: Cho đường thẳng $\Delta //\left( P \right)$ . Viết phương trình đường thẳng d song song với ∆ và cách $\Delta $ một khoảng nhỏ nhất?

Hướng dẫn giải

Lấy $A\in \Delta $ . Gọi A; là hình chiếu vuông góc của A trên $\left( P \right)$.Khi đó phương trình đường thẳng d là:

 Đường thẳng d đi qua A’ và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là lớn nhất (AM không vuông góc với $\left( P \right)$)?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua điểm A và  $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{AM} \right]$

Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho trước sao cho khoảng cách từ điểm M cho trước đến d là nhỏ nhất (AM không vuông góc với $\left( P \right)$)?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua điểm A và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}};\overrightarrow{AM} \right],\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]$

Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm $A\in \left( P \right)$ cho trước sao cho d nằm trong $\left( P \right)$ và tạo với đường thẳng ∆ một góc nhỏ nhất (∆ cắt nhưng không vuông góc với $\left( P \right)$)?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng đi qua A và $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left[ \left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}},\overrightarrow{AM} \right],\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right]$

 

 

 

 

Bài viết gợi ý:

1. MẸO NHỚ SỐ ĐỈNH, CẠNH, MẶT CỦA 5 KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU LOẠI {p;q}

2. Phương trình logarit

3. Các bài toán liên quan đến hàm số bậc 3

4. Công thức tổng quát tính thể tích của một khối tứ diện bất kì và công thức tính nhanh cho các trường hợp đặc biệt nên nhớ

5. Công thức tính nhanh các bài toán hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxyz

6. Căn bậc hai số phức và phương trình bậc hai

7. Mở đầu về số phức.