Các Bài Toán Rút Gọn Phân Thức - Toán Lớp 9

PAGE

PAGE 1

CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN PHÂN THỨC

Câu 1: Cho biểu thức P = (với x > 0, x 1)

Rút gọn biểu thức P.

Tìm các giá trị của x để P > .

Đáp án:

b) Với x > 0, x 1 thì .

Vậy với x > 2 thì P > .

Câu 2: Rút gọn biểu thức:

A = ( với x > 0, x 4 ).

B = ( với a > 0, b > 0, a b)

Đáp án:

Câu 3: Cho biểu thức A = với a > 0, a 1

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các giá trị của a để A < 0.

Đáp án:

b) A < 0 .

Câu 4: Rút gọn biểu thức: A = với .

với a ≥ 0 và a ≠ 1.

Đáp án:

A

, với .

B =

=

Câu 5: Cho biểu thức: P = với a > 0, a ¹ 1, a ¹ 2.

a) Rút gọn P.

b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.

Đáp án:

a) Điều kiện: a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠ 2

Ta có:

b) Ta có: P =

P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi 8 (a + 2)

Câu 6: Cho biểu thức A=

Rút gọn biểu thức A.

Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên.

Đáp án:

ĐK: x0 và x1

A==với x0 và x1

b) Để A có giá trị nguyên khi x – 1 là ước của 3.

x - 1 = -3 x = -2

x – 1 = -1 x = 0 (loại)

x – 1 = 1 x = 2

x – 1 =3 x =4

Vậy biểu thức A có giá trị nguyên khi x = -2; x = 2 và x = 4

Câu 7: Cho M = với .

a) Rút gọn M.

b) Tìm x sao cho M > 0.

Đáp án

a) M =

=

=

= .

b) M > 0 x - 1 > 0 (vì x > 0 nên > 0) x > 1. (thoả mãn)

Câu 8: Cho biểu thức: K = với x >0 và x1

Rút gọn biểu thức K

Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2

Đáp án:

a) K = =

b) Khi x = 4 + 2, ta có: K = - 1 =

Câu 9: Rút gọn biểu thức: B = với

Đáp án:

Câu 10: Cho biểu thức: P = với a > 0, a ¹ 1

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm a để P > - 2

Đáp án:

a) P =

= .

Vậy P = - 2.

b) Ta có: P - 2 > - 2 < 1 0 < a < 1

Kết hợp với điều kiện để P có nghĩa, ta có: 0 < a < 1

Vậy P > -2 khi và chỉ khi 0 < a < 1

Câu 11: Rút gọn biểu thức B = với .

Đáp án

B = .

Câu 12: Cho biểu thức A = với a > 0, a ¹ 1

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A khi .

Đáp án:

a) Ta có A = = .

b) nên A = .

Câu 13: Cho biểu thức P = với x > 0.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm các giá trị của x để P > .

Đáp án:

a)

.

b) Với x > 0 thì .

Vậy với thì P > .

Câu 14: Cho biểu thức A = với a > 0, a 1.

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các giá trị của a để A < 0.

Đáp án:

a)

b) A < 0 .

Câu 15: Cho biểu thức P = với a > 0 và a 9.

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của a để P > .

Đáp án:

a) P = .

= . Vậy P = .

b) Ta có: > + 3 < 4 < 1 .

Vậy P > khi và chỉ khi 0 < a < 1.

Câu 16: Cho biểu thức A =với a > 0, a ¹ 1

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A khi a = 2011 - 2. a = 2017 - 2.

Đáp án:

a) A =

= .

= .

b) a = 2017 - 2

Vậy A = =12

Câu 17: Cho biểu thức: Q = .

a) Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa. Rút gọn Q.

b) Tìm tất cả các giá trị của x để Q = - 3- 3.

Đáp án:

ĐKXĐ: x > 0; x 1.

a) Q = .

b) Q = - 3 => 4x + 3 - 1 = 0 (thỏa mãn)

Câu 18: Cho biểu thức: P = với a > 0, a 9.

a) Rút gọn.

b) Tìm a để P < 1.

Đáp án:

a) P =

=

=

Vậy P = .

b) P < 1 .

Câu 19: Cho biểu thức: M =

Rút gọn biểu thức M với

Đáp án:

M = + x + 1

=

= x - - x - + x + 1 = x - 2 + 1 = ( - 1)2

Câu 20: Cho biểu thức: P = với x > 0.

a) Rút gọi biểu thức P.

b) Tìm x để P = 0.

Đáp án:

a) Ta có x2 +

nên P =

= . Vậy P = .

b) P = 0 x - = 0 ( - 1) = 0 x = 0 (loại) ; x = 1 (t/m)

Vậy x = 1 thì P = 0

Câu 21: Rút gọn biểu thức: P= với x1 và x >0

Đáp án:

P =

= = =

C©u 22: Rót gän biÓu thøc

§¸p ¸n:

§iÒu kiÖn:

* Rót gän:

C©u 23: Cho biÓu thøcA = víi x > 0 vµ x  1

a) Rót gän A

b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 3

§¸p ¸n:

a) Ta cã: A = = =

= = = =

b) A = 3 => = 3 => 3x + - 2 = 0 => x = 2/3

C©u 24: Cho P = + -

a/. Rót gän P.

b/. Chøng minh: P < víi x 0 vµ x 1.

§¸p ¸n:

a) §iÒu kiÖn: x 0 vµ x 1

P = + -

= + -

=

= =

b/. Víi x 0 vµ x 1 .Ta cã: P < <

3 < x + + 1 ; ( v× x + + 1 > 0 )

x - 2 + 1 > 0

( - 1)2 > 0. ( §óng v× x 0 vµ x 1)

C©u 25: : Cho biÓu thøc D = :

a) T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña D vµ rót gän D

b) TÝnh gi¸ trÞ cña D víi a =

c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña D

§¸p ¸n

a) - §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña D lµ

D = :

D =

b) a =

VËy D =

c) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc cauchy ta cã

VËy gi¸ trÞ cña D lµ 1

C©u 26: Cho biÓu thøc A =

a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh

b) Rót gän A

§¸p ¸n

a) §iÒu kiÖn x tháa m·n

  x > 1 vµ x  2

KL: A x¸c ®Þnh khi 1 < x < 2 hoÆc x > 2

b) Rót gän A

A =

A =

Víi 1 < x < 2 A =

Víi x > 2 A =

KÕt luËn

Víi 1 < x < 2 th× A =

Víi x > 2 th× A =

C©u 27: Cho biÓu thøc M =

T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó M cã nghÜa vµ rót gän M

T×m x ®Ó M = 5

T×m x Z ®Ó M Z.

§¸p ¸n:

a) §K

Rót gän M =

BiÕn ®æi ta cã kÕt qu¶: M = =

c) M =

Do M nªn lµ íc cña 4 nhËn c¸c gi¸ trÞ: -4; -2; -1; 1; 2; 4

do

Câu 28: Cho biểu thức : A = , với x0 và x9.

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của x để A = và tìm giá trị nhỏ nhất của A

Đáp án:

A = =

===

==

Tìm giá trị của x để A = và tìm giá trị nhỏ nhất của A

A===9=6x=36 (thoả mãn điều kiện)

3

=1 Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1, khi x=0 (thoả mãn điều kiện)

Câu 29: Rút gọn biểu thức với và .

Đáp án:

Ta có: ;

Câu 30: Cho biểu thức: B = (eq \s\don1(\f(eq \l(\r(,b))+3,eq \l(\r(,b))-3)) + eq \s\don1(\f(eq \l(\r(,b))-3,eq \l(\r(,b))+3)) )(eq \s\don1(\f(1,3)) - eq \s\don1(\f(1,eq \l(\r(,b)))) ) với b > 0; b≠ 9

a) Rút gọn B

b) Tìm b để biểu thức B nhận giá trị nguyên.

Đáp án:

a) Với b > 0; b9

B =

= =

B = nguyên khi +3 là ước của 4 vì+3≥3

Nên +3 = 4 hay =1 b=1

Vậy với b = 1 thì B đạt giá trị nguyên

Câu 31: Rút gọn biểu thức: với .

Đáp án:Với ĐK: . Ta có:

Kết luận: Vậy với thì

Câu 32: Cho biểu thức

Với những giá trị nào của x thì biểu thức trên xác định ? Hãy rút gọn biểu thức B .

Đáp án:

ĐK x>0 và x1

=

Bµi tËp d¹ng to¸n rót gän

Bài 1 Cho biểu thức : A = với ( x >0 và x ≠ 1)

1) Rút gọn biểu thức A.

2) Tính giá trị của biểu thức A tại

Bài 2. Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 )

1) Rút gọn biểu thức P.

2) Tìm giá trị của a sao cho P = a + 1.

Bài 3: Cho biểu thức A =

1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa

2/.Rút gọn biểu thức A

3/.Với giá trị nào của x thì A< -1

Bài 4: Cho biểu thức A = ( Với )

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A = - 1

Bài 5: Cho biểu thức : B =

1/ Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B

2/ Tính giá trị của B với x =3

3/ Tìm giá trị của x để

Bài 6: Cho biểu thức : P =

1/ Tìm TXĐ

2/ Rút gọn P

3/ Tìm x để P = 2

Bài 7: Cho biểu thức: Q = (

1/ Tìm TXĐ rồi rút gọn Q

2/ Tìm a để Q dương

3/ Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4

Bài 8: Cho biểu thức: M =

1/ Tìm ĐKXĐ của M.

2/ Rút gọn M

3/Tìm giá trị của a để M = - 4

Bài 9: Rút gọn các biểu thức sau:

kq:

kq:

kq:

kq:

kq:

kq:

kq:

kq:

Bµi 10. Cho biÓu thøc: kq:

1, T×m §K X§ cña biÓu thøc A.

2, Rót gän A.

3, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi

4, T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

5, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc A b»ng -3.

6, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc A nhá h¬n -1.

7, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc A lín h¬n

8, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc A - 1 Max

9, So s¸nh A víi

Bµi 11. Cho biÓu thøc: kq:

1, T×m x ®Ó biÓu thøc B x¸c ®Þnh.

2, Rót gän B.

3, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B khi x =

4, T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc B nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

5, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc B b»ng -2.

6, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc B ©m.

7, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc B nhá h¬n -2.

8, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc B lín h¬n

Bµi 12. Cho biÓu thøc: kq:

1, BiÓu thøc C x¸c ®Þnh víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña x?

2, Rót gän C.

3, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc C khi x =

4, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc C b»ng -3.

5, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc C lín h¬n .

6, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc C nhá h¬n .

7, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc C nhá nhÊt.

8, So s¸nh C víi .

Bµi 13. Cho biÓu thøc: kq:

1, T×m §K X§ cña biÓu thøc D.

2, Rót gän D.

3, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc D khi x = .

4, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc D b»ng 1.

5, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc D ©m.

6, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc D nhá h¬n -2 .

7, T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc D nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

8, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc D lín nhÊt.

9, T×m x ®Ó D nhá h¬n .

Bµi 14. Cho biÓu thøc:

1, T×m a ®Ó biÓu thøc E cã nghÜa.

2, Rót gän E.

3, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc E khi a =

4, T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc E b»ng -1.

5, T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc E d­¬ng.

6, T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc E nhá h¬n .

7, T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc E nhá nhÊt.

8, So s¸nh E víi 1 .

Bµi 15. Cho biÓu thøc: kq: 4a

1, T×m §K X§ cña biÓu thøc F.

2, Rót gän F.

3, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc F khi a =

4, T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc F b»ng -1.

5, T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc E nhá h¬n .

6, T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc E nhá nhÊt.

7, T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó . ().

8, So s¸nh E víi .

Bµi 16. Cho biÓu thøc: kq:

1, T×m x ®Ó M tån t¹i. 2, Rót gän M.

3, CMR nÕu 0 0. ()

3, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc M khi x = 4/25.

4, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc M b»ng -1.

5, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc M ©m ; M d­¬ng.

6, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc M lín h¬n -2 .

7, T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc M nhËn gi¸ trÞ nguyªn.

8, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ biÓu thøc M lín nhÊt.

9, T×m x ®Ó M nhá h¬n -2x ; M lín h¬n .

10, T×m x ®Ó M lín h¬n .

Bài 17:

Cho biểu thức : P = ( với x 0 )

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của P tại x thoả mãn

Bài 18:

Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 )

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính tại a thoả mãn điều kiện a2 – 7a + 12 = 0

Bài 19: Cho hai biểu thức :

; B = với x > 0; y > 0 ; x y

Tính A.B

Bài 20: Cho biểu thức: P = (với )

a) Rút gọn biểu thức P.

b)Tìm giá trị của x để P =

Bài 21: Rút gọn biểu thức: B = (với a>0 , a 4)

Bài 22. Cho biểu thức :

P = với x > 0

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x để P = 2.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 23: Cho biểu thức: M = với x 0, x 1

Thu gọn biểu thức M.

Tính tại x =

Bài 24: a) Rút gọn biểu thức : B = ( x > 0 và x 1)

b) Tìm x khi B = – 3

Bài 25: Cho biểu thức : P = ( Với a 0 ; a 4 )

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính tại a thoả mãn điều kiện a2 – 7a + 12 = 0

Bài 26: Cho biểu thức : P = với x > 0 và x ≠ 4

Rút gọn P.

Tìm x để P > 3

Bài 27: a) Rút gọn biểu thức : Q = với x > 0 ; y > 0 và

b)Tính giá trị của Q tại x = ; y = 5

Bài 28: Cho biểu thức: P = với a > 0 , a ≠ 1

Rút gọn A.

Tìm các giá trị của a để A > 0.

Bài 29: Cho biểu thức : Q = với a > 0 ; a ≠ 1.

a) Rút gọn biểu thức Q.

b) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị 0